← Wszystkie moduły

Matematyka · ściąga

Słowniczek symboli — jak to przeczytać i co to znaczy

Zobaczyłeś na tablicy znaczek i nie wiesz, jak go nazwać? Tu jest każdy symbol z kursu: jak wygląda, jak go czytać na głos i co znaczy. Słowniczek rośnie razem z kolejnymi modułami.

Moduł 1: Logika

Symbol	Nazwa	Czytamy	Co znaczy
$0, 1$	Wartości logiczne	„zero — fałsz, jeden — prawda”	Zamiast słów „fałsz” i „prawda” piszemy 0 i 1.
$p, q, r$	Zdania proste	„pe, ku, er”	Małe litery to skróty („ksywki”) konkretnych zdań, np. $p$ = „pada deszcz”.
$\neg p$	Negacja	„nieprawda, że p”	Odwraca wartość zdania: 1 → 0, 0 → 1.
$p \land q$	Koniunkcja	„p i q”	Prawdziwa tylko, gdy oba zdania są prawdziwe.
$p \lor q$	Alternatywa	„p lub q”	Prawdziwa, gdy co najmniej jedno zdanie jest prawdziwe (także oba).
$p \Rightarrow q$	Implikacja	„jeżeli p, to q”	Fałszywa tylko wtedy, gdy $p = 1$ , a $q = 0$ .
$p \Leftrightarrow q$	Równoważność	„p wtedy i tylko wtedy, gdy q”	Prawdziwa, gdy oba zdania mają tę samą wartość.
$P (x)$	Funkcja zdaniowa	„P od x”	Wyrażenie ze zmienną $x$ ; staje się zdaniem po wstawieniu wartości albo dodaniu kwantyfikatora.
$\forall$	Kwantyfikator ogólny	„dla każdego”	Warunek ma zachodzić dla wszystkich elementów. Obalasz go jednym kontrprzykładem.
$\exists$	Kwantyfikator szczegółowy	„istnieje”	Wystarczy jeden element spełniający warunek.
$\exists!$	Istnieje dokładnie jeden	„istnieje dokładnie jeden”	Warunek spełnia jeden element — nie zero i nie dwa.
$\forall_{x \in R}$	Kwantyfikator ze zbiorem	„dla każdego x należącego do R”	Indeks na dole mówi, skąd bierzemy $x$ .
$x \in A$	Należenie	„x należy do A”	Element $x$ jest w zbiorze $A$ . Przekreślone $\in /$ — nie należy.
$N$	Liczby naturalne	„en”	$0, 1, 2, 3, \dots$ (w tym kursie z zerem — sprawdź konwencję prowadzącego).
$Z$	Liczby całkowite	„zet”	$\dots, - 2, - 1, 0, 1, 2, \dots$
$R$	Liczby rzeczywiste	„er”	Wszystkie liczby z osi liczbowej, także ułamki, $2$ , $π$ .
$\neq =, \leq, \geq$	Relacje między liczbami	„różne od, mniejsze lub równe, większe lub równe”	Zaprzeczeniem $<$ jest $\geq$ , a zaprzeczeniem $>$ jest $\leq$ .

Moduł 2: Zbiory

Symbol	Nazwa	Czytamy	Co znaczy
${1, 2, 3}$	Zbiór (wyliczenie)	„zbiór: jeden, dwa, trzy”	Elementy w klamrach. Nic się nie powtarza, kolejność bez znaczenia.
${x \in N : \dots}$	Zbiór z warunkiem	„zbiór takich x należących do N, że…”	Przed dwukropkiem kandydaci, po nim warunek. Dwukropek czytamy „takich, że”.
$∣ A ∣$	Moc zbioru	„moc zbioru A”	Liczba elementów zbioru $A$ .
$\emptyset$	Zbiór pusty	„zbiór pusty”	Zbiór bez elementów; $∣\emptyset∣ = 0$ . Zawiera się w każdym zbiorze.
$U$	Uniwersum (przestrzeń)	„u, uniwersum”	Wszystkie elementy, które w zadaniu nas interesują. Względem niego liczymy dopełnienie.
$(a, b), [a, b]$	Przedział otwarty / domknięty	„przedział od a do b”	Nawias okrągły — koniec nie należy (puste kółko), kwadratowy — należy (pełne kółko).
$\infty$	Nieskończoność	„nieskończoność”	Przedział biegnie bez końca. Zawsze z nawiasem okrągłym, np. $[4, \infty)$ .
$A \cup B$	Suma zbiorów	„A suma B”	Elementy, które są w $A$ lub w $B$ (jak $\lor$ ).
$A \cap B$	Iloczyn (część wspólna)	„A iloczyn B”	Elementy, które są w $A$ i w $B$ naraz (jak $\land$ ).
$A ∖ B$	Różnica zbiorów	„A minus B”	Elementy, które są w $A$ i nie są w $B$ . $A ∖ B \neq = B ∖ A$ .
$A^{'}$	Dopełnienie	„dopełnienie A (A prim)”	Elementy uniwersum $U$ , których nie ma w $A$ .
$A \subset B$	Zawieranie się	„A zawiera się w B”	Każdy element $A$ jest też w $B$ . Nie oznacza, że $A = B$ .
$A \times B$	Iloczyn kartezjański	„A razy B”	Zbiór par $(x, y)$ , gdzie $x \in A$ , $y \in B$ . $∣ A \times B ∣ = ∣ A ∣ \cdot ∣ B ∣$ .
$(x, y)$	Para uporządkowana	„para x, y”	Dwa elementy w ustalonej kolejności: $(1, 2) \neq = (2, 1)$ .
$A^{2}$	Potęga zbioru	„A do kwadratu”	Skrót od $A \times A$ .

