Badanie zmienności funkcji — monotoniczność, ekstrema, wypukłość i punkty przegięcia · Matematyka

Po co to jest

Wyobraź sobie wykres zysku firmy w zależności od wielkości produkcji. Zanim go narysujesz, chcesz wiedzieć trzy rzeczy:

Gdzie wykres idzie w górę, a gdzie w dół — przy jakiej produkcji zysk rośnie, a przy jakiej spada.
Gdzie są szczyty i dołki — przy jakiej produkcji zysk jest największy w okolicy.
Jak wykres się wygina — czy zysk rośnie coraz szybciej, czy coraz wolniej.

Na każde z tych pytań odpowiada pochodna. Tak wygląda wynik pełnego badania jednej funkcji z listy zadań:

funkcja rośniefunkcja malejeekstremum: szczyt albo dołekpunkt przegięcia

Jak czytać:

wykres funkcji $f(x) = (x + 1)^2(x - 2)$ z zadań 1 h) i 2 b). Zielone kawałki rosną, różowy maleje. Biała kropka po lewej to szczyt, po prawej — dołek. W fioletowym punkcie wykres zmienia wygięcie: z lewej wygina się jak odwrócona miska (∩), z prawej jak miska (∪).

Na końcu modułu każdy taki opis zrobisz z samego wzoru funkcji, bez rysowania.

Jak przejdziemy przez ten moduł

Pojęcia na rysunkach (sekcja 3): co znaczy „rośnie”, „ekstremum”, „wypukła” i „punkt przegięcia”.
Znak wyrażenia (sekcja 4): jedna umiejętność, której potrzebuje każde zadanie — jak sprawdzić, gdzie wyrażenie jest dodatnie, a gdzie ujemne.
Procedura z zajęć w pięciu etapach — najpierw z pierwszą pochodną (monotoniczność i ekstrema, Zad. 1), potem z drugą (wypukłość i przegięcia, Zad. 2).

Co będzie na kolokwium

Na liście są dwa polecenia: Zad. 1 (13 funkcji) i Zad. 2 (5 funkcji). Rozwiązuje się je tą samą procedurą z pięciu etapów. Poniżej są polecenia od najprostszego, w tym typowe warianty. Każde ma w module swój przepis i ćwiczenia.

To na razie tylko mapa — nie musisz jeszcze rozumieć tych pojęć. Wrócisz tu, gdy będziesz szukać przepisu na konkretne polecenie.

1
„Zbadaj znak pochodnej (na przykład $f^{'} (x) = \frac{- 2 ( x + 4 ) ( x - 1 )}{( x ^{2} + 4 ) ^{2}}$ )”
To etap 4 każdego zadania. Rozkładasz pochodną na czynniki i robisz tabelę znaków: z każdego przedziału jedna liczba próbna.
Przepis i przykłady ↓Ćwiczenia ↓etap 4 w każdym zadaniu z listy
2
„Wyznacz ekstrema i przedziały monotoniczności funkcji”
Procedura z pierwszą pochodną: dziedzina, pochodna, $f^{'} (x) = 0$ , znak pochodnej, tabela zmienności ze strzałkami.
Przepis i przykłady ↓Ćwiczenia ↓Zad. 1 a)–m)
3
„Oblicz drugą pochodną funkcji”
Liczysz pochodną, a potem pochodną wyniku — tymi samymi regułami co w module 8.
Przepis i przykłady ↓Ćwiczenia ↓etap 2 w Zad. 2
4
„Wyznacz przedziały wklęsłości i wypukłości oraz punkty przegięcia funkcji”
Ta sama procedura, ale z drugą pochodną $f^{''}$ . W tabeli zamiast strzałek są kształty ∪ i ∩.
Przepis i przykłady ↓Ćwiczenia ↓Zad. 2 a)–e)
5
„Zbadaj przebieg zmienności funkcji (monotoniczność, ekstrema, wypukłość, punkty przegięcia)”
Obie procedury na jednej funkcji i jedna wspólna tabela.
Przepis i przykłady ↓Ćwiczenia ↓typowy wariant: Zad. 1 h) i Zad. 2 b) to ta sama funkcja

Pojęcia od podstaw

Najpierw zobaczysz każde pojęcie na rysunku, a dopiero potem w zapisie ze slajdów. Pójdziemy tak: rośnie i maleje → ekstremum → kiedy pochodna wskazuje ekstremum → druga pochodna → wypukłość → punkt przegięcia.

