Matematyka finansowa — wartość przyszła i bieżąca, strumienie, renta, IRR i plan spłaty kredytu · Matematyka

Po co to jest

Wygrywasz konkurs. Organizator pyta: wolisz 1000 zł dziś czy 1100 zł za dwa lata?

Na oko 1100 zł to więcej. Ale 1000 zł dziś możesz od razu wpłacić na lokatę. Za dwa lata będzie tam więcej niż 1000 zł — pytanie, czy więcej niż 1100 zł. To zależy od oprocentowania i za chwilę nauczysz się to liczyć.

Cała matematyka finansowa z zajęć to jedna umiejętność w kilku wersjach: przenosisz kwoty w czasie.

W przód (w przyszłość): za każdy okres doliczasz odsetki — mnożysz przez $1 + i$ .
W tył (do dziś): za każdy okres dzielisz przez $1 + i$ — szukasz kwoty, która razem z odsetkami da kwotę z przyszłości.

Strumienie i renty to już tylko dodawanie przeniesionych kwot. Stopa zwrotu to szukanie takiej stopy, przy której przeniesione kwoty się równoważą. A plan spłaty kredytu to tabelka, którą wypełniasz według stałego przepisu.

Co będzie na kolokwium

Na slajdach z zajęć są wzory i szablon tabeli. Wynika z nich sześć typów poleceń:

1
„Ile pieniędzy będzie na lokacie po $n$ latach?”
Liczysz wartość przyszłą: $F V = (1 + i)^{n} \cdot P V$ . Przy kapitalizacji kwartalnej najpierw dzielisz stopę przez 4 i mnożysz liczbę lat przez 4.
Przepis i przykłady ↓Ćwiczenia ↓slajd „Podstawowe wzory”
2
„Ile trzeba wpłacić dziś, żeby za $n$ lat mieć daną kwotę? Która oferta jest korzystniejsza?”
Liczysz wartość bieżącą: $P V = \frac{F V}{( 1 + i ) ^{n}}$ . Oferty porównujesz dopiero po przeniesieniu do tego samego momentu.
Przepis i przykłady ↓Ćwiczenia ↓slajd „Podstawowe wzory”
3
„Na początku każdego roku wpłacasz kwotę. Ile zgromadzisz na koniec ostatniego roku?”
Wartość przyszła strumienia: każdą wpłatę przenosisz osobno na koniec ostatniego roku i dodajesz wyniki.
Przepis i przykłady ↓Ćwiczenia ↓slajd „Strumienie pieniężne”
4
„Ile jest dziś warta renta wypłacana na koniec każdego roku (przez $n$ lat albo dożywotnio)?”
Każdą wypłatę sprowadzasz do dziś (dzielisz przez $(1 + i)^{k}$ ) i dodajesz. Renta dożywotnia z równymi wypłatami (pierwsza za rok): wypłata podzielona przez $i$ — to wniosek ze wzoru ze slajdu.
Przepis i przykłady ↓Ćwiczenia ↓slajdy „Renta”
5
„Oblicz wewnętrzną stopę zwrotu (IRR) inwestycji”
Szukasz stopy $i$ , przy której dzisiejsza wartość wpływów równa się wydatkowi. Przy dwóch latach to równanie kwadratowe.
Przepis i przykłady ↓Ćwiczenia ↓slajd „Wewnętrzna stopa zwrotu”
6
„Sporządź plan spłaty (amortyzacji) kredytu w ratach malejących”
Rata kapitałowa = kredyt : liczba rat. Potem wiersz po wierszu: odsetki, rata łączna, kapitał końcowy.
Przepis i przykłady ↓Ćwiczenia ↓slajdy „Amortyzacja kredytu”

Pojęcia od podstaw

Procent jako ułamek

We wzorach z zajęć stopa procentowa $i$ zawsze jest ułamkiem, nie liczbą procentów. Obok niej często stoi $1 + i$ — to mnożnik: z każdej złotówki po jednym okresie masz $1 + i$ zł. Przy stopie 5% to $1{,}05$ zł, czyli 105% kwoty.

stopa w treści	$i$ we wzorze	$1 + i$	co znaczy $1+i$
5%	$0{,}05$	$1{,}05$	po roku masz 105% kwoty
8%	$0{,}08$	$1{,}08$	po roku masz 108% kwoty
10%	$0{,}1$	$1{,}1$	po roku masz 110% kwoty
2,5%	$0{,}025$	$1{,}025$	po roku masz 102,5% kwoty
12%	$0{,}12$	$1{,}12$	po roku masz 112% kwoty

Jak czytać tabelę: w każdym wierszu ta sama stopa zapisana na trzy sposoby — w procentach (jak w treści zadania), jako ułamek $i$ (do wzorów) i jako mnożnik $1 + i$ (przez niego mnożysz kwotę za każdy okres).

Oznaczenia z zajęć

P V

Wartość bieżąca (ang. present value)

czytamy: „pe-fał albo po prostu „wartość bieżąca””

Ile kwota jest warta dziś: kwota, którą wpłacasz na start, albo dzisiejsza wartość pieniędzy, które dostaniesz później.

Jak zapamiętać: P jak present — teraz.

F V

Wartość przyszła (ang. future value)

czytamy: „ef-fał albo „wartość przyszła””

Ile kwota będzie warta po $n$ okresach — razem z odsetkami.

Jak zapamiętać: F jak future — przyszłość.

n

Liczba okresów

czytamy: „en”

Ile okresów (lat, kwartałów, miesięcy) mija. To też liczba kapitalizacji — ile razy odsetki zostały doliczone do kwoty.

Jak zapamiętać: n jak „na ile” — na ile okresów zostawiasz pieniądze.

i

Stopa procentowa na jeden okres

czytamy: „i”

Jaka część kwoty dochodzi przez jeden okres. We wzorach jako ułamek: 5% to $i = 0, 05$ .

Jak zapamiętać: i jak interest — po angielsku odsetki.

Odsetki i kapitalizacja

Zobacz to na liczbach: 1000 zł na lokacie oprocentowanej 5% rocznie, odsetki dopisywane raz w roku. Obok — co by było, gdyby odsetki liczyć zawsze od samego 1000 zł. To tak zwany procent prosty. Na zajęciach z niego nie korzystamy, ale to typowy błąd.

rok	procent prosty: odsetki zawsze od 1000 zł	procent składany: odsetki od kwoty z odsetkami
1	$1000 + 50 = 1050$	$1000 + 50 = 1050$
2	$1050 + 50 = 1100$	$1050 + 52{,}50 = 1102{,}50$
3	$1100 + 50 = 1150$	$1102{,}50 + 55{,}125 = 1157{,}625 \approx 1157{,}63$

Jak czytać tabelę: w każdym wierszu kwota na koniec roku = kwota z poprzedniego wiersza + odsetki za rok. W prawej kolumnie odsetki rosną (50; 52,50; 55,125), bo co roku liczysz 5% od większej kwoty. W 2. roku odsetki od zeszłorocznych 50 zł dały dodatkowe 2,50 zł. Znak $\approx$ czytamy „w przybliżeniu równa się” — tu: wynik zaokrąglony do groszy.

Oś czasu — najważniejsze narzędzie

W zadaniach z finansów kwoty pojawiają się w różnych momentach: dziś, za rok, za dwa lata. Zanim cokolwiek policzysz, ustaw je na osi czasu. W tym kursie oś czasu rysujemy jako tabelę czytaną z góry na dół:

każdy wiersz to jeden moment: dziś, koniec 1. roku, koniec 2. roku…,
każda kolumna to jedna kwota,
wiersz w dół = rok później: kwota rośnie o odsetki, czyli mnożysz przez $1 + i$ ,
wiersz w górę = rok wcześniej: dzielisz przez $1 + i$ (to nie to samo co odjęcie 5% — więcej przy wartości bieżącej).

Tak wygląda nasze 1000 zł na 5% przeniesione o 3 lata w przód:

moment	kwota
dziś	$1000$
koniec 1. roku	$\cdot 1, 05$ $1050$ $1000 \cdot 1, 05$
koniec 2. roku	$\cdot 1, 05$ $1102, 50$ $1050 \cdot 1, 05$
koniec 3. roku	$\cdot 1, 05$ $1157, 63$ $1102, 50 \cdot 1, 05$

kwota w chwili wpłatyta sama kwota rok później: razy $1, 05$ wiersz, na który liczysz wartość

Jak czytać:

złota kratka to kwota 1000 zł wpłacona dziś. Każda kratka niżej to ta sama kwota rok później — mała liczba nad kwotą ( $\cdot 1{,}05$ ) mówi, przez co pomnożono kwotę z kratki wyżej. Zielony wiersz to moment, o który pyta zadanie. Przycisk „▶ Zobacz krok po kroku” rozpisuje każdy rok jak na kartce: najpierw odsetki, potem nowa kwota.

Potęga — skrót na wielokrotne mnożenie

Trzy lata na osi czasu to trzy razy „ $\cdot 1{,}05$ ”, czyli $\cdot 1{,}05^3$ . Stąd wzór na wartość przyszłą.

Wartość przyszła (FV)

F V = (1 + i)^{n} \cdot P V

Czytamy: ef-fał równa się: jeden plus i do potęgi en, razy pe-fał

$P V$: kwota dziś — tyle wpłacasz na start
$1 + i$: mnożnik jednego okresu — z każdej złotówki po okresie masz $1, 04$ zł (przy 4%), czyli 104% kwoty
$(1 + i)^{n}$: $n$ razy mnożysz przez $1 + i$ — raz za każdy okres, czyli za każdą kapitalizację
$F V$: wynik — kwota po $n$ okresach, razem z odsetkami

Przykład z tabeli wyżej, jednym działaniem: $FV = 1{,}05^3 \cdot 1000 = 1{,}157625 \cdot 1000 = 1157{,}625 \approx 1157{,}63$ zł — tyle samo, co rok po roku.

Zadanie · krok po kroku

Lokata: 5000 zł na 3 lata, 4% rocznie

Wpłacasz 5000 zł na lokatę oprocentowaną 4% w skali roku, z kapitalizacją roczną (odsetki dopisywane raz w roku). Ile będzie na lokacie po 3 latach?

Plan — co zrobimy i po co

Cel: jedna kwota — wartość lokaty na koniec 3. roku ( $FV$ ).

Wypisujemy dane i zamieniamy procent na ułamek — bo we wzorze $i$ musi być ułamkiem.
Przesuwamy 5000 zł po osi czasu rok po roku — żeby zobaczyć, skąd bierze się wynik.
Liczymy to samo wzorem, jednym działaniem — na kolokwium to szybsza droga, a tabela służy do sprawdzenia.