Moduł 3: Relacje

Symbol	Nazwa	Czytamy	Co znaczy
$P \subset A \times B$	Relacja	„P zawiera się w A razy B”	Zbiór wybranych par $(x, y)$ , gdzie $x \in A$ , $y \in B$ .
$x P y$	Bycie w relacji	„x jest w relacji P z y”	Para $(x, y)$ należy do relacji $P$ . Kolejność ma znaczenie.
$D (P), D^{- 1} (P)$	Dziedzina i przeciwdziedzina	„dziedzina, przeciwdziedzina relacji P”	Przy $P \subset A \times B$ : dziedzina to $A$ (pierwszy element pary), przeciwdziedzina to $B$ .
$P^{'}$	Dopełnienie relacji	„dopełnienie P”	Pary z $A \times B$ , których nie ma w $P$ . Na macierzy: 0 ↔ 1.
$P^{- 1}$	Relacja odwrotna	„P do minus pierwszej”	Odwrócone pary $(y, x)$ . Na macierzy: wiersze ↔ kolumny.
$Q \circ P$	Złożenie relacji	„Q po P”	Najpierw $P$ , potem $Q$ : $x (Q \circ P) z$ , gdy istnieje $y$ : $x P y$ i $y Q z$ .
$P_{E}, P_{S}$	Relacje preferencji	„pe e, pe es”	Dla każdego kryterium osobno: $X$ w relacji z $Y$ , gdy $X$ jest nie gorszy od $Y$ .
$S = (M^{- 1})^{'} \cap M$	Zaostrzenie relacji	„S równa się dopełnienie M do minus pierwszej, część wspólna z M”	W $M$ zeruje przekątną i symetryczne jedynki. Jedynka w $(X, Y)$ znaczy: $X$ dominuje $Y$ .
	Zbiór Pareto		Warianty niezdominowane przez żaden inny — kolumny z samych zer w macierzy $S$ .

Moduł 4: Macierze

Symbol	Nazwa	Czytamy	Co znaczy
$m \times n$	Wymiar macierzy	„m na n”	$m$ wierszy i $n$ kolumn. Najpierw wiersze, potem kolumny.
$a_{ij}$	Element macierzy	„a i j”	Liczba z wiersza $i$ i kolumny $j$ macierzy $A$ , np. $a_{23}$ — wiersz 2, kolumna 3.
$I$	Macierz jednostkowa	„macierz jednostkowa”	Kwadratowa: jedynki na głównej przekątnej, poza nią zera. $A \cdot I = A$ .
$A^{T}$	Macierz transponowana	„A transponowana”	Wiersze $A$ zapisane jako kolumny. Wymiar $m \times n$ zmienia się na $n \times m$ .
$A \cdot B$	Iloczyn macierzy	„A razy B”	Kratka $c_{ij}$ to wiersz $i$ z $A$ razy kolumna $j$ z $B$ . Wykonalne, gdy liczba kolumn $A$ = liczba wierszy $B$ .
$w_{2}^{'} = w_{2} - 3 w_{1}$	Operacja elementarna	„nowy wiersz 2 to wiersz 2 minus trzy razy wiersz 1”	Zamiana wierszy, mnożenie wiersza przez $c \neq = 0$ albo dodanie wielokrotności innego wiersza.
$det (A)$	Wyznacznik	„wyznacznik A”	Liczba przypisana macierzy kwadratowej. $det (A) = 0$ — macierz osobliwa.
$M_{ij}$	Minor	„minor i j”	Wyznacznik macierzy po skreśleniu wiersza $i$ i kolumny $j$ .
$D_{ij} = (- 1)^{i + j} M_{ij}$	Dopełnienie algebraiczne	„de i jot”	Minor ze znakiem z szachownicy: plus, gdy $i + j$ parzyste, minus, gdy nieparzyste.
$A^{- 1}$	Macierz odwrotna	„A do minus pierwszej”	$A \cdot A^{- 1} = I$ . Istnieje, gdy $A$ jest kwadratowa i $det (A) \neq = 0$ .
$r (A)$	Rząd macierzy	„rząd A”	Największa liczba liniowo niezależnych wierszy (kolumn) — liczba kolumn jednostkowych w postaci bazowej.