Monotoniczność: rośnie albo maleje

Na przykład dla $f(x) = x^2$ : $f(1) = 1$ , a $f(2) = 4$ . Większy argument, większa wartość — i tak jest dla każdych dwóch liczb dodatnich, więc w przedziale $(0, \infty)$ funkcja rośnie.

Skąd to wiedzieć bez rysowania? Ze znaku pochodnej. Pochodna to nachylenie stycznej: dodatnia — styczna idzie w górę, ujemna — opada. Na slajdzie z zajęć zapisano to tak:

Zapamiętaj· Pochodna a monotoniczność (slajd)

Jeżeli $f'(x) > 0$ w każdym punkcie przedziału $X$ , to funkcja $f$ jest w tym przedziale rosnąca: $f \uparrow \Leftrightarrow f'(x) > 0, \ \forall x \in X$ .
Jeżeli $f'(x) < 0$ w każdym punkcie przedziału $X$ , to funkcja jest w tym przedziale malejąca: $f \downarrow \Leftrightarrow f'(x) < 0, \ \forall x \in X$ .
Jeżeli $f'(x) = 0$ w każdym punkcie przedziału, to funkcja jest w nim stała.

Jak czytać zapis: $f \uparrow$ — „funkcja rośnie”, $f \downarrow$ — „funkcja maleje”, $\Leftrightarrow$ — „wtedy i tylko wtedy” (wynikanie w obie strony), $\forall x \in X$ — „dla każdego iks należącego do $X$ ”.

W zadaniach korzystasz z kierunku „znak pochodnej → monotoniczność”. W drugą stronę bywa wyjątek: $f(x) = x^3$ rośnie wszędzie, a jednak $f'(0) = 0$ — zobaczysz to niżej.

Zobacz to na dwóch wykresach jeden pod drugim — u góry funkcja, na dole jej pochodna:

wykres funkcji $f (x) = x^{3} - 3 x - 2$

wykres pochodnej $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3$

pochodna dodatnia („+”) — funkcja rośnie (↗)pochodna ujemna („−”) — funkcja maleje (↘)przerywana linia: pochodna równa zero

Jak czytać:

dolny wykres to pochodna. Tam, gdzie leży nad osią $x$ (znak „+”), górny wykres idzie w górę (↗). Tam, gdzie pod osią (znak „−”), górny wykres idzie w dół (↘). Przerywane linie stoją w miejscach, gdzie pochodna przecina oś, czyli $f'(x) = 0$ : w $x = -1$ i $x = 1$ . Dokładnie tam funkcja zawraca. Kolory przedziałów są w obu wykresach te same.

Pułapka· Przedziały wypisujesz osobno

Odpowiedź zapisujesz: „rośnie w $(-\infty, -1)$ i w $(1, \infty)$ ” — każdy przedział osobno, po przecinku albo ze słowem „i”.
Nie pisz „rośnie w $(-\infty, -1) \cup (1, \infty)$ ”. Znak $\cup$ to suma zbiorów: wszystkie liczby z jednego albo z drugiego przedziału. Na całym tym zbiorze naraz funkcja nie rośnie: $f(-1{,}5) = -3{,}375 + 4{,}5 - 2 = -0{,}875$ , a $f(1{,}5) = 3{,}375 - 4{,}5 - 2 = -3{,}125$ . Większy argument, a mniejsza wartość.
Końce przedziału oddzielasz przecinkiem, $(0, 1)$ , albo średnikiem, $(0; 1)$ — oba zapisy są poprawne. Średnik przydaje się, gdy w liczbach jest przecinek dziesiętny.
Znak $\cup$ jest dobry w rozwiązaniu nierówności: „ $f'(x) > 0$ dla $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$ ” — to tylko zbiór liczb, w których pochodna jest dodatnia.

Ekstremum lokalne: szczyt albo dołek w okolicy

Slajd z zajęć: ekstremum lokalne to punkt, w którym funkcja przyjmuje lokalnie (w otoczeniu punktu) wartość największą albo najmniejszą.