Wypisz dane
$PV = 5000$ zł, $i = 4\% = 0{,}04$ , $n = 3$ (3 lata, odsetki raz w roku, więc 3 kapitalizacje).
Dlaczego?
Okres to rok, bo odsetki są dopisywane raz w roku. Gdyby były dopisywane co kwartał, okresem byłby kwartał — wtedy zmieniają się $i$ oraz $n$ (zobacz niżej).
Przesuń kwotę po osi czasu
moment kwota
dziś $5000$
koniec 1. roku $\cdot 1, 04$ $5200$ $5000 \cdot 1, 04$
koniec 2. roku $\cdot 1, 04$ $5408$ $5200 \cdot 1, 04$
koniec 3. roku $\cdot 1, 04$ $5624, 32$ $5408 \cdot 1, 04$
kwota w chwili wpłatyta sama kwota rok później: razy $1, 04$ wiersz, na który liczysz wartość
kwoty same przejdą wiersz po wierszu, a pod spodem zobaczysz rachunek
liczysz terazstąd bierzesz kwotęjeszcze niepoliczona
1. Tabela to oś czasu z góry na dół: każdy wiersz to jeden moment, od dziś do końca 3. roku. Złota kratka to kwota, którą wpłacasz dziś. Przesuwasz ją w dół do zielonego wiersza „koniec 3. roku”. Jeden wiersz w dół to jeden rok odsetek: mnożysz przez $1, 04$ .
2. Dziś → koniec 1. roku. Przez rok dochodzą odsetki: $4%$ z $5000$ .
  Odsetki: $5000 \cdot 4 = 20000$ , potem $20000 : 100 = 200$ (dzielenie przez 100 przesuwa przecinek o dwa miejsca w lewo).
  Nowa kwota: $5000 + 200 = 5200$ .
3. Koniec 1. roku → koniec 2. roku. Przez rok dochodzą odsetki: $4%$ z $5200$ .
  Odsetki: $5200 \cdot 4 = 20800$ , potem $20800 : 100 = 208$ .
  Nowa kwota: $5200 + 208 = 5408$ .
4. Koniec 2. roku → koniec 3. roku. Przez rok dochodzą odsetki: $4%$ z $5408$ .
  Odsetki: $5408 \cdot 4 = 21632$ , potem $21632 : 100 = 216, 32$ .
  Nowa kwota: $5408 + 216, 32 = 5624, 32$ .
5. Gotowe: $F V = 5624, 32$ zł. Tyle jest warta ta kwota w chwili „koniec 3. roku”.
Jak czytać:
złota kratka to kwota 5000 zł wpłacona dziś, zielony wiersz to koniec 3. roku. W każdej kratce poniżej jest kwota po kolejnym roku: poprzednia kwota plus 4% odsetek.
Dlaczego?
Każdy rok dokłada 4% do kwoty, która już ma odsetki z poprzednich lat. Dlatego odsetki rosną: 200 zł, potem 208 zł, potem 216,32 zł.
Policz wzorem
Czynnik: $1{,}04^3 = 1{,}04 \cdot 1{,}04 \cdot 1{,}04 = 1{,}0816 \cdot 1{,}04 = 1{,}124864$ .
$FV = 1{,}124864 \cdot 5000 = 5624{,}32 \text{ zł}$
Dlaczego?
Trzy kroki w dół po osi czasu to trzy razy $\cdot 1{,}04$ — wzór robi to jednym mnożeniem. Wynik musi się zgadzać z tabelą.
Odpowiedź
Po 3 latach na lokacie będzie 5624,32 zł. Z tego 624,32 zł to odsetki.
Dlaczego?
Odpowiedź piszesz zdaniem, z jednostką. Różnica $5624{,}32 - 5000 = 624{,}32$ to zarobek — przydaje się, gdy zadanie pyta „ile zarobisz”.

moment	kwota
dziś	$5000$
koniec 1. roku	$\cdot 1, 04$ $5200$ $5000 \cdot 1, 04$
koniec 2. roku	$\cdot 1, 04$ $5408$ $5200 \cdot 1, 04$
koniec 3. roku	$\cdot 1, 04$ $5624, 32$ $5408 \cdot 1, 04$

Kapitalizacja częstsza niż raz w roku

W treści zwykle stoi stopa roczna („8% w skali roku”), ale odsetki mogą być dopisywane częściej — co kwartał albo co miesiąc. Wtedy okresem we wzorze jest kwartał (miesiąc). Na slajdzie nie ma na to osobnego wzoru — wystarczą definicje: $i$ to stopa na jeden okres, a $n$ to liczba kapitalizacji.

stopa roczna	kwartalnie: stopa : 4	miesięcznie: stopa : 12
12%	$3\% = 0{,}03$	$1\% = 0{,}01$
8%	$2\% = 0{,}02$	$0{,}666\ldots\% = 0{,}00666\ldots$
6%	$1{,}5\% = 0{,}015$	$0{,}5\% = 0{,}005$

Jak czytać tabelę: w każdym wierszu jedna stopa roczna przeliczona na kwartał i na miesiąc. Przy 8% miesięcznie wychodzi ułamek bez końca (trzy kropki znaczą, że cyfry się powtarzają) — nie zaokrąglaj go, tylko licz na kalkulatorze: $0{,}08 : 12$ .

Zadanie · krok po kroku

2000 zł na 2 lata, 8% rocznie, kapitalizacja kwartalna

Wpłacasz 2000 zł na 2 lata. Oprocentowanie wynosi 8% w skali roku, odsetki są dopisywane co kwartał. Ile będzie na lokacie po 2 latach?

Plan — co zrobimy i po co

Cel: $FV$ po 2 latach.

Ustalamy okres (kwartał) i przeliczamy stopę na kwartał — bo we wzorze $i$ to stopa na jeden okres.
Liczymy, ile kwartałów mija — bo $n$ to liczba kapitalizacji, a nie liczba lat.
Liczymy $FV$ wzorem i porównujemy z kapitalizacją roczną — żeby zobaczyć, ile daje częstsze dopisywanie odsetek.

Stopa na jeden kwartał
Okres = kwartał. Rok ma 4 kwartały, więc $i = 8\% : 4 = 2\% = 0{,}02$ .
Bo tak — umowa
„8% w skali roku” przy kapitalizacji kwartalnej znaczy: bank dzieli roczną stopę równo na 4 kwartały i co kwartał dopisuje 2% kwoty. Tak się umawia bank z klientem — tego nie wyprowadzasz, tylko stosujesz.

Liczba kapitalizacji

2 lata po 4 kwartały: $n = 2 \cdot 4 = 8$ . Na osi czasu to 8 kroków w dół — każdy kwartał dokłada 2%:

moment	kwota
dziś	$2000$
koniec 1. kwartału	$\cdot 1, 02$ $2040$ $2000 \cdot 1, 02$
koniec 2. kwartału	$\cdot 1, 02$ $2080, 80$ $2040 \cdot 1, 02$
koniec 3. kwartału	$\cdot 1, 02$ $2122, 42$ $2080, 80 \cdot 1, 02$
koniec 4. kwartału	$\cdot 1, 02$ $2164, 86$ $2122, 416 \cdot 1, 02$
koniec 5. kwartału	$\cdot 1, 02$ $2208, 16$ $2164, 86432 \cdot 1, 02$
koniec 6. kwartału	$\cdot 1, 02$ $2252, 32$ $2208, 1616 \dots \cdot 1, 02$
koniec 7. kwartału	$\cdot 1, 02$ $2297, 37$ $2252, 3248 \dots \cdot 1, 02$
koniec 8. kwartału	$\cdot 1, 02$ $2343, 32$ $2297, 3713 \dots \cdot 1, 02$

kwota w chwili wpłatyta sama kwota kwartał później: razy $1, 02$ wiersz, na który liczysz wartość

Tabela to oś czasu z góry na dół: każdy wiersz to jeden moment, od dziś do końca 8. kwartału. Złota kratka to kwota, którą wpłacasz dziś. Przesuwasz ją w dół do zielonego wiersza „koniec 8. kwartału”. Jeden wiersz w dół to jeden kwartał odsetek: mnożysz przez $1, 02$ .
Dziś → koniec 1. kwartału. Przez kwartał dochodzą odsetki: $2%$ z $2000$ .
Odsetki: $2000 \cdot 2 = 4000$ , potem $4000 : 100 = 40$ (dzielenie przez 100 przesuwa przecinek o dwa miejsca w lewo).
Nowa kwota: $2000 + 40 = 2040$ .
Koniec 1. kwartału → koniec 2. kwartału. Przez kwartał dochodzą odsetki: $2%$ z $2040$ .
Odsetki: $2040 \cdot 2 = 4080$ , potem $4080 : 100 = 40, 80$ .
Nowa kwota: $2040 + 40, 80 = 2080, 80$ .
Koniec 2. kwartału → koniec 3. kwartału. Przez kwartał dochodzą odsetki: $2%$ z $2080, 80$ .
Odsetki: $2080, 80 \cdot 2 = 4161, 60$ , potem $4161, 60 : 100 = 41, 616$ .
Nowa kwota: $2080, 80 + 41, 616 = 2122, 416 \approx 2122, 42$ .
Koniec 3. kwartału → koniec 4. kwartału. Przez kwartał dochodzą odsetki: $2%$ z $2122, 416$ .
Odsetki: $2122, 416 \cdot 2 = 4244, 832$ , potem $4244, 832 : 100 = 42, 44832$ .
Nowa kwota: $2122, 416 + 42, 44832 = 2164, 86432 \approx 2164, 86$ .
Koniec 4. kwartału → koniec 5. kwartału. Przez kwartał dochodzą odsetki: $2%$ z $2164, 86432$ .
Odsetki: $2164, 86432 \cdot 2 = 4329, 72864$ , potem $4329, 72864 : 100 = 43, 2972 \dots$ .
Nowa kwota: $2164, 86432 + 43, 2972 \dots = 2208, 1616 \dots \approx 2208, 16$ .
Koniec 5. kwartału → koniec 6. kwartału. Przez kwartał dochodzą odsetki: $2%$ z $2208, 1616 \dots$ .
Odsetki: $2208, 1616 \dots \cdot 2 = 4416, 3232 \dots$ , potem $4416, 3232 \dots : 100 = 44, 1632 \dots$ .
Nowa kwota: $2208, 1616 \dots + 44, 1632 \dots = 2252, 3248 \dots \approx 2252, 32$ .
Koniec 6. kwartału → koniec 7. kwartału. Przez kwartał dochodzą odsetki: $2%$ z $2252, 3248 \dots$ .
Odsetki: $2252, 3248 \dots \cdot 2 = 4504, 6496 \dots$ , potem $4504, 6496 \dots : 100 = 45, 0464 \dots$ .
Nowa kwota: $2252, 3248 \dots + 45, 0464 \dots = 2297, 3713 \dots \approx 2297, 37$ .
Koniec 7. kwartału → koniec 8. kwartału. Przez kwartał dochodzą odsetki: $2%$ z $2297, 3713 \dots$ .
Odsetki: $2297, 3713 \dots \cdot 2 = 4594, 7426 \dots$ , potem $4594, 7426 \dots : 100 = 45, 9474 \dots$ .
Nowa kwota: $2297, 3713 \dots + 45, 9474 \dots = 2343, 3187 \dots \approx 2343, 32$ .
Gotowe: $F V = 2343, 32$ zł. Tyle jest warta ta kwota w chwili „koniec 8. kwartału”.

Jak czytać:

złota kratka to 2000 zł wpłacone dziś, każdy wiersz niżej to koniec kolejnego kwartału ( $\cdot 1{,}02$ ), zielony wiersz to koniec 8. kwartału, czyli koniec 2. roku.

Dlaczego?

Odsetki zostaną dopisane 8 razy — tyle jest wierszy w dół od „dziś” do zielonego wiersza.

Policz FV
Czynnik (kalkulator): $1{,}02^8 = 1{,}171659\ldots$ — trzy kropki znaczą, że liczba ma dalsze cyfry. Liczysz dalej z pełnym wynikiem z kalkulatora.
$\begin{aligned} FV &= 1{,}171659\ldots \cdot 2000 \\ &= 2343{,}318\ldots \approx 2343{,}32 \text{ zł} \end{aligned}$
Dlaczego?
Czynnika nie zaokrąglasz: każda obcięta cyfra po pomnożeniu przez 2000 zmienia wynik o grosze, a przy większych kwotach nawet o złotówki.
Porównaj z kapitalizacją roczną
Przy odsetkach dopisywanych raz w roku: $1{,}08^2 \cdot 2000 = 1{,}1664 \cdot 2000 = 2332{,}80$ zł. Kapitalizacja kwartalna daje $2343{,}32 - 2332{,}80 = 10{,}52$ zł więcej.
Dlaczego?
Im częściej bank dopisuje odsetki, tym wcześniej zaczynają one same zarabiać (odsetki od odsetek). Przy tej samej (dodatniej) stopie rocznej częstsza kapitalizacja zawsze daje trochę więcej.

Sprawdź się

1000 zł na 2 lata, 10% rocznie, kapitalizacja roczna. Ile będzie na lokacie?

Wartość bieżąca (PV)

Teraz odwrotnie: znasz kwotę w przyszłości i pytasz, ile jest warta dziś. Na osi czasu idziesz w górę — za każdy rok dzielisz przez $1 + i$ , bo szukasz kwoty, która razem z odsetkami da tę z przyszłości.

P V = \frac{F V}{( 1 + i ) ^{n}}

Czytamy: pe-fał równa się ef-fał przez jeden plus i do potęgi en

$F V$: kwota w przyszłości — tę znasz z treści
$(1 + i)^{n}$: ten sam czynnik co we wzorze na $F V$ — tylko teraz przez niego dzielisz
$P V$: wynik — ile ta przyszła kwota jest warta dziś

Zadanie · krok po kroku

Ile wpłacić dziś, żeby za 3 lata mieć 10 000 zł?

