Pochodna funkcji jednej zmiennej — co mierzy pochodna, wzory i reguły krok po kroku · Matematyka

Po co to jest

Pochodna odpowiada na jedno pytanie: jak szybko coś się zmienia w jednym konkretnym miejscu.

Jedziesz z Poznania do Warszawy: $300$ km w $3$ godziny. Średnio to $300 : 3 = 100$ km/h. Licznik w aucie pokazywał jednak raz $60$ , raz $130$ , a w korku $0$ . Średnia opisuje całą trasę, a licznik — jedną chwilę. Prędkość na liczniku to właśnie pochodna. Mówi, jak szybko w tej chwili przybywa przejechanych kilometrów.

Droga w czasie. Tam, gdzie wykres jest stromy, jedziesz szybko. Tam, gdzie jest płaski, stoisz.

Zysk przy różnej produkcji. Białe kreski pokazują, jak stromo biegnie wykres w danym miejscu. Na szczycie kreska leży płasko.

Na wykresie szybkość zmiany widać jako stromość. Gdzie wykres idzie ostro w górę, coś rośnie szybko. Gdzie jest płaski, nic się nie zmienia. Pochodna to liczba, która mówi, jak stromy jest wykres w danym miejscu.

Drugi rysunek to przykład z ekonomii. Zysk firmy najpierw rośnie razem z produkcją, a potem spada, bo towaru jest za dużo, a koszty rosną. Najwięcej zarabiasz na szczycie. Szczyt to miejsce, w którym wykres na chwilę robi się płaski — pochodna wynosi tam $0$ . Tak właśnie szuka się największych i najmniejszych wartości funkcji.

Do czego pochodna przyda się na zajęciach

Temat 9 — badanie zmienności funkcji. Szukasz, gdzie funkcja rośnie, gdzie maleje i gdzie ma szczyt albo dołek. Drugi krok procedury z zajęć brzmi: „wyznacz pochodną funkcji”.
Tematy 10 i 11 — funkcje wielu zmiennych. Pochodne cząstkowe (pochodne względem jednej zmiennej, gdy pozostałe traktujesz jak stałe) liczysz tymi samymi wzorami i regułami co tutaj.
Tematy 12 i 13 — całki. Całkowanie to odwracanie pochodnej.

Bez liczenia pochodnych nie ruszysz w żadnym z tych tematów.

Jak przejdziemy przez ten moduł

Zobaczysz, co mierzy pochodna — na rysunkach, od stromości prostej do stycznej (sekcja 3). Bez tego wzory to zaklęcia do wkucia.
Poznasz wzory i reguły z zajęć i dowiesz się, do czego służy każdy z nich (sekcja 4).
Dostaniesz jeden przepis, który działa na każdy przykład (przepis), i przejdziesz z nim krok po kroku całą listę zadań.

Co będzie na kolokwium

Na liście zadań z tego tematu jest jedno polecenie — „Oblicz pochodną funkcji” — i $25$ przykładów (od a do y). Różnią się tym, z jakich kawałków zbudowana jest funkcja. Poniżej typy, od najprostszego. Każdy ma w module swój przepis i ćwiczenia.

To na razie tylko mapa — nie musisz jeszcze rozumieć tych wzorów. Wrócisz tu, gdy będziesz szukać przepisu na konkretny przykład.

1
„Oblicz pochodną funkcji — potęgi i pierwiastki (np. $\frac{2}{x ^{5}} - \frac{1}{x}$ )”
Pierwiastki i ułamki zapisujesz jako potęgi. Potem każdy składnik liczysz jednym wzorem z tabeli.
Przepis i przykłady ↓Ćwiczenia ↓Zad. 1 a), b)
2
„Oblicz pochodną funkcji — iloczyn (np. $x ln x$ )”
Funkcja to dwa kawałki pomnożone przez siebie. Liczysz pochodną każdego kawałka i składasz je regułą iloczynu.
Przepis i przykłady ↓Ćwiczenia ↓Zad. 1 n), q)
3
„Oblicz pochodną funkcji — iloraz (np. $\frac{l n x}{e ^{x}}$ )”
Funkcja to ułamek: kawałek przez kawałek. Liczysz pochodne licznika i mianownika i składasz je regułą ilorazu.
Przepis i przykłady ↓Ćwiczenia ↓Zad. 1 c), w)
4
„Oblicz pochodną funkcji — funkcja w funkcji (np. $5 x - 7$ )”
Jedna funkcja siedzi w drugiej, np. pierwiastek z $5 x - 7$ . Liczysz warstwa po warstwie regułą funkcji złożonej.
Przepis i przykłady ↓Ćwiczenia ↓Zad. 1 d)–f), i), k)–m), o), r), v); spoza listy: str. 171, e)
5
„Oblicz pochodną funkcji — kilka reguł naraz (np. $x^{2} e^{3 x}$ )”
Reguły łączą się w jednym przykładzie. Przepis jest ten sam, tylko kawałki liczysz kolejnymi regułami.
Przepis i przykłady ↓Ćwiczenia ↓Zad. 1 g), h), j), p), s)–u), x)
6
„Oblicz pochodną funkcji $x^{x}$ ”
Nie pasuje ani wzór na potęgę, ani na funkcję wykładniczą. Jest na to jeden trik.
Przepis i przykłady ↓Ćwiczenia ↓Zad. 1 y)
7
„Oblicz pochodną w punkcie, np. $f^{'} (2)$ ”
$f^{'} (2)$ czytamy „ef prim od dwóch”: to pochodna w punkcie $2$ (wyjaśniamy ją w sekcji 3). Najpierw liczysz wzór na pochodną, dopiero potem wstawiasz liczbę.
Przepis i przykłady ↓Ćwiczenia ↓slajd o stycznej (typowy wariant)

Co mierzy pochodna — pojęcia od podstaw

Zanim pojawi się pierwszy wzór, zobaczysz na rysunkach, co właściwie liczysz. Pójdziemy tak: stromość prostej → stromość krzywej → jak ją zmierzyć → skąd biorą się wzory → co mówi znak pochodnej.

Funkcja i jej wykres

Stromość prostej

Zacznijmy od najprostszego wykresu — prostej. Jej stromość to jedna liczba: o ile prosta idzie w górę, gdy zrobisz krok o $1$ w prawo. Tę liczbę nazywamy nachyleniem. Wybierz nachylenie i zobacz schodek:

Krok o $1$ w prawo — prosta idzie $2$ w górę. Nachylenie: $2$ . Stromo pod górę.

krok o 1 w prawoo ile prosta idzie w górę (albo w dół) — to jest nachylenie

Jak czytać:

fioletowy odcinek to krok o $1$ w prawo. Turkusowy — o ile prosta poszła w tym kroku w górę albo w dół. Turkusowy odcinek z liczbą to nachylenie. Gdy prosta idzie w górę, liczba jest dodatnia, a gdy w dół — ujemna. Schodek narysowano w dwóch miejscach. Na prostej wygląda wszędzie tak samo, bo prosta ma wszędzie tę samą stromość.

Na wykresie drogi z pierwszego rysunku nachylenie to prędkość. Na odcinku „130 km/h” krok o $1$ godzinę w prawo to $130$ km w górę.

Krzywa w różnych miejscach ma różną stromość

Jak czytać:

krzywa to wykres $f(x) = x^2$ . Białe kreski pokazują, w którą stronę i jak stromo biegnie wykres w czterech miejscach. Przy $x = -1$ wykres schodzi w dół, przy $x = 0$ jest płasko, a dalej idzie coraz bardziej stromo pod górę.

Krzywa nie ma jednej stromości — zmienia się ona od miejsca do miejsca. Pochodna w punkcie to stromość krzywej w tym jednym miejscu. Kłopot w tym, że na krzywej nie da się zrobić schodka: po kroku o $1$ w prawo krzywa zdąży już skręcić.

Pomysł: weź drugi punkt wykresu trochę dalej i poprowadź przez oba punkty prostą. Stromość prostej już umiesz policzyć. Potem przysuwaj drugi punkt coraz bliżej pierwszego.

Sieczna — prosta przez dwa punkty wykresu

Zobaczmy to na $f(x) = x^2$ . Startujesz w punkcie $P = (1,\ 1)$ . Drugi punkt $Q$ leży o krok dalej w prawo. Prosta przez $P$ i $Q$ to sieczna. Do opisu potrzebne są trzy oznaczenia:

x_{0}

Punkt startowy

czytamy: „iks zero”

Miejsce na osi $x$ , w którym mierzysz stromość. Tu $x_{0} = 1$ . Zero w indeksie (mała cyfra na dole) to tylko etykieta — nie mnożysz przez zero.

Jak zapamiętać: Zero jak „start”: punkt, od którego zaczynasz.

Δ x

Krok w prawo

czytamy: „delta iks”

O ile przesuwasz się w poziomie: z $x_{0}$ do $x_{0} + Δ x$ . To jedna liczba, np. $Δ x = 1$ — nie „delta razy iks”. Na slajdzie: przyrost argumentu.

Jak zapamiętać: $Δ$ (delta) to greckie D — jak D w łacińskim „differentia”, czyli różnica.

Δ y

O ile w górę

czytamy: „delta igrek”

O ile zmieniła się wartość funkcji: wartość w $Q$ minus wartość w $P$ . Gdy wykres poszedł w dół, wychodzi liczba ujemna. Na slajdzie: przyrost wartości.

Jak zapamiętać: Igrek to oś pionowa — $Δ y$ mówi, o ile w górę (albo w dół).

krok w prawo $Δ x$ o ile w górę $Δ y$ punkt $Q$ i sieczna przez $P$ i $Q$ styczna w punkcie $P$ (przerywana — pojawi się na końcu)

Krok w prawo: $Δ x = 1$ . Drugi punkt ma $x = 1 + 1 = 2$ , a $f (2) = 2^{2} = 4$ , więc $Q = (2, 4)$ .
O ile w górę: $Δ y = 4 - 1 = 3$ .
Nachylenie siecznej: $Δ y : Δ x = 3 : 1 = 3$ .

$Δ x$ krok w prawo	Qdrugi punkt	$Δ y$ o ile w górę	$Δ y : Δ x$ nachylenie siecznej
$1$	$(2, 4)$	$4 - 1$ $= 3$	$3 : 1$ $= 3$
$0, 5$	$(1, 5; 2, 25)$	$2, 25 - 1$ $= 1, 25$	$1, 25 : 0, 5$ $= 2, 5$
$0, 1$	$(1, 1; 1, 21)$	$1, 21 - 1$ $= 0, 21$	$0, 21 : 0, 1$ $= 2, 1$
$0, 01$	$(1, 01; 1, 0201)$	$1, 0201 - 1$ $= 0, 0201$	$0, 0201 : 0, 01$ $= 2, 01$

Jak czytać:

krzywa to wykres $f(x) = x^2$ . Biały punkt to $P$ . Fioletowy odcinek to krok w prawo $\Delta x$ , turkusowy — o ile wykres poszedł w górę, czyli $\Delta y$ . Różowe jest wszystko, co dotyczy siecznej: punkt $Q$ , prosta przez $P$ i $Q$ i jej nachylenie w ostatniej kolumnie tabeli. Nachylenie siecznej to $\Delta y : \Delta x$ — tak samo jak schodek przy prostej, tylko krok w prawo nie musi wynosić $1$ . Kolory kolumn w tabeli są takie same jak na rysunku. Osie mają tę samą skalę, więc stromość na rysunku jest prawdziwa. Gdy współrzędne mają przecinek dziesiętny, oddzielamy je średnikiem: $Q = (1{,}5;\ 2{,}25)$ .

Nachylenie siecznej to ułamek $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ : o ile w górę, przez o ile w prawo. Na slajdzie ten ułamek nazywa się ilorazem różnicowym i ma taki zapis:

\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{f ( x _{0} + Δ x ) - f ( x _{0} )}{Δ x}

Czytamy: delta igrek przez delta iks równa się: ef od iks zero plus delta iks, minus ef od iks zero, a to wszystko przez delta iks

$f (x_{0} + Δ x)$: wartość na końcu kroku — wysokość punktu $Q$ ; w przykładzie $f (2) = 4$
$f (x_{0})$: wartość na starcie — wysokość punktu $P$ ; w przykładzie $f (1) = 1$
$Δ x$: krok w prawo — przez to dzielisz; w przykładzie $1$

Pochodna w punkcie — dokąd zmierzają wyniki

W tabeli wyszło: $3$ ; $2{,}5$ ; $2{,}1$ ; $2{,}01$ . Im mniejszy krok, tym bliżej $2$ , a sieczna przylega coraz ciaśniej do jednej prostej. Liczba, do której zmierzają wyniki, to granica. Ta granica to pochodna w punkcie: $f'(1) = 2$ . Na slajdzie zapisano to tak:

f^{'} (x_{0}) = Δ x \to 0 lim \frac{f ( x _{0} + Δ x ) - f ( x _{0} )}{Δ x}

Czytamy: ef prim od iks zero równa się granica ilorazu różnicowego, gdy delta iks dąży do zera

$f^{'} (x_{0})$: pochodna funkcji $f$ w punkcie $x_{0}$ — kreska przy $f$ to „prim”
$lim$: granica (łac. limes) — liczba, do której zbliżają się wyniki
$Δ x \to 0$: delta iks dąży do zera — bierzesz coraz mniejsze kroki (w prawo albo w lewo), ale nigdy zero, bo przez zero nie da się dzielić

Gdy ta granica istnieje i jest liczbą (nie nieskończonością), mówimy, że funkcja ma pochodną w punkcie $x_0$ — jest w nim różniczkowalna.

Styczna: $f'(x_0) = \operatorname{tg}\alpha$

Prosta, do której zbliżają się sieczne, to styczna. Blisko punktu styczności prawie pokrywa się z wykresem. Pochodna w punkcie to nachylenie stycznej. Na slajdzie nachylenie zapisano jako tangens kąta:

f'(x_0) = \operatorname{tg}\alpha

Czytamy: „ef prim od iks zero równa się tangens alfa”. $\operatorname{tg}\alpha$ to dokładnie wysokość schodka z poprzednich rysunków: o ile styczna idzie w górę na każdy krok o $1$ w prawo.

Przesuń punkt suwakiem. Tym razem styczna jedzie po wykresie innej funkcji, a schodek pokazuje jej nachylenie:

funkcja rośnie — pochodna dodatniafunkcja maleje — pochodna ujemnastyczna (przerywana)krok o $1$ w prawoo ile styczna idzie w górę albo w dół: $f^{'} (x_{0}) = tg α$

$x_{0} = 1, 5$ : $f^{'} (1, 5) = 1, 5^{2} - 1 = 2, 25 - 1 = 1, 25$ . Pochodna dodatnia — styczna idzie w górę, funkcja w tym miejscu rośnie. $tg α = 1, 25$ : na $1$ w prawo styczna wznosi się o $1, 25$ .

$x_{0}$	$f^{'} (x_{0}) = x_{0}^{2} - 1$	funkcja w tym miejscu
$- 2$	$4 - 1 = 3$	rośnie ↗
$- 1, 5$	$2, 25 - 1 = 1, 25$	rośnie ↗
$- 1$	$1 - 1 = 0$	szczyt, styczna pozioma
$- 0, 5$	$0, 25 - 1 = - 0, 75$	maleje ↘
$0$	$0 - 1 = - 1$	maleje ↘
$0, 5$	$0, 25 - 1 = - 0, 75$	maleje ↘
$1$	$1 - 1 = 0$	dołek, styczna pozioma
$1, 5$	$2, 25 - 1 = 1, 25$	rośnie ↗
$2$	$4 - 1 = 3$	rośnie ↗

Jak czytać:

krzywa to wykres $f(x) = \frac{x^3}{3} - x$ . Jej pochodna to $f'(x) = x^2 - 1$ — skąd się bierze, zobaczysz w sekcji „Pochodna w punkcie”. Zielone kawałki krzywej: funkcja rośnie. Różowy kawałek: maleje. Biała przerywana prosta to styczna. Fioletowy odcinek to krok o $1$ w prawo, turkusowy — o ile w tym kroku styczna się wznosi albo opada. Gdy schodek nie mieści się na prawo od punktu, rysujemy ten sam schodek przed punktem. Styczna może przeciąć wykres — zobacz np. $x_0 = 0$ . Kliknij wiersz tabeli, żeby przeskoczyć do punktu.

Skąd się bierze wzór $(x^2)' = 2x$

Liczenie granicy za każdym razem byłoby męczące. Na szczęście da się to zrobić raz na zawsze. Najpierw ten sam rachunek co w tabeli siecznych, ale w innych punktach — z małym krokiem $\Delta x = 0{,}01$ :

start $x_{0}$	wartość po kroku: $(x_{0} + 0, 01)^{2}$	o ile w górę $Δ y$	nachylenie siecznej	zmierza dogdy krok → 0
$1$	$1, 01 \cdot 1, 01$ $= 1, 0201$	$1, 0201 - 1$ $= 0, 0201$	$0, 0201 : 0, 01$ $= 2, 01$	$2$ $= 2 \cdot 1$
$2$	$2, 01 \cdot 2, 01$ $= 4, 0401$	$4, 0401 - 4$ $= 0, 0401$	$0, 0401 : 0, 01$ $= 4, 01$	$4$ $= 2 \cdot 2$
$3$	$3, 01 \cdot 3, 01$ $= 9, 0601$	$9, 0601 - 9$ $= 0, 0601$	$0, 0601 : 0, 01$ $= 6, 01$	$6$ $= 2 \cdot 3$

Jak czytać tabelę: w każdym wierszu startujesz w innym punkcie $x_0$ i robisz krok $0{,}01$ w prawo. Nachylenie siecznej jest już bardzo blisko liczby z ostatniej kolumny. Gdyby krok dalej zmniejszać, jak w tabeli siecznych, wyniki zbliżałyby się do niej coraz bardziej. Te liczby to $2$ , $4$ i $6$ — za każdym razem $2$ razy punkt startowy.

Czy tak jest w każdym punkcie? Sprawdźmy literami zamiast liczbami:

Skąd wzór

Nachylenie stycznej do $y = x^{2}$ w dowolnym punkcie $x_{0}$

Zapisz nachylenie siecznej tak jak w tabeli, ale literami: start w $x_{0}$ , krok w prawo $Δ x$ .
$\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{f ( x _{0} + Δ x ) - f ( x _{0} )}{Δ x} = \frac{( x _{0} + Δ x ) ^{2} - x _{0}^{2}}{Δ x}$
$\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{f ( x _{0} + Δ x ) - f ( x _{0} )}{Δ x} = \frac{( x _{0} + Δ x ) ^{2} - x _{0}^{2}}{Δ x}$
Dlaczego?
Dlaczego teraz: Liczby z tabeli dały „ $2$ razy punkt”. Litery pokażą, że tak jest w każdym punkcie, a nie tylko w $1$ , $2$ i $3$ .
Wartość na końcu: $f (x_{0} + Δ x) = (x_{0} + Δ x)^{2}$ . Wartość na starcie: $f (x_{0}) = x_{0}^{2}$ . Ich różnica to $Δ y$ .
Rozpisz kwadrat sumy wzorem z liceum.
$= \frac{x _{0}^{2} + 2 x _{0} Δ x + ( Δ x ) ^{2} - x _{0}^{2}}{Δ x}$
Na kartce: $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$
Dlaczego?
Za $a$ wstawiasz $x_{0}$ , za $b$ — $Δ x$ . Wychodzi $x_{0}^{2} + 2 x_{0} Δ x + (Δ x)^{2}$ .
Skreśl $x_{0}^{2}$ i $- x_{0}^{2}$ — razem dają $0$ .
$= \frac{2 x _{0} Δ x + ( Δ x ) ^{2}}{Δ x}$
Podziel każdy składnik licznika przez $Δ x$ .
$= 2 x_{0} + Δ x$
Na kartce: $\frac{2 x _{0} Δ x}{Δ x} = 2 x_{0}$ $\frac{( Δ x ) ^{2}}{Δ x} = Δ x$
Dlaczego?
Dzielić wolno, bo $Δ x$ to krok w prawo — mały, ale nie zero. Sprawdź z tabelą: dla $x_{0} = 3$ i $Δ x = 0, 01$ wychodzi $2 \cdot 3 + 0, 01 = 6, 01$ .
Zmniejszaj krok do zera: składnik $Δ x$ znika, zostaje $2 x_{0}$ .
$f^{'} (x_{0}) = Δ x \to 0 lim (2 x_{0} + Δ x) = 2 x_{0}$
Dlaczego?
To dokładnie to, co pokazała tabela: $2, 01 \to 2$ , $4, 01 \to 4$ , $6, 01 \to 6$ . Pochodna $x^{2}$ w punkcie $x_{0}$ to $2 x_{0}$ .