Maksimum lokalne — w okolicy punktu nic nie jest wyżej. Na wykresie: szczyt.
Minimum lokalne — w okolicy punktu nic nie jest niżej. Na wykresie: dołek.
Otoczenie punktu to mały przedział wokół niego, np. od $x_0 - 0{,}5$ do $x_0 + 0{,}5$ , gdzie $x_0$ (czytamy „iks zero”) to konkretny punkt na osi $x$ . „Lokalnie” znaczy: patrzysz tylko na najbliższą okolicę, nie na cały wykres.

otoczenie punktu $x = - 1$ — mały przedział wokół niegoekstremum lokalnefunkcja rośniefunkcja maleje

Jak czytać:

wykres ma trzy ekstrema lokalne. Fioletowy pasek to otoczenie punktu $x = -1$ : w tym pasku nic nie leży wyżej niż szczyt przy $x = -1$ , więc to maksimum lokalne. Przy $x = 2$ wykres wznosi się dużo wyżej — to też maksimum lokalne, a przy okazji największa wartość na całym rysunku. Maksimum lokalne nie musi więc być najwyższym punktem wykresu.

Jedno zdanie, żeby zapamiętać: maksimum lokalne to szczyt jednego pagórka — najwyższy w okolicy, choć gdzie indziej mogą być wyższe góry.

Kiedy pochodna wskazuje ekstremum: warunek konieczny i dostateczny

Na szczycie i w dołku styczna jest pozioma (gdy pochodna w tym punkcie istnieje) — jej nachylenie to $0$ . Stąd pierwszy warunek ze slajdu:

f^{'} (x_{0}) = 0

Punkt stacjonarny

czytamy: „ef prim od iks zero równa się zero”

W punkcie $x_{0}$ pochodna jest zerem, czyli styczna jest pozioma. To kandydat na ekstremum — nie pewniak.

Jak zapamiętać: „Stacjonarny” znaczy „stojący w miejscu”: w tym jednym punkcie styczna jest pozioma.

„Konieczny” znaczy: bez tego ekstremum nie będzie, ale to jeszcze za mało. Jak z egzaminem: trzeba na niego przyjść, ale samo przyjście nie wystarcza do zdania. Dlatego jest drugi warunek:

Po co dwa warunki? Bo pozioma styczna nie zawsze oznacza szczyt albo dołek:

funkcja rośniepunkt stacjonarny bez ekstremum (pusta kropka)

Jak czytać:

wykres $f(x) = x^3$ . Pochodna $f'(x) = 3x^2$ , więc $f'(0) = 3 \cdot 0^2 = 0$ — w zerze styczna jest pozioma. Ale $f'(-1) = 3 \cdot (-1)^2 = 3 > 0$ i $f'(1) = 3 \cdot 1^2 = 3 > 0$ : po obu stronach ten sam znak. Funkcja rośnie, na chwilę się wypłaszcza i rośnie dalej. Ekstremum nie ma.

Sprawdź się

W punkcie $x_{0} = 2$ wyszło $f^{'} (2) = 0$ . Co już wiesz?

Druga pochodna

Pochodna $f'$ to też funkcja, więc i ją można zróżniczkować (policzyć jej pochodną). Slajd z zajęć:

f^{''} = (f^{'})^{'}

Czytamy: ef bis równa się pochodna z ef prim

$f^{''}$: druga pochodna, inaczej pochodna drugiego rzędu; czytamy „ef bis”
$(f^{'})^{'}$: pochodna pochodnej — bierzesz wynik $f^{'}$ i liczysz z niego pochodną jeszcze raz

Dalsze pochodne liczysz tak samo, za każdym razem z poprzedniego wyniku. Trzecią zapisujesz $f'''$ (na slajdzie także $f^{(3)}$ ), a dalsze — numerem w nawiasie: $f^{(4)}$ , $f^{(5)}$ , … Ogólnie $f^{(n)} = \left(f^{(n-1)}\right)'$ .

f^{''} (x)

Druga pochodna

czytamy: „ef bis od iks”

Pochodna pierwszej pochodnej. Mówi, jak zmienia się nachylenie stycznej: gdy $f^{''} (x) > 0$ , nachylenie stycznej rośnie, idąc w prawo (np. z $- 3$ na $0$ , potem na $9$ ).

Jak zapamiętać: Dwie kreski = pochodna liczona dwa razy.

f^{(n)} (x)

Pochodna rzędu n

czytamy: „ef en-ta od iks, czyli en-ta pochodna”

Pochodna liczona $n$ razy po kolei. Nawias odróżnia ją od potęgi: $f^{(4)}$ to czwarta pochodna, a $f^{4}$ — funkcja do czwartej potęgi.

