Układy równań liniowych — macierz rozszerzona, postać bazowa, rozwiązanie ogólne i rozwiązania bazowe · Matematyka

Po co ekonomiście układy równań?

Szwalnia szyje bluzy i kurtki. Bluza wymaga 1 godziny szycia i 2 metrów materiału, kurtka — 2 godzin i 3 metrów. W tym tygodniu jest 40 godzin pracy i 70 metrów materiału. Ile bluz i ile kurtek uszyć, żeby zużyć wszystko?

Oznacz liczbę bluz przez $x_1$ , a kurtek przez $x_2$ . Godziny i metry dają dwa warunki, które muszą zachodzić naraz:

\begin{cases} x_1 + 2x_2 = 40 \\ 2x_1 + 3x_2 = 70 \end{cases}

To jest układ równań. Jego rozwiązanie to 20 bluz i 10 kurtek: $20 + 2 \cdot 10 = 40$ godzin i $2 \cdot 20 + 3 \cdot 10 = 70$ metrów. W tym module policzysz to samodzielnie — jednym przepisem, który działa tak samo dla dwóch i dla dziesięciu niewiadomych.

Gdy szwalnia doda trzeci produkt, a godzin i materiału będzie tyle samo, rozwiązań układu zrobi się nieskończenie wiele. Wtedy szczególnie ciekawe są rozwiązania bazowe — rozwiązania, w których jeden z produktów ma zero. Te bez liczb ujemnych to plany, w których szyje się najwyżej dwa rodzaje produktów. Wrócą w programowaniu liniowym.

Co będzie na kolokwium

Z układów równań na kolokwium wraca pięć typów poleceń. Zwykle pojawiają się w jednym zadaniu, po kolei: zapisz, rozwiąż, rozpoznaj rodzaj, a dla układu nieoznaczonego wyznacz rozwiązanie ogólne i rozwiązania bazowe.

1
„Zapisz układ w postaci macierzowej”
Liczby przy niewiadomych to macierz $A$ , prawe strony to wektor $b$ . Razem, rozdzielone kreską, dają macierz rozszerzoną $[A ∣ b]$ .
Przepis i przykłady ↓Ćwiczenia ↓jak na slajdach z tematu 5
2
„Rozwiąż układ równań”
Macierz rozszerzoną sprowadzasz operacjami na wierszach do postaci bazowej i odczytujesz z niej wynik.
Przepis i przykłady ↓Ćwiczenia ↓jak w Zad. 1, str. 100
3
„Określ, czy układ jest oznaczony, nieoznaczony czy sprzeczny”
Patrzysz na postać bazową: wiersz zer przed kreską i liczba różna od zera za kreską — sprzeczny; każda niewiadoma stoi w swoim równaniu sama (ma konkretną wartość) — oznaczony; inaczej — nieoznaczony.
Przepis i przykłady ↓Ćwiczenia ↓jak na slajdach z tematu 5
4
„Wyznacz rozwiązanie ogólne”
Niewiadome, których kolumny nie wchodzą do macierzy jednostkowej, zamieniasz na parametry i wyrażasz przez nie pozostałe.
Przepis i przykłady ↓Ćwiczenia ↓jak w Zad. 1, str. 100, f)
5
„Wyznacz rozwiązania bazowe”
Wypisujesz zestawy po $r (A)$ niewiadomych ( $r (A)$ to rząd macierzy $A$ ), resztę niewiadomych zerujesz i liczysz te z zestawu.
Przepis i przykłady ↓Ćwiczenia ↓jak w Zad. 1, str. 100, f)

Układ równań — pojęcia od podstaw

Równanie liniowe

Liniowe

$2x_1 + 3x_2 - x_3 = 7$
$x_1 - 4x_2 = 0$
$x_2 = 5$ — też liniowe, z jedną niewiadomą

Nieliniowe

$x_1^2 + x_2 = 3$ — kwadrat
$x_1 \cdot x_2 = 5$ — niewiadoma razy niewiadoma
$\frac{1}{x_1} = 2$ — niewiadoma w mianowniku

x_{1}, x_{2}, x_{3}

Niewiadome z numerami

czytamy: „iks jeden, iks dwa, iks trzy”

Zamiast $x, y, z$ piszemy jedną literę z numerem. Numer na dole to tylko nazwa — nie potęga i nie mnożenie. Na slajdach niewiadome nazywają się też zmiennymi.

Jak zapamiętać: numer na dole mówi „która z kolei”. Przy stu niewiadomych liter by zabrakło, numerów nie.

{\dots \dots

Klamra układu

czytamy: „układ równań”

Wszystkie równania w klamrze muszą być spełnione naraz, przez te same liczby.

Jak zapamiętać: klamra spina równania jak spinacz kartki — działają tylko razem.

Rozwiązanie układu

Para $(20, 10)$ ze szwalni spełnia oba równania: $20 + 2 \cdot 10 = 40$ i $2 \cdot 20 + 3 \cdot 10 = 70$ . To rozwiązanie.

Para $(40, 0)$ spełnia pierwsze równanie ( $40 + 0 = 40$ ), ale drugiego już nie: $2 \cdot 40 + 3 \cdot 0 = 80$ , a nie 70. To nie jest rozwiązanie układu — jedno równanie to za mało.

Trzy rodzaje układów

Najłatwiej to zobaczyć przy dwóch niewiadomych. Równanie z dwiema niewiadomymi, np. $x_1 + 2x_2 = 3$ , to prosta na płaszczyźnie (o ile przy $x_1$ albo $x_2$ stoi liczba różna od zera). Rozwiązanie układu to punkt, który leży na obu prostych naraz.

oznaczony — jedno rozwiązanie

{x_{1} + 2 x_{2} = 5 3 x_{1} - x_{2} = 1

Proste przecinają się w jednym punkcie (1, 2). Tylko ta para liczb spełnia oba równania.

sprzeczny — brak rozwiązań

{x_{1} + 2 x_{2} = 3 2 x_{1} + 4 x_{2} = 12

Proste są równoległe i nigdy się nie spotykają. Żaden punkt nie leży na obu naraz.

nieoznaczony — nieskończenie wiele

{x_{1} + 2 x_{2} = 3 2 x_{1} + 4 x_{2} = 6

Drugie równanie to pierwsze razy 2 — to ta sama prosta. Każdy jej punkt spełnia oba równania.

Jak czytać ten rysunek:

w każdym okienku są dwa równania i ich proste: turkusowa to pierwsze równanie, złota — drugie. Rozwiązania to punkty wspólne obu prostych. Na pierwszym rysunku jest jeden taki punkt, na drugim żadnego, a na trzecim proste leżą jedna na drugiej i każdy punkt tej prostej jest wspólny.

Zapis macierzowy

Liczyć na samych równaniach jest niewygodnie: ciągle przepisujesz te same $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ . Dlatego układ zapisuje się w tabelce liczb — macierzy. Niewiadome znikają, a ich rolę przejmuje miejsce: kolumna = niewiadoma, wiersz = równanie.

A

Macierz układu

czytamy: „macierz A”

Liczby stojące przy niewiadomych. Wiersz $i$ to równanie $i$ , kolumna $j$ to niewiadoma $x_{j}$ .

Jak zapamiętać: A jak „ile czego” — współczynniki.

b

Wektor wyrazów wolnych

czytamy: „wektor b”

Liczby z prawych stron równań, w kolejności równań. Zapisuje się je jako kolumnę.

Jak zapamiętać: b stoi tam, gdzie kończy się równanie — po znaku =.

[A ∣ b]

Macierz rozszerzona

czytamy: „macierz rozszerzona układu”

Macierz $A$ z dopisaną kolumną $b$ . Pionowa kreska stoi w miejscu znaku równości.

Jak zapamiętać: kreska = znak „=”. Przed nią lewe strony, za nią prawe.

Przykład ze slajdów. Kliknij dowolny składnik równania albo kratkę macierzy:

=

=

x₁x₂x₃b

2

3

- 1

7

1

1

2

5

Jak czytać ten rysunek:

układ równań i jego macierz rozszerzona. Nad kolumnami macierzy są nazwy niewiadomych, ostatnia kolumna ( $b$ ) to prawe strony. Kliknięcie podświetla na złoto parę „składnik — kratka” i mówi, skąd wzięła się liczba. Samo $x_1$ w drugim równaniu daje 1, a $-x_3$ w pierwszym daje $-1$ .

Macierz układu i wektor wyrazów wolnych osobno:

A =

2

3

- 1

1

1

2

b =

7

5

Zadanie · krok po kroku

Zapisz macierz rozszerzoną nieuporządkowanego układu

\begin{cases} x_1 + 2x_3 = 5 \\ 3x_2 - x_1 = 1 \\ x_2 + x_3 - 4 = 0 \end{cases}

Plan — co zrobimy i po co

Porządkujemy równania. W macierzy każda kolumna należy do jednej niewiadomej, więc niewiadome muszą stać w tej samej kolejności w każdym równaniu.
Przepisujemy liczby do macierzy, razem z „niewidzialnymi” zerami.

Inaczej się nie da: macierz nie ma pustych kratek, więc za brakujące niewiadome trzeba jawnie wpisać zera.

Uporządkuj równania
- Równanie 1 nie ma $x_2$ : $x_1 + 0x_2 + 2x_3 = 5$ .
- W równaniu 2 przestawiasz składniki: $-x_1 + 3x_2 + 0x_3 = 1$ .
- W równaniu 3 przenosisz $-4$ na prawą stronę (ze zmianą znaku): $0x_1 + x_2 + x_3 = 4$ .
Dlaczego?
$3x_2 - x_1$ to suma $3x_2 + (-x_1)$ . Składniki sumy wolno przestawiać, a minus jedzie razem z $x_1$ : wychodzi $-x_1 + 3x_2$ . Liczba przeniesiona na drugą stronę równania zmienia znak — tak jak w każdym równaniu z liceum.
Przepisz liczby do macierzy
Każde równanie to jeden wiersz. Liczbę przy $x_1$ wpisujesz w kolumnie 1, przy $x_2$ — w kolumnie 2, przy $x_3$ — w kolumnie 3, a prawą stronę za kreską.
$=$ $=$ $=$
x₁x₂x₃b
$1$ $0$ $2$ $5$ $- 1$ $3$ $0$ $1$ $0$ $1$ $1$ $4$
- W równaniu 1 stoi samo $x_{1}$ , czyli $1 \cdot x_{1}$ . Wpisujesz 1 (wiersz 1, kolumna 1).
- W równaniu 1 nie ma $x_{2}$ . To tak, jakby stało $0 \cdot x_{2}$ , więc w kratce (wiersz 1, kolumna 2) wpisujesz 0.
- W równaniu 1 przy $x_{3}$ stoi $2$ . Wpisujesz $2$ (wiersz 1, kolumna 3).
- Po prawej stronie równania 1 stoi $5$ . To wyraz wolny — trafia za kreskę, do wiersza 1 w ostatniej kolumnie.
- W równaniu 2 stoi $- x_{1}$ , czyli $(- 1) \cdot x_{1}$ . Wpisujesz −1 (wiersz 2, kolumna 1).
- W równaniu 2 przy $x_{2}$ stoi $3$ . Wpisujesz $3$ (wiersz 2, kolumna 2).
- W równaniu 2 nie ma $x_{3}$ . To tak, jakby stało $0 \cdot x_{3}$ , więc w kratce (wiersz 2, kolumna 3) wpisujesz 0.
- Po prawej stronie równania 2 stoi $1$ . To wyraz wolny — trafia za kreskę, do wiersza 2 w ostatniej kolumnie.
- W równaniu 3 nie ma $x_{1}$ . To tak, jakby stało $0 \cdot x_{1}$ , więc w kratce (wiersz 3, kolumna 1) wpisujesz 0.
- W równaniu 3 stoi samo $x_{2}$ , czyli $1 \cdot x_{2}$ . Wpisujesz 1 (wiersz 3, kolumna 2).
- W równaniu 3 stoi samo $x_{3}$ , czyli $1 \cdot x_{3}$ . Wpisujesz 1 (wiersz 3, kolumna 3).
- Po prawej stronie równania 3 stoi $4$ . To wyraz wolny — trafia za kreskę, do wiersza 3 w ostatniej kolumnie.
Jak czytać ten rysunek:
wyblakłe składniki $0x_1$ , $0x_2$ , $0x_3$ to niewiadome, których w równaniu nie było — w macierzy stoją za nie zera. Kliknij je, a zobaczysz, do której kratki trafiają.
Dlaczego?
Kolumna mówi, przy której niewiadomej stała liczba. Dlatego zera za brakujące niewiadome muszą zostać — bez nich liczby przesunęłyby się do cudzych kolumn.

Postać bazowa — rozwiązujemy układ na macierzy

Rozwiązujemy układ na macierzy rozszerzonej. Upraszczamy ją operacjami elementarnymi na wierszach. Najpierw zobacz, do czego zmierzasz.

Zapamiętaj· Cel wszystkich operacji na wierszach

Operacje na wierszach robisz po to, żeby przed kreską zostały jedynki po skosie — od lewego górnego rogu w prawo w dół (ten skos to przekątna) — a we wszystkich innych miejscach zera. Wtedy każdy wiersz to równanie z jedną niewiadomą, np. $1 \cdot x_1 + 0 \cdot x_2 + 0 \cdot x_3 = 5$ , czyli po prostu $x_1 = 5$ . Wyniki stoją za kreską.

x₁x₂x₃b

1

0

0

?

0

1

0

?

0

0

1

?

→

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} = ? x_{2} = ? x_{3} = ?

jedynki po skosie (na przekątnej) — wszędzie obok zera

Nie zawsze uda się dojść do idealnego skosu. Gdy w jakiejś kolumnie nie da się zrobić jedynki, przechodzisz do następnej — jedynki przesuwają się wtedy w prawo, a część kolumn zostaje bez jedynki. Tak samo jest, gdy równań jest mniej niż niewiadomych. To nie błąd w rachunku, tylko informacja o układzie: będzie nieoznaczony albo sprzeczny (o tym w sekcji „Oznaczony, nieoznaczony czy sprzeczny?”).

Dlaczego wolno zmieniać wiersze?

Wiersz macierzy to całe równanie. Każda z trzech operacji elementarnych to coś, co wolno zrobić z równaniami i co nie zmienia rozwiązań:

Na macierzy	Na równaniach
zamiana dwóch wierszy	zapisanie równań w innej kolejności
pomnożenie wiersza przez liczbę $\neq 0$	pomnożenie obu stron równania przez tę liczbę
dodanie do wiersza wielokrotności innego wiersza	dodanie równań stronami (jak w metodzie przeciwnych współczynników)

w_{2}^{'} = w_{2} - 2 w_{1}

Operacja na wierszu

czytamy: „nowy wiersz 2 to wiersz 2 minus dwa razy wiersz 1”

$w_{1}, w_{2}$ to wiersze macierzy. Prim (’) oznacza wiersz po zmianie. Zmienia się tylko wiersz z primem.

Jak zapamiętać: prim = „nowy”.

w_{1} \leftrightarrow w_{2}

Zamiana wierszy

czytamy: „zamieniamy wiersz 1 z wierszem 2”

Wiersze zamieniają się miejscami. Liczby w nich zostają te same.

Jak zapamiętać: strzałka w obie strony = zamiana.

Postać bazowa — nazwa z zajęć

Kształt, do którego zmierzasz, ma na zajęciach swoją nazwę:

Takie kolumny nazywamy krótko kolumnami jednostkowymi. W każdym wierszu liczy się tylko jedna — dwie jedynki w jednym wierszu nie dają dwóch kolumn macierzy jednostkowej.