Wyszło $f'(x_0) = 2x_0$ dla każdego punktu. Za $x_0$ można wstawić dowolną liczbę, więc zapisujemy krócej: $f'(x) = 2x$ . To pochodna jako funkcja: wstawiasz punkt i od razu dostajesz nachylenie stycznej, bez liczenia granicy.

Krótko piszemy też $(x^2)' = 2x$ . Kreska za nawiasem (czytamy ją „prim”) znaczy „pochodna tego, co w nawiasie”.

punkt $x$	$f'(x) = 2x$	co to znaczy
$-1$	$2 \cdot (-1) = -2$	styczna opada — funkcja maleje
$0$	$2 \cdot 0 = 0$	styczna pozioma — dołek paraboli
$1$	$2 \cdot 1 = 2$	styczna wznosi się o $2$ na $1$ w prawo
$2$	$2 \cdot 2 = 4$	wznosi się dużo szybciej: o $4$

Jak czytać tabelę: w każdym wierszu wstawiasz punkt do wzoru $f'(x) = 2x$ . Wynik to nachylenie stycznej w tym punkcie. Porównaj z białymi kreskami na rysunku „Krzywa w różnych miejscach ma różną stromość” — to te same cztery punkty.

Co mówi znak pochodnej

Wyobraź sobie, że idziesz po wykresie od lewej do prawej. Pochodna mówi, jak stromo jest pod nogami:

Pochodna dodatnia $f^{'} (x) > 0$

Styczna idzie w górę. Funkcja rośnie — idziesz pod górę.

Pochodna ujemna $f^{'} (x) < 0$

Styczna idzie w dół. Funkcja maleje — schodzisz z górki.

Pochodna równa zero $f^{'} (x) = 0$

Styczna leży płasko. Tu z lewej jest szczyt, a z prawej dołek — w tych miejscach funkcja przestaje rosnąć albo maleć.

Jak czytać:

wszystkie trzy obrazki pokazują tę samą funkcję co rysunek z suwakiem, $f(x) = \frac{x^3}{3} - x$ . Zielony kawałek krzywej: funkcja rośnie. Różowy: maleje. Biała kreska to styczna w zaznaczonym punkcie.

To, gdzie funkcja rośnie, a gdzie maleje, nazywa się jej monotonicznością. Na slajdach z zajęć związek monotoniczności ze znakiem pochodnej zapisano tak:

Zapamiętaj· Pochodne a monotoniczność

Jeżeli pochodna funkcji $f$ jest dodatnia w każdym punkcie przedziału $X$ , to funkcja $f$ jest w tym przedziale rosnąca. Na slajdzie: $f \uparrow \Leftrightarrow f'(x) > 0, \ \forall x \in X$ .
Jeżeli pochodna jest ujemna w każdym punkcie przedziału $X$ , to funkcja jest w tym przedziale malejąca. Na slajdzie: $f \downarrow \Leftrightarrow f'(x) < 0, \ \forall x \in X$ .
Jeżeli pochodna jest równa zero w każdym punkcie przedziału, to funkcja jest w tym przedziale stała. Na przykład $f(x) = 5$ : wykres to pozioma prosta, nachylenie wszędzie $0$ .

Jak czytać zapis: $f \uparrow$ — „funkcja rośnie”, $f \downarrow$ — „funkcja maleje”, $\Leftrightarrow$ — „wtedy i tylko wtedy” (wynikanie w obie strony), $\forall x \in X$ — „dla każdego iks należącego do $X$ ”.

Pełne badanie, gdzie funkcja rośnie, a gdzie maleje (z tabelką znaków), zrobisz w module 9 — „Badanie zmienności funkcji”. Tu najpierw uczysz się liczyć samą pochodną.

Sprawdź się

Dla pewnej funkcji wyszło $f^{'} (x) = x^{2} + 1$ . Co możesz powiedzieć o monotoniczności?

Wzory i reguły z zajęć

Wiesz już, że pochodna to nachylenie wykresu. Teraz narzędzia do liczenia: wzory podają pochodne najprostszych funkcji, a reguły mówią, co zrobić, gdy funkcja jest z nich zbudowana.

Dwa nowe znaczki: $e$ i $\ln$

W tabeli wzorów i w przykładach są dwa znaczki, których jeszcze nie było:

$e$ to liczba, tak jak $\pi$ . Wynosi około $2{,}718$ i nazywa się liczbą Eulera. Na kalkulatorze jest pod przyciskiem $e^x$ .
$e^x$ to funkcja: liczba $e$ podniesiona do potęgi $x$ . Na przykład $e^0 = 1$ , $e^1 = e \approx 2{,}72$ , $e^2 \approx 7{,}39$ .
$\ln x$ (czytamy „logarytm naturalny z iks”) odpowiada na pytanie: do jakiej potęgi trzeba podnieść $e$ , żeby dostać $x$ ? Na przykład $\ln 1 = 0$ , bo $e^0 = 1$ , oraz $\ln e = 1$ , bo $e^1 = e$ . Logarytm istnieje tylko dla $x > 0$ .

Dlaczego akurat $e$ ? Wykres $e^x$ ma wyjątkową własność: w każdym punkcie jest tak samo stromy jak wysoki. Przy $x = 0$ wykres jest na wysokości $1$ i ma nachylenie $1$ . Przy $x = 1$ jest na wysokości około $2{,}72$ i ma nachylenie też około $2{,}72$ . Dlatego w tabeli stoi $(e^x)' = e^x$ : pochodna to ta sama funkcja.

Przy $x = 0$ : wysokość $1$ , nachylenie stycznej $1$ .

Przy $x = 1$ : wysokość $e \approx 2, 72$ , nachylenie stycznej też $\approx 2, 72$ .

krok o $1$ w prawowysokość punktu — i zarazem o ile styczna idzie w góręstyczna (przerywana)

Jak czytać:

krzywa to wykres $y = e^x$ , a biała przerywana prosta — styczna w zaznaczonym punkcie. Styczna do $e^x$ trafia w oś $x$ zawsze dokładnie $1$ w lewo od punktu. Dlatego schodek „ $1$ w prawo” (fioletowy) kończy się na wykresie, a turkusowy odcinek to jednocześnie wysokość punktu i to, o ile styczna idzie w górę. Dla innej podstawy te dwie liczby się różnią: pochodna $2^x$ to $2^x \ln 2$ (wzór 4), czyli tylko około $0{,}69$ wysokości.

Tabela wzorów: gotowe pochodne najprostszych funkcji

Każdy wiersz tabeli to jedna prosta funkcja — „klocek” — i jej pochodna, czyli wzór na nachylenie wykresu w każdym punkcie. Numeracja jak na slajdzie:

nr	wzór	po ludzku	przykład
1	$(c)' = 0$	stała się nie zmienia: wykres to pozioma prosta	$(7)' = 0$
2	$(x)' = 1$	prosta $y = x$ : krok w prawo, jeden w górę	—
3	$(x^n)' = nx^{n-1}$	wykładnik schodzi przed $x$ , w wykładniku zostaje o $1$ mniej	$(x^2)' = 2x$ , $(x^5)' = 5x^4$
4	$(a^x)' = a^x \ln a$	$a^x$ zostaje bez zmian, dopisujesz razy $\ln$ podstawy	$(2^x)' = 2^x \ln 2$
5	$(e^x)' = e^x$	$e^x$ się nie zmienia: nachylenie równe wysokości	—
6	$(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$	jedynka przez iloczyn: $x$ razy $\ln$ podstawy	$(\log_2 x)' = \frac{1}{x \ln 2}$
7	$(\ln x)' = \frac{1}{x}$	jedynka przez $x$	—
8 ★	$(\sin x)' = \cos x$
9 ★	$(\cos x)' = -\sin x$
10 ★	$(\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$
11 ★	$(\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$

Jak czytać tabelę: w kolumnie „wzór” po lewej stronie znaku równości stoi funkcja, po prawej — jej pochodna. $a$ , $c$ i $n$ to stałe (konkretne liczby). Podstawa $a$ musi być dodatnia, a we wzorze 6 także różna od $1$ . $(x^5)'$ czytamy „iks do piątej prim”, czyli pochodna z iks do piątej. Wzór 3 dla $n = 2$ daje dokładnie to, co wyprowadziliśmy wyżej: $(x^2)' = 2x^{2-1} = 2x$ .

Każdy wzór podaje nachylenie wykresu w każdym punkcie. Trzy przykłady, co to znaczy na wykresie:

$(x^2)' = 2x$ : przy $x = 1$ nachylenie wynosi $2$ , przy $x = 3$ — już $6$ . Im dalej w prawo, tym stromiej.
$(e^x)' = e^x$ : nachylenie równe wysokości. Im wyżej wykres, tym bardziej stromy.
$(\ln x)' = \frac1x$ : przy $x = 1$ nachylenie wynosi $1$ , przy $x = 2$ — $\frac12$ , przy $x = 10$ — $0{,}1$ . Wykres $\ln x$ ciągle rośnie, ale coraz wolniej.

Wzory 8–11 (funkcje trygonometryczne) są na slajdzie oznaczone gwiazdką, a na liście zadań nie ma ani jednej funkcji trygonometrycznej. Zapytaj prowadzącego, czy obowiązują na kolokwium. Dalej w module ich nie używamy.

Reguły: jak łączyć klocki

Funkcje z kolokwium rzadko są pojedynczym klockiem z tabeli. Zwykle są z nich zbudowane: klocki są dodane, pomnożone, podzielone albo jeden siedzi w drugim. Dla każdego sposobu łączenia jest jedna reguła. Mówi, jak z pochodnych klocków złożyć pochodną całości:

Reguła 1

Liczba razy klocek

3 \cdot x^{2}

Liczba czeka z przodu. Pochodną liczysz z samego klocka.

(3 x^{2})^{'} = 3 \cdot 2 x = 6 x

Reguła 2

Klocki dodane albo odjęte

x^{3} + 5 x

Każdy klocek osobno. Znak między nimi zostaje.

(x^{3} + 5 x)^{'} = 3 x^{2} + 5

Reguła 3

Klocki pomnożone

x \cdot ln x

Pochodna raz na pierwszym, raz na drugim klocku. Wyniki dodajesz.

(x ln x)^{'} = 1 \cdot ln x + x \cdot \frac{1}{x} = ln x + 1

Przepis krok po kroku ↓

Reguła 4

Klocek przez klocek

\frac{x}{x + 1}

Wzór „góra–dół”: jak przy mnożeniu, ale z minusem, a na dole mianownik do kwadratu.

(\frac{x}{x + 1})^{'} = \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}}

Przepis krok po kroku ↓

Reguła 5

Klocek w klocku

ln (x^{2} + 1)

Pochodna zewnętrznego klocka ze środkiem bez zmian, razy pochodna środka.

(ln (x^{2} + 1))^{'} = \frac{1}{x ^{2} + 1} \cdot 2 x

Przepis krok po kroku ↓

Jak czytać karty: na górze karty jest numer reguły ze slajdu, pod nim — jak połączone są kawałki, co robi reguła i mały przykład z wynikiem. Obwódki pokazują kawałki, z których zbudowana jest funkcja. Reguły 3–5 mają w tym module własne sekcje z przepisem krok po kroku.

Na slajdzie te same reguły zapisano literami:

nr	reguła	wzór ze slajdu	kiedy
1	stała przed pochodną	$(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$	liczba razy funkcja
2	suma i różnica	$(f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x)$	składniki połączone $+$ albo $-$
3	iloczyn	$(f(x) \cdot g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$	dwie funkcje z $x$ pomnożone przez siebie
4	iloraz	$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$	funkcja przez funkcję, $g(x) \neq 0$
5	funkcja złożona	$[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$	funkcja wstawiona do funkcji

Jak czytać tabelę: każdy wiersz to jedna reguła z numerem jak na slajdzie. Ostatnia kolumna mówi, po czym ją rozpoznać.

Jak rozpoznać, której reguły użyć

ostatnie działanie	reguła	przykład z listy: jak liczysz przy $x = 2$
dodawanie, odejmowanie	2 — każdy składnik osobno	r) $e^{-x} + e^{2x}$ : $e^{-2}$ i $e^{4}$ , na końcu dodajesz (każdy składnik policzysz potem regułą 5)
mnożenie dwóch funkcji z $x$	3 — iloczyn	q) $x \ln x$ : $\ln 2$ , na końcu $2 \cdot \ln 2$
dzielenie	4 — iloraz	w) $\frac{\ln x}{e^x}$ : $\ln 2$ i $e^2$ , na końcu dzielisz
potęga, pierwiastek, $\ln$ , $e^{\ldots}$ albo $a^{\ldots}$ z czegoś, co nie jest samym $x$	5 — funkcja złożona	f) $\sqrt{5x - 7}$ : $5 \cdot 2 - 7 = 3$ , na końcu $\sqrt{3}$
wzór z tabeli z samym $x$ w środku	tylko tabela	$x^5$ , $\ln x$ , $e^x$

Jak czytać tabelę: w trzeciej kolumnie rozpisano, w jakiej kolejności liczysz wartość funkcji. Ostatnie działanie w tej kolejności to nazwa z pierwszej kolumny. Mnożenie przez stałą (np. $3x^2$ ) to reguła 1 — nie potrzebujesz reguły iloczynu.

Ćwiczenie

Która reguła idzie na pierwszy ogień?

$x^{2} e^{3 x}$
$\frac{l n x}{e ^{x}}$
$5 x - 7$
$e^{- x} + e^{2 x}$
$ln^{2} (2 x) = (ln (2 x))^{2}$
$x^{7}$
$(\frac{x - 1}{x + 1})^{4}$
$x ln x$
$2^{x}$

Przepis na każdą pochodną

Każdą pochodną z listy liczysz tymi samymi pięcioma etapami. Kolejność nie jest przypadkowa — przy każdym etapie jest powód:

1
przygotuj
Pierwiastki i ułamki zapisz jako potęgi, stałe postaw przed wyrażeniem, rozpisz logarytm albo nietypowy zapis (np. $ln^{2}$ , $x^{x}$ ).
Dlaczego w tym miejscu: Na samym początku, bo wzory z tabeli pasują tylko do „czystych” klocków: $x^{n}$ , $e^{x}$ , $ln x$ … Po przygotowaniu często wystarcza prostsza reguła: $\frac{2}{x ^{5}} = 2 x^{- 5}$ to już nie dzielenie, tylko liczba razy potęga. Gdy nie ma czego przygotowywać, zaczynasz od etapu 2.
2
rozpoznaj
Testem ostatniego działania wybierz regułę, nazwij kawałki i zapisz szablon reguły słowami.
Dlaczego w tym miejscu: Regułę wybierasz po kształcie funkcji, a prawdziwy kształt widać dopiero po przygotowaniu. Szablon mówi, jakich kawałków będzie potrzeba.
3
policz kawałki
Pochodne kawałków policz z boku, „pomocniczo”.
Dlaczego w tym miejscu: Przed wstawianiem, żeby potem tylko przenosić gotowe wyniki, a nie liczyć dwóch rzeczy naraz. Policzony kawałek od razu upraszczasz — do szablonu trafia wtedy krótszy wzór.
4
wstaw
Każdy kawałek wpisz w jego miejsce w szablonie.
Dlaczego w tym miejscu: Najpierw cały wzór, bez upraszczania. Wtedy łatwo sprawdzić, czy każdy kawałek trafił na swoje miejsce. Gdy szablon nie potrzebuje pochodnych liczonych z boku (np. sam wzór 3), etap 3 odpada i wstawiasz liczby, które widać w funkcji.
5
uprość
Policz liczby, skróć, wyłącz wspólny czynnik.
Dlaczego w tym miejscu: Na końcu, gdy wszystko stoi już na swoim miejscu. Upraszczanie w trakcie wstawiania miesza się z regułą i łatwo wtedy zgubić kawałek. Wyłączenie wspólnego czynnika nie jest obowiązkowe — wynik bez niego też jest dobry. Robimy to, bo wynik wychodzi krótszy, a w module 9 z takiej postaci łatwiej odczytać znak pochodnej.

Zobacz cały przepis na jednym przykładzie. Kliknij „▶ Zobacz krok po kroku”. Przy liniach stoi numer etapu, a w linii „wstaw” kawałki wlatują do szablonu po kolei — każdy na swoje miejsce.

Przepis w działaniu

$f (x) = x ln x$

Zapisz pierwiastek jako potęgę: $x = x^{\frac{1}{2}}$ .
$f (x) = x \cdot ln x = x^{\frac{1}{2}} \cdot ln x$
Dlaczego?
Dlaczego teraz: To pierwszy ruch, bo do potęgi jest gotowy wzór 3, a do pierwiastka w tabeli osobnego wzoru nie ma.
Pierwiastek kwadratowy to potęga $\frac{1}{2}$ .
Wybierz regułę i nazwij kawałki: pierwszy to $x^{\frac{1}{2}}$ , drugi to $ln x$ .
$f (x) = x^{\frac{1}{2}} \cdot ln x$
Dlaczego?
Test ostatniego działania: przy $x = 4$ liczysz $4^{\frac{1}{2}} = 2$ i osobno $ln 4$ , a na końcu mnożysz. Ostatnie działanie to mnożenie — więc reguła 3.
szablon regułyZapisz szablon reguły 3 słowami.
$f^{'} (x) = (pierwszy)^{'} \cdot drugi + pierwszy \cdot (drugi)^{'}$
$f^{'} (x) = (pierwszy)^{'} \cdot drugi + pierwszy \cdot (drugi)^{'}$
Dlaczego?
Szablon mówi, czego potrzebujesz: pochodnej pierwszego kawałka i pochodnej drugiego. Policzysz je teraz z boku.
pomocniczoPolicz pochodną pierwszego kawałka: wykładnik schodzi przed $x$ , w wykładniku zostaje o $1$ mniej.
$(x^{\frac{1}{2}})^{'} = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$
Na kartce: $\frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{2} - \frac{2}{2} = - \frac{1}{2}$
pomocniczoPolicz pochodną drugiego kawałka — jest wprost w tabeli.
$(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$
Wstaw kawałki w szablon. Każdy kolor trafia w swoje miejsce: turkusowe tam, gdzie „pierwszy”, złote tam, gdzie „drugi”.
$f^{'} (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot ln x + x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{x}$
$f^{'} (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot ln x + x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{x}$
Uprość drugi składnik: $x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{x}$ to jedna potęga.
$= \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} ln x + x^{- \frac{1}{2}}$
Na kartce: $\frac{1}{x} = x^{- 1}$ $x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{- 1} = x^{\frac{1}{2} - 1} = x^{- \frac{1}{2}}$
Dlaczego?
Przy mnożeniu potęg tej samej podstawy wykładniki się dodają: $\frac{1}{2} + (- 1) = - \frac{1}{2}$ .
Zapisz bez potęg z minusem i sprowadź do wspólnego mianownika $2 x$ .
$= \frac{ln x}{2 x} + \frac{1}{x} = \frac{ln x + 2}{2 x}$
Na kartce: $x^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{x}$ $\frac{1}{x} = \frac{2}{2 x}$
Dlaczego?
Potęga $- \frac{1}{2}$ to „jedynka przez pierwiastek”. Drugi ułamek rozszerzasz przez $2$ , żeby oba miały na dole $2 x$ .

pierwszy czynnik i jego pochodnadrugi czynnik i jego pochodna

W rachunkach w tym module przy liniach stoi etap przepisu. Najedź na niego kursorem (na telefonie: stuknij), żeby przypomnieć sobie, po co ten etap jest w tym miejscu. Tak samo działają etykiety reguł i wzorów — pokazują wzór, z którego korzystasz.