Za 3 lata chcesz mieć 10 000 zł. Lokata daje 5% w skali roku (kapitalizacja roczna). Ile musisz wpłacić dziś?

Plan — co zrobimy i po co

Cel: kwota dziś ( $PV$ ), która po 3 latach urośnie do 10 000 zł.

Wypisujemy dane — żeby było jasne, czego szukamy: kwoty na początku, a nie na końcu.
Cofamy 10 000 zł po osi czasu rok po roku — żeby zobaczyć, dlaczego tym razem dzielimy.
Liczymy to samo wzorem i sprawdzamy wynik w drugą stronę — sprawdzenie mnożeniem wyłapie pomylenie mnożenia z dzieleniem.

Wypisz dane
$FV = 10\,000$ zł, $i = 5\% = 0{,}05$ , $n = 3$ . Szukasz $PV$ .
Dlaczego?
Znasz kwotę na końcu (cel), a szukasz kwoty na początku — to pytanie o wartość bieżącą.
Cofnij kwotę po osi czasu
moment kwota
dziś $: 1, 05$ $8638, 38$ $9070, 2947 \dots : 1, 05$
koniec 1. roku $: 1, 05$ $9070, 29$ $9523, 8095 \dots : 1, 05$
koniec 2. roku $: 1, 05$ $9523, 81$ $10000 : 1, 05$
koniec 3. roku $10000$
kwota w chwili, w której ją dostanieszta sama kwota rok wcześniej: podzielona przez $1, 05$ wiersz, na który liczysz wartość
kwoty same przejdą wiersz po wierszu, a pod spodem zobaczysz rachunek
liczysz terazstąd bierzesz kwotęjeszcze niepoliczona
1. Tabela to oś czasu z góry na dół: każdy wiersz to jeden moment, od dziś do końca 3. roku. Złota kratka to kwota, którą dostaniesz na koniec 3. roku. Przesuwasz ją w górę do zielonego wiersza „dziś”. Jeden wiersz w górę to cofnięcie o jeden rok: dzielisz przez $1, 05$ .
2. Koniec 3. roku → koniec 2. roku. Cofasz się o rok: szukasz kwoty, która razem z odsetkami za ten rok da $10000$ — odsetki doliczasz mnożeniem przez $1, 05$ , więc teraz dzielisz:
  $10000 : 1, 05 = 9523, 8095 \dots \approx 9523, 81$ (kalkulator).
  Sprawdzenie: $9523, 81 \cdot 1, 05 \approx 10000$ ✓
3. Koniec 2. roku → koniec 1. roku. Cofasz się o rok: szukasz kwoty, która razem z odsetkami za ten rok da $9523, 8095 \dots$ — odsetki doliczasz mnożeniem przez $1, 05$ , więc teraz dzielisz:
  $9523, 8095 \dots : 1, 05 = 9070, 2947 \dots \approx 9070, 29$ (kalkulator).
  Dzielisz wynik z poprzedniego kroku prosto z kalkulatora — bez zaokrąglania. Zaokrąglasz dopiero to, co wpisujesz do tabeli.
4. Koniec 1. roku → dziś. Cofasz się o rok: szukasz kwoty, która razem z odsetkami za ten rok da $9070, 2947 \dots$ — odsetki doliczasz mnożeniem przez $1, 05$ , więc teraz dzielisz:
  $9070, 2947 \dots : 1, 05 = 8638, 3759 \dots \approx 8638, 38$ (kalkulator).
5. Gotowe: $P V = 8638, 38$ zł. Tyle jest warta ta kwota w chwili „dziś”.
Jak czytać:
złota kratka to 10 000 zł na koniec 3. roku, zielony wiersz to dziś. Kwota idzie w górę: każda kratka wyżej to kwota rok wcześniej, czyli podzielona przez $1{,}05$ (mała liczba nad kwotą). Kwoty w kratkach są zaokrąglone do groszy — na kalkulatorze dzielisz dalej pełny wynik, a nie zaokrąglony.
Dlaczego?
Szukasz kwoty, która po doliczeniu odsetek (razy $1{,}05$ ) da kwotę z wiersza niżej. Odwrotnością mnożenia jest dzielenie.
Policz wzorem
Czynnik: $1{,}05^3 = 1{,}157625$ .
$\begin{aligned} PV &= \frac{10\,000}{1{,}157625} \\ &= 8638{,}3759\ldots \approx 8638{,}38 \text{ zł} \end{aligned}$
Dlaczego?
Trzy kroki w górę po osi czasu to trzy razy „ $: 1{,}05$ ”, czyli dzielenie przez $1{,}05^3$ — jednym działaniem.
Sprawdź i odpowiedz
Sprawdzenie: $8638{,}38 \cdot 1{,}157625 = 10\,000{,}0046\ldots \approx 10\,000$ zł ✓. Musisz wpłacić dziś 8638,38 zł.
Dlaczego?
Sprawdzasz wzorem na $FV$ — w drugą stronę. Różnica 0,0046 zł (mniej niż pół grosza) to skutek zaokrąglenia $PV$ do groszy, nie błąd.

moment	kwota
dziś	$: 1, 05$ $8638, 38$ $9070, 2947 \dots : 1, 05$
koniec 1. roku	$: 1, 05$ $9070, 29$ $9523, 8095 \dots : 1, 05$
koniec 2. roku	$: 1, 05$ $9523, 81$ $10000 : 1, 05$
koniec 3. roku	$10000$

Porównywanie ofert

Wracamy do konkursu: 1000 zł dziś czy 1100 zł za 2 lata? Przyjmijmy, że lokata daje 6% rocznie.

Sposób 1: wszystko na dziś

$1{,}06^2 = 1{,}1236$

$PV = 1100 : 1{,}1236 = 978{,}996\ldots \approx 979{,}00$ zł

$979{,}00 < 1000$ — więcej warte jest 1000 zł dziś.

Sposób 2: wszystko na koniec 2. roku

$FV = 1{,}1236 \cdot 1000 = 1123{,}60$ zł

$1123{,}60 > 1100$ — kwota 1000 zł wpłacona dziś urośnie do kwoty większej niż 1100 zł. Wniosek ten sam: 1000 zł dziś.

Pułapka· Typowe błędy przy PV

Mnożenie zamiast dzielenia: $10\,000 \cdot 1{,}157625 = 11\,576{,}25$ zł. Wynik większy od 10 000 zł to sygnał błędu — przy dodatniej stopie kwota dziś jest zawsze mniejsza od kwoty w przyszłości.
Dzielenie przez $1{,}05 \cdot 3$ : $10\,000 : 3{,}15 \approx 3174{,}60$ zł — trzeba dzielić przez $1{,}05^3$ , nie przez $3 \cdot 1{,}05$ .
Odejmowanie 5% zamiast dzielenia: $10\,000 \cdot 0{,}95^3 = 8573{,}75$ zł zamiast 8638,38 zł. Odjęcie 5% to nie to samo co podzielenie przez $1{,}05$ : $1050 - 5\% = 1050 - 52{,}50 = 997{,}50$ , a $1050 : 1{,}05 = 1000$ .
Zaokrąglony czynnik: $10\,000 : 1{,}16 \approx 8620{,}69$ zł — o 17,69 zł za mało.

Sprawdź się

Ile jest dziś warte 1210 zł, które dostaniesz za 2 lata, przy 10% rocznie?

Strumień pieniężny — kilka wpłat

Strumień pieniężny to kilka wpłat w różnych momentach, np. co roku 1000 zł. Na zajęciach wpłaty są z góry — na początku każdego okresu — a wartość strumienia liczysz na koniec ostatniego okresu.

F V = (1 + i)^{n} P V_{1} + (1 + i)^{n - 1} P V_{2} + \dots + (1 + i) P V_{n}

Czytamy: ef-fał równa się: jeden plus i do potęgi en razy pe-fał jeden, plus jeden plus i do potęgi en minus jeden razy pe-fał dwa, i tak dalej, aż do: jeden plus i razy pe-fał en

$P V_{1}, P V_{2}, \dots, P V_{n}$: kolejne wpłaty — numer na dole to numer wpłaty, a nie potęga. $P V_{1}$ wpłacasz dziś, $P V_{2}$ na początku 2. okresu, …
$(1 + i)^{n} P V_{1}$: pierwsza wpłata leży na koncie wszystkie $n$ okresów, więc rośnie $n$ razy
$(1 + i)^{n - 1} P V_{2}$: druga wpłata przychodzi okres później — leży o jeden okres krócej
$(1 + i) P V_{n}$: ostatnia wpłata (początek ostatniego okresu) leży jeszcze jeden okres — jedno $\cdot (1 + i)$

Zadanie · krok po kroku

Trzy wpłaty po 1000 zł, 5% rocznie

Na początku każdego z trzech kolejnych lat wpłacasz 1000 zł na rachunek oprocentowany 5% w skali roku (kapitalizacja roczna). Ile będzie na rachunku na koniec 3. roku?

Plan — co zrobimy i po co

Cel: jedna kwota — wartość wszystkich wpłat na koniec 3. roku ( $FV$ strumienia).

Ustawiamy wpłaty na osi czasu — bo każda wpłata leży na rachunku inną liczbę lat.
Każdą wpłatę przenosimy osobno na koniec 3. roku — dodawać wolno tylko kwoty z jednego momentu.
Dodajemy trzy kwoty z zielonego wiersza.

Ustaw wpłaty na osi czasu
Wpłaty z góry: 1. wpłata dziś, 2. — na początku 2. roku (czyli na koniec 1. roku), 3. — na początku 3. roku (na koniec 2. roku). Cel: koniec 3. roku.
Dlaczego?
Początek roku i koniec poprzedniego roku to ten sam moment. Ostatnia wpłata nie leży w zielonym wierszu — wpłacasz ją rok przed końcem, więc też zarobi odsetki za jeden rok.

Przenieś każdą wpłatę na koniec 3. roku

moment	1. wpłata	2. wpłata	3. wpłata
dziś	$1000$
koniec 1. roku	$\cdot 1, 05$ $1050$ $1000 \cdot 1, 05$	$1000$
koniec 2. roku	$\cdot 1, 05$ $1102, 50$ $1050 \cdot 1, 05$	$\cdot 1, 05$ $1050$ $1000 \cdot 1, 05$	$1000$
koniec 3. roku	$\cdot 1, 05$ $1157, 63$ $1102, 50 \cdot 1, 05$	$\cdot 1, 05$ $1102, 50$ $1050 \cdot 1, 05$	$\cdot 1, 05$ $1050$ $1000 \cdot 1, 05$

Dodawanie pisemne w wierszu „koniec 3. roku”:

	$1157, 63$	1. wpłata
+	$1102, 50$	2. wpłata
+	$1050, 00$	3. wpłata
=	$3310, 13$	$F V$

wpłata — w chwili, w której ją wpłacaszta sama kwota rok później: razy $1, 05$ wiersz, na który liczysz wartość

Jak czytać:

każda kolumna to jedna wpłata. Złota kratka — chwila wpłaty, turkusowe — ta sama wpłata po kolejnych latach, zielony wiersz — koniec 3. roku. Pierwsza wpłata schodzi o 3 wiersze, druga o 2, trzecia o 1. Pod tabelą trzy kwoty z zielonego wiersza są dodane pisemnie.

Dlaczego?

Każda wpłata leży na rachunku inną liczbę lat, więc każdą przenosisz osobno. Dodawać możesz dopiero kwoty z tego samego momentu.

To samo wzorem ze slajdu
Wzór ze slajdu, składnik po składniku. Potrzebne potęgi: $1{,}05^2 = 1{,}1025$ i $1{,}05^3 = 1{,}157625$ , więc pierwszy składnik to dokładnie $1{,}157625 \cdot 1000 = 1157{,}625 \approx 1157{,}63$ .
$\begin{array}{rcl} 1{,}05^3 \cdot 1000 &\approx& 1157{,}63 \\ 1{,}05^2 \cdot 1000 &=& 1102{,}50 \\ 1{,}05 \cdot 1000 &=& 1050{,}00 \\ \hline FV &\approx& 3310{,}13 \text{ zł} \end{array}$
Dlaczego?
Wykładniki 3, 2, 1 to liczba wierszy, o które schodzi każda wpłata. Wzór ze slajdu to dokładnie ta tabela zapisana w jednej linii.
Odpowiedź
Na koniec 3. roku na rachunku będzie 3310,13 zł (wpłaty to razem 3000 zł, odsetki — 310,13 zł).
Dlaczego?
Dokładna suma to $3310{,}125$ zł — zaokrąglasz ją do groszy dopiero na końcu i też wychodzi 3310,13 zł.