Tak wygląda postać bazowa układu ze szwalni:

x₁x₂b

1

0

20

0

1

10

→

{x_{1} = 20 x_{2} = 10

kolumny macierzy jednostkowej

Zero w kolumnie znaczy, że tej niewiadomej w danym równaniu nie ma. Kolumna jednostkowa zostawia więc swoją niewiadomą tylko w jednym równaniu. Gdy do macierzy jednostkowej wchodzą kolumny wszystkich niewiadomych, każda niewiadoma stoi w swoim równaniu sama — i wynik czytasz wprost.

Polecenie na kolokwium

„Rozwiąż układ równań”. Cel: przed kreską jedynki po skosie i zera dookoła, za kreską wyniki.

Zapisz macierz rozszerzoną $[A \mid b]$ .
Kolumna 1: zrób jedynkę w wierszu 1 (zamiana wierszy albo pomnożenie wiersza), potem zera w pozostałych wierszach tej kolumny.
Następna kolumna: jedynka w następnym wolnym wierszu, zera w pozostałych wierszach. Wolny wiersz to taki, który nie ma jeszcze jedynki z kolumny jednostkowej. Gdy w wolnych wierszach tej kolumny są same zera, przejdź do kolejnej kolumny.
W kolumnie za kreską nie robisz jedynek ani zer — zmienia się tylko „przy okazji”.
Skończ, gdy nie da się zrobić kolejnej jedynki: w wolnych wierszach zostały same zera albo wolnych wierszy już nie ma. Odczytaj wynik: każdy wiersz zamień z powrotem na równanie.
Sprawdź wynik: podstaw go do równań wyjściowych.

Kiedy tego użyć· Jak dobrać mnożnik

Wiersz pomocniczy to wiersz, którego używasz do zerowania — zwykle ten z jedynką w tej samej kolumnie. Mnożnik dobierasz tak, żeby w zerowanej kratce wyszło 0.

Gdy w wierszu pomocniczym stoi 1, mnożnik to po prostu liczba, którą zerujesz. Żeby wyzerować 2, odejmujesz dwa razy wiersz z jedynką: $w_2' = w_2 - 2w_1$ , bo $2 - 2 \cdot 1 = 0$ . Liczbę ujemną zerujesz dodawaniem: żeby wyzerować $-1$ , dodajesz wiersz z jedynką raz, bo $-1 + 1 = 0$ .
Gdy w wierszu pomocniczym stoi inna liczba, dzielisz zerowaną liczbę przez nią. Na przykład chcesz wyzerować 2, a w wierszu pomocniczym w tej kolumnie też stoi 2: $2 : 2 = 1$ , więc odejmujesz wiersz pomocniczy raz — $2 - 1 \cdot 2 = 0$ .

Jak policzyć jedną operację — na kartce

Zapis $w_2' = w_2 - 3w_1$ czytasz: nowy wiersz 2 to stary wiersz 2 minus trzy razy wiersz 1. Liczysz go jak odejmowanie pisemne — na kartce, kolumna po kolumnie:

Na górze zapisz wiersz, który zmieniasz ( $w_2$ ).
Pod nim zapisz wiersz pomocniczy pomnożony przez liczbę z operacji ( $3 \cdot w_1$ ). Każdą liczbę mnożysz osobno. Z lewej postaw znak operacji — tu minus.
Pod linią licz kolumnami: liczba z góry minus liczba spod spodu. Jedna kolumna naraz.
To, co wyszło pod linią, to nowy wiersz 2. Wstawiasz go do macierzy w miejsce starego. Wiersz 1 przepisujesz bez zmian.

Kliknij „▶ Zobacz krok po kroku”: liczby same przejdą z macierzy na kartkę i z powrotem, a przy trudniejszych rachunkach (wynik poniżej zera, ułamki) zobaczysz, jak je policzyć. Taki przycisk jest przy każdym kroku w zadaniach niżej.

1

2

5

3

1

4

w_{2}^{'} = w_{2} - 3 w_{1}

1

2

5

0

- 5

- 11

wiersz, który zmieniasz · wiersz, którego używasz (przepisujesz go bez zmian)

Rachunek na kartce

w_{2}^{'} = w_{2} - 3 w_{1}

	$w_{2}$	$3$	$1$	$4$
$-$	$3 \cdot w_{1}$	$3$ $1 \cdot 3$	$6$ $2 \cdot 3$	$15$ $5 \cdot 3$
	$w_{2}^{'}$	$0$ $3 - 3$	$- 5$ $1 - 6$	$- 11$ $4 - 15$

Jak czytać kartkę: na górze wiersz, który zmieniasz (złoty), pod nim wiersz pomocniczy już pomnożony (turkusowy), z lewej znak operacji. Pod złotą linią liczysz kolumnami: liczba z góry minus (albo plus) liczba spod spodu. Ostatni wiersz to nowy wiersz macierzy.

Zadanie · krok po kroku

Rozwiąż układ ze szwalni

\begin{cases} x_1 + 2x_2 = 40 \\ 2x_1 + 3x_2 = 70 \end{cases}

Plan — co zrobimy i po co

Cel: jedynki po skosie, zera dookoła — wtedy wynik stoi za kreską.

Zapisujemy macierz rozszerzoną — na niej liczy się szybciej.
Kolumna 1: w lewym górnym rogu już stoi 1, więc tylko zerujemy liczbę pod nią.
Kolumna 2: robimy jedynkę w wierszu 2, potem zero nad nią.
Odczytujemy wynik i sprawdzamy go w równaniach wyjściowych.

Przy każdym kroku zobaczysz, co ta sama operacja robi z równaniami. Rachunek każdej operacji możesz odtworzyć przyciskiem „▶ Zobacz krok po kroku”.

Zapisz macierz rozszerzoną
Liczby przy $x_1$ idą do kolumny 1, przy $x_2$ — do kolumny 2, a prawe strony — za kreskę.
$[A ∣ b] =$
x₁x₂b
$1$ $2$ $40$ $2$ $3$ $70$
Dlaczego?
Na samych liczbach liczy się szybciej, a kolumna dalej mówi, której niewiadomej dotyczy liczba.
Kolumna 1: zero pod jedynką
W wierszu 2 pod jedynką stoi 2. Odejmujesz dwa razy wiersz 1: $2 - 2 \cdot 1 = 0$ .
$1$ $2$ $40$ $2$ $3$ $70$
$w_{2}^{'} = w_{2} - 2 w_{1}$
$1$ $2$ $40$ $0$ $- 1$ $- 10$
wiersz, który zmieniasz · wiersz, którego używasz (przepisujesz go bez zmian)
Rachunek na kartce
liczby same przejdą z macierzy na kartkę i z powrotem
$w_{2}^{'} = w_{2} - 2 w_{1}$
$w_{2}$ $2$ $3$ $70$
$-$ $2 \cdot w_{1}$ $2$ $1 \cdot 2$ $4$ $2 \cdot 2$ $80$ $40 \cdot 2$
$w_{2}^{'}$ $0$ $2 - 2$ $- 1$ $3 - 4$ $- 10$ $70 - 80$
Jak czytać kartkę: na górze wiersz, który zmieniasz (złoty), pod nim wiersz pomocniczy już pomnożony (turkusowy), z lewej znak operacji. Pod złotą linią liczysz kolumnami: liczba z góry minus (albo plus) liczba spod spodu. Ostatni wiersz to nowy wiersz macierzy.
1. Po lewej macierz przed krokiem. Zmieniasz wiersz 2 (złoty) za pomocą wiersza 1 (turkusowy — on się nie zmienia). Cel: zero w kolumnie 1 wiersza 2 — teraz stoi tam $2$ .
2. Zapisz na kartce wiersz 2 — ten, który zmieniasz.
3. Pod spodem zapisz wiersz 1 pomnożony przez $2$ — każdą liczbę osobno: $1 \cdot 2 = 2$ , $2 \cdot 2 = 4$ , $40 \cdot 2 = 80$ . Minus z lewej przypomina, że ten wiersz odejmujesz.
4. Kolumna 1: $2 - 2 = 0$ . To zero było celem tej operacji.
5. Kolumna 2: $3 - 4 = - 1$ . Odejmujesz więcej, niż masz: stoisz na $3$ i schodzisz o $4$ w dół: $3 \to 2 \to 1 \to 0 \to - 1$ .
6. Kolumna za kreską: $70 - 80 = - 10$ . Odejmujesz więcej, niż masz. Do zera schodzisz o $70$ , a z $80$ zostaje jeszcze $10$ — o tyle schodzisz poniżej zera. Wynik: $- 10$ .
7. Wynik spod linii to nowy wiersz 2: $(0, - 1 ∣ - 10)$ . Wstawiasz go do macierzy po prawej w miejsce starego.
8. Gotowe — tak powstała macierz po prawej. Wiersz 1 przepisujesz bez zmian.
Na równaniach: od drugiego równania odejmujesz dwa razy pierwsze. Zostaje równanie bez $x_1$ :
${x_{1} + 2 x_{2} = 40 - x_{2} = - 10$
Dlaczego?
Zero pod jedynką to niewiadoma $x_1$ usunięta z równania 2. W liczbie za kreską też odejmujesz: $70 - 2 \cdot 40 = -10$ — prawa strona należy do tego samego równania.
Kolumna 2: jedynka w wierszu 2
W wierszu 2 stoi $-1$ . Mnożysz wiersz przez $-1$ — zmieniasz znaki w całym wierszu.
$1$ $2$ $40$ $0$ $- 1$ $- 10$
$w_{2}^{'} = w_{2} \cdot (- 1)$
$1$ $2$ $40$ $0$ $1$ $10$
wiersz, który zmieniasz
Rachunek na kartce
liczby same przejdą z macierzy na kartkę i z powrotem
$w_{2}^{'} = w_{2} \cdot (- 1)$
$w_{2}$ $0$ $- 1$ $- 10$
$\cdot (- 1)$ $w_{2}^{'}$ $0$ $0 \cdot (- 1)$ $1$ $(- 1) \cdot (- 1)$ $10$ $(- 10) \cdot (- 1)$
Jak czytać kartkę: na górze wiersz, który zmieniasz, pod złotą linią ten sam wiersz po pomnożeniu — każdą liczbę mnożysz osobno.
1. Po lewej macierz przed krokiem. Mnożysz wiersz 2 przez $- 1$ — cel: jedynka w kolumnie 2 (teraz stoi tam $- 1$ ).
2. Zapisz na kartce wiersz 2 — ten, który zmieniasz.
3. Kolumna 1: $0 \cdot (- 1) = 0$ . Zero razy dowolna liczba to zero.
4. Kolumna 2: $(- 1) \cdot (- 1) = 1$ . Mnożenie przez $- 1$ zmienia tylko znak. To jest jedynka, o którą chodziło.
5. Kolumna za kreską: $(- 10) \cdot (- 1) = 10$ . Mnożenie przez $- 1$ zmienia tylko znak.
6. Wynik spod linii to nowy wiersz 2: $(0, 1 ∣ 10)$ . Wstawiasz go do macierzy po prawej w miejsce starego.
7. Gotowe — tak powstała macierz po prawej. Wiersz 1 przepisujesz bez zmian.
${x_{1} + 2 x_{2} = 40 x_{2} = 10$
Dlaczego?
Równanie $-x_2 = -10$ to to samo co $x_2 = 10$ . Mnożenie obu stron przez $-1$ nie zmienia rozwiązania.
Kolumna 2: zero nad jedynką
Nad jedynką stoi 2. Odejmujesz dwa razy wiersz 2.
$1$ $2$ $40$ $0$ $1$ $10$
$w_{1}^{'} = w_{1} - 2 w_{2}$
$1$ $0$ $20$ $0$ $1$ $10$
wiersz, który zmieniasz · wiersz, którego używasz (przepisujesz go bez zmian)
Rachunek na kartce
liczby same przejdą z macierzy na kartkę i z powrotem
$w_{1}^{'} = w_{1} - 2 w_{2}$
$w_{1}$ $1$ $2$ $40$
$-$ $2 \cdot w_{2}$ $0$ $0 \cdot 2$ $2$ $1 \cdot 2$ $20$ $10 \cdot 2$
$w_{1}^{'}$ $1$ $1 - 0$ $0$ $2 - 2$ $20$ $40 - 20$
Jak czytać kartkę: na górze wiersz, który zmieniasz (złoty), pod nim wiersz pomocniczy już pomnożony (turkusowy), z lewej znak operacji. Pod złotą linią liczysz kolumnami: liczba z góry minus (albo plus) liczba spod spodu. Ostatni wiersz to nowy wiersz macierzy.
1. Po lewej macierz przed krokiem. Zmieniasz wiersz 1 (złoty) za pomocą wiersza 2 (turkusowy — on się nie zmienia). Cel: zero w kolumnie 2 wiersza 1 — teraz stoi tam $2$ .
2. Zapisz na kartce wiersz 1 — ten, który zmieniasz.
3. Pod spodem zapisz wiersz 2 pomnożony przez $2$ — każdą liczbę osobno: $0 \cdot 2 = 0$ , $1 \cdot 2 = 2$ , $10 \cdot 2 = 20$ . Zero razy dowolna liczba to zero. Minus z lewej przypomina, że ten wiersz odejmujesz.
4. Kolumna 1: $1 - 0 = 1$ .
5. Kolumna 2: $2 - 2 = 0$ . To zero było celem tej operacji.
6. Kolumna za kreską: $40 - 20 = 20$ .
7. Wynik spod linii to nowy wiersz 1: $(1, 0 ∣ 20)$ . Wstawiasz go do macierzy po prawej w miejsce starego.
8. Gotowe — tak powstała macierz po prawej. Wiersz 2 przepisujesz bez zmian.
${x_{1} = 20 x_{2} = 10$
Dlaczego?
Zero nad jedynką usuwa $x_2$ z równania 1. Kolumny obu niewiadomych tworzą teraz macierz jednostkową — to postać bazowa.
Odczytaj wynik i sprawdź
$x_1 = 20$ , $x_2 = 10$ : 20 bluz i 10 kurtek. Sprawdzenie w równaniach wyjściowych:
$20 + 2 \cdot 10 2 \cdot 20 + 3 \cdot 10 = 40 = 70$
Oba wyniki zgadzają się z prawymi stronami (40 i 70).
Dlaczego?
Sprawdzasz w równaniach wyjściowych, a nie w postaci bazowej. Błąd w rachunku przechodzi do postaci bazowej i tam go nie zauważysz.

	$w_{2}$	$2$	$3$	$70$
$-$	$2 \cdot w_{1}$	$2$ $1 \cdot 2$	$4$ $2 \cdot 2$	$80$ $40 \cdot 2$
	$w_{2}^{'}$	$0$ $2 - 2$	$- 1$ $3 - 4$	$- 10$ $70 - 80$

	$w_{2}$	$0$	$- 1$	$- 10$
$\cdot (- 1)$	$w_{2}^{'}$	$0$ $0 \cdot (- 1)$	$1$ $(- 1) \cdot (- 1)$	$10$ $(- 10) \cdot (- 1)$

	$w_{1}$	$1$	$2$	$40$
$-$	$2 \cdot w_{2}$	$0$ $0 \cdot 2$	$2$ $1 \cdot 2$	$20$ $10 \cdot 2$
	$w_{1}^{'}$	$1$ $1 - 0$	$0$ $2 - 2$	$20$ $40 - 20$

Ten sam przepis przy trzech niewiadomych — tylko więcej kolumn:

Zadanie · krok po kroku

Rozwiąż układ trzech równań

\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 6 \\ 2x_1 + 3x_2 + x_3 = 11 \\ x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 14 \end{cases}

Plan — co zrobimy i po co

Cel: jedynki po skosie w trzech kolumnach, zera dookoła.