Potęgi i pierwiastki

Najczęstszy pierwszy ruch przy liczeniu pochodnej: zamienić pierwiastki i ułamki na potęgi. Wtedy prawie wszystko liczy się jednym wzorem — wzorem 3.

Przypomnienie z liceum· Pierwiastki i ułamki jako potęgi

zapis	potęga	dlaczego
$\sqrt{x}$	$x^{\frac12}$	pierwiastek kwadratowy to potęga $\frac12$
$\sqrt[3]{x}$	$x^{\frac13}$	pierwiastek trzeciego stopnia to potęga $\frac13$
$\sqrt[3]{x^4}$	$x^{\frac43}$	wykładnik spod pierwiastka do licznika, stopień pierwiastka do mianownika
$\frac{1}{x^5}$	$x^{-5}$	z mianownika do licznika — wykładnik zmienia znak
$\frac{1}{\sqrt{x}}$	$x^{-\frac12}$	najpierw $\sqrt{x} = x^{\frac12}$ , potem z mianownika do licznika
$x\sqrt{x}$	$x^{\frac32}$	$x^1 \cdot x^{\frac12}$ — przy mnożeniu wykładniki dodajesz: $1 + \frac12 = \frac32$

Jak czytać tabelę: w każdym wierszu ta sama funkcja (dla $x > 0$ ) zapisana na dwa sposoby. Prawa kolumna mówi, z której reguły potęgowania korzystasz.

Wpisz wykładnik

Zamień na potęgę

Wpisz wykładnik, tak żeby po obu stronach była ta sama funkcja.

Wpisz liczby w pola (ułamek jako 1/3 albo −4/3). Kiedy skończysz, kliknij „Sprawdź”.

$x = x$
$3 x = x$
$3 x^{2} = x$
$\frac{1}{x ^{3}} = x$
$\frac{1}{x} = x$
$x x = x$
$\frac{1}{3 x} = x$
$4 x^{3} = x$

Polecenie na kolokwium· Pochodna sumy potęg i pierwiastków

Oblicz pochodną funkcji, np. $f(x) = \frac{2}{x^5} - \frac{1}{\sqrt{x}}$ .

Przygotuj: zamień pierwiastki na potęgi, a ułamki „jedynka przez potęgę” — na potęgi z minusem. Stałe zostaw przed potęgami.
Rozpoznaj: suma albo różnica — każdy składnik osobno (reguła 2). Każdy składnik to liczba razy potęga — wzór 3 z regułą 1.
Policz kawałki: tu odpada — wzór 3 nie potrzebuje pochodnych liczonych z boku.
Wstaw: w każdym składniku wykładnik schodzi przed $x$ i mnoży liczbę. Nowy wykładnik = stary − 1.
Uprość: policz na kartce mnożenie i odejmowanie. Przy ułamku zapisz $1$ jako ułamek o tym samym mianowniku: $1 = \frac22 = \frac33$ . Jeśli chcesz, wróć do zapisu z pierwiastkami i ułamkami — oba zapisy są poprawne.

(x^{n})^{'} = n \cdot x^{n - 1}

Czytamy: pochodna z iks do potęgi en równa się en razy iks do potęgi en minus jeden

$n$: wykładnik — schodzi przed $x$ i staje się mnożnikiem
$n - 1$: nowy wykładnik — o jeden mniejszy od starego

Zobacz, jak wykładnik „schodzi na dół”. Kliknij „▶ Zobacz krok po kroku” — fioletowy wykładnik przeleci na nowe miejsca:

Przykład

Wykładnik schodzi na dół: $3 x^{4}$

Odczytaj liczbę przed $x$ ( $3$ ) i wykładnik ( $4$ ). To liczba razy potęga — wzór 3 z regułą 1.
$f (x) = 3 x^{4}$
Dlaczego?
Dlaczego teraz: Zaczynamy od rozpoznania, bo funkcja jest już liczbą razy potęga — nie ma czego przygotowywać.
szablon regułyZapisz szablon: liczba czeka z przodu, wykładnik schodzi przed $x$ , w wykładniku zostaje o $1$ mniej.
$(c \cdot x^{n})^{'} = c \cdot n \cdot x^{n - 1}$
Wstaw liczbę i wykładnik do szablonu. Fioletowy wykładnik ląduje w dwóch miejscach.
$f^{'} (x) = 3 \cdot 4 \cdot x^{4 - 1}$
Dlaczego?
Dlaczego teraz: Etap 3 odpada: szablon wzoru 3 nie potrzebuje pochodnych liczonych z boku — liczby i wykładniki widać od razu w funkcji.
Policz liczbę przed $x$ i nowy wykładnik.
$= 12 x^{3}$
Na kartce: $3 \cdot 4 = 12$ $4 - 1 = 3$

liczba przed $x$ wykładnik: schodzi przed $x$ , a w wykładniku zostaje o $1$ mniej

Z wykładnikiem ułamkowym działa to tak samo. Trzeba tylko policzyć na kartce odejmowanie ułamków:

Przykład

Wykładnik ułamkowy: $x^{\frac{4}{3}}$

Odczytaj wykładnik: to ułamek $\frac{4}{3}$ — wzór 3 działa tak samo.
$f (x) = x^{\frac{4}{3}}$
Dlaczego?
Dlaczego teraz: Zaczynamy od rozpoznania, bo funkcja jest już potęgą.
szablon regułyZapisz szablon wzoru 3.
$(x^{n})^{'} = n \cdot x^{n - 1}$
Wstaw wykładnik do szablonu: przed $x$ i do wykładnika.
$f^{'} (x) = \frac{4}{3} \cdot x^{\frac{4}{3} - 1}$
Odejmij $1$ od ułamka: zapisz $1$ jako $\frac{3}{3}$ .
$= \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}}$
Na kartce: $\frac{4}{3} - 1 = \frac{4}{3} - \frac{3}{3} = \frac{1}{3}$
Zapisz potęgę $\frac{1}{3}$ jako pierwiastek trzeciego stopnia.
$= \frac{4}{3} 3 x$

wykładnik: schodzi przed $x$ , a w wykładniku zostaje o $1$ mniej

Sprawdź się

Pochodna $f (x) = x^{- 3}$ to:

Zadanie · krok po kroku

$f (x) = \frac{2}{x ^{5}} - \frac{1}{x}$

Zad. 1 a)

Plan — co zrobimy i po co

Cel: wzór na $f'(x)$ .

Przygotuj: zamieniamy oba składniki na potęgi — bo do potęg jest gotowy wzór 3.
Rozpoznaj: różnica dwóch składników, więc każdy liczymy osobno (reguła 2) według szablonu wzoru 3.
Policz kawałki: odpada — wzór 3 nie potrzebuje pochodnych liczonych z boku.
Wstaw: liczby przed $x$ i wykładniki wlatują do szablonu.
Uprość: na kartce liczymy liczby przed $x$ i nowe wykładniki. Na koniec możemy wrócić do ułamków.

Wyciągnij stałą $2$ przed ułamek, a pierwiastek zapisz jako potęgę $\frac{1}{2}$ .
$f (x) = \frac{2}{x ^{5}} - \frac{1}{x} = 2 \cdot \frac{1}{x ^{5}} - \frac{1}{x ^{\frac{1}{2}}}$
Dlaczego?
Dlaczego teraz: Na samym początku, bo wzór 3 działa tylko na postać „liczba razy $x$ do potęgi”. Gdyby zacząć liczyć od razu, $\frac{2}{x ^{5}}$ wyglądałoby jak dzielenie i trzeba by użyć reguły ilorazu — dłużej i łatwiej o błąd.
$\frac{2}{x ^{5}} = 2 \cdot \frac{1}{x ^{5}}$ — dwójka to stała, zostanie z przodu (reguła 1). $x = x^{\frac{1}{2}}$ , bo pierwiastek kwadratowy to potęga $\frac{1}{2}$ .
Zapisz „jedynkę przez potęgę” jako potęgę z minusem.
$= 2 x^{- 5} - x^{- \frac{1}{2}}$
Dlaczego?
Dlaczego teraz: To jeszcze przygotowanie. Dopiero teraz oba składniki mają postać „liczba razy $x^{n}$ ” — taką, do której pasuje wzór 3.
$\frac{1}{x ^{n}} = x^{- n}$ : potęga przechodzi z mianownika do licznika, a wykładnik zmienia znak.
Rozpoznaj regułę i nazwij kawałki. To różnica dwóch składników, więc każdy liczysz osobno (reguła 2). Każdy składnik to liczba razy potęga: liczba przed $x$ (turkusowa) i wykładnik (fioletowy).
$f (x) = 2 x^{- 5} - x^{- \frac{1}{2}}$
Dlaczego?
Test ostatniego działania: przy $x = 1$ liczysz osobno $2 \cdot 1^{- 5} = 2$ i $1^{- \frac{1}{2}} = 1$ , a na końcu odejmujesz. Ostatnie działanie to odejmowanie — reguła 2. W drugim składniku liczby przed $x$ nie widać — to $1$ .
szablon regułyZapisz szablon wzoru 3 dla jednego składnika. Zastosujesz go w obu składnikach.
$(c \cdot x^{n})^{'} = c \cdot n \cdot x^{n - 1}$
Dlaczego?
Liczba przed $x$ czeka z przodu (reguła 1). Wykładnik schodzi przed $x$ i mnoży tę liczbę, a w wykładniku zostaje o $1$ mniej (wzór 3).
Wstaw liczby do szablonu w każdym składniku: wykładnik schodzi przed $x$ , a w wykładniku zostaje „stary wykładnik minus $1$ ”. Minus między składnikami zostaje.
$f^{'} (x) = 2 \cdot (- 5) \cdot x^{- 5 - 1} - (- \frac{1}{2}) \cdot x^{- \frac{1}{2} - 1}$
Dlaczego?
Dlaczego teraz: Etap 3 odpada: szablon wzoru 3 nie potrzebuje pochodnych liczonych z boku — liczby i wykładniki widać od razu w funkcji.
Policz liczby przed $x$ i nowe wykładniki.
$= - 10 x^{- 6} + \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}}$
Na kartce: $2 \cdot (- 5) = - 10$ $- 5 - 1 = - 6$ $- (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$ $- \frac{1}{2} - 1 = - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} = - \frac{3}{2}$
Dlaczego?
Minus przed nawiasem i minus w nawiasie dają plus. Od ułamka odejmujesz $1$ zapisaną jako $\frac{2}{2}$ — wtedy oba ułamki mają ten sam mianownik.
Jeśli chcesz, wróć do zapisu z ułamkami i pierwiastkiem — oba zapisy są poprawne.
$= - \frac{10}{x ^{6}} + \frac{1}{2 x x}$
Na kartce: $x^{- 6} = \frac{1}{x ^{6}}$ $\frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}} = \frac{1}{2 x ^{\frac{3}{2}}}$ $x^{\frac{3}{2}} = x^{1} \cdot x^{\frac{1}{2}} = x x$
Dlaczego?
Potęga z minusem to jedynka przez potęgę. $x^{\frac{3}{2}}$ rozkładasz na $x^{1} \cdot x^{\frac{1}{2}}$ , bo przy mnożeniu potęg wykładniki się dodają: $1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ .

liczba przed $x$ wykładnik: schodzi przed $x$ , a w wykładniku zostaje o $1$ mniej

Zadanie · krok po kroku

$f (x) = 3 x^{4} - \frac{1}{3 x}$

Zad. 1 b)

Plan — co zrobimy i po co

Cel: wzór na $f'(x)$ . Ten sam przepis co w a): potęgi → wzór 3 dla każdego składnika → rachunek na ułamkach.

Zapisz oba pierwiastki jako potęgi.
$f (x) = 3 x^{4} - \frac{1}{3 x} = x^{\frac{4}{3}} - x^{- \frac{1}{3}}$
Dlaczego?
Dlaczego teraz: Na samym początku, bo do potęgi jest gotowy wzór 3, a do pierwiastka w tabeli wzoru nie ma.
$3 x^{4} = x^{\frac{4}{3}}$ : wykładnik spod pierwiastka idzie do licznika, stopień pierwiastka — do mianownika. $\frac{1}{3 x} = \frac{1}{x ^{\frac{1}{3}}} = x^{- \frac{1}{3}}$ .
Rozpoznaj regułę i nazwij kawałki: różnica dwóch potęg, więc każdy składnik osobno (reguła 2), każdy wzorem 3. Wykładniki są fioletowe.
$f (x) = x^{\frac{4}{3}} - x^{- \frac{1}{3}}$
Dlaczego?
Test ostatniego działania: przy $x = 8$ liczysz osobno $3 8^{4} = 16$ i $\frac{1}{3 8} = \frac{1}{2}$ , a na końcu odejmujesz. Ostatnie działanie to odejmowanie — reguła 2.
szablon regułyZapisz szablon wzoru 3. Zastosujesz go w obu składnikach.
$(x^{n})^{'} = n \cdot x^{n - 1}$
Wstaw wykładniki do szablonu w każdym składniku. Minus między składnikami zostaje.
$f^{'} (x) = \frac{4}{3} \cdot x^{\frac{4}{3} - 1} - (- \frac{1}{3}) \cdot x^{- \frac{1}{3} - 1}$
Policz nowe wykładniki i znaki.
$= \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{3} x^{- \frac{4}{3}}$
Na kartce: $\frac{4}{3} - 1 = \frac{4}{3} - \frac{3}{3} = \frac{1}{3}$ $- (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{3}$ $- \frac{1}{3} - 1 = - \frac{1}{3} - \frac{3}{3} = - \frac{4}{3}$
Dlaczego?
Jedynkę zapisujesz jako $\frac{3}{3}$ , żeby odjąć ułamki o tym samym mianowniku. Minus razy minus daje plus.
Jeśli chcesz, wróć do pierwiastków.
$= \frac{4}{3} 3 x + \frac{1}{3 x 3 x}$
Na kartce: $x^{\frac{1}{3}} = 3 x$ $x^{\frac{4}{3}} = x^{1} \cdot x^{\frac{1}{3}} = x 3 x$
Dlaczego?
Potęga z minusem to jedynka przez potęgę: $\frac{1}{3} x^{- \frac{4}{3}} = \frac{1}{3 x ^{\frac{4}{3}}}$ .

wykładnik: schodzi przed $x$ , a w wykładniku zostaje o $1$ mniej

Pułapka· Typowe błędy przy potęgach

$(x^5)' = 5x^5$ — zapomniane „minus 1” w wykładniku. Dobrze: $5x^4$ .
$(x^{-5})' = -5x^{-4}$ — przy ujemnym wykładniku odjęcie jedynki oddala od zera: $-5 - 1 = -6$ . Dobrze: $-5x^{-6} = -\frac{5}{x^6}$ .
$\left(\frac{1}{x^5}\right)' = \frac{1}{5x^4}$ — policzona pochodna samego mianownika. Najpierw zamień na $x^{-5}$ . Dobrze: $-5x^{-6}$ .
$(7)' = 7$ — pochodna stałej to $0$ (wzór 1).
$(\sqrt{x})' = \frac12 x^{\frac12}$ — wykładnik się nie zmienił. Dobrze: $\frac12 - 1 = -\frac12$ , czyli $\frac12 x^{-\frac12}$ .

Pochodna iloczynu

Iloczyn to wynik mnożenia. Regułę 3 stosujesz, gdy ostatnie działanie to mnożenie dwóch funkcji, w których jest $x$ — np. $x \ln x$ albo $x^2 e^{3x}$ .

(f (x) \cdot g (x))^{'} = f^{'} (x) \cdot g (x) + f (x) \cdot g^{'} (x)

Czytamy: pochodna iloczynu to pochodna pierwszego razy drugi plus pierwszy razy pochodna drugiego

$f (x)$: pierwszy czynnik — funkcja przed znakiem mnożenia
$g (x)$: drugi czynnik — funkcja po znaku mnożenia
$f^{'} (x) \cdot g (x)$: pierwszy składnik wyniku: pochodną ma tylko pierwszy czynnik
$f (x) \cdot g^{'} (x)$: drugi składnik wyniku: pochodną ma tylko drugi czynnik

pierwszy czynnik i jego pochodnadrugi czynnik i jego pochodna

Zadanie · krok po kroku

$f (x) = x ln x$

Zad. 1 q)

Plan — co zrobimy i po co

Cel: wzór na $f'(x)$ .

Przygotuj: odpada — nie ma pierwiastków ani ułamków.
Rozpoznaj: nazywamy czynniki i zapisujemy szablon reguły 3 — bo wzór na iloczyn potrzebuje osobno pierwszego i drugiego czynnika.
Policz kawałki: pomocniczo liczymy pochodne czynników — obie są w tabeli.
Wstaw: kawałki wlatują do szablonu. Kliknij „▶ Zobacz krok po kroku”, żeby zobaczyć, który kawałek trafia w które miejsce.
Uprość: liczymy oba iloczyny.