Jak zapamiętać: Funkcja, która ma $n$ pochodnych w przedziale, to funkcja $n$ -krotnie różniczkowalna (słowo ze slajdu).

funkcja	wynik	jak
$f(x)$	$x^3 - 3x - 2$	funkcja z rysunków wyżej
$f'(x)$	$3x^2 - 3$	wzór 3 dla $x^3$ i $3x$ , pochodna stałej to $0$
$f''(x)$	$6x$	pochodna z $3x^2 - 3$ : $3 \cdot 2x - 0 = 6x$
$f'''(x)$	$6$	pochodna z $6x$
$f^{(4)}(x)$	$0$	pochodna stałej

Jak czytać tabelę: każdy wiersz od drugiego to pochodna wyniku z wiersza wyżej. Ostatnia kolumna mówi, co liczysz.

Wypukłość i wklęsłość: jak wykres się wygina

Slajd z zajęć:

Przesuń punkt suwakiem. Turkusowe pole pokazuje, że wykres jest nad styczną, a złote — że pod nią:

wypukły (∪): wykres nad styczną, $f^{''} (x) > 0$ wklęsły (∩): wykres pod styczną, $f^{''} (x) < 0$ punkt przegięciastyczna w punkcie $x_{0}$

$x_{0} = 1$ . Druga pochodna: $f^{''} (1) = 6 \cdot 1 = 6 > 0$ . Wykres leży nad styczną (turkusowe pole) — w tym miejscu jest wypukły (∪).

$x_{0}$	nachylenie stycznej $f^{'} (x_{0})$	$f^{''} (x_{0})$	kształt
$- 2$	$9$	$- 12$	wklęsły ∩
$- 1, 5$	$3, 75$	$- 9$	wklęsły ∩
$- 1$	$0$	$- 6$	wklęsły ∩
$- 0, 5$	$- 2, 25$	$- 3$	wklęsły ∩
$0$	$- 3$	$0$	przegięcie
$0, 5$	$- 2, 25$	$3$	wypukły ∪
$1$	$0$	$6$	wypukły ∪
$1, 5$	$3, 75$	$9$	wypukły ∪
$2$	$9$	$12$	wypukły ∪

Jak czytać:

krzywa to wykres $f(x) = x^3 - 3x - 2$ — ta sama funkcja co na rysunkach wyżej. Biały odcinek to styczna w punkcie $x_0$ . Pole między wykresem a styczną jest turkusowe, gdy wykres leży nad styczną (wypukły), a złote, gdy pod nią (wklęsły). Kolumna „nachylenie stycznej” to $f'(x_0)$ : dla $x_0$ od $-2$ do $0$ liczby maleją ( $9$ , potem $3{,}75$ , $0$ , $-2{,}25$ , $-3$ ), a od $0$ do $2$ rosną. Wypukły wykres to taki, na którym nachylenie stycznej rośnie — dlatego jego druga pochodna (pochodna nachylenia) jest dodatnia. Kliknij wiersz tabeli, żeby przeskoczyć do punktu.

Ten sam układ co przy monotoniczności, tylko o piętro wyżej: druga pochodna steruje kształtem tak, jak pierwsza steruje strzałkami.

wykres funkcji $f (x) = x^{3} - 3 x - 2$

wykres drugiej pochodnej $f^{''} (x) = 6 x$

druga pochodna dodatnia („+”) — wykres wypukły (∪)druga pochodna ujemna („−”) — wykres wklęsły (∩)przerywana linia: druga pochodna równa zero

Jak czytać:

dolny wykres to druga pochodna $f''(x) = 6x$ . Tam, gdzie jest pod osią (znak „−”), górny wykres jest wklęsły (∩). Tam, gdzie nad osią (znak „+”), górny wykres jest wypukły (∪). W $x = 0$ druga pochodna przecina oś — tam wykres zmienia kształt.

Punkt przegięcia

Działa to dokładnie jak przy ekstremach, tylko z drugą pochodną. I tak jak tam, samo $f''(x_0) = 0$ nie wystarcza:

wklęsła (∩)wypukła (∪)punkt przegięcia

Jak czytać:

wykres $f(x) = x^3 + 1$ — ten sam co na slajdzie z zajęć. $f''(x) = 6x$ : dla $x < 0$ ujemna (wklęsła), dla $x > 0$ dodatnia (wypukła). W $x = 0$ znak się zmienia, więc $P = (0, f(0)) = (0, 1)$ to punkt przegięcia.

wypukła (∪)f″ = 0 bez zmiany znaku (pusta kropka)

Jak czytać:

wykres $f(x) = x^4$ . $f''(x) = 12x^2$ , więc $f''(0) = 0$ . Ale $f''(-1) = 12 > 0$ i $f''(1) = 12 > 0$ — po obu stronach plus. Wykres jest wypukły z obu stron, kształt się nie zmienia. Punktu przegięcia nie ma.