Z góry czy z dołu?

Na slajdzie wpłaty są z góry. W treści zadania może się jednak pojawić wariant z dołu — wpłaty na koniec każdego roku. Porównaj obie osie czasu dla trzech wpłat po 1000 zł przy 5%:

moment	1. wpłata	2. wpłata	3. wpłata
dziś	$1000$
koniec 1. roku	$\cdot 1, 05$ $1050$ $1000 \cdot 1, 05$	$1000$
koniec 2. roku	$\cdot 1, 05$ $1102, 50$ $1050 \cdot 1, 05$	$\cdot 1, 05$ $1050$ $1000 \cdot 1, 05$	$1000$
koniec 3. roku	$\cdot 1, 05$ $1157, 63$ $1102, 50 \cdot 1, 05$	$\cdot 1, 05$ $1102, 50$ $1050 \cdot 1, 05$	$\cdot 1, 05$ $1050$ $1000 \cdot 1, 05$

Dodawanie pisemne w wierszu „koniec 3. roku”:

	$1157, 63$	1. wpłata
+	$1102, 50$	2. wpłata
+	$1050, 00$	3. wpłata
=	$3310, 13$	$F V$

wpłata — w chwili, w której ją wpłacaszta sama kwota rok później: razy $1, 05$ wiersz, na który liczysz wartość

Jak czytać:

z góry: wpłaty dziś, na koniec 1. roku i na koniec 2. roku. Każda wpłata zarabia co najmniej rok — nawet ostatnia schodzi o jeden wiersz.

moment	1. wpłata	2. wpłata	3. wpłata
dziś
koniec 1. roku	$1000$
koniec 2. roku	$\cdot 1, 05$ $1050$ $1000 \cdot 1, 05$	$1000$
koniec 3. roku	$\cdot 1, 05$ $1102, 50$ $1050 \cdot 1, 05$	$\cdot 1, 05$ $1050$ $1000 \cdot 1, 05$	$1000$

Dodawanie pisemne w wierszu „koniec 3. roku”:

	$1102, 50$	1. wpłata
+	$1050, 00$	2. wpłata
+	$1000, 00$	3. wpłata
=	$3152, 50$	$F V$

wpłata — w chwili, w której ją wpłacaszta sama kwota rok później: razy $1, 05$ wiersz, na który liczysz wartość

Jak czytać:

z dołu: wpłaty na koniec 1., 2. i 3. roku. Ostatnia wpłata stoi już w zielonym wierszu — nie zarabia nic. Każda wpłata leży o rok krócej niż „z góry”, więc wynik jest mniejszy: 3152,50 zł zamiast 3310,13 zł.

Pułapka· Typowe błędy przy strumieniu

Wykładniki o 1 za małe (2, 1, 0 zamiast 3, 2, 1): $1102{,}50 + 1050 + 1000 = 3152{,}50$ zł — to wynik dla wpłat z dołu, nie z góry.
Odwrócone wykładniki: najwyższy wykładnik dostaje pierwsza wpłata (najdłużej leży na koncie), a nie ostatnia. Przy równych wpłatach tego błędu nie widać, ale przy wpłatach 2000, 1500 i 1000 zł wychodzi $1{,}1 \cdot 2000 + 1{,}21 \cdot 1500 + 1{,}331 \cdot 1000 = 5346$ zł zamiast 5577 zł.
Suma wpłat razy czynnik: $3000 \cdot 1{,}05^3 = 3472{,}875 \approx 3472{,}88$ zł — tak jakby wszystkie 3000 zł leżały od dziś.

Sprawdź się

Dwie wpłaty z góry po 500 zł, 10% rocznie. Ile będzie na rachunku na koniec 2. roku?

Renta — dzisiejsza wartość przyszłych wypłat

Renta to seria wypłat, które dostaniesz w przyszłości — np. 2000 zł na koniec każdego roku przez 3 lata. Pytanie brzmi: ile ta seria jest warta dziś? Inaczej: ile trzeba dziś wpłacić do banku, żeby bank mógł ci wypłacać po 2000 zł przez 3 lata. Na slajdzie te kwoty nazywają się „przyszłymi wpłatami” — to pieniądze, które będą wpływać na twoje konto. Tutaj nazywamy je wypłatami, bo wypłaca je bank.

P V = \frac{F V _{1}}{1 + i} + \frac{F V _{2}}{( 1 + i ) ^{2}} + \dots + \frac{F V _{n}}{( 1 + i ) ^{n}}

Czytamy: pe-fał równa się: ef-fał jeden przez jeden plus i, plus ef-fał dwa przez jeden plus i do kwadratu, i tak dalej, aż do: ef-fał en przez jeden plus i do potęgi en

$F V_{1}, F V_{2}, \dots, F V_{n}$: kolejne wypłaty — $F V_{1}$ dostajesz na koniec 1. okresu, $F V_{2}$ na koniec 2., …
$\frac{F V _{k}}{( 1 + i ) ^{k}}$: wypłata sprowadzona do dziś — wypłatę z końca $k$ -tego okresu dzielisz $k$ razy przez $1 + i$
$P V$: wynik — wartość całej renty dziś: suma wszystkich wypłat sprowadzonych do dziś

To wzór dla renty z dołu — wypłaty na koniec każdego okresu, tak jak na slajdzie.

Zadanie · krok po kroku

Renta: trzy wypłaty po 2000 zł, 6% rocznie

Bank ma ci wypłacać 2000 zł na koniec każdego z trzech kolejnych lat. Pieniądze w banku są oprocentowane 6% w skali roku. Ile musisz wpłacić dziś?

Plan — co zrobimy i po co

Cel: jedna kwota dziś ( $PV$ renty), która wystarczy na trzy wypłaty po 2000 zł.

Ustawiamy wypłaty na osi czasu — każda jest w innym momencie, więc każdą cofamy o inną liczbę lat.
Każdą wypłatę cofamy do dziś.
Dodajemy trzy kwoty z wiersza „dziś” — teraz wszystkie są z jednego momentu, więc wolno je dodać.
Sprawdzamy, czy ta kwota rzeczywiście wystarczy na trzy wypłaty — to pokazuje, co znaczy wynik.

Ustaw wypłaty na osi czasu
Wypłaty z dołu: na koniec 1., 2. i 3. roku. Cel: dziś.
Dlaczego?
Pierwsza wypłata jest za rok, a nie dziś — dlatego ją też dzielisz przez $1{,}06$ (jeden krok w górę).

Cofnij każdą wypłatę do dziś

moment	1. wypłata	2. wypłata	3. wypłata
dziś	$: 1, 06$ $1886, 79$ $2000 : 1, 06$	$: 1, 06$ $1779, 99$ $1886, 7924 \dots : 1, 06$	$: 1, 06$ $1679, 24$ $1779, 9928 \dots : 1, 06$
koniec 1. roku	$2000$	$: 1, 06$ $1886, 79$ $2000 : 1, 06$	$: 1, 06$ $1779, 99$ $1886, 7924 \dots : 1, 06$
koniec 2. roku		$2000$	$: 1, 06$ $1886, 79$ $2000 : 1, 06$
koniec 3. roku			$2000$

Dodawanie pisemne w wierszu „dziś”:

	$1886, 79$	1. wypłata
+	$1779, 99$	2. wypłata
+	$1679, 24$	3. wypłata
=	$5346, 02$	$P V$

wypłata — w chwili, w której ją dostajeszta sama kwota rok wcześniej: podzielona przez $1, 06$ wiersz, na który liczysz wartość

Tabela to oś czasu z góry na dół: każdy wiersz to jeden moment, od dziś do końca 3. roku. Złote kratki to wypłaty — każda w chwili, w której ją dostajesz. Każdą przesuwasz w górę do zielonego wiersza „dziś”. Jeden wiersz w górę to cofnięcie o jeden rok: dzielisz przez $1, 06$ .
1. wypłata: koniec 1. roku → dziś. Cofasz się o rok: szukasz kwoty, która razem z odsetkami za ten rok da $2000$ — odsetki doliczasz mnożeniem przez $1, 06$ , więc teraz dzielisz:
$2000 : 1, 06 = 1886, 7924 \dots \approx 1886, 79$ (kalkulator).
Sprawdzenie: $1886, 79 \cdot 1, 06 \approx 2000$ ✓
2. wypłata: koniec 2. roku → koniec 1. roku. Cofasz się o rok: szukasz kwoty, która razem z odsetkami za ten rok da $2000$ — odsetki doliczasz mnożeniem przez $1, 06$ , więc teraz dzielisz:
$2000 : 1, 06 = 1886, 7924 \dots \approx 1886, 79$ (kalkulator).
Sprawdzenie: $1886, 79 \cdot 1, 06 \approx 2000$ ✓
2. wypłata: koniec 1. roku → dziś. Cofasz się o rok: szukasz kwoty, która razem z odsetkami za ten rok da $1886, 7924 \dots$ — odsetki doliczasz mnożeniem przez $1, 06$ , więc teraz dzielisz:
$1886, 7924 \dots : 1, 06 = 1779, 9928 \dots \approx 1779, 99$ (kalkulator).
Dzielisz wynik z poprzedniego kroku prosto z kalkulatora — bez zaokrąglania. Zaokrąglasz dopiero to, co wpisujesz do tabeli.
3. wypłata: koniec 3. roku → koniec 2. roku. Cofasz się o rok: szukasz kwoty, która razem z odsetkami za ten rok da $2000$ — odsetki doliczasz mnożeniem przez $1, 06$ , więc teraz dzielisz:
$2000 : 1, 06 = 1886, 7924 \dots \approx 1886, 79$ (kalkulator).
Sprawdzenie: $1886, 79 \cdot 1, 06 \approx 2000$ ✓
3. wypłata: koniec 2. roku → koniec 1. roku. Cofasz się o rok: szukasz kwoty, która razem z odsetkami za ten rok da $1886, 7924 \dots$ — odsetki doliczasz mnożeniem przez $1, 06$ , więc teraz dzielisz:
$1886, 7924 \dots : 1, 06 = 1779, 9928 \dots \approx 1779, 99$ (kalkulator).
Dzielisz wynik z poprzedniego kroku prosto z kalkulatora — bez zaokrąglania. Zaokrąglasz dopiero to, co wpisujesz do tabeli.
3. wypłata: koniec 1. roku → dziś. Cofasz się o rok: szukasz kwoty, która razem z odsetkami za ten rok da $1779, 9928 \dots$ — odsetki doliczasz mnożeniem przez $1, 06$ , więc teraz dzielisz:
$1779, 9928 \dots : 1, 06 = 1679, 2385 \dots \approx 1679, 24$ (kalkulator).
W zielonym wierszu („dziś”) masz teraz 3 kwoty. Dodajesz je — najwygodniej pisemnie, jak na kartce pod tabelą:
$1886, 79 + 1779, 99 + 1679, 24 = 5346, 02$ .
Gotowe: $P V = 5346, 02$ zł. Tyle są warte wszystkie kwoty razem w chwili „dziś”.

Jak czytać:

każda kolumna to jedna wypłata. Złota kratka — chwila wypłaty, turkusowe — ta sama kwota cofnięta o kolejne lata (podzielona przez $1{,}06$ ), zielony wiersz — dziś. Pierwsza wypłata idzie w górę o 1 wiersz, druga o 2, trzecia o 3. Pod tabelą kwoty z wiersza „dziś” są dodane pisemnie. Kwoty w kratkach są zaokrąglone do groszy — na kalkulatorze dzielisz dalej pełny wynik.

Dlaczego?

Im później dostajesz pieniądze, tym mniej są warte dziś — dlatego trzecia wypłata jest dziś warta najmniej (1679,24 zł).