Moduł 5: Układy równań liniowych

Symbol	Nazwa	Czytamy	Co znaczy
$x_{1}, x_{2}, x_{3}$	Niewiadome z numerami	„iks jeden, iks dwa, iks trzy”	Nazwy niewiadomych (na slajdach: zmienne). Numer na dole to tylko nazwa — nie potęga i nie mnożenie.
$A$	Macierz układu	„macierz A”	Liczby stojące przy niewiadomych: wiersz = równanie, kolumna = niewiadoma. Brak niewiadomej to 0.
$b$	Wektor wyrazów wolnych	„wektor b”	Liczby z prawych stron równań, w kolejności równań.
$[A ∣ b]$	Macierz rozszerzona	„macierz rozszerzona układu”	Macierz $A$ z dopisaną za pionową kreską kolumną $b$ . Na niej rozwiązujesz układ.
	Postać bazowa		Macierz po operacjach na wierszach, w której przed kreską jest jak największa macierz jednostkowa: kolumny z jedną jedynką i zerami, jedynki w różnych wierszach.
	Układ oznaczony		Ma dokładnie jedno rozwiązanie. W postaci bazowej każda niewiadoma stoi w swoim równaniu sama — kolumny wszystkich niewiadomych tworzą macierz jednostkową.
	Układ nieoznaczony		Ma nieskończenie wiele rozwiązań. Niewiadome, których kolumny nie wchodzą do macierzy jednostkowej, stają się parametrami.
	Układ sprzeczny		Nie ma żadnego rozwiązania. W postaci bazowej pojawia się wiersz $0 \dots 0$ z liczbą różną od zera za kreską.
$a \in R$	Parametr	„a należy do zbioru liczb rzeczywistych”	Dowolna liczba. W rozwiązaniu ogólnym każda wartość parametru daje inne rozwiązanie układu.
	Rozwiązanie ogólne		Wszystkie rozwiązania układu nieoznaczonego naraz, zapisane przez parametry, np. $x_{1} = 34 + 33 a$ , $x_{3} = a$ .
$B^{(1)}$	Baza	„be jeden”	Zestaw $r (A)$ niewiadomych (zmiennych bazowych). Pozostałe niewiadome — niebazowe — dostają wartość 0, a bazowe muszą wtedy wyjść jednoznacznie.
$X^{(1)}$	Rozwiązanie bazowe	„duże iks jeden”	Rozwiązanie dla bazy $B^{(1)}$ : niebazowe niewiadome są równe 0. Zapisujesz je jako cały wektor, razem z zerami.

Moduł 7: Matematyka finansowa

Symbol	Nazwa	Czytamy	Co znaczy
$P V$	Wartość bieżąca (present value)	„pe-fał”	Ile kwota jest warta dziś: kwota wpłacana na start albo dzisiejsza wartość pieniędzy z przyszłości.
$F V$	Wartość przyszła (future value)	„ef-fał”	Ile kwota będzie warta po $n$ okresach, razem z odsetkami.
$n$	Liczba okresów	„en”	Ile okresów mija — tyle razy odsetki są dopisywane do kwoty (liczba kapitalizacji).
$i$	Stopa procentowa na okres	„i”	Jaka część kwoty dochodzi przez jeden okres, jako ułamek: 5% to $i = 0, 05$ .
	Kapitalizacja		Powiększenie kapitału o odsetki. Od następnego okresu odsetki liczą się od większej kwoty (procent składany).
$F V = (1 + i)^{n} \cdot P V$	Wartość przyszła kwoty	„ef-fał równa się jeden plus i do potęgi en razy pe-fał”	Kwotę przenosisz w przyszłość: za każdy okres mnożysz przez $1 + i$ .
$P V = \frac{F V}{( 1 + i ) ^{n}}$	Wartość bieżąca kwoty (dyskontowanie)	„pe-fał równa się ef-fał przez jeden plus i do potęgi en”	Kwotę z przyszłości sprowadzasz do dziś: za każdy okres dzielisz przez $1 + i$ .
	Strumień pieniężny		Kilka wpłat w różnych momentach. Na zajęciach wpłaty z góry (na początku okresów), wartość na koniec ostatniego okresu.
	Renta		Seria przyszłych wypłat. Jej wartość dziś to suma wypłat sprowadzonych do dziś; renta z dołu — wypłaty na koniec okresów.
$P V = \frac{F V _{1}}{i}$	Renta dożywotnia	„pe-fał równa się ef-fał jeden przez i”	Wartość dziś renty wypłacającej bez końca tę samą kwotę $F V_{1}$ co okres.
$I R R$	Wewnętrzna stopa zwrotu	„i-er-er”	Stopa, przy której dzisiejsza wartość wpływów równa się wydatkowi — ile procent rocznie zarabia inwestycja.
	Amortyzacja kredytu		Plan spłaty kredytu: dla każdego okresu kapitał początkowy, odsetki, rata odsetkowa, rata kapitałowa, rata łączna i kapitał końcowy.
	Raty malejące		Rata kapitałowa stała (kredyt : liczba rat), odsetki liczone od malejącego długu — więc rata łączna maleje.