Kolumna 1: jedynka już stoi w wierszu 1, zerujemy liczby pod nią.
Kolumna 2: jedynka w wierszu 2 już jest po kroku 1, zerujemy liczby nad nią i pod nią.
Kolumna 3: robimy jedynkę w wierszu 3, a potem zera nad nią.
Odczytujemy wynik i sprawdzamy go.

Kolejność kolumn od lewej do prawej to po prostu najwygodniejsza droga. Inna kolejność też da ten sam wynik, ale łatwiej wtedy zepsuć zrobione już zera.

Kolumna 1: zera pod jedynką
W wierszu 2 stoi 2 — odejmujesz dwa razy wiersz 1. W wierszu 3 stoi 1 — odejmujesz wiersz 1.
$1$ $1$ $1$ $6$ $2$ $3$ $1$ $11$ $1$ $2$ $3$ $14$
$w_{2}^{'} = w_{2} - 2 w_{1}$ $w_{3}^{'} = w_{3} - w_{1}$
$1$ $1$ $1$ $6$ $0$ $1$ $- 1$ $- 1$ $0$ $1$ $2$ $8$
wiersz, który zmieniasz · wiersz, którego używasz (przepisujesz go bez zmian)
Rachunek na kartce
liczby same przejdą z macierzy na kartkę i z powrotem
$w_{2}^{'} = w_{2} - 2 w_{1}$
$w_{2}$ $2$ $3$ $1$ $11$
$-$ $2 \cdot w_{1}$ $2$ $1 \cdot 2$ $2$ $1 \cdot 2$ $2$ $1 \cdot 2$ $12$ $6 \cdot 2$
$w_{2}^{'}$ $0$ $2 - 2$ $1$ $3 - 2$ $- 1$ $1 - 2$ $- 1$ $11 - 12$
$w_{3}^{'} = w_{3} - w_{1}$
$w_{3}$ $1$ $2$ $3$ $14$
$-$ $w_{1}$ $1$ $1$ $1$ $6$
$w_{3}^{'}$ $0$ $1 - 1$ $1$ $2 - 1$ $2$ $3 - 1$ $8$ $14 - 6$
Jak czytać kartkę: na górze wiersz, który zmieniasz (złoty), pod nim wiersz pomocniczy już pomnożony (turkusowy), z lewej znak operacji. Pod złotą linią liczysz kolumnami: liczba z góry minus (albo plus) liczba spod spodu. Ostatni wiersz to nowy wiersz macierzy.
1. Po lewej macierz przed krokiem. W tym kroku są 2 operacje — liczysz je po kolei, zawsze na wierszach z macierzy po lewej. 1) Zmieniasz wiersz 2 (złoty) za pomocą wiersza 1 (turkusowy — on się nie zmienia). Cel: zero w kolumnie 1 wiersza 2 — teraz stoi tam $2$ . 2) Zmieniasz wiersz 3 (złoty) za pomocą wiersza 1 (turkusowy — on się nie zmienia). Cel: zero w kolumnie 1 wiersza 3 — teraz stoi tam $1$ .
2. Zapisz na kartce wiersz 2 — ten, który zmieniasz.
3. Pod spodem zapisz wiersz 1 pomnożony przez $2$ — każdą liczbę osobno: $1 \cdot 2 = 2$ , $1 \cdot 2 = 2$ , $1 \cdot 2 = 2$ , $6 \cdot 2 = 12$ . Minus z lewej przypomina, że ten wiersz odejmujesz.
4. Kolumna 1: $2 - 2 = 0$ . To zero było celem tej operacji.
5. Kolumna 2: $3 - 2 = 1$ .
6. Kolumna 3: $1 - 2 = - 1$ . Odejmujesz więcej, niż masz: stoisz na $1$ i schodzisz o $2$ w dół: $1 \to 0 \to - 1$ .
7. Kolumna za kreską: $11 - 12 = - 1$ . Odejmujesz więcej, niż masz. Do zera schodzisz o $11$ , a z $12$ zostaje jeszcze $1$ — o tyle schodzisz poniżej zera. Wynik: $- 1$ .
8. Wynik spod linii to nowy wiersz 2: $(0, 1, - 1 ∣ - 1)$ . Wstawiasz go do macierzy po prawej w miejsce starego.
9. Zapisz na kartce wiersz 3 — ten, który zmieniasz.
10. Pod spodem przepisz wiersz 1. Mnożysz go przez $1$ , więc liczby się nie zmieniają. Minus z lewej przypomina, że ten wiersz odejmujesz.
11. Kolumna 1: $1 - 1 = 0$ . To zero było celem tej operacji.
12. Kolumna 2: $2 - 1 = 1$ .
13. Kolumna 3: $3 - 1 = 2$ .
14. Kolumna za kreską: $14 - 6 = 8$ .
15. Wynik spod linii to nowy wiersz 3: $(0, 1, 2 ∣ 8)$ . Wstawiasz go do macierzy po prawej w miejsce starego.
16. Gotowe — tak powstała macierz po prawej. Wiersz 1 przepisujesz bez zmian.
Dlaczego?
Zera pod jedynką usuwają $x_1$ z równań 2 i 3. Obie operacje używają wiersza 1, którego nie zmieniasz, więc można je zrobić w jednym kroku.
Kolumna 2: zera nad i pod jedynką
W wierszu 2 jest już jedynka. Nad nią stoi 1, pod nią też 1 — w obu wierszach odejmujesz wiersz 2.
$1$ $1$ $1$ $6$ $0$ $1$ $- 1$ $- 1$ $0$ $1$ $2$ $8$
$w_{1}^{'} = w_{1} - w_{2}$ $w_{3}^{'} = w_{3} - w_{2}$
$1$ $0$ $2$ $7$ $0$ $1$ $- 1$ $- 1$ $0$ $0$ $3$ $9$
wiersz, który zmieniasz · wiersz, którego używasz (przepisujesz go bez zmian)
Rachunek na kartce
liczby same przejdą z macierzy na kartkę i z powrotem
$w_{1}^{'} = w_{1} - w_{2}$
$w_{1}$ $1$ $1$ $1$ $6$
$-$ $w_{2}$ $0$ $1$ $- 1$ $- 1$
$w_{1}^{'}$ $1$ $1 - 0$ $0$ $1 - 1$ $2$ $1 - (- 1)$ $7$ $6 - (- 1)$
$w_{3}^{'} = w_{3} - w_{2}$
$w_{3}$ $0$ $1$ $2$ $8$
$-$ $w_{2}$ $0$ $1$ $- 1$ $- 1$
$w_{3}^{'}$ $0$ $0 - 0$ $0$ $1 - 1$ $3$ $2 - (- 1)$ $9$ $8 - (- 1)$
Jak czytać kartkę: na górze wiersz, który zmieniasz (złoty), pod nim wiersz pomocniczy już pomnożony (turkusowy), z lewej znak operacji. Pod złotą linią liczysz kolumnami: liczba z góry minus (albo plus) liczba spod spodu. Ostatni wiersz to nowy wiersz macierzy.
1. Po lewej macierz przed krokiem. W tym kroku są 2 operacje — liczysz je po kolei, zawsze na wierszach z macierzy po lewej. 1) Zmieniasz wiersz 1 (złoty) za pomocą wiersza 2 (turkusowy — on się nie zmienia). Cel: zero w kolumnie 2 wiersza 1 — teraz stoi tam $1$ . 2) Zmieniasz wiersz 3 (złoty) za pomocą wiersza 2 (turkusowy — on się nie zmienia). Cel: zero w kolumnie 2 wiersza 3 — teraz stoi tam $1$ .
2. Zapisz na kartce wiersz 1 — ten, który zmieniasz.
3. Pod spodem przepisz wiersz 2. Mnożysz go przez $1$ , więc liczby się nie zmieniają. Minus z lewej przypomina, że ten wiersz odejmujesz.
4. Kolumna 1: $1 - 0 = 1$ .
5. Kolumna 2: $1 - 1 = 0$ . To zero było celem tej operacji.
6. Kolumna 3: $1 - (- 1) = 2$ . Odjąć liczbę ujemną to tak samo, jak dodać liczbę przeciwną: $1 - (- 1) = 1 + 1$ .
7. Kolumna za kreską: $6 - (- 1) = 7$ . Odjąć liczbę ujemną to tak samo, jak dodać liczbę przeciwną: $6 - (- 1) = 6 + 1$ .
8. Wynik spod linii to nowy wiersz 1: $(1, 0, 2 ∣ 7)$ . Wstawiasz go do macierzy po prawej w miejsce starego.
9. Zapisz na kartce wiersz 3 — ten, który zmieniasz.
10. Pod spodem przepisz wiersz 2. Mnożysz go przez $1$ , więc liczby się nie zmieniają. Minus z lewej przypomina, że ten wiersz odejmujesz.
11. Kolumna 1: $0 - 0 = 0$ .
12. Kolumna 2: $1 - 1 = 0$ . To zero było celem tej operacji.
13. Kolumna 3: $2 - (- 1) = 3$ . Odjąć liczbę ujemną to tak samo, jak dodać liczbę przeciwną: $2 - (- 1) = 2 + 1$ .
14. Kolumna za kreską: $8 - (- 1) = 9$ . Odjąć liczbę ujemną to tak samo, jak dodać liczbę przeciwną: $8 - (- 1) = 8 + 1$ .
15. Wynik spod linii to nowy wiersz 3: $(0, 0, 3 ∣ 9)$ . Wstawiasz go do macierzy po prawej w miejsce starego.
16. Gotowe — tak powstała macierz po prawej. Wiersz 2 przepisujesz bez zmian.
Dlaczego?
Jedynka w wierszu 2 pojawiła się po kroku 1 sama — nie trzeba jej robić. Zera nad nią i pod nią usuwają $x_2$ z równań 1 i 3.
Kolumna 3: jedynka w wierszu 3
W wierszu 3 stoi 3. Mnożysz wiersz przez $\frac{1}{3}$ , czyli dzielisz go przez 3.
$1$ $0$ $2$ $7$ $0$ $1$ $- 1$ $- 1$ $0$ $0$ $3$ $9$
$w_{3}^{'} = w_{3} \cdot \frac{1}{3}$
$1$ $0$ $2$ $7$ $0$ $1$ $- 1$ $- 1$ $0$ $0$ $1$ $3$
wiersz, który zmieniasz
Rachunek na kartce
liczby same przejdą z macierzy na kartkę i z powrotem
$w_{3}^{'} = w_{3} \cdot \frac{1}{3}$
$w_{3}$ $0$ $0$ $3$ $9$
$\cdot \frac{1}{3}$ $w_{3}^{'}$ $0$ $0 \cdot \frac{1}{3}$ $0$ $0 \cdot \frac{1}{3}$ $1$ $3 \cdot \frac{1}{3}$ $3$ $9 \cdot \frac{1}{3}$
Jak czytać kartkę: na górze wiersz, który zmieniasz, pod złotą linią ten sam wiersz po pomnożeniu — każdą liczbę mnożysz osobno.
1. Po lewej macierz przed krokiem. Mnożysz wiersz 3 przez $\frac{1}{3}$ — cel: jedynka w kolumnie 3 (teraz stoi tam $3$ ).
2. Zapisz na kartce wiersz 3 — ten, który zmieniasz.
3. Kolumna 1: $0 \cdot \frac{1}{3} = 0$ . Zero razy dowolna liczba to zero.
4. Kolumna 2: $0 \cdot \frac{1}{3} = 0$ . Zero razy dowolna liczba to zero.
5. Kolumna 3: $3 \cdot \frac{1}{3} = 1$ . Mnożenie przez $\frac{1}{3}$ to dzielenie przez $3$ : $3 : 3 = 1$ . To jest jedynka, o którą chodziło.
6. Kolumna za kreską: $9 \cdot \frac{1}{3} = 3$ . Mnożenie przez $\frac{1}{3}$ to dzielenie przez $3$ : $9 : 3 = 3$ .
7. Wynik spod linii to nowy wiersz 3: $(0, 0, 1 ∣ 3)$ . Wstawiasz go do macierzy po prawej w miejsce starego.
8. Gotowe — tak powstała macierz po prawej. Wiersze 1 i 2 przepisujesz bez zmian.
Dlaczego?
Wiersz 3 to równanie $3x_3 = 9$ . Po podzieleniu obu stron przez 3 wychodzi $x_3 = 3$ — rozwiązanie się nie zmienia.
Kolumna 3: zera nad jedynką
Nad jedynką stoją 2 i $-1$ . Od wiersza 1 odejmujesz dwa razy wiersz 3, do wiersza 2 dodajesz wiersz 3.
$1$ $0$ $2$ $7$ $0$ $1$ $- 1$ $- 1$ $0$ $0$ $1$ $3$
$w_{1}^{'} = w_{1} - 2 w_{3}$ $w_{2}^{'} = w_{2} + w_{3}$
$1$ $0$ $0$ $1$ $0$ $1$ $0$ $2$ $0$ $0$ $1$ $3$
wiersz, który zmieniasz · wiersz, którego używasz (przepisujesz go bez zmian)
Rachunek na kartce
liczby same przejdą z macierzy na kartkę i z powrotem
$w_{1}^{'} = w_{1} - 2 w_{3}$
$w_{1}$ $1$ $0$ $2$ $7$
$-$ $2 \cdot w_{3}$ $0$ $0 \cdot 2$ $0$ $0 \cdot 2$ $2$ $1 \cdot 2$ $6$ $3 \cdot 2$
$w_{1}^{'}$ $1$ $1 - 0$ $0$ $0 - 0$ $0$ $2 - 2$ $1$ $7 - 6$
$w_{2}^{'} = w_{2} + w_{3}$
$w_{2}$ $0$ $1$ $- 1$ $- 1$
$+$ $w_{3}$ $0$ $0$ $1$ $3$
$w_{2}^{'}$ $0$ $0 + 0$ $1$ $1 + 0$ $0$ $- 1 + 1$ $2$ $- 1 + 3$
Jak czytać kartkę: na górze wiersz, który zmieniasz (złoty), pod nim wiersz pomocniczy już pomnożony (turkusowy), z lewej znak operacji. Pod złotą linią liczysz kolumnami: liczba z góry minus (albo plus) liczba spod spodu. Ostatni wiersz to nowy wiersz macierzy.
1. Po lewej macierz przed krokiem. W tym kroku są 2 operacje — liczysz je po kolei, zawsze na wierszach z macierzy po lewej. 1) Zmieniasz wiersz 1 (złoty) za pomocą wiersza 3 (turkusowy — on się nie zmienia). Cel: zero w kolumnie 3 wiersza 1 — teraz stoi tam $2$ . 2) Zmieniasz wiersz 2 (złoty) za pomocą wiersza 3 (turkusowy — on się nie zmienia). Cel: zero w kolumnie 3 wiersza 2 — teraz stoi tam $- 1$ .
2. Zapisz na kartce wiersz 1 — ten, który zmieniasz.
3. Pod spodem zapisz wiersz 3 pomnożony przez $2$ — każdą liczbę osobno: $0 \cdot 2 = 0$ , $0 \cdot 2 = 0$ , $1 \cdot 2 = 2$ , $3 \cdot 2 = 6$ . Zero razy dowolna liczba to zero. Minus z lewej przypomina, że ten wiersz odejmujesz.
4. Kolumna 1: $1 - 0 = 1$ .
5. Kolumna 2: $0 - 0 = 0$ .
6. Kolumna 3: $2 - 2 = 0$ . To zero było celem tej operacji.
7. Kolumna za kreską: $7 - 6 = 1$ .
8. Wynik spod linii to nowy wiersz 1: $(1, 0, 0 ∣ 1)$ . Wstawiasz go do macierzy po prawej w miejsce starego.
9. Zapisz na kartce wiersz 2 — ten, który zmieniasz.
10. Pod spodem przepisz wiersz 3. Mnożysz go przez $1$ , więc liczby się nie zmieniają. Plus z lewej przypomina, że ten wiersz dodajesz.
11. Kolumna 1: $0 + 0 = 0$ .
12. Kolumna 2: $1 + 0 = 1$ .
13. Kolumna 3: $- 1 + 1 = 0$ . Stoisz na $- 1$ i idziesz o $1$ w górę: $- 1 \to 0$ . To zero było celem tej operacji.
14. Kolumna za kreską: $- 1 + 3 = 2$ . Stoisz na $- 1$ i idziesz o $3$ w górę: $- 1 \to 0 \to 1 \to 2$ .
15. Wynik spod linii to nowy wiersz 2: $(0, 1, 0 ∣ 2)$ . Wstawiasz go do macierzy po prawej w miejsce starego.
16. Gotowe — tak powstała macierz po prawej. Wiersz 3 przepisujesz bez zmian.
Dlaczego?
Obie operacje używają tej samej gotowej jedynki z wiersza 3, więc można je zrobić w jednym kroku. Wiersz 3 przepisujesz bez zmian.
Odczytaj wynik i sprawdź
$x_1 = 1$ , $x_2 = 2$ , $x_3 = 3$ — układ ma jedno rozwiązanie. Sprawdzenie:
$1 + 2 + 3 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 3 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 = 6 = 11 = 14$
Dlaczego?
Przed kreską stoi cała macierz jednostkowa, więc każdy wiersz to równanie z jedną niewiadomą: $x_1 = 1$ , $x_2 = 2$ , $x_3 = 3$ .