To samo wzorem ze slajdu
Wzór ze slajdu, składnik po składniku:
$\begin{array}{rcl} \dfrac{2000}{1{,}06} &\approx& 1886{,}79 \\[6pt] \dfrac{2000}{1{,}06^2} &\approx& 1779{,}99 \\[6pt] \dfrac{2000}{1{,}06^3} &\approx& 1679{,}24 \\[4pt] \hline PV &\approx& 5346{,}02 \text{ zł} \end{array}$
Dlaczego?
Wykładnik w mianowniku to numer roku wypłaty, czyli liczba wierszy w górę. $1{,}06^2 = 1{,}1236$ , $1{,}06^3 = 1{,}191016$ .

Sprawdź: czy 5346,02 zł wystarczy?

Wpłacasz 5346,02 zł i co roku: bank dolicza 6% odsetek, potem wypłacasz 2000 zł.

koniec roku	przed wypłatą (z odsetkami)	po wypłacie 2000 zł
1.	$5346{,}02 \cdot 1{,}06$ $\approx 5666{,}78$	$3666{,}78$
2.	$3666{,}78 \cdot 1{,}06$ $\approx 3886{,}79$	$1886{,}79$
3.	$1886{,}79 \cdot 1{,}06$ $\approx 2000{,}00$	$0{,}00$

Jak czytać tabelę: wiersz to koniec kolejnego roku. Najpierw bank dolicza 6% (środkowa kolumna), potem wypłacasz 2000 zł, a reszta (prawa kolumna) zostaje na następny rok. Stan konta bank zaokrągla do groszy.

Po trzeciej wypłacie na koncie zostaje 0 zł — kwota wystarcza co do grosza. Odpowiedź: musisz wpłacić 5346,02 zł.

Dlaczego?

To jest sens wartości bieżącej renty: najmniejsza kwota, która razem z odsetkami pokrywa wszystkie wypłaty. Przy mniejszej wpłacie na ostatnią wypłatę by zabrakło.

Renta dożywotnia

Renta dożywotnia wypłaca pieniądze co roku „do końca życia”. Na slajdzie liczy się ją tak, jakby wypłaty trwały bez końca: to ta sama suma, tylko nie kończy się na $n$ -tym składniku:

PV = \frac{FV_1}{1+i} + \frac{FV_2}{(1+i)^2} + \ldots + \frac{FV_n}{(1+i)^n} + \ldots

„ $+ \ldots$ ” na końcu znaczy, że po $n$ -tym składniku są dalsze — bez końca.

Gdy wszystkie wypłaty są takie same, a pierwsza jest za rok, suma ma bardzo prosty wynik:

Przykład: 1200 zł na koniec każdego roku, dożywotnio, stopa 4%: $PV = 1200 : 0{,}04 = 120\,000 : 4 = 30\,000$ zł.

Po ludzku· Dlaczego to działa

Wpłać 30 000 zł na 4%. Po roku bank dolicza 4% odsetek, czyli 1200 zł. Wypłacasz dokładnie te odsetki — na koncie znowu jest 30 000 zł:

rok	na początku roku	odsetki 4% = wypłata	na koniec roku
1	30 000	1200	30 000
2	30 000	1200	30 000
3	30 000	1200	30 000

Jak czytać: w każdym roku bank dolicza 1200 zł odsetek, a ty wypłacasz dokładnie tyle samo. Kapitał 30 000 zł nigdy nie maleje — i wypłaty mogą trwać bez końca.

Nieskończenie wiele wypłat, a skończona wartość? Tak, bo dalekie wypłaty są dziś warte bardzo mało (dzielisz je przez coraz większą potęgę). Zobacz, jak rośnie suma dla 1200 zł i 4%, gdy bierzesz coraz więcej lat:

ile lat wypłat	wartość dziś
10	9733,07 zł
25	18 746,50 zł
50	25 778,62 zł
100	29 406,00 zł
bez końca	30 000,00 zł

Jak czytać: każdy wiersz to suma wypłat z tylu lat, sprowadzonych do dziś. Suma rośnie coraz wolniej i zbliża się do 30 000 zł, ale tej kwoty nie przekracza.

Sprawdź się

Renta dożywotnia wypłaca 500 zł na koniec każdego roku. Stopa wynosi 5%. Ile jest warta dziś?

Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR)

Dotąd stopa $i$ była w treści. Teraz odwrotnie: znasz wydatek i przyszłe wpływy, a szukasz stopy.

Przykład: kupujesz maszynę za 1000 zł. Po roku przynosi ci 600 zł, po dwóch latach jeszcze 550 zł. Ile procent rocznie zarabiasz na tej inwestycji? (Na slajdzie wydatek nazywa się „dzisiejszą wpłatą” — to kwota, którą dziś wykładasz.)

To samo równanie co przy rencie — tylko tym razem szukasz $i$ :

P V = \frac{F V _{1}}{1 + i} + \frac{F V _{2}}{( 1 + i ) ^{2}} + \dots + \frac{F V _{n}}{( 1 + i ) ^{n}}

Czytamy: pe-fał równa się: ef-fał jeden przez jeden plus i, plus ef-fał dwa przez jeden plus i do kwadratu, i tak dalej

$P V$: wydatek dziś (cena inwestycji) — znasz go
$F V_{1}, F V_{2}, \dots$: wpływy na koniec kolejnych lat — znasz je
$i$: niewiadoma — szukana stopa zwrotu

Pobaw się suwakiem: przy jakiej stopie wpływy 600 zł i 550 zł są dziś warte dokładnie 1000 zł?

Symulator

Przy jakiej stopie wpływy są dziś warte dokładnie tyle, ile wydajesz?

Wartość dziś wszystkich wpływów — porównujesz ją z wydatkiem 1000 zł:

\frac{600}{( 1 + i )} + \frac{550}{( 1 + i ) ^{2}} = ? 1000

stopa i	wpływy warte dziś	a wydatek 1000 zł
$0%$	$600, 00 + 550, 00 = 1150, 00$	więcej niż wydatek
$5%$	$571, 43 + 498, 87 = 1070, 30$	więcej niż wydatek
$10%$	$545, 45 + 454, 55 = 1000, 00$	równo — to jest IRR
$15%$	$521, 74 + 415, 88 = 937, 62$	mniej niż wydatek
$20%$	$500, 00 + 381, 94 = 881, 94$	mniej niż wydatek

Jak czytać: przy niskiej stopie przyszłe wpływy są dziś warte dużo (więcej niż 1000 zł), przy wysokiej — mało. Gdzieś pomiędzy jest stopa, przy której wychodzi dokładnie 1000 zł. To jest IRR. Tabela pod suwakiem pokazuje to samo dla kilku stóp.

Jeden rok

Wydajesz 1000 zł, po roku dostajesz 1080 zł. Równanie ze slajdu ma wtedy jeden składnik:

1000 = \frac{1080}{1+i}

Mnożysz obie strony przez $1+i$ , żeby pozbyć się ułamka: $1000 \cdot (1+i) = 1080$ .
Dzielisz obie strony przez 1000: $1 + i = 1080 : 1000 = 1{,}08$ .
Odejmujesz 1: $i = 1{,}08 - 1 = 0{,}08 = 8\%$ .

Sprawdzenie: 8% z 1000 zł to 80 zł, a $1000 + 80 = 1080$ ✓. Dlaczego tak: po roku masz $1000 \cdot (1+i)$ — tyle samo co wpływ 1080 zł, więc $1+i$ mówi, ile razy urosły pieniądze.

Dwa lata — równanie kwadratowe

Zadanie · krok po kroku

IRR maszyny: 1000 zł dziś, 600 zł i 550 zł później

Inwestycja kosztuje dziś 1000 zł. Po roku przynosi 600 zł, a po dwóch latach 550 zł. Oblicz wewnętrzną stopę zwrotu.

Plan — co zrobimy i po co

Cel: stopa $i$ , przy której $600$ i $550$ zł sprowadzone do dziś dają razem $1000$ zł.

Układamy równanie ze wzoru ze slajdu — IRR to stopa, przy której obie jego strony są równe.
Zamieniamy $1+i$ na $x$ i sprowadzamy równanie do kwadratowego — bo takie równanie umiesz rozwiązać deltą.
Rozwiązujemy deltą i odrzucamy ujemny pierwiastek — ujemne $x$ oznaczałoby stratę większą niż cały wkład.
Zamieniamy $x$ z powrotem na $i$ i sprawdzamy — bo pytanie jest o $i$ , nie o $x$ .

Ułóż równanie
$1000 = \frac{600}{1+i} + \frac{550}{(1+i)^2}$
Dlaczego?
Lewa strona to wydatek dziś. Prawa — dzisiejsza wartość wpływów: 600 zł jest za rok (dzielisz raz), 550 zł za dwa lata (dzielisz dwa razy). IRR to stopa, przy której obie strony są równe.
Podstaw x = 1 + i
$1000 = \frac{600}{x} + \frac{550}{x^2}$
Dlaczego?
Zamiast pisać ciągle $1+i$ , piszesz jedną literę. Na koniec wrócisz do $i$ : $i = x - 1$ .
Pozbądź się ułamków
Mnożysz obie strony przez $x^2$ :
- lewa: $1000 \cdot x^2 = 1000x^2$ ,
- $\dfrac{600}{x} \cdot x^2 = 600x$ (jedno $x$ się skraca),
- $\dfrac{550}{x^2} \cdot x^2 = 550$ .
$1000x^2 = 600x + 550$
Przenosisz składniki z prawej strony na lewą — odejmujesz je od obu stron (przeniesiony składnik jest złoty). Najpierw odejmujesz $600x$ :
$1000x^2 \textcolor{#FFD84A}{- 600x} = 550$
Potem odejmujesz $550$ :
$1000x^2 - 600x \textcolor{#FFD84A}{- 550} = 0$
Wszystkie liczby dzielą się przez 50: $1000 : 50 = 20$ , $600 : 50 = 12$ , $550 : 50 = 11$ . Dzielisz więc całe równanie przez 50:
$20x^2 - 12x - 11 = 0$
Dlaczego?
Mnożenie obu stron równania przez tę samą liczbę (tu $x^2$ , a $x$ nie jest zerem) nie zmienia rozwiązań. Dzielenie przez 50 też nie — a na mniejszych liczbach łatwiej liczyć deltę.
Policz deltę
$a = 20$ , $b = -12$ , $c = -11$ .
- $b^2 = (-12)^2 = 144$ (minus razy minus daje plus),
- $4ac = 4 \cdot 20 \cdot (-11)$ : $4 \cdot 20 = 80$ , $80 \cdot 11 = 880$ , ze znakiem minus: $-880$ ,
- $\Delta = 144 - (-880) = 144 + 880 = 1024$ .
$\sqrt{1024} = 32$ , bo $32 \cdot 32 = 1024$ . ( $\sqrt{\ }$ to pierwiastek kwadratowy: liczba, która pomnożona przez siebie daje 1024. Nie myl go z pierwiastkami równania — tak nazywa się rozwiązania $x_1$ , $x_2$ .)
Dlaczego?
Odjęcie liczby ujemnej to dodanie liczby przeciwnej: $144 - (-880) = 144 + 880$ . Delta wyszła dodatnia, więc są dwa pierwiastki równania.
Pierwiastki — weź dodatni
Do wzorów wstawiasz $-b = -(-12) = 12$ (minus przed minusem daje plus), $\sqrt{\Delta} = 32$ i $2a = 2 \cdot 20 = 40$ :
$x_1 = \frac{12 - 32}{40} \qquad x_2 = \frac{12 + 32}{40}$
- Licznik $x_1$ : $12 - 32$ — odejmujesz więcej, niż masz. Do zera schodzisz o 12, z 32 zostaje jeszcze 20 — o tyle schodzisz poniżej zera: $12 - 32 = -20$ . Potem $-20 : 40 = -0{,}5$ (bo $40 \cdot 0{,}5 = 20$ , a minus zostaje).
- Licznik $x_2$ : $12 + 32 = 44$ , a $44 : 40 = 1{,}1$ (bo $40 \cdot 1{,}1 = 44$ ).
$x_1 = -0{,}5$ odrzucasz, zostaje $x = 1{,}1$ .
Dlaczego?
$x = 1 + i$ to mnożnik roku: ile masz po roku z każdej złotówki. Nie może być ujemny — wyszłoby $i = -0{,}5 - 1 = -1{,}5 = -150\%$ , czyli strata większa niż cały wkład. Dlatego ujemny pierwiastek nie ma sensu w zadaniu.
Wróć do i i sprawdź
$i = x - 1 = 1{,}1 - 1 = 0{,}1 = 10\%$ .
Sprawdzenie ( $1{,}1^2 = 1{,}21$ ): $\dfrac{600}{1{,}1} + \dfrac{550}{1{,}21} \approx 545{,}45 + 454{,}55 = 1000{,}00$ zł ✓.
Odpowiedź: IRR = 10% rocznie.
Dlaczego?
Sprawdzenie potwierdza, że przy 10% wpływy są dziś warte dokładnie tyle, ile kosztowała inwestycja. Lokata na mniej niż 10% byłaby gorsza od tej maszyny, a na więcej niż 10% — lepsza.