Moduł 8: Pochodna funkcji jednej zmiennej

Symbol	Nazwa	Czytamy	Co znaczy
$Δ x$	Przyrost argumentu	„delta iks”	O ile przesuwasz się w poziomie: z $x_{0}$ do $x_{0} + Δ x$ . Jedna liczba, nie „delta razy iks”.
$Δ y$	Przyrost wartości	„delta igrek”	O ile zmieniła się wartość funkcji: $f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})$ .
$\frac{Δ y}{Δ x}$	Iloraz różnicowy	„delta igrek przez delta iks”	Średnie tempo zmiany funkcji między dwoma punktami — nachylenie siecznej.
$f^{'} (x_{0})$	Pochodna w punkcie	„ef prim od iks zero”	Granica ilorazu różnicowego, gdy $Δ x$ dąży do zera. Nachylenie stycznej w punkcie $x_{0}$ : $f^{'} (x_{0}) = tg α$ .
$lim_{Δ x \to 0}$	Granica	„granica, gdy delta iks dąży do zera”	Liczba, do której zbliżają się wyniki, gdy $Δ x$ jest coraz mniejsze (ale nigdy nie równe zero).
$f^{'} (x)$	Pochodna funkcji	„ef prim od iks”	Funkcja, która każdemu $x$ przypisuje nachylenie stycznej w tym punkcie. „Oblicz pochodną” = znajdź jej wzór.
$tg α$	Tangens kąta nachylenia	„tangens alfa”	O ile prosta wznosi się (albo opada) na $1$ w prawo. Dla stycznej równy pochodnej w punkcie styczności.
	Funkcja złożona		Funkcja wstawiona do innej funkcji, np. $5 x - 7$ : środek $5 x - 7$ , funkcja zewnętrzna — pierwiastek. Pochodna: pochodna zewnętrznej (środek bez zmian) razy pochodna środka.
	Test ostatniego działania		Wstaw za $x$ liczbę i licz: działanie wykonane na końcu wybiera regułę (suma, iloczyn, iloraz, funkcja złożona).
$ln x$	Logarytm naturalny	„logarytm naturalny z iks”	Logarytm o podstawie $e \approx 2, 718$ . Istnieje dla $x > 0$ ; $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ .
$ln^{2} x$	Kwadrat logarytmu	„logarytm naturalny kwadrat z iks”	Umowa w zapisie: $ln^{2} x = (ln x)^{2}$ — nie $ln (x^{2})$ .

Moduł 12: Całka nieoznaczona

Symbol	Nazwa	Czytamy	Co znaczy
$\int f (x) d x$	Całka nieoznaczona	„całka z ef od iks de iks”	Rodzina wszystkich funkcji, których pochodna to $f (x)$ . Wynik zawsze z $+ C$ .
$F (x)$	Funkcja pierwotna	„duże ef od iks”	Funkcja, której pochodna to $f (x)$ : $F^{'} (x) = f (x)$ . Na przykład dla $f (x) = 2 x$ funkcją pierwotną jest $x^{2}$ .
$d x$	Różniczka (po iks)	„de iks”	Zamyka całkę i mówi, że zmienną jest $x$ . Samo $\int d x$ to całka z jedynki.
$C$	Stała całkowania	„ce”	Dowolna liczba dopisana do wyniku. Pochodna stałej to zero, więc $F (x) + C$ ma tę samą pochodną dla każdego $C$ .
$t, d t$	Podstawienie	„te, de te”	Nowa zmienna w całkowaniu przez podstawianie: $t$ to środek, $d t$ to jego pochodna razy $d x$ .
$u, v^{'}$	Części	„u, fau prim”	Dwa kawałki w całkowaniu przez części: $u$ — to, co różniczkujesz, $v^{'}$ — to, co całkujesz.