	$w_{2}$	$2$	$3$	$1$	$11$
$-$	$2 \cdot w_{1}$	$2$ $1 \cdot 2$	$2$ $1 \cdot 2$	$2$ $1 \cdot 2$	$12$ $6 \cdot 2$
	$w_{2}^{'}$	$0$ $2 - 2$	$1$ $3 - 2$	$- 1$ $1 - 2$	$- 1$ $11 - 12$

	$w_{3}$	$1$	$2$	$3$	$14$
$-$	$w_{1}$	$1$	$1$	$1$	$6$
	$w_{3}^{'}$	$0$ $1 - 1$	$1$ $2 - 1$	$2$ $3 - 1$	$8$ $14 - 6$

	$w_{1}$	$1$	$1$	$1$	$6$
$-$	$w_{2}$	$0$	$1$	$- 1$	$- 1$
	$w_{1}^{'}$	$1$ $1 - 0$	$0$ $1 - 1$	$2$ $1 - (- 1)$	$7$ $6 - (- 1)$

	$w_{3}$	$0$	$1$	$2$	$8$
$-$	$w_{2}$	$0$	$1$	$- 1$	$- 1$
	$w_{3}^{'}$	$0$ $0 - 0$	$0$ $1 - 1$	$3$ $2 - (- 1)$	$9$ $8 - (- 1)$

	$w_{3}$	$0$	$0$	$3$	$9$
$\cdot \frac{1}{3}$	$w_{3}^{'}$	$0$ $0 \cdot \frac{1}{3}$	$0$ $0 \cdot \frac{1}{3}$	$1$ $3 \cdot \frac{1}{3}$	$3$ $9 \cdot \frac{1}{3}$

	$w_{1}$	$1$	$0$	$2$	$7$
$-$	$2 \cdot w_{3}$	$0$ $0 \cdot 2$	$0$ $0 \cdot 2$	$2$ $1 \cdot 2$	$6$ $3 \cdot 2$
	$w_{1}^{'}$	$1$ $1 - 0$	$0$ $0 - 0$	$0$ $2 - 2$	$1$ $7 - 6$

	$w_{2}$	$0$	$1$	$- 1$	$- 1$
$+$	$w_{3}$	$0$	$0$	$1$	$3$
	$w_{2}^{'}$	$0$ $0 + 0$	$1$ $1 + 0$	$0$ $- 1 + 1$	$2$ $- 1 + 3$

Oznaczony, nieoznaczony czy sprzeczny?

Rodzaj układu odczytujesz z postaci bazowej. Każdy wiersz zamień w myślach z powrotem na równanie. Te równania to zredukowana postać układu (tak nazywają ją slajdy).

Sprzeczny. Wiersz z samymi zerami przed kreską i liczbą różną od zera za kreską. Weź układ $x_1 + 2x_2 = 3$ , $2x_1 + 4x_2 = 12$ . Pod jedynką stoi 2, więc odejmujesz dwa razy wiersz 1:

1

2

3

2

4

12

w_{2}^{'} = w_{2} - 2 w_{1}

1

2

3

0

0

6

wiersz, który zmieniasz · wiersz, którego używasz (przepisujesz go bez zmian)

Rachunek na kartce

w_{2}^{'} = w_{2} - 2 w_{1}

	$w_{2}$	$2$	$4$	$12$
$-$	$2 \cdot w_{1}$	$2$ $1 \cdot 2$	$4$ $2 \cdot 2$	$6$ $3 \cdot 2$
	$w_{2}^{'}$	$0$ $2 - 2$	$0$ $4 - 4$	$6$ $12 - 6$

Drugi wiersz zamieniasz z powrotem na równanie:

x₁x₂b

1

2

3

0

0

6

→

0 \cdot x_{1} + 0 \cdot x_{2} = 6

\Rightarrow 0 = 6

wiersz sprzeczny: przed kreską same zera, za kreską liczba różna od zera

Zero razy dowolna liczba to zero, więc lewa strona to zawsze 0 — cokolwiek wstawisz za $x_1$ i $x_2$ . Równość $0 = 6$ jest fałszywa, więc żadna para liczb nie spełnia układu. Na rysunku z prostymi to dwie proste równoległe.

Oznaczony. Każda niewiadoma ma konkretną wartość: stoi w swoim równaniu sama, jak w obu zadaniach wyżej. Na macierzy widać to tak: kolumny wszystkich niewiadomych tworzą macierz jednostkową.

x₁x₂x₃b

1

0

0

1

0

1

0

2

0

0

1

3

→

x_{1} = 1, x_{2} = 2, x_{3} = 3

kolumny macierzy jednostkowej

Nieoznaczony. Sprzecznego wiersza nie ma, ale któraś niewiadoma nie ma konkretnej wartości: w którymś równaniu stoją co najmniej dwie niewiadome. Na macierzy: kolumna tej niewiadomej nie wchodzi do macierzy jednostkowej. Na przykład układ ze slajdów po operacjach (cały rachunek — w następnej sekcji):

x₁x₂x₃b

1

0

7

8

0

1

- 5

- 3

→

{x_{1} + 7 x_{3} = 8 x_{2} - 5 x_{3} = - 3

kolumny macierzy jednostkowejkolumna poza nią — ta niewiadoma będzie parametrem

W obu równaniach jest $x_3$ . Za $x_3$ możesz wstawić dowolną liczbę i z każdą wyjdzie inne rozwiązanie.

Pułapka· Wiersz zer to nie zawsze sprzeczność

Weź układ $x_1 + 2x_2 = 3$ , $2x_1 + 4x_2 = 6$ i zrób tę samą operację co wyżej:

1

2

3

2

4

6

w_{2}^{'} = w_{2} - 2 w_{1}

1

2

3

0

0

0

wiersz, który zmieniasz · wiersz, którego używasz (przepisujesz go bez zmian)

Rachunek na kartce

w_{2}^{'} = w_{2} - 2 w_{1}

	$w_{2}$	$2$	$4$	$6$
$-$	$2 \cdot w_{1}$	$2$ $1 \cdot 2$	$4$ $2 \cdot 2$	$6$ $3 \cdot 2$
	$w_{2}^{'}$	$0$ $2 - 2$	$0$ $4 - 4$	$0$ $6 - 6$

x₁x₂b

1

2

3

0

0

0

→

0 \cdot x_{1} + 0 \cdot x_{2} = 0

\Rightarrow 0 = 0

wiersz z samych zer — także za kreską

Za kreską też jest 0, więc to równanie $0 = 0$ — prawdziwe. Skreślasz je.
Zostaje jedno równanie $x_1 + 2x_2 = 3$ z dwiema niewiadomymi. Układ jest nieoznaczony: za $x_2$ wolno wstawić dowolną liczbę, a $x_1$ wyliczysz z $x_1 = 3 - 2x_2$ . Jak zapisać to parametrem — w następnej sekcji.
Sprzeczność daje dopiero liczba różna od zera za kreską.

Granica metody — kiedy to NIE działa· Jedynka w kolumnie to jeszcze nie układ oznaczony

Weź układ $x_1 + x_2 + x_3 = 5$ , $x_2 = 2$ . Nad jedynką z kolumny 2 stoi 1, więc odejmujesz wiersz 2:

1

1

1

5

0

1

0

2

w_{1}^{'} = w_{1} - w_{2}

1

0

1

3

0

1

0

2

wiersz, który zmieniasz · wiersz, którego używasz (przepisujesz go bez zmian)

Rachunek na kartce

w_{1}^{'} = w_{1} - w_{2}

	$w_{1}$	$1$	$1$	$1$	$5$
$-$	$w_{2}$	$0$	$1$	$0$	$2$
	$w_{1}^{'}$	$1$ $1 - 0$	$0$ $1 - 1$	$1$ $1 - 0$	$3$ $5 - 2$

x₁x₂x₃b

1

0

1

3

0

1

0

2

→

{x_{1} + x_{3} = 3 x_{2} = 2

kolumny macierzy jednostkowejkolumna poza nią — ta niewiadoma będzie parametrem

Kolumna $x_3$ to $(1, 0)$ — wygląda jak kolumna jednostkowa. Ale jej jedynka stoi w wierszu 1, który ma już jedynkę z kolumny $x_1$ .
W każdym wierszu do macierzy jednostkowej liczysz tylko jedną kolumnę. Macierz jednostkową tworzą $x_1$ i $x_2$ , a $x_3$ zostaje poza nią.
W równaniu 1 stoją dwie niewiadome: $x_1 + x_3 = 3$ . Układ jest nieoznaczony — za $x_3$ wolno wstawić dowolną liczbę, a $x_1 = 3 - x_3$ .

Skąd to się bierze?· Rodzaj układu z rzędów (tego nie ma na slajdach)

Jest też drugi sposób: porównać dwie liczby, tak zwane rzędy. Na kolokwium wystarczy sposób z postaci bazowej, ale rzędy pomagają sprawdzić wynik. Obie liczby odczytujesz z postaci bazowej:

Rząd macierzy $A$ — zapis $r(A)$ , czytamy „rząd A”. Policz kolumny jednostkowe przed kreską.
Rząd macierzy rozszerzonej — zapis $r([A \mid b])$ , czytamy „rząd macierzy rozszerzonej”. Liczysz tak samo, ale kolumna za kreską też się liczy. Różnica wychodzi tylko wtedy, gdy jest wiersz z samymi zerami przed kreską i liczbą różną od zera za kreską: z tej liczby da się zrobić jeszcze jedną jedynkę, więc ten rząd jest o 1 większy.
$n$ — liczba niewiadomych.

Trzy przykłady z tego modułu:

Układ	$r(A)$	${r([A \mid b])}$	$n$	Wniosek
szwalnia	2	2	2	rzędy równe i równe liczbie niewiadomych → oznaczony
przykład sprzeczny (wyżej)	1	2	2	rzędy różne → sprzeczny
układ ze slajdów	2	2	3	rzędy równe, ale mniejsze od liczby niewiadomych → nieoznaczony

Reguła słowami:

Rzędy różne → układ sprzeczny.
Rzędy równe i równe liczbie niewiadomych → oznaczony.
Rzędy równe, ale mniejsze od liczby niewiadomych → nieoznaczony. Parametrów jest tyle, ile brakuje do liczby niewiadomych: w układzie ze slajdów $3 - 2 = 1$ .

Matematycy nazywają to twierdzeniem Kroneckera–Capellego. Nazwy nie musisz pamiętać.

Rozwiązanie ogólne układu nieoznaczonego

Układ nieoznaczony ma nieskończenie wiele rozwiązań. Nie wypiszesz ich po kolei — zapisujesz je wszystkie naraz jednym wzorem. Pomaga w tym parametr.

a \in R

Parametr

czytamy: „a należy do zbioru liczb rzeczywistych”

$a$ to dowolna liczba. Wstawiasz różne $a$ i dostajesz różne rozwiązania układu.

Jak zapamiętać: parametr to „pokrętło”: kręcisz nim i przesuwasz się po wszystkich rozwiązaniach.

Polecenie na kolokwium

„Wyznacz rozwiązanie ogólne układu”.

W postaci bazowej znajdź niewiadome, których kolumny nie wchodzą do macierzy jednostkowej. Zamieniasz je na parametry: $x_3 = a$ , $a \in \mathbb{R}$ . Gdy dwie kolumny mają jedynkę w tym samym wierszu, do macierzy jednostkowej bierzesz tylko jedną (tę bardziej na lewo), a drugą niewiadomą zamieniasz na parametr.
W każdym równaniu zostaw po lewej niewiadomą z macierzy jednostkowej. Składniki z parametrem przenieś na prawą stronę — ze zmianą znaku.
Zapisz wszystkie niewiadome: te z macierzy jednostkowej — wyrażone przez parametr, pozostałe — jako parametry $a$ (przy dwóch: $a$ i $c$ ).
Sprawdź: policz niewiadome dla $a = 0$ i dla $a = 1$ , a potem wstaw je do równań wyjściowych. Przy dwóch parametrach sprawdź np. $(a, c) = (0, 0)$ , $(1, 0)$ i $(0, 1)$ .

Zadanie · krok po kroku

Rozwiąż układ ze slajdów

układ z przykładu na slajdach

\begin{cases} 2x_1 + 3x_2 - x_3 = 7 \\ x_1 + x_2 + 2x_3 = 5 \end{cases}

Plan — co zrobimy i po co

Cel: tyle jedynek po skosie, ile się da. Równania są dwa, więc jedynki będą najwyżej dwie — trzecia niewiadoma zostanie parametrem.

Zamieniamy wiersze, żeby w lewym górnym rogu stała jedynka.
Zerujemy liczbę pod tą jedynką.
W kolumnie 2 jedynka już stoi, więc zerujemy liczbę nad nią.
Kolumna 3 zostaje bez jedynki — wolnych wierszy już nie ma. $x_3$ staje się parametrem i zapisujemy rozwiązanie ogólne.
Sprawdzamy dla dwóch wartości parametru.