Rozpoznaj regułę i nazwij kawałki: pierwszy to $x$ , drugi to $ln x$ .
$f (x) = x \cdot ln x$
Dlaczego?
Dlaczego teraz: Zaczynamy od rozpoznania, bo nie ma czego przygotowywać: nie ma pierwiastków ani ułamków z $x$ pod kreską.
Test ostatniego działania: przy $x = 3$ liczysz $ln 3$ , a na końcu mnożysz przez $3$ . Ostatnie działanie to mnożenie — reguła 3.
szablon regułyZapisz szablon reguły 3 słowami. Pokazuje, jakich kawałków potrzebujesz i gdzie trafi każdy z nich.
$f^{'} (x) = (pierwszy)^{'} \cdot drugi + pierwszy \cdot (drugi)^{'}$
$f^{'} (x) = (pierwszy)^{'} \cdot drugi + pierwszy \cdot (drugi)^{'}$
pomocniczoPolicz pochodną pierwszego kawałka.
$(x)^{'} = 1$
pomocniczoPolicz pochodną drugiego kawałka.
$(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$
Wstaw kawałki w szablon. Każdy kolor trafia w swoje miejsce: turkusowe tam, gdzie „pierwszy”, złote tam, gdzie „drugi”.
$f^{'} (x) = 1 \cdot ln x + x \cdot \frac{1}{x}$
Policz oba iloczyny.
$= ln x + 1$
Na kartce: $1 \cdot ln x = ln x$ $x \cdot \frac{1}{x} = \frac{x}{x} = 1$

pierwszy czynnik i jego pochodnadrugi czynnik i jego pochodna

Trzy czynniki? Reguła 3 jest dla dwóch, więc dwa z nich łączysz w jeden:

Zadanie · krok po kroku

$f (x) = x^{2} e^{x} ln x$

Zad. 1 n)

Trzy czynniki, a reguła 3 jest dla dwóch. Pogrupuj: pierwszy kawałek to $x^{2} e^{x}$ , drugi to $ln x$ .
$f (x) = x^{2} e^{x} \cdot ln x$
Dlaczego?
Dlaczego teraz: Zaczynamy od rozpoznania, bo nie ma czego przygotowywać: nie ma pierwiastków ani ułamków z $x$ pod kreską.
Mnożenie można grupować dowolnie, więc dwa pierwsze czynniki traktujesz jak jeden kawałek. Test ostatniego działania: przy $x = 2$ liczysz $2^{2} e^{2}$ i osobno $ln 2$ , a na końcu mnożysz — reguła 3.
szablon regułyZapisz szablon reguły 3 słowami. Pokazuje, jakich kawałków potrzebujesz i gdzie trafi każdy z nich.
$f^{'} (x) = (pierwszy)^{'} \cdot drugi + pierwszy \cdot (drugi)^{'}$
$f^{'} (x) = (pierwszy)^{'} \cdot drugi + pierwszy \cdot (drugi)^{'}$
pomocniczoPolicz pochodną pierwszego kawałka. To też iloczyn: $x^{2}$ razy $e^{x}$ . Zapisz regułę 3 z tymi czynnikami — kreska $^{'}$ przy nawiasie to pochodna, którą zaraz policzysz.
$(x^{2} e^{x})^{'} = (x^{2})^{'} \cdot e^{x} + x^{2} \cdot (e^{x})^{'}$
pomocniczoPolicz pochodne obu czynników i podstaw je w miejsca z kreską.
$= 2 x e^{x} + x^{2} e^{x}$
Na kartce: $(x^{2})^{'} = 2 x$ $(e^{x})^{'} = e^{x}$ $2 x \cdot e^{x} = 2 x e^{x}$
pomocniczoPolicz pochodną drugiego kawałka.
$(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$
Wstaw kawałki w szablon. Każdy kolor trafia w swoje miejsce: turkusowe tam, gdzie „pierwszy”, złote tam, gdzie „drugi”.
$f^{'} (x) = (2 x e^{x} + x^{2} e^{x}) \cdot ln x + x^{2} e^{x} \cdot \frac{1}{x}$
Uprość drugi składnik: $x^{2} e^{x} \cdot \frac{1}{x} = x e^{x}$ .
$= (2 x e^{x} + x^{2} e^{x}) ln x + x e^{x}$
Na kartce: $x^{2} e^{x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{x ^{2}}{x} e^{x} = x e^{x}$
Wymnóż nawias przez $ln x$ i w każdym składniku pokaż czynnik $x e^{x}$ .
$= x e^{x} \cdot 2 ln x + x e^{x} \cdot x ln x + x e^{x}$
Na kartce: $2 x e^{x} ln x = x e^{x} \cdot 2 ln x$ $x^{2} e^{x} ln x = x e^{x} \cdot x ln x$
Dlaczego?
$x^{2} e^{x} = x \cdot x e^{x}$ , więc w drugim składniku zostaje $x ln x$ .
Wyłącz wspólny czynnik $x e^{x}$ przed nawias. W nawiasie zostaje $2 ln x$ , $x ln x$ i $1$ — bo $x e^{x} = x e^{x} \cdot 1$ .
$= x e^{x} (2 ln x + x ln x + 1)$
Dlaczego?
Dlaczego teraz: Na samym końcu. To nieobowiązkowe — wynik z poprzedniej linii też jest dobry. Wyłączamy, bo wynik wychodzi krótszy, a w module 9 z takiej postaci łatwiej odczytać znak pochodnej.

pierwszy czynnik i jego pochodnadrugi czynnik i jego pochodna

Pochodna ilorazu

Iloraz to wynik dzielenia. Regułę 4 stosujesz, gdy ostatnie działanie to dzielenie: funkcja przez funkcję, np. $\frac{\ln x}{e^x}$ .

(\frac{f ( x )}{g ( x )})^{'} = \frac{f ^{'} ( x ) \cdot g ( x ) - f ( x ) \cdot g ^{'} ( x )}{[ g ( x ) ] ^{2}}

Czytamy: pochodna ilorazu to: pochodna licznika razy mianownik, minus licznik razy pochodna mianownika, a wszystko przez mianownik do kwadratu

$f (x)$: licznik — „góra” ułamka
$g (x)$: mianownik — „dół” ułamka; nie może być zerem
$f^{'} (x) \cdot g (x) - f (x) \cdot g^{'} (x)$: nowy licznik — jak w iloczynie, ale z minusem; zaczynasz od pochodnej licznika
$[g (x)]^{2}$: nowy mianownik — stary mianownik do kwadratu

licznik i jego pochodnamianownik i jego pochodna

Najpierw prosty przykład, potem przykłady z listy:

Przykład

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$

Rozpoznaj regułę i nazwij kawałki: licznik to $x$ , mianownik to $x + 1$ .
$f (x) = \frac{x}{x + 1}$
Dlaczego?
Dlaczego teraz: Zaczynamy od rozpoznania. Pod kreską stoi $x + 1$ , a nie sama potęga $x$ — zamiana na potęgę nic by tu nie uprościła.
Test ostatniego działania: przy $x = 1$ liczysz osobno $1$ i $1 + 1 = 2$ , a na końcu dzielisz. Ostatnie działanie to dzielenie — reguła 4.
szablon regułyZapisz szablon reguły 4 słowami. Pokazuje, jakich kawałków potrzebujesz i gdzie trafi każdy z nich.
$f^{'} (x) = \frac{( licznik ) ^{'} \cdot mianownik - licznik \cdot ( mianownik ) ^{'}}{( mianownik ) ^{2}}$
$f^{'} (x) = \frac{( licznik ) ^{'} \cdot mianownik - licznik \cdot ( mianownik ) ^{'}}{( mianownik ) ^{2}}$
pomocniczoPolicz pochodną licznika.
$(x)^{'} = 1$
pomocniczoPolicz pochodną mianownika.
$(x + 1)^{'} = 1 + 0 = 1$
Wstaw kawałki w szablon — po kolei, każdy w swoje miejsce. Kolejność w liczniku ma znaczenie: zaczynasz od pochodnej licznika.
$f^{'} (x) = \frac{1 \cdot ( x + 1 ) - x \cdot 1}{( x + 1 ) ^{2}}$
Policz oba iloczyny w liczniku i odejmij. Mianownika do kwadratu nie wymnażasz.
$= \frac{x + 1 - x}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}}$
Na kartce: $1 \cdot (x + 1) = x + 1$ $x \cdot 1 = x$ $x + 1 - x = 1$

licznik i jego pochodnamianownik i jego pochodna

Zadanie · krok po kroku

$f (x) = \frac{l n x}{e ^{x}}$

Zad. 1 w)

Plan — co zrobimy i po co

Cel: wzór na $f'(x)$ w możliwie prostej postaci.

Przygotuj: odpada — pod kreską stoi $e^x$ , klocek z tabeli.
Rozpoznaj: nazywamy licznik i mianownik i zapisujemy szablon reguły 4 — bo wzór potrzebuje ich osobno.
Policz kawałki: pomocniczo liczymy pochodne obu — są w tabeli.
Wstaw: kawałki wlatują do szablonu „góra–dół”, każdy na swoje miejsce.
Uprość: $e^x$ występuje w liczniku i w mianowniku, więc da się je skrócić.

Rozpoznaj regułę i nazwij kawałki: licznik to $ln x$ , mianownik to $e^{x}$ .
$f (x) = \frac{ln x}{e ^{x}}$
Dlaczego?
Dlaczego teraz: Zaczynamy od rozpoznania. Pod kreską stoi $e^{x}$ — klocek z tabeli, a nie potęga $x$ ani pierwiastek — więc nie ma czego zamieniać na potęgę. Ułamek liczymy wprost regułą ilorazu.
Test ostatniego działania: przy $x = 2$ liczysz $ln 2$ i osobno $e^{2}$ , a na końcu dzielisz. Ostatnie działanie to dzielenie — reguła 4.
szablon regułyZapisz szablon reguły 4 słowami. Pokazuje, jakich kawałków potrzebujesz i gdzie trafi każdy z nich.
$f^{'} (x) = \frac{( licznik ) ^{'} \cdot mianownik - licznik \cdot ( mianownik ) ^{'}}{( mianownik ) ^{2}}$
$f^{'} (x) = \frac{( licznik ) ^{'} \cdot mianownik - licznik \cdot ( mianownik ) ^{'}}{( mianownik ) ^{2}}$
pomocniczoPolicz pochodną licznika.
$(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$
pomocniczoPolicz pochodną mianownika.
$(e^{x})^{'} = e^{x}$
Wstaw kawałki w szablon — po kolei, każdy w swoje miejsce. Kolejność w liczniku ma znaczenie: zaczynasz od pochodnej licznika.
$f^{'} (x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot e ^{x} - ln x \cdot e ^{x}}{( e ^{x} ) ^{2}}$
Policz mianownik: $(e^{x})^{2} = e^{2 x}$ . W liczniku zostaw iloczyny tak, jak są — zaraz z nich skorzystasz.
$= \frac{\frac{1}{x} \cdot e ^{x} - ln x \cdot e ^{x}}{e ^{2 x}}$
Na kartce: $(e^{x})^{2} = e^{2 x}$
Dlaczego?
Przy potędze potęgi wykładniki się mnożą: $x \cdot 2 = 2 x$ .
Wyłącz wspólny czynnik $e^{x}$ w liczniku. Oba $e^{x}$ trafiają przed nawias; w nawiasie zostaje $\frac{1}{x}$ z pierwszego składnika i $ln x$ z drugiego.
$= \frac{e ^{x} ( \frac{1}{x} - ln x )}{e ^{2 x}}$
Skróć $e^{x}$ z licznika z jednym $e^{x}$ z mianownika.
$= \frac{\frac{1}{x} - ln x}{e ^{x}}$
Na kartce: $\frac{e ^{x}}{e ^{2 x}} = \frac{1}{e ^{x}}$
Dlaczego?
Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie wykładniki się odejmują: $2 x - x = x$ .
Pomnóż licznik i mianownik przez $x$ , żeby pozbyć się ułamka w liczniku.
$= \frac{1 - x ln x}{x e ^{x}}$
Na kartce: $(\frac{1}{x} - ln x) \cdot x = 1 - x ln x$ $e^{x} \cdot x = x e^{x}$

licznik i jego pochodnamianownik i jego pochodna

Zadanie · krok po kroku

$f (x) = \frac{2}{l n x}$

Zad. 1 c)

Rozpoznaj regułę i nazwij kawałki: licznik to $2$ , mianownik to $ln x$ .
$f (x) = \frac{2}{ln x}$
Dlaczego?
Dlaczego teraz: Zaczynamy od rozpoznania, choć przepis pozwala też przygotować ułamek: $\frac{2}{l n x} = 2 (ln x)^{- 1}$ . Tu celowo liczymy regułą ilorazu, bo to przykład do tej sekcji. Drogę przez potęgę pokazujemy po sekcji o funkcji złożonej.
Test ostatniego działania: przy $x = 3$ liczysz najpierw $ln 3$ , a na końcu dzielisz $2$ przez wynik. Ostatnie działanie to dzielenie — więc reguła 4.
szablon regułyZapisz szablon reguły 4 słowami. Pokazuje, jakich kawałków potrzebujesz i gdzie trafi każdy z nich.
$f^{'} (x) = \frac{( licznik ) ^{'} \cdot mianownik - licznik \cdot ( mianownik ) ^{'}}{( mianownik ) ^{2}}$
$f^{'} (x) = \frac{( licznik ) ^{'} \cdot mianownik - licznik \cdot ( mianownik ) ^{'}}{( mianownik ) ^{2}}$
pomocniczoPolicz pochodną licznika.
$(2)^{'} = 0$
Dlaczego?
$2$ to stała, a pochodna stałej to $0$ .
pomocniczoPolicz pochodną mianownika — jest wprost w tabeli.
$(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$
Wstaw kawałki w szablon — po kolei, każdy w swoje miejsce. Kolejność w liczniku ma znaczenie: zaczynasz od pochodnej licznika.
$f^{'} (x) = \frac{0 \cdot ln x - 2 \cdot \frac{1}{x}}{( ln x ) ^{2}}$
Policz oba iloczyny w liczniku.
$= \frac{0 - \frac{2}{x}}{( ln x ) ^{2}}$
Na kartce: $0 \cdot ln x = 0$ $2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x}$
Uprość piętrowy ułamek: $- \frac{2}{x}$ dzielisz przez $(ln x)^{2}$ .
$= - \frac{2}{x ( ln x ) ^{2}}$
Dlaczego?
Dzielenie przez $(ln x)^{2}$ to dopisanie $(ln x)^{2}$ do mianownika, obok $x$ . Minus zostaje przed całym ułamkiem.

licznik i jego pochodnamianownik i jego pochodna

Gdy w liczniku stoi sama liczba, jak w c), jest też szybsza droga — przez potęgę z minusem. Pokażemy ją po sekcji o funkcji złożonej.

Pochodna funkcji złożonej

Funkcja złożona to funkcja wstawiona do innej funkcji. W $\sqrt{5x - 7}$ najpierw liczysz $5x - 7$ , a potem z wyniku pierwiastek. Jest jak cebula: ma warstwę zewnętrzną (pierwiastek) i środek ( $5x - 7$ ).

funkcja	zewnętrzna (z kratką)	środek
$\sqrt{5x - 7}$	$\sqrt{\square}$	$5x - 7$
$e^{-\frac{x^2}{2}}$	$e^{\square}$	$-\frac{x^2}{2}$
$(\ln x)^3$	$\square^3$	$\ln x$
$\ln(2x)$	$\ln \square$	$2x$
$\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} = (x^2+1)^{-\frac12}$	$\square^{-\frac12}$	$x^2 + 1$

Jak czytać tabelę: kratka $\square$ to miejsce, w którym w funkcji zewnętrznej stoi środek. Wstaw środek w kratkę — dostaniesz funkcję z pierwszej kolumny. Środek znajdziesz testem ostatniego działania: ostatnie działanie to funkcja zewnętrzna, a to, na czym je wykonujesz, to środek. Pierwiastki i ułamki „jedynka przez…” najpierw zamień na potęgi — dopiero wtedy ostatnim działaniem jest potęga.

[f (g (x))]^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)

Czytamy: pochodna funkcji złożonej to pochodna funkcji zewnętrznej, w której zamiast iks stoi cały środek, razy pochodna środka

$g (x)$: środek (funkcja wewnętrzna) — to, co siedzi w kratce
$f$: funkcja zewnętrzna — to, co robisz ze środkiem na końcu
$f^{'} (g (x))$: pochodna zewnętrznej z tabeli, a w miejscu $x$ — cały środek, bez zmian
$g^{'} (x)$: razy pochodna środka — tego nie wolno pominąć

środek i jego pochodna

Zadanie · krok po kroku

$f (x) = 5 x - 7$

Zad. 1 f)

Plan — co zrobimy i po co

Cel: wzór na $f'(x)$ .

Przygotuj: zapisujemy pierwiastek jako potęgę — bo do potęgi jest wzór 3.
Rozpoznaj: ostatnie działanie to potęga czegoś, co nie jest samym $x$ — reguła 5. Nazywamy środek i wykładnik, zapisujemy szablon.
Policz kawałki: pomocniczo liczymy pochodną środka.
Wstaw: wykładnik, środek bez zmian i pochodna środka wlatują do szablonu.
Uprość: liczymy nowy wykładnik i zapisujemy wynik bez potęgi z minusem.

Kliknij „▶ Zobacz krok po kroku”: złoty środek i fioletowy wykładnik przelecą tam, gdzie trafiają we wzorze.

Zapisz pierwiastek jako potęgę $\frac{1}{2}$ .
$f (x) = 5 x - 7 = (5 x - 7)^{\frac{1}{2}}$
Dlaczego?
Dlaczego teraz: Na samym początku, bo do potęgi jest gotowy wzór 3, a do pierwiastka w tabeli wzoru nie ma.
Pierwiastek kwadratowy to potęga $\frac{1}{2}$ : $□ = □^{\frac{1}{2}}$ . W miejscu kratki stoi całe $5 x - 7$ .
Rozpoznaj regułę i nazwij kawałki: to potęga, w której środku stoi $5 x - 7$ , a nie sam $x$ — funkcja złożona (reguła 5). Wykładnik to $\frac{1}{2}$ .
$f (x) = (5 x - 7)^{\frac{1}{2}}$
Dlaczego?
Test ostatniego działania: przy $x = 3$ liczysz $5 \cdot 3 - 7 = 8$ , a na końcu potęgę $\frac{1}{2}$ , czyli pierwiastek. Ostatnie działanie to potęga czegoś, co nie jest samym $x$ — reguła 5.
szablon regułyZapisz szablon reguły 5 słowami. Pokazuje, jakich kawałków potrzebujesz i gdzie trafi każdy z nich.
$f^{'} (x) = \frac{1}{2} \cdot (s ˊ rodek)^{\frac{1}{2} - 1} \cdot (s ˊ rodek)^{'}$
$f^{'} (x) = \frac{1}{2} \cdot (s ˊ rodek)^{\frac{1}{2} - 1} \cdot (s ˊ rodek)^{'}$
pomocniczoPolicz pochodną środka.
$(5 x - 7)^{'} = 5 \cdot 1 - 0 = 5$
Dlaczego?
$(5 x)^{'} = 5 \cdot (x)^{'} = 5 \cdot 1$ , a $(7)^{'} = 0$ , bo $7$ to stała.
Wstaw kawałki w szablon: wykładnik trafia przed nawias i do nowego wykładnika (ten „minus $1$ ”), środek przepisujesz bez zmian, a na końcu dopisujesz policzoną pochodną środka.
$f^{'} (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 x - 7)^{\frac{1}{2} - 1} \cdot 5$
Policz nowy wykładnik.
$= \frac{1}{2} (5 x - 7)^{- \frac{1}{2}} \cdot 5$
Na kartce: $\frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{2} - \frac{2}{2} = - \frac{1}{2}$
Pomnóż liczby, a potęgę $- \frac{1}{2}$ zapisz jako jedynkę przez pierwiastek.
$= \frac{5}{2 5 x - 7}$
Na kartce: $\frac{1}{2} \cdot 5 = \frac{5}{2}$ $(5 x - 7)^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{5 x - 7}$

środek i jego pochodnawykładnik funkcji zewnętrznej

Pozostałe przykłady z listy — funkcje złożone

Ułożone od najprostszych. Kliknij przykład, żeby rozwinąć rachunek.

Przykład r)

f (x) = e^{- x} + e^{2 x}

Plan — co zrobimy i po co

Cel: wzór na $f^{'} (x)$ . Ostatnie działanie to dodawanie, więc każdy składnik liczymy osobno (reguła 2). Każdy składnik to $e^{□}$ z wykładnikiem innym niż sam $x$ — funkcja złożona: potęgę przepisujemy i mnożymy przez pochodną wykładnika. Dlatego r) jest w tej sekcji.

Rozpoznaj regułę i nazwij kawałki: suma dwóch składników — każdy osobno (reguła 2). Każdy to $e^{□}$ , ale w wykładniku nie stoi sam $x$ — to funkcje złożone (reguła 5). Wykładniki są złote.
$f (x) = e^{- x} + e^{2 x}$
Dlaczego?
Dlaczego teraz: Zaczynamy od rozpoznania, bo nie ma czego przygotowywać: nie ma pierwiastków ani ułamków z $x$ pod kreską.
Test ostatniego działania: przy $x = 2$ liczysz osobno $e^{- 2}$ i $e^{4}$ , a na końcu dodajesz — reguła 2. Wzór 5, $(e^{x})^{'} = e^{x}$ , działa tylko wtedy, gdy w wykładniku jest dokładnie $x$ . Tu są $- x$ i $2 x$ , więc dochodzi pochodna wykładnika.
szablon regułyZapisz szablon reguły 5 dla jednego składnika $e^{□}$ — użyjesz go w każdym składniku.
$(e^{wyk ł adnik})^{'} = e^{wyk ł adnik} \cdot (wyk ł adnik)^{'}$
$(e^{wyk ł adnik})^{'} = e^{wyk ł adnik} \cdot (wyk ł adnik)^{'}$
pomocniczoPolicz pochodną pierwszego wykładnika.
$(- x)^{'} = - 1$
Dlaczego?
$- x = (- 1) \cdot x$ , więc pochodna to $(- 1) \cdot 1 = - 1$ .
pomocniczoPolicz pochodną drugiego wykładnika.
$(2 x)^{'} = 2$
Wstaw kawałki w szablon w każdym składniku: wykładnik bez zmian, potem razy jego pochodna.
$f^{'} (x) = e^{- x} \cdot (- 1) + e^{2 x} \cdot 2$
Uporządkuj: liczbę piszesz przed $e$ .
$= - e^{- x} + 2 e^{2 x}$

wykładnik (środek) i jego pochodna

Przykład v)

f (x) = e^{- \frac{x ^{2}}{2}}

Plan — co zrobimy i po co

Cel: wzór na $f^{'} (x)$ . Funkcja złożona: $e^{□}$ z wykładnikiem $- \frac{x ^{2}}{2}$ . Potęgę przepisujemy bez zmian i mnożymy przez pochodną wykładnika, policzoną z boku.