Znak wyrażenia: tabela znaków

Cel: dla każdego przedziału na osi $x$ wiedzieć, czy wyrażenie jest dodatnie (+), czy ujemne (−). Tak wygląda gotowa tabela znaków dla przykładowej pochodnej $f'(x) = (x - 1)(x + 2)$ :

$x$	$(- \infty, - 2)$	$- 2$	$(- 2, 1)$	$1$	$(1, \infty)$
liczba próbna	$x = - 3$		$x = 0$		$x = 2$
$x - 1$	−	−	−	0	+
$x + 2$	−	0	+	+	+
$f^{'} (x)$	+	0	−	0	+

$x$	$x - 1$	$x + 2$	$f^{'} (x)$
$(- \infty, - 2)$ np. $- 3$	−	−	+
$- 2$	−	0	0
$(- 2, 1)$ np. $0$	−	+	−
$1$	0	+	0
$(1, \infty)$ np. $2$	+	+	+

„+” — wynik dodatni„−” — wynik ujemnypunkty, w których czynnik jest zerem

Jak czytać tabelę: przy $x$ są przedziały i punkty, w których czynniki są zerem ( $-2$ i $1$ , na fioletowo). Przy każdym przedziale stoi liczba próbna — jedna liczba z tego przedziału. Dalej jest znak każdego czynnika, a na końcu, przy $f'(x)$ , znak całej pochodnej. Na telefonie tabela jest obrócona: przedziały są w wierszach.

To etap 4 każdego zadania z listy. Kluczowy pomysł: wyrażenie może zmienić znak tylko tam, gdzie jest zerem albo gdzie go nie ma (dziura w dziedzinie). Między takimi punktami znak jest stały:

wyrażenie dodatnie (+)wyrażenie ujemne (−)zero wyrażenia (pusta kropka)

Jak czytać:

wykres $y = (x - 1)(x + 2)$ . Przechodzi z jednej strony osi na drugą tylko w zerach: $x = -2$ i $x = 1$ . Między nimi nie przecina osi, więc w każdym przedziale ma jeden znak. Dlatego wystarczy sprawdzić jedną liczbę z przedziału.

Polecenie na kolokwium· Zbadaj znak pochodnej (etap 4)

Rozwiąż nierówności $f'(x) > 0$ i $f'(x) < 0$ , np. dla $f'(x) = \frac{-2(x + 4)(x - 1)}{(x^2 + 4)^2}$ .

Rozłóż na czynniki (zrób to już w etapie 2): wyłącz wspólny czynnik przed nawias, użyj wzorów skróconego mnożenia ( $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$ ) albo delty dla trójmianu.
Odrzuć czynniki zawsze dodatnie. Mianownik do kwadratu, $e^{\ldots}$ , $x^2 + 4$ — są dodatnie dla każdego $x$ z dziedziny, więc nie zmieniają znaku. Liczby ujemne (np. $-2$ ) zostają — odwracają znak.
Zaznacz punkty na osi: zera czynników i dziury w dziedzinie, od najmniejszego do największego. Dzielą oś na przedziały.
W każdym przedziale weź jedną liczbę próbną — najlepiej łatwą: $0$ , $1$ , $-1$ , $2$ . Wstaw ją do każdego czynnika i zapisz znak wyniku.
Znak iloczynu: parzysta liczba minusów (0, 2, …) daje „+”, nieparzysta (1, 3, …) — „−”.
Odczytaj: $f'(x) > 0$ w przedziałach z „+”, $f'(x) < 0$ w przedziałach z „−”.

Rachunek z tabeli „na kartce” dla trzech liczb próbnych:

\begin{aligned} x = -3\colon \ & (-3 - 1) \cdot (-3 + 2) \\ & = (-4) \cdot (-1) = 4 > 0 \\[6pt] x = 0\colon \ & (0 - 1) \cdot (0 + 2) \\ & = (-1) \cdot 2 = -2 < 0 \\[6pt] x = 2\colon \ & (2 - 1) \cdot (2 + 2) \\ & = 1 \cdot 4 = 4 > 0 \end{aligned}

Jak czytać: w każdym wierszu liczba próbna wstawiona do obu czynników. W pierwszym wierszu dwa minusy — iloczyn dodatni. W drugim jeden minus — iloczyn ujemny. Stąd: $f'(x) > 0$ dla $x \in (-\infty, -2) \cup (1, \infty)$ i $f'(x) < 0$ dla $x \in (-2, 1)$ .