Jedynka w lewym górnym rogu
W wierszu 2 na początku stoi 1. Zamieniasz wiersze miejscami.
$2$ $3$ $- 1$ $7$ $1$ $1$ $2$ $5$
$w_{1} \leftrightarrow w_{2}$
$1$ $1$ $2$ $5$ $2$ $3$ $- 1$ $7$
wiersze, które zamieniasz miejscami
Rachunek na kartce
liczby same przejdą z macierzy na kartkę i z powrotem
Zamiana wierszy: liczby zostają te same, zmienia się tylko kolejność wierszy.
1. Po lewej macierz przed krokiem. Zamieniasz miejscami wiersze 1 i 2.
2. Wiersze 1 i 2 zamieniają się miejscami. Liczby w nich zostają te same — zmienia się tylko kolejność wierszy.
3. Gotowe — tak powstała macierz po prawej.
Inny sposób
Można też pomnożyć wiersz 1 przez $\frac{1}{2}$ . Jedynka też by wyszła, ale razem z ułamkami: $\frac{3}{2}$ , $-\frac{1}{2}$ , $\frac{7}{2}$ . Zamiana jest wygodniejsza, bo w wierszu 2 jedynka już stoi.
Zero pod jedynką
Pod jedynką stoi 2 — odejmujesz dwa razy wiersz 1: $2 - 2 \cdot 1 = 0$ .
$1$ $1$ $2$ $5$ $2$ $3$ $- 1$ $7$
$w_{2}^{'} = w_{2} - 2 w_{1}$
$1$ $1$ $2$ $5$ $0$ $1$ $- 5$ $- 3$
wiersz, który zmieniasz · wiersz, którego używasz (przepisujesz go bez zmian)
Rachunek na kartce
liczby same przejdą z macierzy na kartkę i z powrotem
$w_{2}^{'} = w_{2} - 2 w_{1}$
$w_{2}$ $2$ $3$ $- 1$ $7$
$-$ $2 \cdot w_{1}$ $2$ $1 \cdot 2$ $2$ $1 \cdot 2$ $4$ $2 \cdot 2$ $10$ $5 \cdot 2$
$w_{2}^{'}$ $0$ $2 - 2$ $1$ $3 - 2$ $- 5$ $- 1 - 4$ $- 3$ $7 - 10$
Jak czytać kartkę: na górze wiersz, który zmieniasz (złoty), pod nim wiersz pomocniczy już pomnożony (turkusowy), z lewej znak operacji. Pod złotą linią liczysz kolumnami: liczba z góry minus (albo plus) liczba spod spodu. Ostatni wiersz to nowy wiersz macierzy.
1. Po lewej macierz przed krokiem. Zmieniasz wiersz 2 (złoty) za pomocą wiersza 1 (turkusowy — on się nie zmienia). Cel: zero w kolumnie 1 wiersza 2 — teraz stoi tam $2$ .
2. Zapisz na kartce wiersz 2 — ten, który zmieniasz.
3. Pod spodem zapisz wiersz 1 pomnożony przez $2$ — każdą liczbę osobno: $1 \cdot 2 = 2$ , $1 \cdot 2 = 2$ , $2 \cdot 2 = 4$ , $5 \cdot 2 = 10$ . Minus z lewej przypomina, że ten wiersz odejmujesz.
4. Kolumna 1: $2 - 2 = 0$ . To zero było celem tej operacji.
5. Kolumna 2: $3 - 2 = 1$ .
6. Kolumna 3: $- 1 - 4 = - 5$ . Jesteś już poniżej zera i schodzisz jeszcze niżej: $- 1 \to - 2 \to - 3 \to - 4 \to - 5$ .
7. Kolumna za kreską: $7 - 10 = - 3$ . Odejmujesz więcej, niż masz. Do zera schodzisz o $7$ , a z $10$ zostaje jeszcze $3$ — o tyle schodzisz poniżej zera. Wynik: $- 3$ .
8. Wynik spod linii to nowy wiersz 2: $(0, 1, - 5 ∣ - 3)$ . Wstawiasz go do macierzy po prawej w miejsce starego.
9. Gotowe — tak powstała macierz po prawej. Wiersz 1 przepisujesz bez zmian.
Dlaczego?
Zero pod jedynką usuwa $x_1$ z równania 2. Przy okazji w wierszu 2, w kolumnie 2, wyszła jedynka — w następnym kroku nie trzeba jej robić.
Zero nad jedynką w kolumnie 2
Nad jedynką w kolumnie 2 stoi 1 — odejmujesz wiersz 2.
$1$ $1$ $2$ $5$ $0$ $1$ $- 5$ $- 3$
$w_{1}^{'} = w_{1} - w_{2}$
$1$ $0$ $7$ $8$ $0$ $1$ $- 5$ $- 3$
wiersz, który zmieniasz · wiersz, którego używasz (przepisujesz go bez zmian)
Rachunek na kartce
liczby same przejdą z macierzy na kartkę i z powrotem
$w_{1}^{'} = w_{1} - w_{2}$
$w_{1}$ $1$ $1$ $2$ $5$
$-$ $w_{2}$ $0$ $1$ $- 5$ $- 3$
$w_{1}^{'}$ $1$ $1 - 0$ $0$ $1 - 1$ $7$ $2 - (- 5)$ $8$ $5 - (- 3)$
Jak czytać kartkę: na górze wiersz, który zmieniasz (złoty), pod nim wiersz pomocniczy już pomnożony (turkusowy), z lewej znak operacji. Pod złotą linią liczysz kolumnami: liczba z góry minus (albo plus) liczba spod spodu. Ostatni wiersz to nowy wiersz macierzy.
1. Po lewej macierz przed krokiem. Zmieniasz wiersz 1 (złoty) za pomocą wiersza 2 (turkusowy — on się nie zmienia). Cel: zero w kolumnie 2 wiersza 1 — teraz stoi tam $1$ .
2. Zapisz na kartce wiersz 1 — ten, który zmieniasz.
3. Pod spodem przepisz wiersz 2. Mnożysz go przez $1$ , więc liczby się nie zmieniają. Minus z lewej przypomina, że ten wiersz odejmujesz.
4. Kolumna 1: $1 - 0 = 1$ .
5. Kolumna 2: $1 - 1 = 0$ . To zero było celem tej operacji.
6. Kolumna 3: $2 - (- 5) = 7$ . Odjąć liczbę ujemną to tak samo, jak dodać liczbę przeciwną: $2 - (- 5) = 2 + 5$ .
7. Kolumna za kreską: $5 - (- 3) = 8$ . Odjąć liczbę ujemną to tak samo, jak dodać liczbę przeciwną: $5 - (- 3) = 5 + 3$ .
8. Wynik spod linii to nowy wiersz 1: $(1, 0, 7 ∣ 8)$ . Wstawiasz go do macierzy po prawej w miejsce starego.
9. Gotowe — tak powstała macierz po prawej. Wiersz 2 przepisujesz bez zmian.
Dlaczego?
Zero nad jedynką usuwa $x_2$ z równania 1. Teraz $x_1$ jest tylko w równaniu 1, a $x_2$ — tylko w równaniu 2.
Postać bazowa jest gotowa. Wolnych wierszy już nie ma, więc kolumna 3 zostaje bez jedynki:
x₁x₂x₃b
$1$ $0$ $7$ $8$ $0$ $1$ $- 5$ $- 3$
→ ${x_{1} + 7 x_{3} = 8 x_{2} - 5 x_{3} = - 3$
kolumny macierzy jednostkowejkolumna poza nią — ta niewiadoma będzie parametrem
Odczytaj rozwiązanie ogólne
Kolumna $x_3$ nie wchodzi do macierzy jednostkowej, więc $x_3$ zostaje parametrem: $x_3 = a$ . Teraz każdy wiersz po kolei zamieniasz na równanie:
Parametr: $x_{3} = a$ — kolumna tej niewiadomej nie wchodzi do macierzy jednostkowej. Zapis $a \in R$ znaczy: za $a$ wolno wstawić dowolną liczbę.
Wiersz 1
1. $1 \cdot x_{1} + 0 \cdot x_{2} + 7 \cdot x_{3} = 8$ Wiersz 1 zamieniasz z powrotem na równanie: liczba z kolumny razy niewiadoma tej kolumny.
2. $x_{1} + 7 x_{3} = 8$ $0 \cdot x_{2}$ to zero — znika; $1 \cdot x_{1}$ zapisujesz krócej: $x_{1}$ .
3. $x_{1} + 7 a = 8$ Za $x_{3}$ wstawiasz $a$ .
4. $x_{1} = 8 - 7 a$ Składnik $+ 7 a$ przenosisz na prawą stronę — zmienia znak na $- 7 a$ .
Wiersz 2
1. $0 \cdot x_{1} + 1 \cdot x_{2} - 5 \cdot x_{3} = - 3$ Wiersz 2 zamieniasz z powrotem na równanie: liczba z kolumny razy niewiadoma tej kolumny.
2. $x_{2} - 5 x_{3} = - 3$ $0 \cdot x_{1}$ to zero — znika; $1 \cdot x_{2}$ zapisujesz krócej: $x_{2}$ .
3. $x_{2} - 5 a = - 3$ Za $x_{3}$ wstawiasz $a$ .
4. $x_{2} = - 3 + 5 a$ Składnik $- 5 a$ przenosisz na prawą stronę — zmienia znak na $+ 5 a$ .
Rozwiązanie ogólne:
$⎩ ⎨ ⎧ x_{1} = 8 - 7 a x_{2} = - 3 + 5 a x_{3} = a$ $a \in R$
Bo tak — umowa
Parametrem robisz niewiadomą, której kolumna nie wchodzi do macierzy jednostkowej. Tak się to robi na zajęciach. Wtedy w każdym równaniu zostaje jedna niewiadoma z macierzy jednostkowej, a reszta składników zawiera tylko parametr — wystarczy przenieść je na prawą stronę.
Sprawdź dla dwóch wartości a
Za $a$ wstawiasz najpierw 0, potem 1. Każdy wzór liczysz osobno.
Dla $a = 0$ :
$x_{1} x_{2} x_{3} = 8 - 7 \cdot 0 = 8 = - 3 + 5 \cdot 0 = - 3 = a = 0$
Dla $a = 1$ :
$x_{1} x_{2} x_{3} = 8 - 7 \cdot 1 = 1 = - 3 + 5 \cdot 1 = 2 = a = 1$
Obie trójki wstawiasz do równań wyjściowych:
$2 \cdot 8 + 3 \cdot (- 3) - 0 8 + (- 3) + 2 \cdot 0 = 7 = 5$
$2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 - 1 1 + 2 + 2 \cdot 1 = 7 = 5$
Wyniki zgadzają się z prawymi stronami (7 i 5), więc obie trójki spełniają układ. Każde inne $a$ też da rozwiązanie — stąd „nieskończenie wiele”.

	$w_{2}$	$2$	$3$	$- 1$	$7$
$-$	$2 \cdot w_{1}$	$2$ $1 \cdot 2$	$2$ $1 \cdot 2$	$4$ $2 \cdot 2$	$10$ $5 \cdot 2$
	$w_{2}^{'}$	$0$ $2 - 2$	$1$ $3 - 2$	$- 5$ $- 1 - 4$	$- 3$ $7 - 10$

	$w_{1}$	$1$	$1$	$2$	$5$
$-$	$w_{2}$	$0$	$1$	$- 5$	$- 3$
	$w_{1}^{'}$	$1$ $1 - 0$	$0$ $1 - 1$	$7$ $2 - (- 5)$	$8$ $5 - (- 3)$

Zadanie · krok po kroku

Układ z dwoma parametrami

Wyznacz rozwiązanie ogólne układu:

\begin{cases} x_1 - x_2 + 2x_3 - x_4 = 1 \\ 2x_1 - 2x_2 + 5x_3 + x_4 = 4 \end{cases}

Plan — co zrobimy i po co

Cel: tyle jedynek po skosie, ile się da. Równania są dwa, więc jedynki będą najwyżej dwie, a niewiadome są cztery — dwie zostaną parametrami.

Kolumna 1: jedynka już stoi, zerujemy liczbę pod nią.
Kolumna 2: sprawdzamy, czy da się zrobić jedynkę. Tu się nie da, więc idziemy dalej.
Kolumna 3: jedynka pojawi się sama, zerujemy liczbę nad nią.
Odczytujemy rozwiązanie ogólne z dwoma parametrami i sprawdzamy je.