Rozpoznaj regułę i nazwij kawałki: $e^{□}$ z wykładnikiem $- \frac{x ^{2}}{2}$ . To nie sam $x$ , więc funkcja złożona — reguła 5.
$f (x) = e^{- \frac{x ^{2}}{2}}$
Dlaczego?
Dlaczego teraz: Zaczynamy od rozpoznania, bo nie ma czego przygotowywać: nie ma pierwiastków ani ułamków z $x$ pod kreską.
Test ostatniego działania: przy $x = 2$ liczysz $- \frac{2 ^{2}}{2} = - 2$ , a na końcu $e^{- 2}$ . Ostatnie działanie to $e^{□}$ z czegoś, co nie jest samym $x$ — reguła 5.
szablon regułyZapisz szablon reguły 5 słowami. Pokazuje, jakich kawałków potrzebujesz i gdzie trafi każdy z nich.
$f^{'} (x) = e^{wyk ł adnik} \cdot (wyk ł adnik)^{'}$
pomocniczoPolicz pochodną wykładnika: $- \frac{x ^{2}}{2} = - \frac{1}{2} x^{2}$ , stała zostaje z przodu, a $(x^{2})^{'} = 2 x$ .
$(- \frac{1}{2} x^{2})^{'} = - \frac{1}{2} \cdot 2 x = - x$
Na kartce: $- \frac{1}{2} \cdot 2 = - 1$
Wstaw kawałki w szablon: wykładnik przepisujesz bez zmian, a na końcu mnożysz przez policzoną pochodną wykładnika.
$f^{'} (x) = e^{- \frac{x ^{2}}{2}} \cdot (- x)$
Uporządkuj: $- x$ piszesz na początku.
$= - x e^{- \frac{x ^{2}}{2}}$

wykładnik (środek) i jego pochodna

Przykład o)

f (x) = \frac{1}{x ^{2} + 1}

Plan — co zrobimy i po co

Cel: wzór na $f^{'} (x)$ . Najpierw zamieniamy ułamek z pierwiastkiem na jedną potęgę — wtedy wystarczy reguła 5 zamiast reguły ilorazu. Środek to $x^{2} + 1$ .

Zapisz jako potęgę: $\frac{1}{□} = □^{- \frac{1}{2}}$ .
$f (x) = \frac{1}{x ^{2} + 1} = (x^{2} + 1)^{- \frac{1}{2}}$
Dlaczego?
Dlaczego teraz: Na początku, bo zamiast reguły ilorazu z pierwiastkiem w mianowniku wystarczy wtedy jedna potęga.
Najpierw $□ = □^{\frac{1}{2}}$ , potem jedynka przez potęgę: wykładnik zmienia znak.
Rozpoznaj regułę i nazwij kawałki: potęga ze środkiem $x^{2} + 1$ — funkcja złożona (reguła 5). Wykładnik to $- \frac{1}{2}$ .
$f (x) = (x^{2} + 1)^{- \frac{1}{2}}$
Dlaczego?
Test ostatniego działania: przy $x = 2$ liczysz $2^{2} + 1 = 5$ , a na końcu potęgę $- \frac{1}{2}$ . Ostatnie działanie to potęga czegoś, co nie jest samym $x$ — reguła 5.
szablon regułyZapisz szablon reguły 5 słowami. Pokazuje, jakich kawałków potrzebujesz i gdzie trafi każdy z nich.
$f^{'} (x) = (- \frac{1}{2}) \cdot (s ˊ rodek)^{- \frac{1}{2} - 1} \cdot (s ˊ rodek)^{'}$
$f^{'} (x) = (- \frac{1}{2}) \cdot (s ˊ rodek)^{- \frac{1}{2} - 1} \cdot (s ˊ rodek)^{'}$
pomocniczoPolicz pochodną środka.
$(x^{2} + 1)^{'} = 2 x + 0 = 2 x$
Wstaw kawałki w szablon: wykładnik trafia przed nawias i do nowego wykładnika (ten „minus $1$ ”), środek przepisujesz bez zmian, a na końcu dopisujesz policzoną pochodną środka.
$f^{'} (x) = (- \frac{1}{2}) \cdot (x^{2} + 1)^{- \frac{1}{2} - 1} \cdot 2 x$
Policz nowy wykładnik.
$= - \frac{1}{2} (x^{2} + 1)^{- \frac{3}{2}} \cdot 2 x$
Na kartce: $- \frac{1}{2} - 1 = - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} = - \frac{3}{2}$
Pomnóż liczby i zapisz bez potęgi z minusem.
$= - \frac{x}{( x ^{2} + 1 ) ^{\frac{3}{2}}}$
Na kartce: $- \frac{1}{2} \cdot 2 x = - x$ $(x^{2} + 1)^{- \frac{3}{2}} = \frac{1}{( x ^{2} + 1 ) ^{\frac{3}{2}}}$

środek i jego pochodnawykładnik funkcji zewnętrznej

Przykład e)

f (x) = - \frac{1}{( l n x ) ^{2}}

Plan — co zrobimy i po co

Cel: wzór na $f^{'} (x)$ . Ułamek zamieniamy na potęgę z minusem. Zostaje potęga ze środkiem $ln x$ (reguła 5), a minus przed całością czeka z przodu (reguła 1).

Zapisz ułamek jako potęgę z minusem: $\frac{1}{□ ^{2}} = □^{- 2}$ .
$f (x) = - \frac{1}{( ln x ) ^{2}} = - (ln x)^{- 2}$
Dlaczego?
Dlaczego teraz: Na początku, bo wtedy zamiast reguły ilorazu wystarczy potęga — rachunek jest krótszy.
Jedynka przez coś do kwadratu to to samo do potęgi $- 2$ . Minus przed całością to stała $- 1$ — zostanie przed pochodną (reguła 1).
Rozpoznaj regułę i nazwij kawałki: minus przed całością to stała $- 1$ (reguła 1), a reszta to potęga ze środkiem $ln x$ (reguła 5). Wykładnik to $- 2$ .
$f (x) = - (ln x)^{- 2}$
Dlaczego?
Test ostatniego działania: przy $x = 3$ liczysz $ln 3$ , potem potęgę $- 2$ , a na końcu zmieniasz znak. Zmiana znaku to mnożenie przez stałą $- 1$ — stała czeka z przodu (reguła 1). Przed nią jest potęga czegoś, co nie jest samym $x$ — reguła 5.
szablon regułyZapisz szablon reguły 5; minus czeka z przodu.
$f^{'} (x) = - (- 2) \cdot (s ˊ rodek)^{- 2 - 1} \cdot (s ˊ rodek)^{'}$
$f^{'} (x) = - (- 2) \cdot (s ˊ rodek)^{- 2 - 1} \cdot (s ˊ rodek)^{'}$
pomocniczoPolicz pochodną środka — jest w tabeli.
$(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$
Wstaw kawałki w szablon: wykładnik trafia przed nawias i do nowego wykładnika (ten „minus $1$ ”), środek przepisujesz bez zmian, a na końcu dopisujesz policzoną pochodną środka.
$f^{'} (x) = - (- 2) \cdot (ln x)^{- 2 - 1} \cdot \frac{1}{x}$
Policz znak przed całością i nowy wykładnik.
$= 2 (ln x)^{- 3} \cdot \frac{1}{x}$
Na kartce: $- (- 2) = 2$ $- 2 - 1 = - 3$
Zapisz bez potęgi z minusem i pomnóż ułamki.
$= \frac{2}{x ( ln x ) ^{3}}$
Na kartce: $(ln x)^{- 3} = \frac{1}{( l n x ) ^{3}}$ $2 \cdot \frac{1}{( l n x ) ^{3}} \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x ( l n x ) ^{3}}$

środek i jego pochodnawykładnik funkcji zewnętrznej

Przykład i)

f (x) = 3 (ln x)^{2}

Plan — co zrobimy i po co

Cel: wzór na $f^{'} (x)$ . Pierwiastek z potęgi zapisujemy jako jedną potęgę $\frac{2}{3}$ . Potem reguła 5 ze środkiem $ln x$ .

Zapisz pierwiastek z potęgi jako jedną potęgę: $3 □^{2} = □^{\frac{2}{3}}$ .
$f (x) = 3 (ln x)^{2} = (ln x)^{\frac{2}{3}}$
Dlaczego?
Dlaczego teraz: Na samym początku, bo do potęgi jest gotowy wzór 3, a do pierwiastka w tabeli wzoru nie ma.
Wykładnik spod pierwiastka ( $2$ ) idzie do licznika, stopień pierwiastka ( $3$ ) — do mianownika.
Rozpoznaj regułę i nazwij kawałki: potęga ze środkiem $ln x$ — funkcja złożona (reguła 5). Wykładnik to $\frac{2}{3}$ .
$f (x) = (ln x)^{\frac{2}{3}}$
Dlaczego?
Test ostatniego działania: przy $x = 3$ liczysz $ln 3$ , a na końcu potęgę $\frac{2}{3}$ . Ostatnie działanie to potęga czegoś, co nie jest samym $x$ — reguła 5.
szablon regułyZapisz szablon reguły 5 słowami. Pokazuje, jakich kawałków potrzebujesz i gdzie trafi każdy z nich.
$f^{'} (x) = \frac{2}{3} \cdot (s ˊ rodek)^{\frac{2}{3} - 1} \cdot (s ˊ rodek)^{'}$
$f^{'} (x) = \frac{2}{3} \cdot (s ˊ rodek)^{\frac{2}{3} - 1} \cdot (s ˊ rodek)^{'}$
pomocniczoPolicz pochodną środka — jest w tabeli.
$(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$
Wstaw kawałki w szablon: wykładnik trafia przed nawias i do nowego wykładnika (ten „minus $1$ ”), środek przepisujesz bez zmian, a na końcu dopisujesz policzoną pochodną środka.
$f^{'} (x) = \frac{2}{3} \cdot (ln x)^{\frac{2}{3} - 1} \cdot \frac{1}{x}$
Policz nowy wykładnik.
$= \frac{2}{3} (ln x)^{- \frac{1}{3}} \cdot \frac{1}{x}$
Na kartce: $\frac{2}{3} - 1 = \frac{2}{3} - \frac{3}{3} = - \frac{1}{3}$
Zapisz bez potęgi z minusem i pomnóż ułamki.
$= \frac{2}{3 x 3 ln x}$
Na kartce: $(ln x)^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{3 l n x}$ $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{3 x}$

środek i jego pochodnawykładnik funkcji zewnętrznej

Przykład m)

f (x) = ln^{2} (2 x)

Plan — co zrobimy i po co

Cel: wzór na $f^{'} (x)$ . Najpierw rozszyfrowujemy zapis $ln^{2}$ — to kwadrat całego logarytmu. Potem reguła 5 ze środkiem $ln (2 x)$ , a pochodną środka liczymy z boku — znowu regułą 5.

Rozszyfruj zapis: $ln^{2} (2 x)$ to kwadrat całego logarytmu, czyli $(ln (2 x))^{2}$ .
$f (x) = ln^{2} (2 x) = (ln (2 x))^{2}$
Dlaczego?
Dlaczego teraz: Najpierw zapis, bo od niego zależy, którą regułę wybierzesz: kwadrat logarytmu to co innego niż logarytm z kwadratu.
To umowa w zapisie: potęga przy „ln” dotyczy całego logarytmu. Nie chodzi o $ln (4 x^{2})$ ani o logarytm z logarytmu.
Rozpoznaj regułę i nazwij kawałki: kwadrat, w którego środku stoi $ln (2 x)$ — funkcja złożona (reguła 5). Wykładnik to $2$ .
$f (x) = (ln (2 x))^{2}$
Dlaczego?
Test ostatniego działania: przy $x = 1$ liczysz $2 \cdot 1 = 2$ , potem $ln 2$ , a na końcu kwadrat. Ostatnie działanie to potęga czegoś, co nie jest samym $x$ — reguła 5.
szablon regułyZapisz szablon reguły 5 słowami. Pokazuje, jakich kawałków potrzebujesz i gdzie trafi każdy z nich.
$f^{'} (x) = 2 \cdot (s ˊ rodek)^{2 - 1} \cdot (s ˊ rodek)^{'}$
$f^{'} (x) = 2 \cdot (s ˊ rodek)^{2 - 1} \cdot (s ˊ rodek)^{'}$
pomocniczoPolicz pochodną środka. To znowu funkcja złożona: $ln □$ ze środkiem $2 x$ . Pochodna $ln □$ to $\frac{1}{□}$ , potem razy pochodna środka.
$(ln (2 x))^{'} = \frac{1}{2 x} \cdot (2 x)^{'}$
pomocniczoPodstaw $(2 x)^{'} = 2$ i skróć.
$= \frac{1}{2 x} \cdot 2 = \frac{1}{x}$
Na kartce: $(2 x)^{'} = 2 \cdot 1 = 2$ $\frac{1}{2 x} \cdot 2 = \frac{2}{2 x} = \frac{1}{x}$
Dlaczego?
Wyszło tyle samo co $(ln x)^{'}$ . To nie przypadek: $ln (2 x) = ln 2 + ln x$ , a $ln 2$ to stała, więc jej pochodna to $0$ .
Wstaw kawałki w szablon: wykładnik trafia przed nawias i do nowego wykładnika (ten „minus $1$ ”), środek przepisujesz bez zmian, a na końcu dopisujesz policzoną pochodną środka.
$f^{'} (x) = 2 \cdot (ln (2 x))^{2 - 1} \cdot \frac{1}{x}$
Policz nowy wykładnik i pomnóż.
$= 2 ln (2 x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{2 ln ( 2 x )}{x}$
Na kartce: $2 - 1 = 1$
Dlaczego?
Potęgi $1$ się nie pisze: $□^{1} = □$ .

środek i jego pochodnawykładnik funkcji zewnętrznej

Przykład l)

f (x) = (ln (2 x + 1))^{3}

Plan — co zrobimy i po co

Cel: wzór na $f^{'} (x)$ . Trzy warstwy: potęga, w niej logarytm, a w nim $2 x + 1$ . Reguła 5 dla potęgi, a pochodną środka liczymy z boku — znowu regułą 5.

Rozpoznaj warstwy. Na zewnątrz potęga $□^{3}$ , w środku $ln (2 x + 1)$ — a w środku logarytmu jeszcze $2 x + 1$ .
$f (x) = (ln (2 x + 1))^{3}$
Dlaczego?
Dlaczego teraz: Zaczynamy od rozpoznania, bo zapis jest już potęgą — nie ma czego przygotowywać.
Test: przy $x = 2$ liczysz $2 \cdot 2 + 1 = 5$ , potem $ln 5$ , na końcu $(ln 5)^{3}$ . Trzy działania jedno w drugim — trzy warstwy, jak w cebuli.
szablon regułyZapisz szablon reguły 5 dla zewnętrznej warstwy (potęgi $□^{3}$ ).
$f^{'} (x) = 3 \cdot (s ˊ rodek)^{3 - 1} \cdot (s ˊ rodek)^{'}$
$f^{'} (x) = 3 \cdot (s ˊ rodek)^{3 - 1} \cdot (s ˊ rodek)^{'}$
pomocniczoPolicz pochodną środka. To znowu funkcja złożona: $ln □$ ze środkiem $2 x + 1$ . Pochodna $ln □$ to $\frac{1}{□}$ , potem razy pochodna środka.
$(ln (2 x + 1))^{'} = \frac{1}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1)^{'}$
pomocniczoPolicz najgłębszą warstwę: $(2 x + 1)^{'} = 2$ .
$= \frac{1}{2 x + 1} \cdot 2 = \frac{2}{2 x + 1}$
Na kartce: $(2 x + 1)^{'} = 2 \cdot 1 + 0 = 2$
Wstaw kawałki w szablon: wykładnik trafia przed nawias i do nowego wykładnika (ten „minus $1$ ”), środek przepisujesz bez zmian, a na końcu dopisujesz policzoną pochodną środka.
$f^{'} (x) = 3 \cdot (ln (2 x + 1))^{3 - 1} \cdot \frac{2}{2 x + 1}$
Policz nowy wykładnik i pomnóż liczby.
$= \frac{6 ( ln ( 2 x + 1 ) ) ^{2}}{2 x + 1}$
Na kartce: $3 - 1 = 2$ $3 \cdot 2 = 6$

środek $ln (2 x + 1)$ i jego pochodnaśrodek logarytmu: $2 x + 1$ i jego pochodnawykładnik funkcji zewnętrznej

Przykład d)

f (x) = (\frac{x - 1}{x + 1})^{4}

Plan — co zrobimy i po co

Cel: wzór na $f^{'} (x)$ . Potęga, w której środku stoi ułamek. Reguła 5 dla potęgi, a pochodną środka liczymy z boku regułą ilorazu.

Rozpoznaj warstwy: na zewnątrz potęga $□^{4}$ , w środku ułamek $\frac{x - 1}{x + 1}$ .
$f (x) = (\frac{x - 1}{x + 1})^{4}$
Dlaczego?
Dlaczego teraz: Zaczynamy od rozpoznania, bo zapis jest już potęgą — nie ma czego przygotowywać.
Test ostatniego działania: przy $x = 3$ liczysz najpierw $\frac{3 - 1}{3 + 1} = \frac{2}{4}$ , a na końcu podnosisz wynik do potęgi $4$ . Ostatnie działanie to potęga czegoś, co nie jest samym $x$ — funkcja złożona, reguła 5.
szablon regułyZapisz szablon reguły 5 dla zewnętrznej potęgi: wykładnik schodzi przed nawias, środek przepisujesz bez zmian, na końcu razy pochodna środka.
$f^{'} (x) = 4 \cdot (s ˊ rodek)^{4 - 1} \cdot (s ˊ rodek)^{'}$
$f^{'} (x) = 4 \cdot (s ˊ rodek)^{4 - 1} \cdot (s ˊ rodek)^{'}$
pomocniczoPolicz pochodną środka. Środek to iloraz: licznik $x - 1$ , mianownik $x + 1$ . Zapisz regułę 4 z tymi kawałkami — kreska $^{'}$ przy nawiasie to pochodna, którą zaraz policzysz.
$(\frac{x - 1}{x + 1})^{'} = \frac{( x - 1 ) ^{'} \cdot ( x + 1 ) - ( x - 1 ) \cdot ( x + 1 ) ^{'}}{( x + 1 ) ^{2}}$
$(\frac{x - 1}{x + 1})^{'} = \frac{( x - 1 ) ^{'} \cdot ( x + 1 ) - ( x - 1 ) \cdot ( x + 1 ) ^{'}}{( x + 1 ) ^{2}}$
Dlaczego?
To szablon reguły 4 (najedź na „reguła 4”), w którym zamiast słów „licznik” i „mianownik” stoją $x - 1$ i $x + 1$ . Każdy kawałek stoi na swoim miejscu, więc w następnej linii wystarczy podstawić pochodne.
pomocniczoPolicz pochodne licznika i mianownika i podstaw je w miejsca z kreską.
$= \frac{1 \cdot ( x + 1 ) - ( x - 1 ) \cdot 1}{( x + 1 ) ^{2}}$
Na kartce: $(x - 1)^{'} = 1 - 0 = 1$ $(x + 1)^{'} = 1 + 0 = 1$
pomocniczoUprość licznik.
$= \frac{x + 1 - x + 1}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{2}{( x + 1 ) ^{2}}$
Na kartce: $- (x - 1) = - x + 1$ $x - x = 0$ $1 + 1 = 2$
Dlaczego?
Minus przed nawiasem zmienia znaki obu wyrazów w nawiasie.
Wstaw kawałki w szablon: wykładnik trafia przed nawias i do nowego wykładnika (ten „minus $1$ ”), środek przepisujesz bez zmian, a na końcu dopisujesz policzoną pochodną środka.
$f^{'} (x) = 4 \cdot (\frac{x - 1}{x + 1})^{4 - 1} \cdot \frac{2}{( x + 1 ) ^{2}}$
Policz nowy wykładnik.
$= 4 (\frac{x - 1}{x + 1})^{3} \cdot \frac{2}{( x + 1 ) ^{2}}$
Na kartce: $4 - 1 = 3$
Rozpisz potęgę ułamka: potęga licznika przez potęgę mianownika.
$= \frac{4 ( x - 1 ) ^{3}}{( x + 1 ) ^{3}} \cdot \frac{2}{( x + 1 ) ^{2}}$
Dlaczego?
$(\frac{a}{b})^{3} = \frac{a ^{3}}{b ^{3}}$ .
Pomnóż ułamki: licznik razy licznik, mianownik razy mianownik.
$= \frac{8 ( x - 1 ) ^{3}}{( x + 1 ) ^{5}}$
Na kartce: $4 \cdot 2 = 8$ $(x + 1)^{3} \cdot (x + 1)^{2} = (x + 1)^{3 + 2} = (x + 1)^{5}$
Dlaczego?
Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki się dodają.