Sprawdź się

Wydajesz dziś 500 zł, po roku dostajesz 550 zł. Ile wynosi IRR?

Plan spłaty kredytu — raty malejące

Bierzesz kredyt i oddajesz go w ratach. Amortyzacja to po prostu plan spłaty: tabela, która pokazuje, ile płacisz w każdym okresie i ile długu zostaje.

Każda rata składa się z dwóch części:

rata kapitałowa — oddajesz część pożyczonych pieniędzy; tylko ona zmniejsza dług,
rata odsetkowa — płacisz odsetki, czyli opłatę za pożyczanie; długu nie zmniejsza.

rata łą czna = rata odsetkowa + rata kapita ł owa

Czytamy: rata łączna równa się rata odsetkowa plus rata kapitałowa

$rata odsetkowa$: opłata za pożyczanie w tym okresie — nie zmniejsza długu
$rata kapita ł owa$: oddawana część kredytu — tylko ona zmniejsza dług
$rata łą czna$: cała kwota, którą w tym okresie przelewasz bankowi

Szablon planu z zajęć ma siedem kolumn. Każda wynika z poprzednich:

kolumna	co to jest	jak ją liczysz
Okres	numer raty	1, 2, 3, …
Kapitał początkowy	dług na początku okresu	w 1. okresie cały kredyt, potem kapitał końcowy z wiersza wyżej
Odsetki	opłata za pożyczanie przez ten okres	kapitał początkowy · $i$
Rata odsetkowa	ile odsetek płacisz w tym okresie	w planach w tym module tyle samo co odsetki
Rata kapitałowa	ile długu oddajesz	kredyt : liczba rat (w każdym wierszu tyle samo)
Rata łączna	ile przelewasz bankowi	rata odsetkowa + rata kapitałowa
Kapitał końcowy	dług po zapłaceniu raty	kapitał początkowy − rata kapitałowa

Jak czytać tabelę: wiersze idą w kolejności kolumn szablonu (od lewej do prawej); ostatnia kolumna mówi, skąd wziąć liczbę.

Zadanie · krok po kroku

Kredyt 12 000 zł w 3 ratach rocznych, 10%

Kredyt 12 000 zł spłacasz w 3 ratach malejących, płatnych na koniec każdego roku. Oprocentowanie wynosi 10% rocznie. Sporządź plan spłaty.

Plan — co zrobimy i po co

Cel: wypełniony szablon z zajęć — 3 wiersze, w ostatnim kapitał końcowy równy 0.

Liczymy ratę kapitałową — jest w każdym wierszu taka sama, więc liczysz ją raz, na początku.
Wypełniamy tabelę wiersz po wierszu, od lewej do prawej — bo każda kolumna korzysta z kolumn na lewo od niej, a każdy wiersz z wiersza wyżej.
Sprawdzamy: kapitał końcowy na końcu = 0, raty kapitałowe razem = kredyt — to wyłapuje błędy w odejmowaniu.

Rata kapitałowa
$12\,000 : 3 = 4000$ zł w każdym roku.
Dlaczego?
W ratach malejących kredyt dzielisz na równe części — co roku oddajesz tyle samo pożyczonych pieniędzy.

Wypełnij tabelę wiersz po wierszu

kredyt

12000

złliczba rat3 (raz w roku)oprocentowanie

10% (i = 0, 1)

rata kapitałowa

12000 : 3 =

4000

Okres	Kapitał początkowy	Odsetki	Rata odsetkowa	Rata kapitałowa	Rata łączna	Kapitał końcowy
1	$12000$	$1200$ $12000 \cdot 10%$	$1200$	$4000$	$5200$ $1200 + 4000$	$8000$ $12000 - 4000$
2	$8000$	$800$ $8000 \cdot 10%$	$800$	$4000$	$4800$ $800 + 4000$	$4000$ $8000 - 4000$
3	$4000$	$400$ $4000 \cdot 10%$	$400$	$4000$	$4400$ $400 + 4000$	$0$ $4000 - 4000$
Razem		$2400$	$2400$	$12000$	$14400$

rata łączna — tyle płacisz bankowi w danym okresiewiersz „Razem” — do sprawdzenia, nie jest częścią szablonukliknięta liczba — wyjaśnienie w ramce poniżej

Dane: kredyt $12000$ zł, 3 raty (płacisz na koniec każdego okresu), oprocentowanie $10%$ na okres. Tabela jest pusta — wypełnisz ją wiersz po wierszu, od lewej do prawej.
Zaczynasz od raty kapitałowej — to część raty, która spłaca sam kredyt. W ratach malejących dzielisz kredyt na równe części: $12000 : 3 = 4000$ . Ta liczba będzie w każdym wierszu.
Okres 1. Na początku do spłaty jest cały kredyt, więc kapitał początkowy = $12000$ .
Okres 1. Odsetki to opłata za to, że przez cały okres pożyczasz $12000$ zł. Liczysz $10%$ z kapitału początkowego:
$12000 \cdot 10 = 120000$ , potem $120000 : 100 = 1200$ .
Okres 1. Rata odsetkowa to część raty przeznaczona na odsetki. W planach w tym module płacisz od razu wszystkie odsetki za okres, więc rata odsetkowa = odsetki = $1200$ .
Okres 1. Rata kapitałowa — zawsze ta sama, policzona na początku: $4000$ .
Okres 1. Rata łączna to tyle, ile przelewasz bankowi w tym okresie, czyli rata odsetkowa + rata kapitałowa:
$1200 + 4000 = 5200$ .
Okres 1. Kapitał końcowy — ile kredytu zostało do spłaty. Dług zmniejsza tylko rata kapitałowa:
$12000 - 4000 = 8000$ . (Odsetek nie odejmujesz — one nie spłacają długu, to opłata za pożyczanie.)
Okres 2. Zaczynasz od tego, co zostało do spłaty po poprzednim okresie: kapitał początkowy = kapitał końcowy z wiersza wyżej = $8000$ .
Okres 2. Odsetki to opłata za to, że przez cały okres pożyczasz $8000$ zł. Liczysz $10%$ z kapitału początkowego:
$8000 \cdot 10 = 80000$ , potem $80000 : 100 = 800$ .
Okres 2. Rata odsetkowa to część raty przeznaczona na odsetki. W planach w tym module płacisz od razu wszystkie odsetki za okres, więc rata odsetkowa = odsetki = $800$ .
Okres 2. Rata kapitałowa — zawsze ta sama, policzona na początku: $4000$ .
Okres 2. Rata łączna to tyle, ile przelewasz bankowi w tym okresie, czyli rata odsetkowa + rata kapitałowa:
$800 + 4000 = 4800$ .
Okres 2. Kapitał końcowy — ile kredytu zostało do spłaty. Dług zmniejsza tylko rata kapitałowa:
$8000 - 4000 = 4000$ .
Okres 3. Zaczynasz od tego, co zostało do spłaty po poprzednim okresie: kapitał początkowy = kapitał końcowy z wiersza wyżej = $4000$ .
Okres 3. Odsetki to opłata za to, że przez cały okres pożyczasz $4000$ zł. Liczysz $10%$ z kapitału początkowego:
$4000 \cdot 10 = 40000$ , potem $40000 : 100 = 400$ .
Okres 3. Rata odsetkowa to część raty przeznaczona na odsetki. W planach w tym module płacisz od razu wszystkie odsetki za okres, więc rata odsetkowa = odsetki = $400$ .
Okres 3. Rata kapitałowa — zawsze ta sama, policzona na początku: $4000$ .
Okres 3. Rata łączna to tyle, ile przelewasz bankowi w tym okresie, czyli rata odsetkowa + rata kapitałowa:
$400 + 4000 = 4400$ .
Okres 3. Kapitał końcowy — ile kredytu zostało do spłaty. Dług zmniejsza tylko rata kapitałowa:
$4000 - 4000 = 0$ . Zero na końcu — kredyt spłacony ✓.
Sprawdzenie w wierszu „Razem”. Raty kapitałowe razem: $3 \cdot 4000 = 12000$ , czyli cały kredyt ✓.
Odsetki razem: $1200 + 800 + 400 = 2400$ — tyle kosztuje ten kredyt.
Raty łączne razem: $5200 + 4800 + 4400 = 14400$ , czyli kredyt + odsetki: $12000 + 2400$ .

Jak czytać:

każdy wiersz (na telefonie: każdy kafelek) to jeden rok. Idziesz od lewej: kapitał początkowy → odsetki (10% kapitału początkowego) → rata odsetkowa (tyle samo) → rata kapitałowa (zawsze 4000) → rata łączna (suma dwóch rat) → kapitał końcowy (kapitał początkowy minus rata kapitałowa). Kapitał końcowy przechodzi do następnego wiersza jako kapitał początkowy. Zielone kratki (rata łączna) to kwoty, które co rok przelewasz bankowi.

Dlaczego?

Odsetki liczysz od długu, który został na początku roku — w 1. roku od 12 000 zł, w 2. już tylko od 8000 zł. Dlatego odsetki maleją: 1200, 800, 400 zł.

Sprawdź
Kapitał końcowy w 3. roku: $4000 - 4000 = 0$ ✓ — kredyt spłacony. Raty kapitałowe razem: $3 \cdot 4000 = 12\,000$ = kredyt ✓. Odsetki razem: $1200 + 800 + 400 = 2400$ zł — tyle kosztuje ten kredyt.
Dlaczego?
Zero na końcu to najprostszy test całej tabeli. Jeśli wychodzi coś innego, błąd jest zwykle w odejmowaniu (odjęta rata łączna zamiast kapitałowej).

Sprawdź się

Kredyt 6000 zł, 3 raty malejące, 10% rocznie. Ile wynosi rata łączna w 1. roku?