Zapisz macierz rozszerzoną
Cztery niewiadome to cztery kolumny przed kreską. Prawe strony idą za kreskę.
x₁x₂x₃x₄b
$1$ $- 1$ $2$ $- 1$ $1$ $2$ $- 2$ $5$ $1$ $4$
Kolumna 1: zero pod jedynką
W wierszu 1 na początku już stoi 1. Pod nią, w wierszu 2, stoi 2 — odejmujesz dwa razy wiersz 1: $2 - 2 \cdot 1 = 0$ .
$1$ $- 1$ $2$ $- 1$ $1$ $2$ $- 2$ $5$ $1$ $4$
$w_{2}^{'} = w_{2} - 2 w_{1}$
$1$ $- 1$ $2$ $- 1$ $1$ $0$ $0$ $1$ $3$ $2$
wiersz, który zmieniasz · wiersz, którego używasz (przepisujesz go bez zmian)
Rachunek na kartce
liczby same przejdą z macierzy na kartkę i z powrotem
$w_{2}^{'} = w_{2} - 2 w_{1}$
$w_{2}$ $2$ $- 2$ $5$ $1$ $4$
$-$ $2 \cdot w_{1}$ $2$ $1 \cdot 2$ $- 2$ $(- 1) \cdot 2$ $4$ $2 \cdot 2$ $- 2$ $(- 1) \cdot 2$ $2$ $1 \cdot 2$
$w_{2}^{'}$ $0$ $2 - 2$ $0$ $- 2 - (- 2)$ $1$ $5 - 4$ $3$ $1 - (- 2)$ $2$ $4 - 2$
Jak czytać kartkę: na górze wiersz, który zmieniasz (złoty), pod nim wiersz pomocniczy już pomnożony (turkusowy), z lewej znak operacji. Pod złotą linią liczysz kolumnami: liczba z góry minus (albo plus) liczba spod spodu. Ostatni wiersz to nowy wiersz macierzy.
1. Po lewej macierz przed krokiem. Zmieniasz wiersz 2 (złoty) za pomocą wiersza 1 (turkusowy — on się nie zmienia). Cel: zero w kolumnie 1 wiersza 2 — teraz stoi tam $2$ .
2. Zapisz na kartce wiersz 2 — ten, który zmieniasz.
3. Pod spodem zapisz wiersz 1 pomnożony przez $2$ — każdą liczbę osobno: $1 \cdot 2 = 2$ , $(- 1) \cdot 2 = - 2$ , $2 \cdot 2 = 4$ , $(- 1) \cdot 2 = - 2$ , $1 \cdot 2 = 2$ . Minus razy plus daje minus. Minus z lewej przypomina, że ten wiersz odejmujesz.
4. Kolumna 1: $2 - 2 = 0$ . To zero było celem tej operacji.
5. Kolumna 2: $- 2 - (- 2) = 0$ . Odjąć liczbę ujemną to tak samo, jak dodać liczbę przeciwną: $- 2 - (- 2) = - 2 + 2$ . Stoisz na $- 2$ i idziesz o $2$ w górę: $- 2 \to - 1 \to 0$ .
6. Kolumna 3: $5 - 4 = 1$ .
7. Kolumna 4: $1 - (- 2) = 3$ . Odjąć liczbę ujemną to tak samo, jak dodać liczbę przeciwną: $1 - (- 2) = 1 + 2$ .
8. Kolumna za kreską: $4 - 2 = 2$ .
9. Wynik spod linii to nowy wiersz 2: $(0, 0, 1, 3 ∣ 2)$ . Wstawiasz go do macierzy po prawej w miejsce starego.
10. Gotowe — tak powstała macierz po prawej. Wiersz 1 przepisujesz bez zmian.
Dlaczego?
Zero pod jedynką usuwa $x_1$ z równania 2. Przy okazji zero wyszło też w kolumnie 2: $-2 - (-2) = 0$ .
Kolumna 2: tu jedynki nie zrobisz
Wiersz 1 ma już swoją jedynkę (z kolumny 1). Wolny został tylko wiersz 2, a w nim w kolumnie 2 stoi 0:
x₁x₂x₃x₄b
$1$ $- 1$ $2$ $- 1$ $1$ $0$ $0$ $1$ $3$ $2$
tu potrzebna byłaby jedynka, a stoi 0
Z zera jedynki nie zrobisz — zero razy dowolna liczba to wciąż zero. Kolumnę 2 zostawiasz bez jedynki i przechodzisz do kolumny 3.
Dlaczego?
Tak mówi przepis: gdy w wolnych wierszach kolumny są same zera, przechodzisz do kolejnej kolumny. Niewiadoma $x_2$ nie dostanie jedynki, więc będzie parametrem.
Kolumna 3: zero nad jedynką
W wierszu 2, w kolumnie 3, już stoi 1 — jedynki nie trzeba robić. Nad nią, w wierszu 1, stoi 2 — odejmujesz dwa razy wiersz 2: $2 - 2 \cdot 1 = 0$ .
$1$ $- 1$ $2$ $- 1$ $1$ $0$ $0$ $1$ $3$ $2$
$w_{1}^{'} = w_{1} - 2 w_{2}$
$1$ $- 1$ $0$ $- 7$ $- 3$ $0$ $0$ $1$ $3$ $2$
wiersz, który zmieniasz · wiersz, którego używasz (przepisujesz go bez zmian)
Rachunek na kartce
liczby same przejdą z macierzy na kartkę i z powrotem
$w_{1}^{'} = w_{1} - 2 w_{2}$
$w_{1}$ $1$ $- 1$ $2$ $- 1$ $1$
$-$ $2 \cdot w_{2}$ $0$ $0 \cdot 2$ $0$ $0 \cdot 2$ $2$ $1 \cdot 2$ $6$ $3 \cdot 2$ $4$ $2 \cdot 2$
$w_{1}^{'}$ $1$ $1 - 0$ $- 1$ $- 1 - 0$ $0$ $2 - 2$ $- 7$ $- 1 - 6$ $- 3$ $1 - 4$
Jak czytać kartkę: na górze wiersz, który zmieniasz (złoty), pod nim wiersz pomocniczy już pomnożony (turkusowy), z lewej znak operacji. Pod złotą linią liczysz kolumnami: liczba z góry minus (albo plus) liczba spod spodu. Ostatni wiersz to nowy wiersz macierzy.
1. Po lewej macierz przed krokiem. Zmieniasz wiersz 1 (złoty) za pomocą wiersza 2 (turkusowy — on się nie zmienia). Cel: zero w kolumnie 3 wiersza 1 — teraz stoi tam $2$ .
2. Zapisz na kartce wiersz 1 — ten, który zmieniasz.
3. Pod spodem zapisz wiersz 2 pomnożony przez $2$ — każdą liczbę osobno: $0 \cdot 2 = 0$ , $0 \cdot 2 = 0$ , $1 \cdot 2 = 2$ , $3 \cdot 2 = 6$ , $2 \cdot 2 = 4$ . Zero razy dowolna liczba to zero. Minus z lewej przypomina, że ten wiersz odejmujesz.
4. Kolumna 1: $1 - 0 = 1$ .
5. Kolumna 2: $- 1 - 0 = - 1$ .
6. Kolumna 3: $2 - 2 = 0$ . To zero było celem tej operacji.
7. Kolumna 4: $- 1 - 6 = - 7$ . Jesteś już poniżej zera ( $- 1$ ) i schodzisz o $6$ niżej: $1 + 6 = 7$ , więc wynik to $- 7$ .
8. Kolumna za kreską: $1 - 4 = - 3$ . Odejmujesz więcej, niż masz: stoisz na $1$ i schodzisz o $4$ w dół: $1 \to 0 \to - 1 \to - 2 \to - 3$ .
9. Wynik spod linii to nowy wiersz 1: $(1, - 1, 0, - 7 ∣ - 3)$ . Wstawiasz go do macierzy po prawej w miejsce starego.
10. Gotowe — tak powstała macierz po prawej. Wiersz 2 przepisujesz bez zmian.
Dlaczego?
Zero nad jedynką usuwa $x_3$ z równania 1. Teraz oba wiersze mają swoje jedynki (z kolumn 1 i 3). Wolnych wierszy już nie ma, więc kolumna 4 zostaje bez jedynki — to koniec operacji.
Które niewiadome będą parametrami
x₁x₂x₃x₄b
$1$ $- 1$ $0$ $- 7$ $- 3$ $0$ $0$ $1$ $3$ $2$
→ ${x_{1} - x_{2} - 7 x_{4} = - 3 x_{3} + 3 x_{4} = 2$
kolumny macierzy jednostkowejkolumny poza nią — te niewiadome będą parametrami
Macierz jednostkową tworzą kolumny $x_1$ i $x_3$ — nie muszą stać obok siebie. Poza nią zostały $x_2$ i $x_4$ : to dwa parametry, $x_2 = a$ i $x_4 = c$ .
Bo tak — umowa
Parametry oznaczamy po kolei od lewej: $a$ , potem $c$ . Litery $b$ nie bierzemy, bo jest już zajęta przez wektor wyrazów wolnych.
Odczytaj rozwiązanie ogólne
Parametry: $x_{2} = a$ i $x_{4} = c$ — kolumny tych niewiadomych nie wchodzą do macierzy jednostkowej. Zapis $a \in R, c \in R$ znaczy: za $a$ i za $c$ wolno wstawić dowolne liczby.
Wiersz 1
1. $1 \cdot x_{1} - 1 \cdot x_{2} + 0 \cdot x_{3} - 7 \cdot x_{4} = - 3$ Wiersz 1 zamieniasz z powrotem na równanie: liczba z kolumny razy niewiadoma tej kolumny.
2. $x_{1} - x_{2} - 7 x_{4} = - 3$ $0 \cdot x_{3}$ to zero — znika; $1 \cdot x_{1}$ i $- 1 \cdot x_{2}$ zapisujesz krócej: $x_{1}$ i $- x_{2}$ .
3. $x_{1} - a - 7 c = - 3$ Za $x_{2}$ i $x_{4}$ wstawiasz $a$ i $c$ .
4. $x_{1} = - 3 + a + 7 c$ Składniki $- a$ i $- 7 c$ przenosisz na prawą stronę — zmieniają znaki: $+ a$ i $+ 7 c$ .
Wiersz 2
1. $0 \cdot x_{1} + 0 \cdot x_{2} + 1 \cdot x_{3} + 3 \cdot x_{4} = 2$ Wiersz 2 zamieniasz z powrotem na równanie: liczba z kolumny razy niewiadoma tej kolumny.
2. $x_{3} + 3 x_{4} = 2$ $0 \cdot x_{1}$ i $0 \cdot x_{2}$ to zera — znikają; $1 \cdot x_{3}$ zapisujesz krócej: $x_{3}$ .
3. $x_{3} + 3 c = 2$ Za $x_{4}$ wstawiasz $c$ .
4. $x_{3} = 2 - 3 c$ Składnik $+ 3 c$ przenosisz na prawą stronę — zmienia znak na $- 3 c$ .
Rozwiązanie ogólne:
$⎩ ⎨ ⎧ x_{1} = - 3 + a + 7 c x_{2} = a x_{3} = 2 - 3 c x_{4} = c$ $a \in R, c \in R$
Sprawdź — każdy parametr osobno
Przy dwóch parametrach sprawdzasz trzy zestawy: najpierw oba zera, potem $a = 1$ , potem $c = 1$ .
Dla $(a, c) = (0, 0)$ :
$x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} = - 3 + 0 + 7 \cdot 0 = - 3 = a = 0 = 2 - 3 \cdot 0 = 2 = c = 0$
$(- 3) - 0 + 2 \cdot 2 - 0 2 \cdot (- 3) - 2 \cdot 0 + 5 \cdot 2 + 0 = 1 = 4$
Dla $(a, c) = (1, 0)$ :
$x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} = - 3 + 1 + 7 \cdot 0 = - 2 = a = 1 = 2 - 3 \cdot 0 = 2 = c = 0$
$(- 2) - 1 + 2 \cdot 2 - 0 2 \cdot (- 2) - 2 \cdot 1 + 5 \cdot 2 + 0 = 1 = 4$
Dla $(a, c) = (0, 1)$ :
$x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} = - 3 + 0 + 7 \cdot 1 = 4 = a = 0 = 2 - 3 \cdot 1 = - 1 = c = 1$
$4 - 0 + 2 \cdot (- 1) - 1 2 \cdot 4 - 2 \cdot 0 + 5 \cdot (- 1) + 1 = 1 = 4$
We wszystkich trzech zestawach wychodzą prawe strony 1 i 4.
Dlaczego?
Jedno sprawdzenie nie wystarczy: gdy $c = 0$ , błąd przy $c$ się nie ujawni. Dlatego każdy parametr dostaje osobno jedynkę.

	$w_{2}$	$2$	$- 2$	$5$	$1$	$4$
$-$	$2 \cdot w_{1}$	$2$ $1 \cdot 2$	$- 2$ $(- 1) \cdot 2$	$4$ $2 \cdot 2$	$- 2$ $(- 1) \cdot 2$	$2$ $1 \cdot 2$
	$w_{2}^{'}$	$0$ $2 - 2$	$0$ $- 2 - (- 2)$	$1$ $5 - 4$	$3$ $1 - (- 2)$	$2$ $4 - 2$

	$w_{1}$	$1$	$- 1$	$2$	$- 1$	$1$
$-$	$2 \cdot w_{2}$	$0$ $0 \cdot 2$	$0$ $0 \cdot 2$	$2$ $1 \cdot 2$	$6$ $3 \cdot 2$	$4$ $2 \cdot 2$
	$w_{1}^{'}$	$1$ $1 - 0$	$- 1$ $- 1 - 0$	$0$ $2 - 2$	$- 7$ $- 1 - 6$	$- 3$ $1 - 4$

Rozwiązania bazowe

Rozwiązanie ogólne zawiera nieskończenie wiele rozwiązań. Spośród nich wybiera się kilka szczególnych — takie, w których niewiadome spoza wybranego zestawu są zerami. Zerujesz tyle niewiadomych, ile jest parametrów.

r (A)

Rząd macierzy układu

czytamy: „rząd A”

Stopień macierzy jednostkowej w postaci bazowej, czyli liczba kolumn jednostkowych (każda z jedynką w innym wierszu). Tyle niewiadomych liczy każda baza.

Jak zapamiętać: ile kolumn ma macierz jednostkowa, tyle niewiadomych w bazie.

B^{(1)} = {x_{1}, x_{2}}

Baza

czytamy: „be jeden”

Zestaw niewiadomych bazowych. Numer w nawiasie u góry to numer bazy, nie potęga.

Jak zapamiętać: B jak „baza”, nawias u góry = „która z kolei”.

X^{(1)} = (34, - 12, 0)

Rozwiązanie bazowe

czytamy: „duże iks jeden”

Cały wektor wartości niewiadomych dla bazy $B^{(1)}$ — razem z zerami.

Jak zapamiętać: X z tym samym numerem co baza.

W szwalni z trzema produktami rozwiązanie bazowe to rozwiązanie, w którym jeden z produktów ma zero. Jeśli nie ma w nim liczb ujemnych, jest to plan, w którym szyjesz najwyżej dwa rodzaje produktów — tyle, ile masz zasobów (godziny i materiał).

Polecenie na kolokwium

„Wyznacz rozwiązania bazowe układu”.

Sprowadź macierz rozszerzoną do postaci bazowej i policz $r(A)$ — liczbę kolumn jednostkowych.
Sprawdź, czy któraś niewiadoma stoi w równaniu sama (przed kreską w wierszu jest tylko jej jedynka). Jej wartość jest ustalona, więc musi być w każdej bazie.
Wypisz zestawy po $r(A)$ niewiadomych (na zajęciach: kombinacje). Jeśli w kroku 2 znalazła się niewiadoma, która stoi sama, bierz tylko zestawy z nią. Jeśli takiej nie ma — bierz wszystkie, np. przy 3 niewiadomych i $r(A) = 2$ : $\{x_1, x_2\}$ , $\{x_1, x_3\}$ , $\{x_2, x_3\}$ .
Dla każdego zestawu: niewiadome spoza zestawu $= 0$ . Z równań postaci bazowej policz niewiadome z zestawu.
Zapisz wynik jako cały wektor: $X^{(1)} = (x_1, x_2, x_3)$ .
Jeśli po wstawieniu zer wychodzi sprzeczność (np. $0 = 2$ ) albo niewiadomych z zestawu nie da się policzyć jednoznacznie (zostaje np. jedno równanie $x_3 + x_4 = 1$ ), to ten zestaw nie jest bazą — pomiń go.

Zadanie · krok po kroku

Rozwiązanie ogólne i rozwiązania bazowe

Zad. 1, str. 100, f)

Rozwiąż układ. Jeśli jest nieoznaczony, wyznacz rozwiązanie ogólne i wszystkie rozwiązania bazowe.

\begin{cases} x_1 + 2x_2 - 7x_3 = 10 \\ 3x_1 + 8x_2 + 5x_3 = 6 \end{cases}

Plan — co zrobimy i po co

Sprowadzamy macierz rozszerzoną do postaci bazowej — dopiero z niej widać rodzaj układu.
Odczytujemy rodzaj: dwa równania i trzy niewiadome, więc oznaczony nie będzie.
Zapisujemy rozwiązanie ogólne z parametrem.
Liczymy $r(A)$ i wypisujemy zestawy zmiennych bazowych.
Dla każdego zestawu liczymy rozwiązanie bazowe.

Rozwiązania bazowe liczymy z postaci bazowej, a nie z układu wyjściowego. Z wyjściowego też wyjdą, ale rachunek jest dłuższy.