środek i jego pochodnawykładnik funkcji zewnętrznej

Przykład k)

f (x) = \frac{x - 1}{x + 1}

Plan — co zrobimy i po co

Cel: wzór na $f^{'} (x)$ . Pierwiastek zapisujemy jako potęgę $\frac{1}{2}$ . Środek to ten sam ułamek co w d), więc jego pochodną liczymy tak samo — regułą ilorazu.

Zapisz pierwiastek jako potęgę $\frac{1}{2}$ .
$f (x) = \frac{x - 1}{x + 1} = (\frac{x - 1}{x + 1})^{\frac{1}{2}}$
Dlaczego?
Dlaczego teraz: Na samym początku, bo do potęgi jest gotowy wzór 3, a do pierwiastka w tabeli wzoru nie ma.
Rozpoznaj regułę i nazwij kawałki: potęga, w której środku stoi ułamek $\frac{x - 1}{x + 1}$ — ten sam co w przykładzie d). Funkcja złożona (reguła 5), wykładnik $\frac{1}{2}$ .
$f (x) = (\frac{x - 1}{x + 1})^{\frac{1}{2}}$
Dlaczego?
Test ostatniego działania: przy $x = 3$ liczysz $\frac{3 - 1}{3 + 1} = \frac{2}{4}$ , a na końcu potęgę $\frac{1}{2}$ , czyli pierwiastek. Ostatnie działanie to potęga czegoś, co nie jest samym $x$ — reguła 5.
szablon regułyZapisz szablon reguły 5 słowami. Pokazuje, jakich kawałków potrzebujesz i gdzie trafi każdy z nich.
$f^{'} (x) = \frac{1}{2} \cdot (s ˊ rodek)^{\frac{1}{2} - 1} \cdot (s ˊ rodek)^{'}$
$f^{'} (x) = \frac{1}{2} \cdot (s ˊ rodek)^{\frac{1}{2} - 1} \cdot (s ˊ rodek)^{'}$
pomocniczoPolicz pochodną środka. Środek to iloraz: licznik $x - 1$ , mianownik $x + 1$ . Zapisz regułę 4 z tymi kawałkami — kreska $^{'}$ przy nawiasie to pochodna, którą zaraz policzysz.
$(\frac{x - 1}{x + 1})^{'} = \frac{( x - 1 ) ^{'} \cdot ( x + 1 ) - ( x - 1 ) \cdot ( x + 1 ) ^{'}}{( x + 1 ) ^{2}}$
$(\frac{x - 1}{x + 1})^{'} = \frac{( x - 1 ) ^{'} \cdot ( x + 1 ) - ( x - 1 ) \cdot ( x + 1 ) ^{'}}{( x + 1 ) ^{2}}$
pomocniczoPolicz pochodne licznika i mianownika i podstaw je w miejsca z kreską.
$= \frac{1 \cdot ( x + 1 ) - ( x - 1 ) \cdot 1}{( x + 1 ) ^{2}}$
Na kartce: $(x - 1)^{'} = 1 - 0 = 1$ $(x + 1)^{'} = 1 + 0 = 1$
pomocniczoUprość licznik.
$= \frac{x + 1 - x + 1}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{2}{( x + 1 ) ^{2}}$
Na kartce: $- (x - 1) = - x + 1$ $1 + 1 = 2$
Wstaw kawałki w szablon: wykładnik trafia przed nawias i do nowego wykładnika (ten „minus $1$ ”), środek przepisujesz bez zmian, a na końcu dopisujesz policzoną pochodną środka.
$f^{'} (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{x - 1}{x + 1})^{\frac{1}{2} - 1} \cdot \frac{2}{( x + 1 ) ^{2}}$
Policz nowy wykładnik.
$= \frac{1}{2} (\frac{x - 1}{x + 1})^{- \frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{( x + 1 ) ^{2}}$
Na kartce: $\frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{2} - \frac{2}{2} = - \frac{1}{2}$
Pomnóż $\frac{1}{2} \cdot 2 = 1$ i odwróć ułamek: minus w wykładniku zamienia licznik z mianownikiem.
$= (\frac{x + 1}{x - 1})^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}}$
Dlaczego?
$(\frac{a}{b})^{- \frac{1}{2}} = (\frac{b}{a})^{\frac{1}{2}}$ — potęga z minusem to odwrotność.
Zapisz potęgę $\frac{1}{2}$ jako pierwiastek.
$= \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} \frac{x + 1}{x - 1}$

środek i jego pochodnawykładnik funkcji zewnętrznej

Jeszcze jeden przykład, spoza listy: zadanie 1 e) ze str. 171. Łączy pierwiastek z ilorazem.

Zadanie · krok po kroku

$f (x) = \frac{x ^{2} + 5}{x ^{2} - 5}$

spoza listy: Zad. 1, str. 171, e)

Plan — co zrobimy i po co

Cel: wzór na $f'(x)$ . To funkcja złożona z ilorazem w środku.

Przygotuj: zapisujemy pierwiastek jako potęgę $\frac12$ .
Rozpoznaj: zewnętrzna to $\square^{\frac12}$ , środek to ułamek — reguła 5. Zapisujemy jej szablon.
Policz kawałki: pochodną środka liczymy pomocniczo regułą ilorazu.
Wstaw: kawałki wlatują do szablonu reguły 5.
Uprość: potęga $-\frac12$ odwraca ułamek, a potęgi tej samej podstawy łączymy.

Zapisz pierwiastek jako potęgę $\frac{1}{2}$ .
$f (x) = \frac{x ^{2} + 5}{x ^{2} - 5} = (\frac{x ^{2} + 5}{x ^{2} - 5})^{\frac{1}{2}}$
Dlaczego?
Dlaczego teraz: Na samym początku, bo do potęgi jest gotowy wzór 3, a do pierwiastka w tabeli wzoru nie ma.
Rozpoznaj regułę i nazwij kawałki: potęga, w której środku stoi ułamek $\frac{x ^{2} + 5}{x ^{2} - 5}$ — funkcja złożona (reguła 5). Wykładnik to $\frac{1}{2}$ .
$f (x) = (\frac{x ^{2} + 5}{x ^{2} - 5})^{\frac{1}{2}}$
Dlaczego?
Test ostatniego działania: przy $x = 3$ liczysz $\frac{9 + 5}{9 - 5} = \frac{14}{4}$ , a na końcu pierwiastek, czyli potęgę $\frac{1}{2}$ — reguła 5.
szablon regułyZapisz szablon reguły 5 słowami. Pokazuje, jakich kawałków potrzebujesz i gdzie trafi każdy z nich.
$f^{'} (x) = \frac{1}{2} \cdot (s ˊ rodek)^{\frac{1}{2} - 1} \cdot (s ˊ rodek)^{'}$
$f^{'} (x) = \frac{1}{2} \cdot (s ˊ rodek)^{\frac{1}{2} - 1} \cdot (s ˊ rodek)^{'}$
pomocniczoPolicz pochodną środka. Środek to iloraz: licznik $x^{2} + 5$ , mianownik $x^{2} - 5$ . Zapisz regułę 4 z tymi kawałkami — kreska $^{'}$ przy nawiasie to pochodna, którą zaraz policzysz.
$(\frac{x ^{2} + 5}{x ^{2} - 5})^{'} = \frac{( x ^{2} + 5 ) ^{'} \cdot ( x ^{2} - 5 ) - ( x ^{2} + 5 ) \cdot ( x ^{2} - 5 ) ^{'}}{( x ^{2} - 5 ) ^{2}}$
$(\frac{x ^{2} + 5}{x ^{2} - 5})^{'} = \frac{( x ^{2} + 5 ) ^{'} \cdot ( x ^{2} - 5 ) - ( x ^{2} + 5 ) \cdot ( x ^{2} - 5 ) ^{'}}{( x ^{2} - 5 ) ^{2}}$
pomocniczoPolicz pochodne licznika i mianownika i podstaw je w miejsca z kreską. Obie wynoszą $2 x$ .
$= \frac{2 x ( x ^{2} - 5 ) - ( x ^{2} + 5 ) \cdot 2 x}{( x ^{2} - 5 ) ^{2}}$
Na kartce: $(x^{2} + 5)^{'} = 2 x + 0 = 2 x$ $(x^{2} - 5)^{'} = 2 x - 0 = 2 x$
pomocniczoWymnóż nawiasy w liczniku.
$= \frac{2 x ^{3} - 10 x - 2 x ^{3} - 10 x}{( x ^{2} - 5 ) ^{2}}$
Na kartce: $2 x (x^{2} - 5) = 2 x^{3} - 10 x$ $(x^{2} + 5) \cdot 2 x = 2 x^{3} + 10 x$ $- (2 x^{3} + 10 x) = - 2 x^{3} - 10 x$
pomocniczoZredukuj wyrazy podobne.
$= \frac{- 20 x}{( x ^{2} - 5 ) ^{2}}$
Na kartce: $2 x^{3} - 2 x^{3} = 0$ $- 10 x - 10 x = - 20 x$
Wstaw kawałki w szablon: wykładnik trafia przed nawias i do nowego wykładnika (ten „minus $1$ ”), środek przepisujesz bez zmian, a na końcu dopisujesz policzoną pochodną środka.
$f^{'} (x) = \frac{1}{2} (\frac{x ^{2} + 5}{x ^{2} - 5})^{\frac{1}{2} - 1} \cdot \frac{- 20 x}{( x ^{2} - 5 ) ^{2}}$
Policz nowy wykładnik: $\frac{1}{2} - 1 = - \frac{1}{2}$ . Potęga $- \frac{1}{2}$ odwraca ułamek.
$= \frac{1}{2} \cdot \frac{( x ^{2} - 5 ) ^{\frac{1}{2}}}{( x ^{2} + 5 ) ^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- 20 x}{( x ^{2} - 5 ) ^{2}}$
Na kartce: $\frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{2} - \frac{2}{2} = - \frac{1}{2}$
Dlaczego?
$(\frac{a}{b})^{- \frac{1}{2}} = \frac{b ^{\frac{1}{2}}}{a ^{\frac{1}{2}}}$ — minus w wykładniku zamienia licznik z mianownikiem.
Pomnóż liczby, a potęgi $x^{2} - 5$ podziel: wykładniki się odejmują.
$= \frac{- 10 x}{( x ^{2} + 5 ) ^{\frac{1}{2}} ( x ^{2} - 5 ) ^{\frac{3}{2}}}$
Na kartce: $\frac{1}{2} \cdot (- 20 x) = - 10 x$ $2 - \frac{1}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
Dlaczego?
W liczniku jest $(x^{2} - 5)^{\frac{1}{2}}$ , w mianowniku $(x^{2} - 5)^{2}$ . Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie wykładniki się odejmują, więc w mianowniku zostaje $(x^{2} - 5)^{2 - \frac{1}{2}} = (x^{2} - 5)^{\frac{3}{2}}$ .

środek i jego pochodnawykładnik funkcji zewnętrznej

Inny sposób· Szybsza droga w c): stała w liczniku

Gdy w liczniku stoi sama liczba, ułamek możesz zapisać jako potęgę z minusem. Gdy pod kreską jest potęga samego $x$ (np. $\frac{1}{x^3} = x^{-3}$ ), wystarczy wzór 3. Gdy pod kreską jest coś innego (np. $\frac{2}{\ln x} = 2(\ln x)^{-1}$ ), to funkcja złożona — reguła 5. Wynik jest ten sam co regułą ilorazu:

Inny sposób

Przykład c) przez potęgę z minusem

Zapisz ułamek jako stałą razy potęgę: $\frac{2}{□} = 2 □^{- 1}$ .
$f (x) = \frac{2}{ln x} = 2 (ln x)^{- 1}$
Dlaczego?
Dlaczego teraz: To przygotowanie zmienia regułę: zamiast ilorazu masz potęgę ze środkiem $ln x$ .
Rozpoznaj regułę i nazwij kawałki: stała $2$ czeka z przodu (reguła 1), a reszta to potęga ze środkiem $ln x$ (reguła 5). Wykładnik to $- 1$ .
$f (x) = 2 (ln x)^{- 1}$
szablon regułyZapisz szablon reguły 5; stała $2$ czeka z przodu.
$f^{'} (x) = 2 \cdot (- 1) \cdot (s ˊ rodek)^{- 1 - 1} \cdot (s ˊ rodek)^{'}$
$f^{'} (x) = 2 \cdot (- 1) \cdot (s ˊ rodek)^{- 1 - 1} \cdot (s ˊ rodek)^{'}$
pomocniczoPolicz pochodną środka — jest w tabeli.
$(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$
Wstaw kawałki w szablon: wykładnik, środek bez zmian i pochodną środka.
$f^{'} (x) = 2 \cdot (- 1) \cdot (ln x)^{- 1 - 1} \cdot \frac{1}{x}$
Policz i zapisz bez potęgi z minusem — wynik jest ten sam co regułą ilorazu.
$= - 2 (ln x)^{- 2} \cdot \frac{1}{x} = - \frac{2}{x ( ln x ) ^{2}}$
Na kartce: $2 \cdot (- 1) = - 2$ $- 1 - 1 = - 2$

środek i jego pochodnawykładnik funkcji zewnętrznej

Kilka reguł naraz

W większości przykładów z listy reguły się łączą: iloczyn, w którym jeden czynnik jest złożony, suma funkcji złożonych… Nie trzeba nowych wzorów — wystarczy kolejność.

Zadanie · krok po kroku

$f (x) = x^{2} e^{3 x}$

Zad. 1 s)

Plan — co zrobimy i po co

Cel: wzór na $f'(x)$ .

Przygotuj: odpada — nie ma pierwiastków ani ułamków.
Rozpoznaj: test ostatniego działania daje mnożenie — więc reguła iloczynu i jej szablon.
Policz kawałki: pochodna $x^2$ z tabeli, pochodna $e^{3x}$ regułą funkcji złożonej (w wykładniku stoi $3x$ , a nie sam $x$ ).
Wstaw: kawałki wlatują do szablonu.
Uprość: porządkujemy iloczyny i wyłączamy wspólny czynnik przed nawias.

Rozpoznaj regułę i nazwij kawałki: pierwszy to $x^{2}$ , drugi to $e^{3 x}$ .
$f (x) = x^{2} \cdot e^{3 x}$
Dlaczego?
Dlaczego teraz: Zaczynamy od rozpoznania, bo nie ma czego przygotowywać: nie ma pierwiastków ani ułamków z $x$ pod kreską.
Test: przy $x = 1$ liczysz $1^{2} = 1$ i osobno $e^{3}$ , a na końcu mnożysz. Ostatnie działanie to mnożenie — reguła 3.
szablon regułyZapisz szablon reguły 3 słowami. Pokazuje, jakich kawałków potrzebujesz i gdzie trafi każdy z nich.
$f^{'} (x) = (pierwszy)^{'} \cdot drugi + pierwszy \cdot (drugi)^{'}$
$f^{'} (x) = (pierwszy)^{'} \cdot drugi + pierwszy \cdot (drugi)^{'}$
pomocniczoPolicz pochodną pierwszego kawałka.
$(x^{2})^{'} = 2 x$
Na kartce: $2 - 1 = 1$
pomocniczoPolicz pochodną drugiego kawałka. To funkcja złożona: $e^{□}$ z wykładnikiem $3 x$ . $e^{3 x}$ przepisujesz bez zmian i mnożysz przez pochodną wykładnika.
$(e^{3 x})^{'} = e^{3 x} \cdot (3 x)^{'} = 3 e^{3 x}$
Na kartce: $(3 x)^{'} = 3 \cdot 1 = 3$ $e^{3 x} \cdot 3 = 3 e^{3 x}$
Wstaw kawałki w szablon. Każdy kolor trafia w swoje miejsce: turkusowe tam, gdzie „pierwszy”, złote tam, gdzie „drugi”.
$f^{'} (x) = 2 x \cdot e^{3 x} + x^{2} \cdot 3 e^{3 x}$
Uporządkuj iloczyny tak, żeby w obu składnikach było widać ten sam czynnik $x e^{3 x}$ .
$= 2 x e^{3 x} + 3 x \cdot x e^{3 x}$
Na kartce: $2 x \cdot e^{3 x} = 2 x e^{3 x}$ $x^{2} \cdot 3 e^{3 x} = 3 x \cdot x e^{3 x}$
Dlaczego?
$x^{2} = x \cdot x$ , więc $3 x^{2} e^{3 x}$ to $3 x$ razy $x e^{3 x}$ .
Wyłącz wspólny czynnik $x e^{3 x}$ przed nawias. Oba $x e^{3 x}$ trafiają przed nawias; w nawiasie zostaje $2$ z pierwszego składnika i $3 x$ z drugiego.
$= x e^{3 x} (2 + 3 x)$

pierwszy czynnik i jego pochodnadrugi czynnik i jego pochodna

Pozostałe przykłady z listy — kilka reguł

Przykład x)

f (x) = e^{x} ln (2 x)

Plan — co zrobimy i po co

Cel: wzór na $f^{'} (x)$ . Iloczyn $e^{x}$ i $ln (2 x)$ (reguła 3). Pochodną drugiego czynnika liczymy z boku regułą 5. Na końcu wyłączamy wspólny czynnik $e^{x}$ .