Podobny przykład· Raty miesięczne

Kredyt 6000 zł w 6 ratach miesięcznych, oprocentowanie 12% w skali roku. Okresem jest miesiąc, więc stopa na okres to $12\% : 12 = 1\%$ , czyli $i = 0{,}01$ . Rata kapitałowa: $6000 : 6 = 1000$ zł.

kredyt

6000

złliczba rat6 (raz w miesiącu)oprocentowanie

1% (i = 0, 01)

rata kapitałowa

6000 : 6 =

1000

Okres	Kapitał początkowy	Odsetki	Rata odsetkowa	Rata kapitałowa	Rata łączna	Kapitał końcowy
1	$6000$	$60$ $6000 \cdot 1%$	$60$	$1000$	$1060$ $60 + 1000$	$5000$ $6000 - 1000$
2	$5000$	$50$ $5000 \cdot 1%$	$50$	$1000$	$1050$ $50 + 1000$	$4000$ $5000 - 1000$
3	$4000$	$40$ $4000 \cdot 1%$	$40$	$1000$	$1040$ $40 + 1000$	$3000$ $4000 - 1000$
4	$3000$	$30$ $3000 \cdot 1%$	$30$	$1000$	$1030$ $30 + 1000$	$2000$ $3000 - 1000$
5	$2000$	$20$ $2000 \cdot 1%$	$20$	$1000$	$1020$ $20 + 1000$	$1000$ $2000 - 1000$
6	$1000$	$10$ $1000 \cdot 1%$	$10$	$1000$	$1010$ $10 + 1000$	$0$ $1000 - 1000$
Razem		$210$	$210$	$6000$	$6210$

rata łączna — tyle płacisz bankowi w danym okresiewiersz „Razem” — do sprawdzenia, nie jest częścią szablonukliknięta liczba — wyjaśnienie w ramce poniżej

Dane: kredyt $6000$ zł, 6 rat (płacisz na koniec każdego okresu), oprocentowanie $1%$ na okres. Tabela jest pusta — wypełnisz ją wiersz po wierszu, od lewej do prawej.
Zaczynasz od raty kapitałowej — to część raty, która spłaca sam kredyt. W ratach malejących dzielisz kredyt na równe części: $6000 : 6 = 1000$ . Ta liczba będzie w każdym wierszu.
Okres 1. Na początku do spłaty jest cały kredyt, więc kapitał początkowy = $6000$ .
Okres 1. Odsetki to opłata za to, że przez cały okres pożyczasz $6000$ zł. Liczysz $1%$ z kapitału początkowego:
$6000 \cdot 1 = 6000$ , potem $6000 : 100 = 60$ .
Okres 1. Rata odsetkowa to część raty przeznaczona na odsetki. W planach w tym module płacisz od razu wszystkie odsetki za okres, więc rata odsetkowa = odsetki = $60$ .
Okres 1. Rata kapitałowa — zawsze ta sama, policzona na początku: $1000$ .
Okres 1. Rata łączna to tyle, ile przelewasz bankowi w tym okresie, czyli rata odsetkowa + rata kapitałowa:
$60 + 1000 = 1060$ .
Okres 1. Kapitał końcowy — ile kredytu zostało do spłaty. Dług zmniejsza tylko rata kapitałowa:
$6000 - 1000 = 5000$ . (Odsetek nie odejmujesz — one nie spłacają długu, to opłata za pożyczanie.)
Okres 2. Zaczynasz od tego, co zostało do spłaty po poprzednim okresie: kapitał początkowy = kapitał końcowy z wiersza wyżej = $5000$ .
Okres 2. Odsetki to opłata za to, że przez cały okres pożyczasz $5000$ zł. Liczysz $1%$ z kapitału początkowego:
$5000 \cdot 1 = 5000$ , potem $5000 : 100 = 50$ .
Okres 2. Rata odsetkowa to część raty przeznaczona na odsetki. W planach w tym module płacisz od razu wszystkie odsetki za okres, więc rata odsetkowa = odsetki = $50$ .
Okres 2. Rata kapitałowa — zawsze ta sama, policzona na początku: $1000$ .
Okres 2. Rata łączna to tyle, ile przelewasz bankowi w tym okresie, czyli rata odsetkowa + rata kapitałowa:
$50 + 1000 = 1050$ .
Okres 2. Kapitał końcowy — ile kredytu zostało do spłaty. Dług zmniejsza tylko rata kapitałowa:
$5000 - 1000 = 4000$ .
Okres 3. Zaczynasz od tego, co zostało do spłaty po poprzednim okresie: kapitał początkowy = kapitał końcowy z wiersza wyżej = $4000$ .
Okres 3. Odsetki to opłata za to, że przez cały okres pożyczasz $4000$ zł. Liczysz $1%$ z kapitału początkowego:
$4000 \cdot 1 = 4000$ , potem $4000 : 100 = 40$ .
Okres 3. Rata odsetkowa to część raty przeznaczona na odsetki. W planach w tym module płacisz od razu wszystkie odsetki za okres, więc rata odsetkowa = odsetki = $40$ .
Okres 3. Rata kapitałowa — zawsze ta sama, policzona na początku: $1000$ .
Okres 3. Rata łączna to tyle, ile przelewasz bankowi w tym okresie, czyli rata odsetkowa + rata kapitałowa:
$40 + 1000 = 1040$ .
Okres 3. Kapitał końcowy — ile kredytu zostało do spłaty. Dług zmniejsza tylko rata kapitałowa:
$4000 - 1000 = 3000$ .
Okres 4. Zaczynasz od tego, co zostało do spłaty po poprzednim okresie: kapitał początkowy = kapitał końcowy z wiersza wyżej = $3000$ .
Okres 4. Odsetki to opłata za to, że przez cały okres pożyczasz $3000$ zł. Liczysz $1%$ z kapitału początkowego:
$3000 \cdot 1 = 3000$ , potem $3000 : 100 = 30$ .
Okres 4. Rata odsetkowa to część raty przeznaczona na odsetki. W planach w tym module płacisz od razu wszystkie odsetki za okres, więc rata odsetkowa = odsetki = $30$ .
Okres 4. Rata kapitałowa — zawsze ta sama, policzona na początku: $1000$ .
Okres 4. Rata łączna to tyle, ile przelewasz bankowi w tym okresie, czyli rata odsetkowa + rata kapitałowa:
$30 + 1000 = 1030$ .
Okres 4. Kapitał końcowy — ile kredytu zostało do spłaty. Dług zmniejsza tylko rata kapitałowa:
$3000 - 1000 = 2000$ .
Okres 5. Zaczynasz od tego, co zostało do spłaty po poprzednim okresie: kapitał początkowy = kapitał końcowy z wiersza wyżej = $2000$ .
Okres 5. Odsetki to opłata za to, że przez cały okres pożyczasz $2000$ zł. Liczysz $1%$ z kapitału początkowego:
$2000 \cdot 1 = 2000$ , potem $2000 : 100 = 20$ .
Okres 5. Rata odsetkowa to część raty przeznaczona na odsetki. W planach w tym module płacisz od razu wszystkie odsetki za okres, więc rata odsetkowa = odsetki = $20$ .
Okres 5. Rata kapitałowa — zawsze ta sama, policzona na początku: $1000$ .
Okres 5. Rata łączna to tyle, ile przelewasz bankowi w tym okresie, czyli rata odsetkowa + rata kapitałowa:
$20 + 1000 = 1020$ .
Okres 5. Kapitał końcowy — ile kredytu zostało do spłaty. Dług zmniejsza tylko rata kapitałowa:
$2000 - 1000 = 1000$ .
Okres 6. Zaczynasz od tego, co zostało do spłaty po poprzednim okresie: kapitał początkowy = kapitał końcowy z wiersza wyżej = $1000$ .
Okres 6. Odsetki to opłata za to, że przez cały okres pożyczasz $1000$ zł. Liczysz $1%$ z kapitału początkowego:
$1000 \cdot 1 = 1000$ , potem $1000 : 100 = 10$ .
Okres 6. Rata odsetkowa to część raty przeznaczona na odsetki. W planach w tym module płacisz od razu wszystkie odsetki za okres, więc rata odsetkowa = odsetki = $10$ .
Okres 6. Rata kapitałowa — zawsze ta sama, policzona na początku: $1000$ .
Okres 6. Rata łączna to tyle, ile przelewasz bankowi w tym okresie, czyli rata odsetkowa + rata kapitałowa:
$10 + 1000 = 1010$ .
Okres 6. Kapitał końcowy — ile kredytu zostało do spłaty. Dług zmniejsza tylko rata kapitałowa:
$1000 - 1000 = 0$ . Zero na końcu — kredyt spłacony ✓.
Sprawdzenie w wierszu „Razem”. Raty kapitałowe razem: $6 \cdot 1000 = 6000$ , czyli cały kredyt ✓.
Odsetki razem: $60 + 50 + 40 + 30 + 20 + 10 = 210$ — tyle kosztuje ten kredyt.
Raty łączne razem: $1060 + 1050 + 1040 + 1030 + 1020 + 1010 = 6210$ , czyli kredyt + odsetki: $6000 + 210$ .

Okres 1 · Kapitał początkowy w 1. okresie to cały kredyt: $6000$ .
Okres 1 · Odsetki = $1%$ kapitału początkowego: $6000 \cdot 1 = 6000$ , potem $6000 : 100 = 60$ .
Okres 1 · Rata odsetkowa = odsetki z tego okresu (płacisz je od razu w całości): $60$ .
Okres 1 · Rata kapitałowa = kredyt : liczba rat $= 6000 : 6 = 1000$ — w każdym wierszu tyle samo.
Okres 1 · Rata łączna = rata odsetkowa + rata kapitałowa $= 60 + 1000 = 1060$ .
Okres 1 · Kapitał końcowy = kapitał początkowy − rata kapitałowa $= 6000 - 1000 = 5000$ .
Okres 2 · Kapitał początkowy = kapitał końcowy z poprzedniego wiersza: $5000$ .
Okres 2 · Odsetki = $1%$ kapitału początkowego: $5000 \cdot 1 = 5000$ , potem $5000 : 100 = 50$ .
Okres 2 · Rata odsetkowa = odsetki z tego okresu (płacisz je od razu w całości): $50$ .
Okres 2 · Rata kapitałowa = kredyt : liczba rat $= 6000 : 6 = 1000$ — w każdym wierszu tyle samo.
Okres 2 · Rata łączna = rata odsetkowa + rata kapitałowa $= 50 + 1000 = 1050$ .
Okres 2 · Kapitał końcowy = kapitał początkowy − rata kapitałowa $= 5000 - 1000 = 4000$ .
Okres 3 · Kapitał początkowy = kapitał końcowy z poprzedniego wiersza: $4000$ .
Okres 3 · Odsetki = $1%$ kapitału początkowego: $4000 \cdot 1 = 4000$ , potem $4000 : 100 = 40$ .
Okres 3 · Rata odsetkowa = odsetki z tego okresu (płacisz je od razu w całości): $40$ .
Okres 3 · Rata kapitałowa = kredyt : liczba rat $= 6000 : 6 = 1000$ — w każdym wierszu tyle samo.
Okres 3 · Rata łączna = rata odsetkowa + rata kapitałowa $= 40 + 1000 = 1040$ .
Okres 3 · Kapitał końcowy = kapitał początkowy − rata kapitałowa $= 4000 - 1000 = 3000$ .
Okres 4 · Kapitał początkowy = kapitał końcowy z poprzedniego wiersza: $3000$ .
Okres 4 · Odsetki = $1%$ kapitału początkowego: $3000 \cdot 1 = 3000$ , potem $3000 : 100 = 30$ .
Okres 4 · Rata odsetkowa = odsetki z tego okresu (płacisz je od razu w całości): $30$ .
Okres 4 · Rata kapitałowa = kredyt : liczba rat $= 6000 : 6 = 1000$ — w każdym wierszu tyle samo.
Okres 4 · Rata łączna = rata odsetkowa + rata kapitałowa $= 30 + 1000 = 1030$ .
Okres 4 · Kapitał końcowy = kapitał początkowy − rata kapitałowa $= 3000 - 1000 = 2000$ .
Okres 5 · Kapitał początkowy = kapitał końcowy z poprzedniego wiersza: $2000$ .
Okres 5 · Odsetki = $1%$ kapitału początkowego: $2000 \cdot 1 = 2000$ , potem $2000 : 100 = 20$ .
Okres 5 · Rata odsetkowa = odsetki z tego okresu (płacisz je od razu w całości): $20$ .
Okres 5 · Rata kapitałowa = kredyt : liczba rat $= 6000 : 6 = 1000$ — w każdym wierszu tyle samo.
Okres 5 · Rata łączna = rata odsetkowa + rata kapitałowa $= 20 + 1000 = 1020$ .
Okres 5 · Kapitał końcowy = kapitał początkowy − rata kapitałowa $= 2000 - 1000 = 1000$ .
Okres 6 · Kapitał początkowy = kapitał końcowy z poprzedniego wiersza: $1000$ .
Okres 6 · Odsetki = $1%$ kapitału początkowego: $1000 \cdot 1 = 1000$ , potem $1000 : 100 = 10$ .
Okres 6 · Rata odsetkowa = odsetki z tego okresu (płacisz je od razu w całości): $10$ .
Okres 6 · Rata kapitałowa = kredyt : liczba rat $= 6000 : 6 = 1000$ — w każdym wierszu tyle samo.
Okres 6 · Rata łączna = rata odsetkowa + rata kapitałowa $= 10 + 1000 = 1010$ .
Okres 6 · Kapitał końcowy = kapitał początkowy − rata kapitałowa $= 1000 - 1000 = 0$ . Zero na końcu = kredyt spłacony.
Razem · Suma odsetek: $60 + 50 + 40 + 30 + 20 + 10 = 210$ — tyle kosztuje ten kredyt.
Razem · Suma odsetek: $60 + 50 + 40 + 30 + 20 + 10 = 210$ — tyle kosztuje ten kredyt.
Razem · Suma rat kapitałowych: $6 \cdot 1000 = 6000$ — dokładnie kwota kredytu ✓.
Razem · Suma rat łącznych: $1060 + 1050 + 1040 + 1030 + 1020 + 1010 = 6210$ — kredyt $6000$ plus odsetki $210$ .