Postać bazowa
Kolumna 1: w wierszu 2 pod jedynką stoi 3 — odejmujesz trzy razy wiersz 1: $3 - 3 \cdot 1 = 0$ .
$1$ $2$ $- 7$ $10$ $3$ $8$ $5$ $6$
$w_{2}^{'} = w_{2} - 3 w_{1}$
$1$ $2$ $- 7$ $10$ $0$ $2$ $26$ $- 24$
wiersz, który zmieniasz · wiersz, którego używasz (przepisujesz go bez zmian)
Rachunek na kartce
liczby same przejdą z macierzy na kartkę i z powrotem
$w_{2}^{'} = w_{2} - 3 w_{1}$
$w_{2}$ $3$ $8$ $5$ $6$
$-$ $3 \cdot w_{1}$ $3$ $1 \cdot 3$ $6$ $2 \cdot 3$ $- 21$ $(- 7) \cdot 3$ $30$ $10 \cdot 3$
$w_{2}^{'}$ $0$ $3 - 3$ $2$ $8 - 6$ $26$ $5 - (- 21)$ $- 24$ $6 - 30$
Jak czytać kartkę: na górze wiersz, który zmieniasz (złoty), pod nim wiersz pomocniczy już pomnożony (turkusowy), z lewej znak operacji. Pod złotą linią liczysz kolumnami: liczba z góry minus (albo plus) liczba spod spodu. Ostatni wiersz to nowy wiersz macierzy.
1. Po lewej macierz przed krokiem. Zmieniasz wiersz 2 (złoty) za pomocą wiersza 1 (turkusowy — on się nie zmienia). Cel: zero w kolumnie 1 wiersza 2 — teraz stoi tam $3$ .
2. Zapisz na kartce wiersz 2 — ten, który zmieniasz.
3. Pod spodem zapisz wiersz 1 pomnożony przez $3$ — każdą liczbę osobno: $1 \cdot 3 = 3$ , $2 \cdot 3 = 6$ , $(- 7) \cdot 3 = - 21$ , $10 \cdot 3 = 30$ . Minus razy plus daje minus. Minus z lewej przypomina, że ten wiersz odejmujesz.
4. Kolumna 1: $3 - 3 = 0$ . To zero było celem tej operacji.
5. Kolumna 2: $8 - 6 = 2$ .
6. Kolumna 3: $5 - (- 21) = 26$ . Odjąć liczbę ujemną to tak samo, jak dodać liczbę przeciwną: $5 - (- 21) = 5 + 21$ .
7. Kolumna za kreską: $6 - 30 = - 24$ . Odejmujesz więcej, niż masz. Do zera schodzisz o $6$ , a z $30$ zostaje jeszcze $24$ — o tyle schodzisz poniżej zera. Wynik: $- 24$ .
8. Wynik spod linii to nowy wiersz 2: $(0, 2, 26 ∣ - 24)$ . Wstawiasz go do macierzy po prawej w miejsce starego.
9. Gotowe — tak powstała macierz po prawej. Wiersz 1 przepisujesz bez zmian.
Kolumna 2: w wierszu 1 stoi 2 i w wierszu 2 też 2. Od wiersza 1 odejmujesz wiersz 2, a wiersz 2 dzielisz przez 2 — oba ruchy w jednym kroku.
$1$ $2$ $- 7$ $10$ $0$ $2$ $26$ $- 24$
$w_{1}^{'} = w_{1} - w_{2}$ $w_{2}^{'} = w_{2} \cdot \frac{1}{2}$
$1$ $0$ $- 33$ $34$ $0$ $1$ $13$ $- 12$
wiersz, który zmieniasz
Rachunek na kartce
liczby same przejdą z macierzy na kartkę i z powrotem
$w_{1}^{'} = w_{1} - w_{2}$
$w_{1}$ $1$ $2$ $- 7$ $10$
$-$ $w_{2}$ $0$ $2$ $26$ $- 24$
$w_{1}^{'}$ $1$ $1 - 0$ $0$ $2 - 2$ $- 33$ $- 7 - 26$ $34$ $10 - (- 24)$
$w_{2}^{'} = w_{2} \cdot \frac{1}{2}$
$w_{2}$ $0$ $2$ $26$ $- 24$
$\cdot \frac{1}{2}$ $w_{2}^{'}$ $0$ $0 \cdot \frac{1}{2}$ $1$ $2 \cdot \frac{1}{2}$ $13$ $26 \cdot \frac{1}{2}$ $- 12$ $(- 24) \cdot \frac{1}{2}$
Jak czytać kartkę: na górze wiersz, który zmieniasz (złoty), pod nim wiersz pomocniczy już pomnożony (turkusowy), z lewej znak operacji. Pod złotą linią liczysz kolumnami: liczba z góry minus (albo plus) liczba spod spodu. Ostatni wiersz to nowy wiersz macierzy.
1. Po lewej macierz przed krokiem. W tym kroku są 2 operacje — liczysz je po kolei, zawsze na wierszach z macierzy po lewej. 1) Zmieniasz wiersz 1 (złoty) za pomocą wiersza 2 (w tej operacji tylko pomaga — bierzesz jego liczby z macierzy po lewej). Cel: zero w kolumnie 2 wiersza 1 — teraz stoi tam $2$ . 2) Mnożysz wiersz 2 przez $\frac{1}{2}$ — cel: jedynka w kolumnie 2 (teraz stoi tam $2$ ).
2. Zapisz na kartce wiersz 1 — ten, który zmieniasz.
3. Pod spodem przepisz wiersz 2. Mnożysz go przez $1$ , więc liczby się nie zmieniają. Minus z lewej przypomina, że ten wiersz odejmujesz.
4. Kolumna 1: $1 - 0 = 1$ .
5. Kolumna 2: $2 - 2 = 0$ . To zero było celem tej operacji.
6. Kolumna 3: $- 7 - 26 = - 33$ . Jesteś już poniżej zera ( $- 7$ ) i schodzisz o $26$ niżej: $7 + 26 = 33$ , więc wynik to $- 33$ .
7. Kolumna za kreską: $10 - (- 24) = 34$ . Odjąć liczbę ujemną to tak samo, jak dodać liczbę przeciwną: $10 - (- 24) = 10 + 24$ .
8. Wynik spod linii to nowy wiersz 1: $(1, 0, - 33 ∣ 34)$ . Wstawiasz go do macierzy po prawej w miejsce starego.
9. Zapisz na kartce wiersz 2 — ten, który zmieniasz.
10. Kolumna 1: $0 \cdot \frac{1}{2} = 0$ . Zero razy dowolna liczba to zero.
11. Kolumna 2: $2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ . Mnożenie przez $\frac{1}{2}$ to dzielenie przez $2$ : $2 : 2 = 1$ . To jest jedynka, o którą chodziło.
12. Kolumna 3: $26 \cdot \frac{1}{2} = 13$ . Mnożenie przez $\frac{1}{2}$ to dzielenie przez $2$ : $26 : 2 = 13$ .
13. Kolumna za kreską: $(- 24) \cdot \frac{1}{2} = - 12$ . Mnożenie przez $\frac{1}{2}$ to dzielenie przez $2$ : $(- 24) : 2 = - 12$ .
14. Wynik spod linii to nowy wiersz 2: $(0, 1, 13 ∣ - 12)$ . Wstawiasz go do macierzy po prawej w miejsce starego.
15. Gotowe — tak powstała macierz po prawej.
Dlaczego?
Mnożnik przy zerowaniu to $-\frac{2}{2} = -1$ : zerowana liczba (2) podzielona przez liczbę w wierszu pomocniczym (też 2), z przeciwnym znakiem. Dlatego $w_1' = w_1 - w_2$ — zero powstaje od razu, bez czekania na jedynkę. Obie operacje liczysz z wierszy sprzed kroku: $w_1' = w_1 - w_2$ używa starego wiersza 2 $(0, 2, 26 \mid -24)$ , a $w_2' = w_2 \cdot \frac{1}{2}$ dzieli ten sam stary wiersz przez 2. Wolno tak, bo wiersz 1 nie jest używany do zmiany wiersza 2.
Rodzaj układu
x₁x₂x₃b
$1$ $0$ $- 33$ $34$ $0$ $1$ $13$ $- 12$
→ ${x_{1} - 33 x_{3} = 34 x_{2} + 13 x_{3} = - 12$
kolumny macierzy jednostkowejkolumna poza nią — ta niewiadoma będzie parametrem
Sprzecznego wiersza nie ma. Macierz jednostkową tworzą kolumny $x_1$ i $x_2$ , a kolumna $x_3$ do niej nie wchodzi. Układ jest nieoznaczony.
Dlaczego?
W obu równaniach stoją po dwie niewiadome, bo w każdym jest też $x_3$ . Za $x_3$ możesz wstawić dowolną liczbę, a $x_1$ i $x_2$ dopasują się do niej — dlatego rozwiązań jest nieskończenie wiele.
Rozwiązanie ogólne
Kolumna $x_3$ nie wchodzi do macierzy jednostkowej, więc $x_3 = a$ . Każdy wiersz po kolei zamieniasz na równanie:
Parametr: $x_{3} = a$ — kolumna tej niewiadomej nie wchodzi do macierzy jednostkowej. Zapis $a \in R$ znaczy: za $a$ wolno wstawić dowolną liczbę.
Wiersz 1
1. $1 \cdot x_{1} + 0 \cdot x_{2} - 33 \cdot x_{3} = 34$ Wiersz 1 zamieniasz z powrotem na równanie: liczba z kolumny razy niewiadoma tej kolumny.
2. $x_{1} - 33 x_{3} = 34$ $0 \cdot x_{2}$ to zero — znika; $1 \cdot x_{1}$ zapisujesz krócej: $x_{1}$ .
3. $x_{1} - 33 a = 34$ Za $x_{3}$ wstawiasz $a$ .
4. $x_{1} = 34 + 33 a$ Składnik $- 33 a$ przenosisz na prawą stronę — zmienia znak na $+ 33 a$ .
Wiersz 2
1. $0 \cdot x_{1} + 1 \cdot x_{2} + 13 \cdot x_{3} = - 12$ Wiersz 2 zamieniasz z powrotem na równanie: liczba z kolumny razy niewiadoma tej kolumny.
2. $x_{2} + 13 x_{3} = - 12$ $0 \cdot x_{1}$ to zero — znika; $1 \cdot x_{2}$ zapisujesz krócej: $x_{2}$ .
3. $x_{2} + 13 a = - 12$ Za $x_{3}$ wstawiasz $a$ .
4. $x_{2} = - 12 - 13 a$ Składnik $+ 13 a$ przenosisz na prawą stronę — zmienia znak na $- 13 a$ .
Rozwiązanie ogólne:
$⎩ ⎨ ⎧ x_{1} = 34 + 33 a x_{2} = - 12 - 13 a x_{3} = a$ $a \in R$
Sprawdzenie
Dla $a = 0$ (to będzie też pierwsze rozwiązanie bazowe):
$x_{1} x_{2} x_{3} = 34 + 33 \cdot 0 = 34 = - 12 - 13 \cdot 0 = - 12 = a = 0$
$34 + 2 \cdot (- 12) - 7 \cdot 0 3 \cdot 34 + 8 \cdot (- 12) + 5 \cdot 0 = 10 = 6$
Dla $a = 1$ :
$x_{1} x_{2} x_{3} = 34 + 33 \cdot 1 = 67 = - 12 - 13 \cdot 1 = - 25 = a = 1$
$67 + 2 \cdot (- 25) - 7 \cdot 1 3 \cdot 67 + 8 \cdot (- 25) + 5 \cdot 1 = 10 = 6$
W obu przypadkach wychodzą prawe strony 10 i 6.
Rząd i zestawy zmiennych bazowych
Kolumny jednostkowe są dwie, więc $r(A) = 2$ i każda baza liczy 2 niewiadome. Żadna niewiadoma nie stoi w równaniu sama (w obu wierszach są po dwie liczby różne od zera przed kreską), więc sprawdzasz wszystkie pary (kombinacje):
$\{x_1, x_2\},\quad \{x_1, x_3\},\quad \{x_2, x_3\}$
Policz każde rozwiązanie bazowe
x₁x₂x₃b
$1$ $0$ $- 33$ $34$ $0$ $1$ $13$ $- 12$
niewiadome z wybranego zestawuniewiadome spoza zestawu — dostają 0
Baza $B^{(1)} = {x_{1}, x_{2}}$
Niewiadome spoza zestawu dostają zero: $x_{3} = 0$ .
z równania 1:
$x_{1} - 33 \cdot 0 = 34$ ⟹ $x_{1} = 34$
z równania 2:
$x_{2} + 13 \cdot 0 = - 12$ ⟹ $x_{2} = - 12$
$X^{(1)} = (34, - 12, 0)$
Baza $B^{(2)} = {x_{1}, x_{3}}$
Niewiadome spoza zestawu dostają zero: $x_{2} = 0$ .
z równania 2:
$0 + 13 x_{3} = - 12$ ⟹ $13 x_{3} = - 12$ ⟹ $x_{3} = (- 12) : 13 = - \frac{12}{13}$
z równania 1:
$x_{1} - 33 \cdot (- \frac{12}{13}) = 34$ ⟹ $x_{1} = 34 - \frac{396}{13} = \frac{46}{13}$
$X^{(2)} = (\frac{46}{13}, 0, - \frac{12}{13})$
Baza $B^{(3)} = {x_{2}, x_{3}}$
Niewiadome spoza zestawu dostają zero: $x_{1} = 0$ .
z równania 1:
$0 - 33 x_{3} = 34$ ⟹ $- 33 x_{3} = 34$ ⟹ $x_{3} = 34 : (- 33) = - \frac{34}{33}$
z równania 2:
$x_{2} + 13 \cdot (- \frac{34}{33}) = - 12$ ⟹ $x_{2} = - 12 + \frac{442}{33} = \frac{46}{33}$
$X^{(3)} = (0, \frac{46}{33}, - \frac{34}{33})$
Jak czytać ten rysunek:
fioletowe kolumny to niewiadome z wybranego zestawu, wyblakłe — niewiadome, które dostają 0. Pod macierzą jest rachunek: najpierw równanie, w którym została jedna niewiadoma, potem drugie. Przełączaj zestawy przyciskami.
Dlaczego?
Zero z niebazowej zmiennej „gasi” jej składnik w równaniu. W $B^{(1)}$ znika $x_3$ , więc oba równania od razu dają wynik. W $B^{(2)}$ znika $x_2$ i równanie 2 ma już tylko $x_3$ — od niego zaczynasz.
Wynik
Układ jest nieoznaczony. Rozwiązanie ogólne:
$⎩ ⎨ ⎧ x_{1} = 34 + 33 a x_{2} = - 12 - 13 a x_{3} = a$ $a \in R$
Rozwiązania bazowe:
$X^{(1)} = (34, - 12, 0)$ $X^{(2)} = (\frac{46}{13}, 0, - \frac{12}{13})$ $X^{(3)} = (0, \frac{46}{33}, - \frac{34}{33})$
Dlaczego?
Polecenie pyta o trzy rzeczy: rodzaj układu, rozwiązanie ogólne i rozwiązania bazowe. W odpowiedzi podajesz wszystkie trzy — samo „nieoznaczony” to za mało.

	$w_{2}$	$3$	$8$	$5$	$6$
$-$	$3 \cdot w_{1}$	$3$ $1 \cdot 3$	$6$ $2 \cdot 3$	$- 21$ $(- 7) \cdot 3$	$30$ $10 \cdot 3$
	$w_{2}^{'}$	$0$ $3 - 3$	$2$ $8 - 6$	$26$ $5 - (- 21)$	$- 24$ $6 - 30$

	$w_{1}$	$1$	$2$	$- 7$	$10$
$-$	$w_{2}$	$0$	$2$	$26$	$- 24$
	$w_{1}^{'}$	$1$ $1 - 0$	$0$ $2 - 2$	$- 33$ $- 7 - 26$	$34$ $10 - (- 24)$

	$w_{2}$	$0$	$2$	$26$	$- 24$
$\cdot \frac{1}{2}$	$w_{2}^{'}$	$0$ $0 \cdot \frac{1}{2}$	$1$ $2 \cdot \frac{1}{2}$	$13$ $26 \cdot \frac{1}{2}$	$- 12$ $(- 24) \cdot \frac{1}{2}$

Podobny przykład· Gdy niewiadoma stoi sama

Układ $x_1 + x_2 + 3x_3 = 3$ , $2x_1 + x_2 + 3x_3 = 5$ . Odejmujesz wiersz 1 od wiersza 2 — i drugi wiersz od razu zamienia się w $(1, 0, 0 \mid 2)$ , czyli $x_1 = 2$ :

1

1

3

3

2

1

3

5

w_{2}^{'} = w_{2} - w_{1}

1

1

3

3

1

0

0

2

wiersz, który zmieniasz · wiersz, którego używasz (przepisujesz go bez zmian)

Rachunek na kartce

w_{2}^{'} = w_{2} - w_{1}

	$w_{2}$	$2$	$1$	$3$	$5$
$-$	$w_{1}$	$1$	$1$	$3$	$3$
	$w_{2}^{'}$	$1$ $2 - 1$	$0$ $1 - 1$	$0$ $3 - 3$	$2$ $5 - 3$

Teraz jedynka z kolumny 1 stoi w wierszu 2. Nad nią stoi 1, więc odejmujesz wiersz 2 od wiersza 1:

1

1

3

3

1

0

0

2

w_{1}^{'} = w_{1} - w_{2}

0

1

3

1

1

0

0

2

wiersz, który zmieniasz · wiersz, którego używasz (przepisujesz go bez zmian)

Rachunek na kartce

w_{1}^{'} = w_{1} - w_{2}

	$w_{1}$	$1$	$1$	$3$	$3$
$-$	$w_{2}$	$1$	$0$	$0$	$2$
	$w_{1}^{'}$	$0$ $1 - 1$	$1$ $1 - 0$	$3$ $3 - 0$	$1$ $3 - 2$

Na koniec zamieniasz wiersze, żeby jedynki stały po skosie:

0

1

3

1

1

0

0

2

w_{1} \leftrightarrow w_{2}

1

0

0

2

0

1

3

1

wiersze, które zamieniasz miejscami

Rachunek na kartce

Zamiana wierszy: liczby zostają te same, zmienia się tylko kolejność wierszy.