Rozpoznaj regułę i nazwij kawałki: pierwszy to $e^{x}$ , drugi to $ln (2 x)$ .
$f (x) = e^{x} \cdot ln (2 x)$
Dlaczego?
Dlaczego teraz: Zaczynamy od rozpoznania, bo nie ma czego przygotowywać: nie ma pierwiastków ani ułamków z $x$ pod kreską.
Test: przy $x = 1$ liczysz $e^{1}$ i osobno $ln 2$ , a na końcu mnożysz — reguła 3.
szablon regułyZapisz szablon reguły 3 słowami. Pokazuje, jakich kawałków potrzebujesz i gdzie trafi każdy z nich.
$f^{'} (x) = (pierwszy)^{'} \cdot drugi + pierwszy \cdot (drugi)^{'}$
$f^{'} (x) = (pierwszy)^{'} \cdot drugi + pierwszy \cdot (drugi)^{'}$
pomocniczoPolicz pochodną pierwszego kawałka.
$(e^{x})^{'} = e^{x}$
pomocniczoPolicz pochodną drugiego kawałka. To funkcja złożona: $ln □$ ze środkiem $2 x$ . Pochodna $ln □$ to $\frac{1}{□}$ , potem razy pochodna środka.
$(ln (2 x))^{'} = \frac{1}{2 x} \cdot (2 x)^{'}$
pomocniczoPodstaw $(2 x)^{'} = 2$ i skróć.
$= \frac{1}{2 x} \cdot 2 = \frac{1}{x}$
Na kartce: $(2 x)^{'} = 2 \cdot 1 = 2$ $\frac{1}{2 x} \cdot 2 = \frac{2}{2 x} = \frac{1}{x}$
Wstaw kawałki w szablon. Każdy kolor trafia w swoje miejsce: turkusowe tam, gdzie „pierwszy”, złote tam, gdzie „drugi”.
$f^{'} (x) = e^{x} \cdot ln (2 x) + e^{x} \cdot \frac{1}{x}$
Wyłącz wspólny czynnik $e^{x}$ przed nawias. Oba $e^{x}$ trafiają przed nawias; w nawiasie zostaje $ln (2 x)$ z pierwszego składnika i $\frac{1}{x}$ z drugiego.
$= e^{x} (ln (2 x) + \frac{1}{x})$

pierwszy czynnik i jego pochodnadrugi czynnik i jego pochodna

Przykład j)

f (x) = x^{2} ln (x^{2})

Plan — co zrobimy i po co

Cel: wzór na $f^{'} (x)$ . Iloczyn $x^{2}$ i $ln (x^{2})$ (reguła 3). Pochodną $ln (x^{2})$ liczymy z boku regułą 5. Na końcu wyłączamy wspólny czynnik $2 x$ .

Rozpoznaj regułę i nazwij kawałki: pierwszy to $x^{2}$ , drugi to $ln (x^{2})$ .
$f (x) = x^{2} \cdot ln (x^{2})$
Dlaczego?
Dlaczego teraz: Zaczynamy od rozpoznania. Kusi przygotowanie $ln (x^{2}) = 2 ln x$ , ale ta zamiana działa tylko dla $x > 0$ , a ta funkcja ma sens także dla ujemnych $x$ .
Test ostatniego działania: przy $x = 2$ liczysz $2^{2} = 4$ i osobno $ln (2^{2}) = ln 4$ , a na końcu mnożysz. Ostatnie działanie to mnożenie — reguła 3.
szablon regułyZapisz szablon reguły 3 słowami. Pokazuje, jakich kawałków potrzebujesz i gdzie trafi każdy z nich.
$f^{'} (x) = (pierwszy)^{'} \cdot drugi + pierwszy \cdot (drugi)^{'}$
$f^{'} (x) = (pierwszy)^{'} \cdot drugi + pierwszy \cdot (drugi)^{'}$
pomocniczoPolicz pochodną pierwszego kawałka.
$(x^{2})^{'} = 2 x$
pomocniczoPolicz pochodną drugiego kawałka. To funkcja złożona: $ln □$ , w środku $x^{2}$ . Pochodna $ln □$ to $\frac{1}{□}$ , potem razy pochodna środka.
$(ln (x^{2}))^{'} = \frac{1}{x ^{2}} \cdot (x^{2})^{'}$
pomocniczoPodstaw $(x^{2})^{'} = 2 x$ i skróć.
$= \frac{1}{x ^{2}} \cdot 2 x = \frac{2}{x}$
Na kartce: $\frac{1}{x ^{2}} \cdot 2 x = \frac{2 x}{x ^{2}} = \frac{2}{x}$
Wstaw kawałki w szablon. Każdy kolor trafia w swoje miejsce: turkusowe tam, gdzie „pierwszy”, złote tam, gdzie „drugi”.
$f^{'} (x) = 2 x \cdot ln (x^{2}) + x^{2} \cdot \frac{2}{x}$
Uprość drugi składnik: $x^{2} \cdot \frac{2}{x} = 2 x$ .
$= 2 x ln (x^{2}) + 2 x$
Na kartce: $x^{2} \cdot \frac{2}{x} = \frac{2 x ^{2}}{x} = 2 x$
Wyłącz wspólny czynnik $2 x$ przed nawias. Oba $2 x$ trafiają przed nawias; w nawiasie zostaje $ln (x^{2})$ z pierwszego składnika i $1$ z drugiego.
$= 2 x (ln (x^{2}) + 1)$
Na kartce: $2 x = 2 x \cdot 1$

pierwszy czynnik i jego pochodnadrugi czynnik i jego pochodna

Przykład p)

f (x) = x ln x

Plan — co zrobimy i po co

Cel: wzór na $f^{'} (x)$ . Pierwiastek zapisujemy jako potęgę. Potem iloczyn (reguła 3), w którym drugi czynnik to funkcja złożona — jego pochodną liczymy z boku regułą 5.

Zapisz pierwiastek jako potęgę: $ln x = (ln x)^{\frac{1}{2}}$ .
$f (x) = x ln x = x (ln x)^{\frac{1}{2}}$
Dlaczego?
Dlaczego teraz: Na początku, bo pochodną pierwiastka policzysz wtedy wzorem 3 (z regułą 5).
Rozpoznaj regułę i nazwij kawałki: pierwszy to $x$ , drugi to $(ln x)^{\frac{1}{2}}$ .
$f (x) = x \cdot (ln x)^{\frac{1}{2}}$
Dlaczego?
Test: przy $x = 4$ liczysz $ln 4$ , potem pierwiastek, a na końcu mnożysz przez $4$ . Ostatnie działanie to mnożenie — reguła 3.
szablon regułyZapisz szablon reguły 3 słowami. Pokazuje, jakich kawałków potrzebujesz i gdzie trafi każdy z nich.
$f^{'} (x) = (pierwszy)^{'} \cdot drugi + pierwszy \cdot (drugi)^{'}$
$f^{'} (x) = (pierwszy)^{'} \cdot drugi + pierwszy \cdot (drugi)^{'}$
pomocniczoPolicz pochodną pierwszego kawałka.
$(x)^{'} = 1$
pomocniczoPolicz pochodną drugiego kawałka. To funkcja złożona: potęga $\frac{1}{2}$ ze środkiem $ln x$ . Zapisz regułę 5 z tymi kawałkami: wykładnik schodzi przed nawias, środek bez zmian — kreska $^{'}$ przy nawiasie to pochodna, którą zaraz policzysz.
$((ln x)^{\frac{1}{2}})^{'} = \frac{1}{2} (ln x)^{\frac{1}{2} - 1} \cdot (ln x)^{'}$
pomocniczoPolicz nowy wykładnik i podstaw pochodną środka: $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ .
$= \frac{1}{2} (ln x)^{- \frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{x}$
Na kartce: $\frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{2} - \frac{2}{2} = - \frac{1}{2}$
pomocniczoZapisz jednym ułamkiem.
$= \frac{1}{2 x ln x}$
Na kartce: $(ln x)^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{l n x}$ $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{l n x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{2 x l n x}$
Wstaw kawałki w szablon. Każdy kolor trafia w swoje miejsce: turkusowe tam, gdzie „pierwszy”, złote tam, gdzie „drugi”.
$f^{'} (x) = 1 \cdot (ln x)^{\frac{1}{2}} + x \cdot \frac{1}{2 x ln x}$
$f^{'} (x) = 1 \cdot (ln x)^{\frac{1}{2}} + x \cdot \frac{1}{2 x ln x}$
Zapisz $(ln x)^{\frac{1}{2}}$ jako pierwiastek, a w drugim składniku skróć $x$ .
$= ln x + \frac{1}{2 ln x}$
Na kartce: $1 \cdot (ln x)^{\frac{1}{2}} = ln x$ $x \cdot \frac{1}{2 x l n x} = \frac{1}{2 l n x}$
Jeśli chcesz, zapisz wynik na jednej kresce ułamkowej.
$= \frac{2 ln x + 1}{2 ln x}$
Na kartce: $ln x = \frac{2 l n x}{2 l n x}$
Dlaczego?
Zapisz $ln x$ jako $\frac{l n x}{1}$ i pomnóż licznik i mianownik przez $2 ln x$ . W liczniku wyjdzie $2 ln x$ , bo $ln x \cdot ln x = ln x$ .

pierwszy czynnik i jego pochodnadrugi czynnik i jego pochodna

Przykład u)

f (x) = (2 x + 1) \cdot 2^{2 x + 1}

Plan — co zrobimy i po co

Cel: wzór na $f^{'} (x)$ . Iloczyn (reguła 3). Pochodną drugiego czynnika, $2^{2 x + 1}$ , liczymy z boku wzorem 4 z regułą 5 — w wykładniku nie stoi sam $x$ .

Rozpoznaj regułę i nazwij kawałki: pierwszy to $2 x + 1$ , drugi to $2^{2 x + 1}$ .
$f (x) = (2 x + 1) \cdot 2^{2 x + 1}$
Dlaczego?
Dlaczego teraz: Zaczynamy od rozpoznania, bo nie ma czego przygotowywać: nie ma pierwiastków ani ułamków z $x$ pod kreską.
Test: przy $x = 1$ liczysz $2 \cdot 1 + 1 = 3$ i osobno $2^{3} = 8$ , a na końcu mnożysz $3 \cdot 8$ . Ostatnie działanie to mnożenie — reguła 3.
szablon regułyZapisz szablon reguły 3 słowami. Pokazuje, jakich kawałków potrzebujesz i gdzie trafi każdy z nich.
$f^{'} (x) = (pierwszy)^{'} \cdot drugi + pierwszy \cdot (drugi)^{'}$
$f^{'} (x) = (pierwszy)^{'} \cdot drugi + pierwszy \cdot (drugi)^{'}$
pomocniczoPolicz pochodną pierwszego kawałka.
$(2 x + 1)^{'} = 2$
pomocniczoPolicz pochodną drugiego kawałka: wzór 4 z podstawą $a = 2$ . W wykładniku stoi $2 x + 1$ , a nie sam $x$ — więc razy pochodna wykładnika.
$(2^{2 x + 1})^{'} = 2^{2 x + 1} ln 2 \cdot (2 x + 1)^{'}$
pomocniczoPodstaw pochodną wykładnika i przestaw ją na początek.
$= 2 \cdot 2^{2 x + 1} ln 2$
Na kartce: $(2 x + 1)^{'} = 2 \cdot 1 + 0 = 2$
Wstaw kawałki w szablon. Każdy kolor trafia w swoje miejsce: turkusowe tam, gdzie „pierwszy”, złote tam, gdzie „drugi”.
$f^{'} (x) = 2 \cdot 2^{2 x + 1} + (2 x + 1) \cdot 2 \cdot 2^{2 x + 1} ln 2$
Wyłącz wspólny czynnik $2 \cdot 2^{2 x + 1}$ przed nawias. Z pierwszego składnika zostaje $1$ , z drugiego $(2 x + 1) ln 2$ .
$= 2 \cdot 2^{2 x + 1} (1 + (2 x + 1) ln 2)$
Na kartce: $2 \cdot 2^{2 x + 1} = 2 \cdot 2^{2 x + 1} \cdot 1$ $(2 x + 1) \cdot 2 \cdot 2^{2 x + 1} ln 2 = 2 \cdot 2^{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) ln 2$
Jeśli chcesz, zapisz $2 \cdot 2^{2 x + 1}$ jako jedną potęgę.
$= 2^{2 x + 2} (1 + (2 x + 1) ln 2)$
Na kartce: $2 \cdot 2^{2 x + 1} = 2^{1 + 2 x + 1} = 2^{2 x + 2}$

pierwszy czynnik i jego pochodnadrugi czynnik i jego pochodna

Przykład t)

f (x) = \frac{1}{3} e^{l n x + x^{2}}

Plan — co zrobimy i po co

Cel: wzór na $f^{'} (x)$ . Stała $\frac{1}{3}$ czeka z przodu (reguła 1), a reszta to $e^{□}$ z wykładnikiem $ln x + x^{2}$ (reguła 5). Na końcu upraszczamy $e^{l n x}$ .

Rozpoznaj regułę i nazwij kawałki: stała $\frac{1}{3}$ czeka z przodu (reguła 1), a reszta to $e^{□}$ z wykładnikiem $ln x + x^{2}$ — funkcja złożona (reguła 5).
$f (x) = \frac{1}{3} e^{l n x + x^{2}}$
Dlaczego?
Dlaczego teraz: Zaczynamy od rozpoznania i liczymy wprost. Można też najpierw przygotować $e^{l n x + x^{2}} = x e^{x^{2}}$ — tę drogę pokazuje ramka „Inne drogi” pod przykładami.
Test ostatniego działania: przy $x = 1$ liczysz $ln 1 + 1^{2} = 1$ , potem $e^{1}$ , a na końcu mnożysz przez $\frac{1}{3}$ . Mnożenie przez stałą to reguła 1 — stała czeka z przodu. Przed nim jest $e^{□}$ z czegoś, co nie jest samym $x$ — reguła 5.
szablon regułyZapisz szablon reguły 5 dla $e^{□}$ ; stała $\frac{1}{3}$ czeka z przodu.
$f^{'} (x) = \frac{1}{3} e^{wyk ł adnik} \cdot (wyk ł adnik)^{'}$
pomocniczoPolicz pochodną wykładnika — to suma, każdy składnik z tabeli.
$(ln x + x^{2})^{'} = \frac{1}{x} + 2 x$
Wstaw kawałki w szablon: wykładnik przepisujesz bez zmian, a na końcu mnożysz przez policzoną pochodną wykładnika.
$f^{'} (x) = \frac{1}{3} e^{l n x + x^{2}} (\frac{1}{x} + 2 x)$
Uprość potęgę: $e^{l n x + x^{2}} = x e^{x^{2}}$ .
$= \frac{1}{3} x e^{x^{2}} (\frac{1}{x} + 2 x)$
Na kartce: $e^{l n x + x^{2}} = e^{l n x} \cdot e^{x^{2}} = x e^{x^{2}}$
Dlaczego?
Suma w wykładniku to iloczyn potęg: $e^{a + b} = e^{a} \cdot e^{b}$ . A $e^{l n x} = x$ , bo $ln x$ to wykładnik, do którego trzeba podnieść $e$ , żeby dostać $x$ .
Wymnóż $x$ przez nawias.
$= \frac{1}{3} e^{x^{2}} (1 + 2 x^{2})$
Na kartce: $x \cdot \frac{1}{x} = 1$ $x \cdot 2 x = 2 x^{2}$

wykładnik (środek) i jego pochodna

Przykład g)

f (x) = (ln x)^{3} + x^{\frac{3}{2}}

Plan — co zrobimy i po co

Cel: wzór na $f^{'} (x)$ . Suma dwóch składników (reguła 2): pierwszy to potęga ze środkiem $ln x$ (reguła 5), drugi — zwykła potęga (wzór 3).

Rozpoznaj regułę: suma dwóch składników, więc każdy osobno (reguła 2). Pierwszy to potęga logarytmu — funkcja złożona ze środkiem $ln x$ . Drugi to zwykła potęga.
$f (x) = (ln x)^{3} + x^{\frac{3}{2}}$
Dlaczego?
Dlaczego teraz: Zaczynamy od rozpoznania, bo oba składniki są już potęgami — nie ma czego przygotowywać.
Test: przy $x = 4$ liczysz osobno $(ln 4)^{3}$ i $4^{\frac{3}{2}}$ , a na końcu dodajesz. Ostatnie działanie to dodawanie.
szablon regułyZapisz szablon: pierwszy składnik regułą 5 (zewnętrzna potęga $□^{3}$ ), drugi od razu wzorem 3.
$f^{'} (x) = 3 \cdot (s ˊ rodek)^{3 - 1} \cdot (s ˊ rodek)^{'} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}$
$f^{'} (x) = 3 \cdot (s ˊ rodek)^{3 - 1} \cdot (s ˊ rodek)^{'} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}$
pomocniczoPolicz pochodną środka — jest w tabeli.
$(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$
Wstaw kawałki w szablon: wykładnik trafia przed nawias i do nowego wykładnika (ten „minus $1$ ”), środek przepisujesz bez zmian, a na końcu dopisujesz policzoną pochodną środka.
$f^{'} (x) = 3 \cdot (ln x)^{3 - 1} \cdot \frac{1}{x} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}$
Policz wykładniki, pomnóż przez $\frac{1}{x}$ i zapisz potęgę $\frac{1}{2}$ jako pierwiastek.
$= \frac{3 ( ln x ) ^{2}}{x} + \frac{3}{2} x$
Na kartce: $3 - 1 = 2$ $\frac{3}{2} - 1 = \frac{3}{2} - \frac{2}{2} = \frac{1}{2}$ $3 (ln x)^{2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{3 ( l n x ) ^{2}}{x}$ $x^{\frac{1}{2}} = x$

środek $ln x$ i jego pochodnawykładnik funkcji zewnętrznej

Przykład h)

f (x) = (ln x)^{3} + ln (x^{3})

Plan — co zrobimy i po co

Cel: wzór na $f^{'} (x)$ . Najpierw przygotowujemy drugi składnik: $ln (x^{3}) = 3 ln x$ . Potem suma (reguła 2): pierwszy składnik regułą 5, drugi wprost z tabeli.

Przygotuj drugi składnik: $ln (x^{3}) = 3 ln x$ .
$f (x) = (ln x)^{3} + ln (x^{3}) = (ln x)^{3} + 3 ln x$
$f (x) = (ln x)^{3} + ln (x^{3}) = (ln x)^{3} + 3 ln x$
Dlaczego?
Dlaczego teraz: Na początku, bo po tej zamianie drugi składnik to stała razy $ln x$ — wystarczy tabela, bez reguły 5.
Uwaga na zapis: $(ln x)^{3}$ to logarytm podniesiony do potęgi, a $ln (x^{3})$ to logarytm z potęgi. Wykładnik spod logarytmu wychodzi przed logarytm: $ln (a^{k}) = k ln a$ dla $a > 0$ . Wolno, bo $ln x$ istnieje tylko dla $x > 0$ .
Rozpoznaj regułę i nazwij kawałki: suma, więc każdy składnik osobno (reguła 2). Pierwszy to potęga ze środkiem $ln x$ (reguła 5), drugi to stała $3$ razy $ln x$ .
$f (x) = (ln x)^{3} + 3 ln x$
Dlaczego?
Test ostatniego działania: przy $x = 2$ liczysz osobno $(ln 2)^{3}$ i $3 ln 2$ , a na końcu dodajesz. Ostatnie działanie to dodawanie — reguła 2.
szablon regułyZapisz szablon: pierwszy składnik regułą 5 (zewnętrzna potęga $□^{3}$ ), drugi to stała $3$ razy $ln x$ — od razu z wzoru 7.
$f^{'} (x) = 3 \cdot (s ˊ rodek)^{3 - 1} \cdot (s ˊ rodek)^{'} + 3 \cdot \frac{1}{x}$
$f^{'} (x) = 3 \cdot (s ˊ rodek)^{3 - 1} \cdot (s ˊ rodek)^{'} + 3 \cdot \frac{1}{x}$
pomocniczoPolicz pochodną środka — jest w tabeli.
$(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$
Wstaw kawałki w szablon: wykładnik trafia przed nawias i do nowego wykładnika (ten „minus $1$ ”), środek przepisujesz bez zmian, a na końcu dopisujesz policzoną pochodną środka.
$f^{'} (x) = 3 \cdot (ln x)^{3 - 1} \cdot \frac{1}{x} + 3 \cdot \frac{1}{x}$
Policz wykładnik i pomnóż przez $\frac{1}{x}$ .
$= \frac{3 ( ln x ) ^{2}}{x} + \frac{3}{x}$
Na kartce: $3 - 1 = 2$ $3 (ln x)^{2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{3 ( l n x ) ^{2}}{x}$ $3 \cdot \frac{1}{x} = \frac{3}{x}$
Zapisz na wspólnej kresce ułamkowej.
$= \frac{3 ( ln x ) ^{2} + 3}{x}$
Dlaczego?
Oba składniki mają mianownik $x$ , więc liczniki dodajesz nad jedną kreską.
Wyłącz wspólny czynnik $3$ przed nawias: obie trójki z licznika trafiają przed nawias, a w nawiasie zostaje to, co przy nich stało.
$= \frac{3 ( ( ln x ) ^{2} + 1 )}{x}$
Na kartce: $3 (ln x)^{2} + 3 = 3 \cdot (ln x)^{2} + 3 \cdot 1 = 3 ((ln x)^{2} + 1)$

środek $ln x$ i jego pochodnawykładnik funkcji zewnętrznej

Funkcja x do potęgi x

Przykład y) z listy, $f(x) = x^x$ , wygląda niewinnie, ale nie pasuje do żadnego wzoru:

wzór 3, $(x^n)' = nx^{n-1}$ , wymaga stałego wykładnika — a tu wykładnik to $x$ ,
wzór 4, $(a^x)' = a^x \ln a$ , wymaga stałej podstawy — a tu podstawa to $x$ .