Jak czytać:

ten sam szablon, tylko wiersz to miesiąc. Odsetki to 1% kapitału początkowego, więc maleją o 10 zł co miesiąc: 60, 50, 40, 30, 20, 10 zł.

Ściąga przed kolokwium

Procent → ułamek

5\% = 0{,}05

, a

1 + i = 1{,}05

. We wzorach zawsze ułamek.

W przyszłość

FV = (1+i)^n \cdot PV

— mnożysz. Wynik większy od

PV

Do dziś

PV = \dfrac{FV}{(1+i)^n}

— dzielisz. Wynik mniejszy od

FV

Kapitalizacja częstszaKwartalnie:

i

= stopa roczna : 4,

n

= lata · 4. Miesięcznie:

i

= stopa roczna : 12,

n

= lata · 12.

Porównanie ofertNajpierw obie kwoty do jednego momentu (np. dziś), potem porównanie.

Strumień z góryWykładniki

n, n-1, \ldots, 1

— pierwsza wpłata ma najwyższy. Potem dodajesz.

Renta z dołuWypłatę z końca

k

-tego roku dzielisz przez

(1+i)^k

. Potem dodajesz.

Renta dożywotniaRówne wypłaty, pierwsza za rok:

PV = FV_1 : i

— jedna wypłata przez stopę (bez jedynki!).

IRRWydatek = wpływy sprowadzone do dziś.

x = 1 + i

, równanie kwadratowe, dodatni

x

, na koniec

i = x - 1

Plan spłatyRata kapitałowa

= K : n

. Odsetki = kapitał początkowy ·

i

. Rata łączna = odsetkowa + kapitałowa. Kapitał końcowy = początkowy − kapitałowa.

ZaokrąglanieCzynnika

(1+i)^n

nie zaokrąglaj. Do groszy zaokrąglasz dopiero wynik.

Oś czasuKoniec roku = początek następnego. Z góry — początek okresu, z dołu — koniec.

Ćwiczenia przed kolokwium

Krótkie zadania na każde polecenie. Po każdej odpowiedzi zobaczysz, dlaczego jest dobra albo zła — złe odpowiedzi to typowe błędy.

Wartość przyszła (FV)

Wypełnij tabelę

Lokata rok po roku

5000 zł na lokacie oprocentowanej 4% w skali roku, kapitalizacja roczna. Wypełnij tabelę dla trzech lat: w każdym roku odsetki to 4% kapitału z początku roku.

Wpisz liczby w puste pola — bez „zł”, grosze po przecinku (np. 1102,50). Kiedy skończysz, kliknij „Sprawdź”. Wynik różniący się o 1 grosz (inne zaokrąglenie) też uznajemy.

Rok	Kapitał na początku roku	Odsetki	Kapitał na koniec roku
$1$	$5000$
$2$
$3$

Ćwiczenia · 6 zadań

2000 zł na 3 lata, 5% rocznie, kapitalizacja roczna. Ile będzie na lokacie?
1500 zł na 2 lata, 10% rocznie. Ile będzie na lokacie?
Stopa wynosi 4% w skali roku. Jaki czynnik $1 + i$ wstawiasz do wzoru?
1000 zł na rok, 8% w skali roku, kapitalizacja kwartalna. Ile będzie na lokacie?
3000 zł na 3 lata, 2% rocznie. Ile będzie na lokacie?
2000 zł na 2 lata: w 1. roku 3%, w 2. roku 5%. Ile będzie na lokacie?

Wartość bieżąca (PV)

Ćwiczenia · 6 zadań

Ile wpłacić dziś, żeby za 2 lata mieć 5000 zł przy 5% rocznie?
Ile jest dziś warte 20 000 zł, które dostaniesz za 3 lata, przy 10% rocznie?
2000 zł dziś czy 2300 zł za 2 lata? Stopa: 8% rocznie.
Ta sama oferta (2000 zł dziś czy 2300 zł za 2 lata), ale stopa 5%. Co wybierasz?
Kasia liczyła $P V$ dla 10 000 zł za 3 lata przy 5%. Zaokrągliła $1, 0 5^{3}$ do $1, 16$ i dostała 8620,69 zł. Co jest nie tak?
Wartość bieżąca 10 000 zł za 3 lata przy 5% wyszła komuś 11 576,25 zł. Co to znaczy?

Strumień pieniężny

Ćwiczenia · 5 zadań

Na początku każdego z 2 lat wpłacasz 1000 zł, 10% rocznie. Ile będzie na koniec 2. roku?
Cztery wpłaty z góry, wartość na koniec 4. roku. Jakie wykładniki mają kolejne wpłaty (od pierwszej)?
Wpłaty z góry: 500 zł, 1000 zł i 1500 zł (w tej kolejności), 10% rocznie. Ile będzie na koniec 3. roku?
Wpłaty na koniec każdego roku (z dołu): 3 × 1000 zł, 5% rocznie. Ile będzie na koniec 3. roku?
Trzy wpłaty z góry po 2000 zł, 10% rocznie. Ile będzie na koniec 3. roku?

Renta

Ćwiczenia · 5 zadań

Renta wypłaca 1000 zł na koniec każdego z 2 lat, stopa 10%. Ile jest warta dziś?
Renta dożywotnia wypłaca 600 zł na koniec każdego roku, stopa 5%. Ile jest warta dziś?
Ile trzeba mieć, żeby dożywotnio wypłacać 2400 zł na koniec każdego roku przy stopie 3%?
Renta z dołu wypłaca: 1100 zł za rok, 1210 zł za 2 lata, 1331 zł za 3 lata. Stopa 10%. Ile jest warta dziś?
Renta 3 × 2000 zł z dołu przy 6% jest dziś warta 5346,02 zł. Co to znaczy?

Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR)

Ćwiczenia · 5 zadań

Wydajesz dziś 2000 zł, po roku dostajesz 2200 zł. Ile wynosi IRR?
Wydatek 1000 zł, wpływy: 500 zł po roku i 660 zł po 2 latach. Jakie równanie dostajesz po podstawieniu $x = 1 + i$ i pomnożeniu przez $x^{2}$ ?
Równanie z poprzedniego zadania ma pierwiastki $x_{1} = - 0, 6$ i $x_{2} = 1, 1$ . Ile wynosi IRR?
Ktoś liczy IRR maszyny (wydatek 1000 zł, wpływy 600 zł i 550 zł) tak: $(600 + 550 - 1000) : 1000 = 15%$ . Co jest nie tak?
Liczysz IRR w Excelu: =IRR(A1:A3). Co wpisujesz w komórki dla maszyny z modułu?

Plan spłaty kredytu

Wypełnij tabelę

Plan spłaty: 9000 zł, 3 raty, 10%

Kredyt 9000 zł spłacasz w 3 ratach malejących, płatnych na koniec każdego roku, oprocentowanie 10% rocznie. Wypełnij plan spłaty.

Wpisz liczby w puste pola — bez „zł”. Kiedy skończysz, kliknij „Sprawdź”.

Okres	Kapitał początkowy	Odsetki	Rata odsetkowa	Rata kapitałowa	Rata łączna	Kapitał końcowy
$1$	$9000$
$2$
$3$

Wypełnij tabelę

Plan spłaty: 10 000 zł, 4 raty, 8%

Kredyt 10 000 zł spłacasz w 4 ratach malejących, płatnych na koniec każdego roku, oprocentowanie 8% rocznie. Wypełnij plan spłaty.

Wpisz liczby w puste pola — bez „zł”. Kiedy skończysz, kliknij „Sprawdź”.

Okres	Kapitał początkowy	Odsetki	Rata odsetkowa	Rata kapitałowa	Rata łączna	Kapitał końcowy
$1$	$10000$
$2$
$3$
$4$

Okres 1 · Odsetki = $8%$ kapitału początkowego: $10000 \cdot 8 = 80000$ , potem $80000 : 100 = 800$ .
Okres 1 · Rata odsetkowa = odsetki z tego okresu (płacisz je od razu w całości): $800$ .
Okres 1 · Rata kapitałowa = kredyt : liczba rat $= 10000 : 4 = 2500$ — w każdym wierszu tyle samo.
Okres 1 · Rata łączna = rata odsetkowa + rata kapitałowa $= 800 + 2500 = 3300$ .
Okres 1 · Kapitał końcowy = kapitał początkowy − rata kapitałowa $= 10000 - 2500 = 7500$ .
Okres 2 · Kapitał początkowy = kapitał końcowy z poprzedniego wiersza: $7500$ .
Okres 2 · Odsetki = $8%$ kapitału początkowego: $7500 \cdot 8 = 60000$ , potem $60000 : 100 = 600$ .
Okres 2 · Rata odsetkowa = odsetki z tego okresu (płacisz je od razu w całości): $600$ .
Okres 2 · Rata kapitałowa = kredyt : liczba rat $= 10000 : 4 = 2500$ — w każdym wierszu tyle samo.
Okres 2 · Rata łączna = rata odsetkowa + rata kapitałowa $= 600 + 2500 = 3100$ .
Okres 2 · Kapitał końcowy = kapitał początkowy − rata kapitałowa $= 7500 - 2500 = 5000$ .
Okres 3 · Kapitał początkowy = kapitał końcowy z poprzedniego wiersza: $5000$ .
Okres 3 · Odsetki = $8%$ kapitału początkowego: $5000 \cdot 8 = 40000$ , potem $40000 : 100 = 400$ .
Okres 3 · Rata odsetkowa = odsetki z tego okresu (płacisz je od razu w całości): $400$ .
Okres 3 · Rata kapitałowa = kredyt : liczba rat $= 10000 : 4 = 2500$ — w każdym wierszu tyle samo.
Okres 3 · Rata łączna = rata odsetkowa + rata kapitałowa $= 400 + 2500 = 2900$ .
Okres 3 · Kapitał końcowy = kapitał początkowy − rata kapitałowa $= 5000 - 2500 = 2500$ .
Okres 4 · Kapitał początkowy = kapitał końcowy z poprzedniego wiersza: $2500$ .
Okres 4 · Odsetki = $8%$ kapitału początkowego: $2500 \cdot 8 = 20000$ , potem $20000 : 100 = 200$ .
Okres 4 · Rata odsetkowa = odsetki z tego okresu (płacisz je od razu w całości): $200$ .
Okres 4 · Rata kapitałowa = kredyt : liczba rat $= 10000 : 4 = 2500$ — w każdym wierszu tyle samo.
Okres 4 · Rata łączna = rata odsetkowa + rata kapitałowa $= 200 + 2500 = 2700$ .
Okres 4 · Kapitał końcowy = kapitał początkowy − rata kapitałowa $= 2500 - 2500 = 0$ . Zero na końcu = kredyt spłacony.

Ćwiczenia · 5 zadań

Kredyt 20 000 zł, 5 rat malejących, 6% rocznie. Ile wynosi rata kapitałowa?
W 2. roku tego kredytu kapitał początkowy wynosi 16 000 zł. Ile wynoszą odsetki?
Kapitał początkowy 16 000 zł, odsetki 960 zł, rata kapitałowa 4000 zł. Ile wynosi kapitał końcowy?
Dlaczego w ratach malejących rata łączna co roku jest mniejsza?
Po wypełnieniu planu kapitał końcowy w ostatnim wierszu wyszedł 500 zł. Co to znaczy?

Quiz z teorii

Quiz · 10 pytań

Co oznacza $P V$ ?
Co to jest kapitalizacja?
Dlaczego 1000 zł dziś jest warte więcej niż 1000 zł za rok?
Co mówi $n$ we wzorze $F V = (1 + i)^{n} \cdot P V$ ?
Wpłaty „z góry” to wpłaty:
Renta dożywotnia ma nieskończenie wiele wypłat. Dlaczego jej wartość dziś jest skończona?
IRR to:
Rata łączna w planie spłaty to:
Stopa roczna jest ta sama. Kiedy kapitalizacja kwartalna daje więcej niż roczna?
Kiedy zaokrąglasz do groszy?