Postać bazowa jest gotowa. Wiersz 1 to $x_1 = 2$ — niewiadoma $x_1$ stoi w nim sama:

x₁x₂x₃b

1

0

0

2

0

1

3

1

Zestawu ${x_{2}, x_{3}}$ nie sprawdzasz: brakuje w nim $x_{1}$ , a ta niewiadoma stoi w równaniu sama — jej wartość jest ustalona, więc musi być w każdej bazie.

Baza $B^{(1)} = {x_{1}, x_{2}}$

Niewiadome spoza zestawu dostają zero: $x_{3} = 0$ .

z równania 1:
$x_{1} = 2$
z równania 2:
$x_{2} + 3 \cdot 0 = 1$ ⟹ $x_{2} = 1$

$X^{(1)} = (2, 1, 0)$

Baza $B^{(2)} = {x_{1}, x_{3}}$

Niewiadome spoza zestawu dostają zero: $x_{2} = 0$ .

z równania 1:
$x_{1} = 2$
z równania 2:
$0 + 3 x_{3} = 1$ ⟹ $3 x_{3} = 1$ ⟹ $x_{3} = 1 : 3 = \frac{1}{3}$

$X^{(2)} = (2, 0, \frac{1}{3})$

Jak czytać ten rysunek:

$x_1$ stoi w równaniu sama, więc jest w każdej bazie. Zostają dwa zestawy zamiast trzech: zestaw $\{x_2, x_3\}$ dałby $x_1 = 0$ , a równanie 1 mówi, że $x_1 = 2$ .

Granica metody — kiedy to NIE działa· Nie każdy zestaw jest bazą

Czasem zestaw spełnia regułę z przepisu, a mimo to nie daje rozwiązania. W układzie z dwoma parametrami (wyżej) zestaw $\{x_1, x_2\}$ prowadzi do równania $0 = 2$ :

x₁x₂x₃x₄b

1

- 1

0

- 7

- 3

0

0

1

3

2

${x_{1}, x_{2}}$ — to nie jest baza

Niewiadome spoza zestawu dostają zero: $x_{3} = x_{4} = 0$ .

Po podstawieniu zer równania wyglądają tak:

x_{1} - x_{2} - 7 \cdot 0 = - 3

0 + 3 \cdot 0 = 2

W równaniu 2 zostało $0 = 2$ — to fałsz. Ten zestaw nie daje żadnego rozwiązania, więc nie jest bazą. Pomijasz go.

Baza $B^{(1)} = {x_{1}, x_{3}}$

Niewiadome spoza zestawu dostają zero: $x_{2} = x_{4} = 0$ .

z równania 1:
$x_{1} - 0 - 7 \cdot 0 = - 3$ ⟹ $x_{1} = - 3$
z równania 2:
$x_{3} + 3 \cdot 0 = 2$ ⟹ $x_{3} = 2$

$X^{(1)} = (- 3, 0, 2, 0)$

Baza $B^{(2)} = {x_{1}, x_{4}}$

Niewiadome spoza zestawu dostają zero: $x_{2} = x_{3} = 0$ .

z równania 2:
$0 + 3 x_{4} = 2$ ⟹ $3 x_{4} = 2$ ⟹ $x_{4} = 2 : 3 = \frac{2}{3}$
z równania 1:
$x_{1} - 0 - 7 \cdot \frac{2}{3} = - 3$ ⟹ $x_{1} = - 3 + \frac{14}{3} = \frac{5}{3}$

$X^{(2)} = (\frac{5}{3}, 0, 0, \frac{2}{3})$

Baza $B^{(3)} = {x_{2}, x_{3}}$

Niewiadome spoza zestawu dostają zero: $x_{1} = x_{4} = 0$ .

z równania 1:
$0 - x_{2} - 7 \cdot 0 = - 3$ ⟹ $- x_{2} = - 3$ ⟹ $x_{2} = (- 3) : (- 1) = 3$
z równania 2:
$x_{3} + 3 \cdot 0 = 2$ ⟹ $x_{3} = 2$

$X^{(3)} = (0, 3, 2, 0)$

Baza $B^{(4)} = {x_{2}, x_{4}}$

Niewiadome spoza zestawu dostają zero: $x_{1} = x_{3} = 0$ .

z równania 2:
$0 + 3 x_{4} = 2$ ⟹ $3 x_{4} = 2$ ⟹ $x_{4} = 2 : 3 = \frac{2}{3}$
z równania 1:
$0 - x_{2} - 7 \cdot \frac{2}{3} = - 3$ ⟹ $- x_{2} = - 3 + \frac{14}{3} = \frac{5}{3}$ ⟹ $x_{2} = \frac{5}{3} : (- 1) = - \frac{5}{3}$

$X^{(4)} = (0, - \frac{5}{3}, 0, \frac{2}{3})$

Baza $B^{(5)} = {x_{3}, x_{4}}$

Niewiadome spoza zestawu dostają zero: $x_{1} = x_{2} = 0$ .

z równania 1:
$0 - 0 - 7 x_{4} = - 3$ ⟹ $- 7 x_{4} = - 3$ ⟹ $x_{4} = (- 3) : (- 7) = \frac{3}{7}$
z równania 2:
$x_{3} + 3 \cdot \frac{3}{7} = 2$ ⟹ $x_{3} = 2 - \frac{9}{7} = \frac{5}{7}$

$X^{(5)} = (0, 0, \frac{5}{7}, \frac{3}{7})$

Jak czytać ten rysunek:

zestaw z krzyżykiem nie jest bazą — po wstawieniu zer jedno z równań jest fałszywe. Pozostałe pięć zestawów daje rozwiązania bazowe.

Taki zestaw po prostu pomijasz. Rozwiązań bazowych jest wtedy mniej niż zestawów.

To samo robisz, gdy niewiadomych z zestawu nie da się policzyć jednoznacznie. W układzie $x_1 + x_3 + x_4 = 1$ , $x_2 + x_3 + x_4 = 1$ zestaw $\{x_3, x_4\}$ zostawia dwa razy to samo równanie $x_3 + x_4 = 1$ . Pasuje do niego nieskończenie wiele par liczb, więc ten zestaw też nie jest bazą.

Ściąga przed kolokwium

Zapis

A

— liczby przy niewiadomych,

b

— prawe strony,

[A \mid b]

— razem, z kreską w miejscu „=”. Brak niewiadomej = 0, samo

x

= 1,

-x

-1

Cel operacjiPrzed kreską jedynki po skosie, zera dookoła — wtedy za kreską stoją wyniki. Gdy się nie da, układ jest nieoznaczony albo sprzeczny.

OperacjeTylko na wierszach. Zmieniasz cały wiersz, także liczbę za kreską. Na kartce: na górze wiersz, który zmieniasz, pod nim pomnożony wiersz pomocniczy, pod linią wynik — kolumna po kolumnie. Kilka operacji w kroku liczysz na wierszach sprzed kroku.

Postać bazowaPrzed kreską jak największa macierz jednostkowa: kolumny z jedną jedynką i zerami, jedynki w różnych wierszach. Kolumna po kolumnie: jedynka, potem zera.

SprzecznyWiersz z samymi zerami przed kreską i liczbą

\neq 0

za kreską, np.

0 = 6

. Wiersz z samych zer (także za kreską) skreślasz.

OznaczonyKażda niewiadoma stoi w swoim równaniu sama: kolumny wszystkich niewiadomych tworzą macierz jednostkową. Wynik czytasz wprost.

NieoznaczonyNiewiadome spoza macierzy jednostkowej → parametry

a

c

(

a \in \mathbb{R}

). Przenosząc na prawo, zmieniasz znak.

Rozwiązania bazoweZestawy (kombinacje) po

r(A)

niewiadomych, z niewiadomymi, które stoją same. Reszta = 0. Wynik jako cały wektor

X^{(k)}

. Sprzeczność albo brak jednoznacznego wyniku = to nie baza.

SprawdzenieWynik podstawiasz do równań wyjściowych. Przy rozwiązaniu ogólnym — liczby dla

a = 0

a = 1

, a przy dwóch parametrach np. dla

(a, c) = (0, 0)

(1, 0)

(0, 1)

Ćwiczenia przed kolokwium

Krótkie zadania z natychmiastową odpowiedzią, ułożone według poleceń z kolokwium. Przy każdej odpowiedzi — dobrej i złej — zobaczysz, dlaczego tak jest.

Zapis macierzowy

Wpisz macierz

Wpisz macierz rozszerzoną

⎩ ⎨ ⎧ 2 x_{1} - x_{2} + 4 x_{3} = 3 x_{1} + 5 x_{3} = - 2 - x_{2} + x_{3} = 0

Uważaj na brakujące niewiadome i na same $x$ bez liczby.

Wpisz liczby w pola. Kiedy skończysz, kliknij „Sprawdź”.

[A ∣ b] =

Wpisz macierz

Najpierw uporządkuj, potem wpisz

{x_{3} - 2 x_{1} = 4 x_{2} + 3 = x_{1}

Niewiadome mają stać po lewej, w kolejności $x_1, x_2, x_3$ .

Wpisz liczby w pola. Kiedy skończysz, kliknij „Sprawdź”.

[A ∣ b] =

Ćwiczenia · 3 zadania

W równaniu $3 x_{2} - x_{1} = 1$ do kolumny $x_{1}$ wpisujesz:
Ile kolumn ma macierz rozszerzona układu 3 równań z 4 niewiadomymi?
W równaniu brakuje $x_{2}$ . Co wpisujesz w kolumnie $x_{2}$ ?

Rozwiąż układ

Wpisz rozwiązanie

Rozwiąż układ dwóch równań

{x_{1} + x_{2} = 5 2 x_{1} - x_{2} = 1

Policz na kartce, a potem wpisz wartości niewiadomych.

Wpisz liczby w pola. Kiedy skończysz, kliknij „Sprawdź”.

x₁x₂

Wpisz rozwiązanie

Rozwiąż układ trzech równań

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + x_{2} + x_{3} = 4 x_{1} - x_{2} = 3 x_{2} + 2 x_{3} = 5

Wskazówka: po wyzerowaniu kolumny 1 w wierszu 3, w kolumnie 2, stoi gotowa jedynka — zamień wiersze 2 i 3.

Wpisz liczby w pola. Kiedy skończysz, kliknij „Sprawdź”.

x₁x₂x₃

Ćwiczenia · 3 zadania

Który ruch wolno zrobić na macierzy rozszerzonej układu?
Po operacji $w_{2}^{'} = w_{2} - 3 w_{1}$ zmienia się:
Wyszło $x_{1} = 1$ , $x_{2} = 4$ dla układu $x_{1} + x_{2} = 5$ , $3 x_{1} - x_{2} = - 1$ . Jak sprawdzić wynik?

Oznaczony, nieoznaczony czy sprzeczny?

Ćwiczenia · 7 zadań

To postać bazowa macierzy rozszerzonej. Jaki to układ?
$1$ $0$ $4$ $0$ $1$ $- 1$
Jaki to układ?
$1$ $3$ $2$ $0$ $0$ $5$
Jaki to układ?
$1$ $0$ $2$ $1$ $0$ $1$ $- 1$ $3$
Jaki to układ?
$1$ $0$ $0$ $2$ $0$ $1$ $0$ $0$ $0$ $0$ $1$ $- 3$
Jaki to układ?
$1$ $2$ $3$ $0$ $0$ $0$
Jaki to układ?
$1$ $0$ $0$ $2$ $0$ $1$ $0$ $1$ $0$ $0$ $0$ $4$
Kolumna $x_{3}$ ma jedną jedynkę i zero. Jaki to układ?
$1$ $0$ $1$ $3$ $0$ $1$ $0$ $2$

Rozwiązanie ogólne

Ćwiczenia · 5 zadań

To postać bazowa. Rozwiązanie ogólne to:
$1$ $0$ $- 2$ $3$ $0$ $1$ $4$ $- 1$
Która niewiadoma będzie parametrem?
$1$ $2$ $0$ $5$ $0$ $0$ $1$ $- 2$
Ile wynosi $x_{3}$ w rozwiązaniu ogólnym tego układu?
$1$ $2$ $0$ $5$ $0$ $0$ $1$ $- 2$
Macierz jednostkowa w postaci bazowej ma 2 kolumny, układ ma 5 niewiadomych i nie ma sprzecznego wiersza. Ile parametrów ma rozwiązanie ogólne?
Rozwiązanie ogólne z parametrami $a$ i $c$ to:
$1$ $- 1$ $0$ $3$ $2$ $0$ $0$ $1$ $1$ $4$

Rozwiązania bazowe

Postać bazowa do dwóch kolejnych zadań:

x₁x₂x₃b

1

0

- 2

3

0

1

4

- 1

Wpisz rozwiązanie

Rozwiązanie bazowe dla bazy {x₁, x₃}

Baza $\{x_1, x_3\}$ : najpierw przyjmij $x_2 = 0$ (niewiadoma spoza bazy), potem policz pozostałe z równań powyżej.

Wpisz liczby w pola (ułamek wpisz jako 1/3 albo −2/3). Kiedy skończysz, kliknij „Sprawdź”.

x₁x₂x₃

Wpisz rozwiązanie

Rozwiązanie bazowe dla bazy {x₂, x₃}

Baza $\{x_2, x_3\}$ — ten sam układ, inna baza.

Wpisz liczby w pola (ułamek wpisz jako 1/3 albo −2/3). Kiedy skończysz, kliknij „Sprawdź”.

x₁x₂x₃

Ćwiczenia · 4 zadania

Układ ma 3 niewiadome, $r (A) = 2$ , a żadna niewiadoma nie stoi w równaniu sama. Ile zestawów sprawdzasz?
Układ ma 4 niewiadome, $r (A) = 2$ , żadna nie stoi sama. Ile zestawów sprawdzasz?
W tej postaci bazowej $x_{1}$ stoi w równaniu sama. Które zestawy sprawdzasz?
$1$ $0$ $0$ $2$ $0$ $1$ $3$ $1$
Baza ${x_{1}, x_{2}}$ dała $x_{1} = 34$ , $x_{2} = - 12$ (układ ma 3 niewiadome). Jak zapisać rozwiązanie bazowe?

Quiz z teorii

Quiz · 10 pytań

Układy równań — 10 pytań

Układ oznaczony to układ, który ma:
Macierz rozszerzona układu to:
W postaci bazowej jest wiersz $[000 ∣ 5]$ . Układ jest:
Wiersz $[000 ∣ 0]$ w postaci bazowej:
Dlaczego operacje na wierszach nie zmieniają rozwiązań układu?
Zapis $x_{3} = a$ , $a \in R$ znaczy, że:
Układ 2 równań z 3 niewiadomymi:
Ile niewiadomych liczy baza?
W rozwiązaniu bazowym niewiadome spoza bazy:
Zestaw niewiadomych dał po wstawieniu zer równanie $0 = 2$ . Co to znaczy?