Trik: każdą dodatnią liczbę da się zapisać jako potęgę liczby $e$ : $a = e^{\ln a}$ . Wtedy $x^x$ (liczone dla $x > 0$ ) zamienia się w funkcję złożoną z $e^{\square}$ na zewnątrz.

Zadanie · krok po kroku

$f (x) = x^{x}$

Zad. 1 y)

Plan — co zrobimy i po co

Cel: wzór na $f'(x)$ .

Przygotuj: zapisujemy $x^x$ jako $e^{x\ln x}$ — bo do $e^{\square}$ jest wzór 5, a do $x^x$ nie ma żadnego.
Rozpoznaj: funkcja złożona — $e^{\square}$ bez zmian, razy pochodna wykładnika.
Policz kawałki: pochodna wykładnika $x\ln x$ to iloczyn — ten sam co w przykładzie q).
Wstaw: wykładnik i jego pochodna wlatują do szablonu.
Uprość: wracamy do zapisu $x^x$ .

Zapisz $x^{x}$ jako potęgę liczby $e$ .
$f (x) = x^{x} = e^{l n (x^{x})} = e^{x l n x}$
Dlaczego?
Dlaczego teraz: To przygotowanie jest konieczne: do $x^{x}$ nie pasuje żaden wzór z tabeli. Wzór 3 ( $x^{n}$ ) wymaga stałego wykładnika, a wzór 4 ( $a^{x}$ ) — stałej podstawy. Do $e^{□}$ wzór jest.
Każdą liczbę dodatnią $a$ można zapisać jako $e^{l n a}$ — logarytm naturalny to właśnie wykładnik, do którego trzeba podnieść $e$ , żeby dostać $a$ . Potem $ln (x^{x}) = x ln x$ : wykładnik wychodzi przed logarytm.
Rozpoznaj regułę i nazwij kawałki: $e^{□}$ z wykładnikiem $x ln x$ — to nie sam $x$ , więc funkcja złożona (reguła 5).
$f (x) = e^{x l n x}$
Dlaczego?
Test ostatniego działania: przy $x = 2$ liczysz $2 ln 2$ , a na końcu $e^{2 l n 2}$ . Ostatnie działanie to $e^{□}$ z czegoś, co nie jest samym $x$ — reguła 5.
szablon regułyZapisz szablon reguły 5 słowami. Pokazuje, jakich kawałków potrzebujesz i gdzie trafi każdy z nich.
$f^{'} (x) = e^{wyk ł adnik} \cdot (wyk ł adnik)^{'}$
pomocniczoPolicz pochodną wykładnika — to iloczyn, ten sam co w przykładzie q). Zapisz regułę 3 z tymi czynnikami — kreska $^{'}$ przy nawiasie to pochodna, którą zaraz policzysz.
$(x ln x)^{'} = (x)^{'} \cdot ln x + x \cdot (ln x)^{'}$
pomocniczoPodstaw pochodne czynników i policz.
$= 1 \cdot ln x + x \cdot \frac{1}{x} = ln x + 1$
Na kartce: $(x)^{'} = 1$ $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ $x \cdot \frac{1}{x} = 1$
Wstaw kawałki w szablon: wykładnik przepisujesz bez zmian, a na końcu mnożysz przez policzoną pochodną wykładnika.
$f^{'} (x) = e^{x l n x} \cdot (ln x + 1)$
Wróć do zapisu $x^{x}$ : $e^{x l n x} = x^{x}$ .
$= x^{x} (ln x + 1)$

wykładnik (środek) i jego pochodna

Pochodna w punkcie

Pochodna w punkcie to liczba: nachylenie stycznej w tym punkcie, czyli $\operatorname{tg}\alpha$ . Polecenie może brzmieć „oblicz $f'(2)$ ” albo „oblicz tangens kąta nachylenia stycznej do wykresu w punkcie $x_0 = 2$ ”.

Przykłady:

$f(x) = \frac{x^3}{3} - x$ (z rysunku ze styczną). Pierwszy składnik to stała $\frac13$ razy $x^3$ : $\left(\frac{x^3}{3}\right)' = \frac13 \cdot (x^3)' = \frac13 \cdot 3x^2 = x^2$ (reguła 1, wzór 3). Drugi: $(x)' = 1$ (wzór 2). Między nimi stoi minus (reguła 2), więc $f'(x) = x^2 - 1$ i $f'(2) = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3$ . Styczna wznosi się o $3$ na $1$ w prawo.
$f(x) = x\ln x$ w punkcie $x_0 = e$ : z przykładu q) $f'(x) = \ln x + 1$ , więc $f'(e) = \ln e + 1 = 1 + 1 = 2$ .
$f(x) = \sqrt{5x - 7}$ w punkcie $x_0 = 1{,}6$ : z przykładu f) $f'(x) = \frac{5}{2\sqrt{5x - 7}}$ . Środek: $5 \cdot 1{,}6 - 7 = 8 - 7 = 1$ , a $\sqrt{1} = 1$ . Stąd $f'(1{,}6) = \frac{5}{2 \cdot 1} = 2{,}5$ .

Wszystkie odpowiedzi z listy

Wyniki wszystkich przykładów z listy w jednym miejscu — do sprawdzenia własnych rachunków. Link przy każdym przykładzie prowadzi do rozwiązania krok po kroku. Twój wynik może wyglądać inaczej i nadal być dobry: na przykład $\frac{1}{2x\sqrt{x}}$ to to samo co $\frac12 x^{-\frac32}$ .

a) krok po kroku ↑
$f (x) = \frac{2}{x ^{5}} - \frac{1}{x}$
$f^{'} (x) = - 10 x^{- 6} + \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}}$
$= - \frac{10}{x ^{6}} + \frac{1}{2 x x}$
b) krok po kroku ↑
$f (x) = 3 x^{4} - \frac{1}{3 x}$
$f^{'} (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{3} x^{- \frac{4}{3}}$
$= \frac{4}{3} 3 x + \frac{1}{3 x 3 x}$
c) krok po kroku ↑
$f (x) = \frac{2}{ln x}$
$f^{'} (x) = - \frac{2}{x ( ln x ) ^{2}}$
d) krok po kroku ↑
$f (x) = (\frac{x - 1}{x + 1})^{4}$
$f^{'} (x) = \frac{8 ( x - 1 ) ^{3}}{( x + 1 ) ^{5}}$
e) krok po kroku ↑
$f (x) = - \frac{1}{( ln x ) ^{2}}$
$f^{'} (x) = \frac{2}{x ( ln x ) ^{3}}$
f) krok po kroku ↑
$f (x) = 5 x - 7$
$f^{'} (x) = \frac{5}{2 5 x - 7}$
g) krok po kroku ↑
$f (x) = (ln x)^{3} + x^{\frac{3}{2}}$
$f^{'} (x) = \frac{3 ( ln x ) ^{2}}{x} + \frac{3}{2} x$
h) krok po kroku ↑
$f (x) = (ln x)^{3} + ln (x^{3})$
$f^{'} (x) = \frac{3 ( ( ln x ) ^{2} + 1 )}{x}$
i) krok po kroku ↑
$f (x) = 3 (ln x)^{2}$
$f^{'} (x) = \frac{2}{3 x 3 ln x}$
j) krok po kroku ↑
$f (x) = x^{2} ln (x^{2})$
$f^{'} (x) = 2 x ln (x^{2}) + 2 x$
$= 2 x (ln (x^{2}) + 1)$
k) krok po kroku ↑
$f (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$
$f^{'} (x) = \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} \frac{x + 1}{x - 1}$
l) krok po kroku ↑
$f (x) = (ln (2 x + 1))^{3}$
$f^{'} (x) = \frac{6 ( ln ( 2 x + 1 ) ) ^{2}}{2 x + 1}$
m) krok po kroku ↑
$f (x) = ln^{2} (2 x)$
$f^{'} (x) = \frac{2 ln ( 2 x )}{x}$
n) krok po kroku ↑
$f (x) = x^{2} e^{x} ln x$
$f^{'} (x) = x e^{x} (2 ln x + x ln x + 1)$
o) krok po kroku ↑
$f (x) = \frac{1}{x ^{2} + 1}$
$f^{'} (x) = - \frac{x}{( x ^{2} + 1 ) ^{\frac{3}{2}}}$
p) krok po kroku ↑
$f (x) = x ln x$
$f^{'} (x) = ln x + \frac{1}{2 ln x}$
$= \frac{2 ln x + 1}{2 ln x}$
q) krok po kroku ↑
$f (x) = x ln x$
$f^{'} (x) = ln x + 1$
r) krok po kroku ↑
$f (x) = e^{- x} + e^{2 x}$
$f^{'} (x) = - e^{- x} + 2 e^{2 x}$
s) krok po kroku ↑
$f (x) = x^{2} e^{3 x}$
$f^{'} (x) = 2 x e^{3 x} + 3 x^{2} e^{3 x}$
$= x e^{3 x} (2 + 3 x)$
t) krok po kroku ↑
$f (x) = \frac{1}{3} e^{l n x + x^{2}}$
$f^{'} (x) = \frac{1}{3} e^{x^{2}} (1 + 2 x^{2})$
u) krok po kroku ↑
$f (x) = (2 x + 1) \cdot 2^{2 x + 1}$
$f^{'} (x) = 2 \cdot 2^{2 x + 1} (1 + (2 x + 1) ln 2)$
$= 2^{2 x + 2} (1 + (2 x + 1) ln 2)$
v) krok po kroku ↑
$f (x) = e^{- \frac{x ^{2}}{2}}$
$f^{'} (x) = - x e^{- \frac{x ^{2}}{2}}$
w) krok po kroku ↑
$f (x) = \frac{ln x}{e ^{x}}$
$f^{'} (x) = \frac{1 - x ln x}{x e ^{x}}$
x) krok po kroku ↑
$f (x) = e^{x} ln (2 x)$
$f^{'} (x) = e^{x} (ln (2 x) + \frac{1}{x})$
y) krok po kroku ↑
$f (x) = x^{x}$
$f^{'} (x) = x^{x} (ln x + 1)$
str. 171, e) krok po kroku ↑
$f (x) = \frac{x ^{2} + 5}{x ^{2} - 5}$
$f^{'} (x) = \frac{- 10 x}{( x ^{2} + 5 ) ^{\frac{1}{2}} ( x ^{2} - 5 ) ^{\frac{3}{2}}}$

Ściąga przed kolokwium

Najpierw potęgi

\sqrt{x} = x^{\frac12}

\sqrt[3]{x^4} = x^{\frac43}

\frac{1}{x^5} = x^{-5}

\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac12}

Wzór 3

(x^n)' = nx^{n-1}

: wykładnik przed

x

, w wykładniku o

1

mniej.

\frac12 - 1 = -\frac12

Tabela

(c)' = 0

(x)' = 1

(e^x)' = e^x

(a^x)' = a^x\ln a

(\ln x)' = \frac1x

(\log_a x)' = \frac{1}{x\ln a}

Test ostatniego działaniaWstaw liczbę i licz. Ostatnie działanie: dodawanie → reguła 2, stała razy funkcja → 1, mnożenie funkcji → 3, dzielenie → 4, funkcja z czegoś → 5.

Iloczyn

(fg)' = f'g + fg'

— plus, pochodna raz na jednym, raz na drugim czynniku.

Iloraz

\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}

— „pochodna góry razy dół minus góra razy pochodna dołu, przez dół do kwadratu”.

Funkcja złożonaPochodna zewnętrznej, środek bez zmian, razy pochodna środka. Warstwy od zewnątrz.

$e$ do czegoś

(e^{\square})' = e^{\square} \cdot (\square)'

, np.

(e^{3x})' = 3e^{3x}

$\ln$ z czegoś

(\ln \square)' = \frac{1}{\square} \cdot (\square)'

, np.

(\ln(2x))' = \frac1x

$x^x$

x^x = e^{x\ln x}

, więc

(x^x)' = x^x(\ln x + 1)

W punkcieNajpierw wzór na

f'(x)

, potem wstaw

x_0

f'(x_0) = \operatorname{tg}\alpha

Znak pochodnej

f' > 0

na przedziale — rośnie,

f' < 0

na przedziale — maleje,

f' = 0

na całym przedziale — stała.

Ćwiczenia przed kolokwium

Krótkie zadania na każde polecenie. Po każdej odpowiedzi zobaczysz, dlaczego jest dobra albo zła — złe odpowiedzi to typowe błędy.

Potęgi i pierwiastki

Wpisz pochodną

Wzór 3 na liczbach

Policz pochodną każdej potęgi: w pierwsze pole wpisz liczbę przed $x$ , w małe pole u góry — nowy wykładnik.

Wpisz liczby w pola (ułamek jako 1/3 albo −4/3). Kiedy skończysz, kliknij „Sprawdź”.

$(x^{7})^{'} =$ $\cdot x$
$(4 x^{3})^{'} =$ $\cdot x$
$(x^{- 2})^{'} =$ $\cdot x$
$(3 x^{- 1})^{'} =$ $\cdot x$
$(x^{\frac{1}{2}})^{'} =$ $\cdot x$
$(6 x^{\frac{2}{3}})^{'} =$ $\cdot x$
$(- x^{- \frac{1}{3}})^{'} =$ $\cdot x$
$(2 x^{- 5})^{'} =$ $\cdot x$

Ćwiczenia · 6 zadań

Pochodna $f (x) = x^{6}$ to:
Pochodna $f (x) = \frac{3}{x ^{2}}$ to:
Pochodna $f (x) = x$ to:
Pochodna $f (x) = 5 x^{3} - 4 x + 7$ to:
Pochodna $f (x) = x^{- \frac{2}{3}}$ to:
Pochodna $f (x) = 3 e^{x} + ln x$ to:

Iloczyn

Ćwiczenia · 5 zadań

$(x^{2} ln x)^{'} =$
$(x e^{x})^{'} =$
$(x^{3} e^{x})^{'} =$
W regule iloczynu między dwoma składnikami stoi:
Czy do $(3 x^{2})^{'}$ potrzebujesz reguły iloczynu?

Iloraz

Ćwiczenia · 5 zadań

$(\frac{x ^{2}}{x + 1})^{'} =$
$(\frac{l n x}{x})^{'} =$
$(\frac{e ^{x}}{x})^{'} =$
Czym wzór na pochodną ilorazu różni się od wzoru na iloczyn?
Jak najszybciej policzyć $(\frac{1}{x ^{3}})^{'}$ ?

Funkcja złożona

Ćwiczenia · 6 zadań

$(e^{5 x})^{'} =$
$(ln (3 x + 1))^{'} =$
$((x^{2} + 1)^{5})^{'} =$
$(x^{2} + 4)^{'} =$
W $ln^{2} (5 x)$ funkcją zewnętrzną jest:
$(e^{x^{2}})^{'} =$

Kilka reguł naraz

Ćwiczenia · 4 zadania

$(x e^{2 x})^{'} =$
$(x ln (3 x))^{'} =$
$(x^{2} e^{- x})^{'} =$
Od której reguły zaczynasz przy $(\frac{x}{l n x})^{3}$ ?

Funkcja x do potęgi x

Ćwiczenia · 3 zadania

$(x^{x})^{'} =$
Jak zapisać $x^{x}$ , żeby dało się policzyć pochodną?
$(x^{2 x})^{'} =$

Pochodna w punkcie

Ćwiczenia · 5 zadań

$f (x) = x^{3} - 2 x$ . Ile wynosi $f^{'} (1)$ ?
$f (x) = x ln x$ . Ile wynosi $f^{'} (1)$ ?
$f (x) = e^{2 x}$ . Ile wynosi tangens kąta nachylenia stycznej w punkcie $x_{0} = 0$ ?
Wyszło $f^{'} (2) = - 3$ . Co to znaczy?
$f (x) = \frac{x ^{3}}{3} - x$ , czyli $f^{'} (x) = x^{2} - 1$ . W którym punkcie funkcja rośnie?

Quiz z teorii

Quiz · 10 pytań

Iloraz różnicowy $\frac{Δ y}{Δ x}$ to:
Pochodna $f^{'} (x_{0})$ to:
Co geometrycznie oznacza $f^{'} (x_{0})$ ?
W pewnym przedziale $f^{'} (x) < 0$ . Funkcja w tym przedziale:
Dlaczego $(c)^{'} = 0$ ?
Pochodna iloczynu $(f \cdot g)^{'}$ to:
W regule ilorazu licznik wyniku to:
Pochodna funkcji złożonej $[f (g (x))]^{'}$ to:
Zapis $ln^{2} x$ oznacza:
Dlaczego do $x^{x}$ nie pasuje wzór 3, $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ ?

Po co to jest

Do czego pochodna przyda się na zajęciach

Jak przejdziemy przez ten moduł

Co będzie na kolokwium

Co mierzy pochodna — pojęcia od podstaw

Funkcja i jej wykres

Stromość prostej

Krzywa w różnych miejscach ma różną stromość

Sieczna — prosta przez dwa punkty wykresu

Pochodna w punkcie — dokąd zmierzają wyniki

Styczna: f′(x0)=tg⁡αf'(x_0) = \operatorname{tg}\alphaf′(x0​)=tgα

Skąd się bierze wzór (x2)′=2x(x^2)' = 2x(x2)′=2x

Co mówi znak pochodnej

Wzory i reguły z zajęć

Dwa nowe znaczki: eee i ln⁡\lnln

Tabela wzorów: gotowe pochodne najprostszych funkcji

Reguły: jak łączyć klocki

Jak rozpoznać, której reguły użyć

Która reguła idzie na pierwszy ogień?

Przepis na każdą pochodną

Potęgi i pierwiastki

Zamień na potęgę

Pochodna iloczynu

Pochodna ilorazu

Pochodna funkcji złożonej

Pozostałe przykłady z listy — funkcje złożone

Kilka reguł naraz

Pozostałe przykłady z listy — kilka reguł

Funkcja x do potęgi x

Pochodna w punkcie

Wszystkie odpowiedzi z listy

Ściąga przed kolokwium

Ćwiczenia przed kolokwium

Potęgi i pierwiastki

Wzór 3 na liczbach

Iloczyn

Iloraz

Funkcja złożona

Kilka reguł naraz

Funkcja x do potęgi x

Pochodna w punkcie

Quiz z teorii

Styczna: $f'(x_0) = \operatorname{tg}\alpha$

Skąd się bierze wzór $(x^2)' = 2x$

Dwa nowe znaczki: $e$ i $\ln$