Inny sposób· Szkic paraboli zamiast liczb próbnych

Gdy czynnik to trójmian kwadratowy, np. $2 - 6x^2$ z Zad. 2 d), znak można odczytać ze szkicu paraboli (tak zrobiono to na zajęciach):

Miejsca zerowe: $2 - 6x^2 = 0$ , czyli $x = -\frac{\sqrt3}{3}$ albo $x = \frac{\sqrt3}{3}$ .
Współczynnik przy $x^2$ to $-6$ , ujemny — ramiona paraboli w dół.
Parabola z ramionami w dół jest nad osią (dodatnia) między miejscami zerowymi, a pod osią — na zewnątrz.

dodatnia (+)ujemna (−)miejsca zerowe

Jak czytać:

szkic $y = 2 - 6x^2$ . Między $-\frac{\sqrt3}{3} \approx -0{,}58$ a $\frac{\sqrt3}{3} \approx 0{,}58$ wykres jest nad osią, poza tym przedziałem — pod osią.

Sprawdź się

Znak wyrażenia $(x - 3) (x + 1)$ w przedziale $(- 1, 3)$ to:

Monotoniczność i ekstrema

Cel: tabela zmienności — dla każdego przedziału strzałka ↗ albo ↘, a w każdym punkcie stacjonarnym wniosek: max, min albo „—” (brak ekstremum). Tak wygląda gotowa tabela dla funkcji z rysunków:

$x$	$(- \infty, - 1)$	$- 1$	$(- 1, 1)$	$1$	$(1, \infty)$
$f^{'} (x)$	+	0	−	0	+
$f (x)$	↗	max	↘	min	↗

$x$	$f^{'} (x)$	$f (x)$
$(- \infty, - 1)$	+	↗
$- 1$	0	max
$(- 1, 1)$	−	↘
$1$	0	min
$(1, \infty)$	+	↗

„+” i ↗ — funkcja rośnie„−” i ↘ — funkcja malejepunkty stacjonarne

Jak czytać tabelę: przy $x$ są przedziały i punkty stacjonarne (fioletowe). Przy $f'(x)$ — znak pochodnej. Przy $f(x)$ — co robi funkcja: przy „+” strzałka w górę, przy „−” w dół. W punkcie, gdzie strzałka zmienia kierunek z ↗ na ↘, jest maksimum, a z ↘ na ↗ — minimum. Na slajdach i w notatkach z zajęć strzałki pisze się też pionowo, ↑ i ↓ — znaczą to samo.

Polecenie na kolokwium· Wyznacz ekstrema i przedziały monotoniczności funkcji

Wyznacz ekstrema i przedziały monotoniczności funkcji, np. $f(x) = (x + 1)^2(x - 2)$ .

Procedura ze slajdu, pięć etapów:

Dziedzina $D_f$ . Wypisz, czego nie wolno: mianownik $\neq 0$ , pod logarytmem liczba $> 0$ , pod pierwiastkiem kwadratowym liczba $\geq 0$ .
Pochodna $f'(x)$ . Policz ją regułami z modułu 8, uprość i rozłóż na czynniki.
Warunek konieczny: $f'(x) = 0$ . Ułamek jest zerem, gdy licznik jest zerem. Iloczyn — gdy któryś czynnik jest zerem. Rozwiązania z dziedziny to punkty stacjonarne.
Nierówności $f'(x) > 0$ i $f'(x) < 0$ . Tabela znaków: punkty stacjonarne i dziury na osi, z każdego przedziału jedna liczba próbna.
Tabela zmienności i warunek dostateczny. Przepisz znaki, dorysuj strzałki. Zmiana z „+” na „−” — maksimum, z „−” na „+” — minimum, bez zmiany — brak ekstremum. Wartość ekstremum: wstaw $x_0$ do wzoru funkcji $f$ . Na koniec zapisz odpowiedź: gdzie rośnie, gdzie maleje i jakie są ekstrema.

W rachunkach przy pierwszej linii każdego etapu stoi jego numer. Najedź na niego kursorem (na telefonie: stuknij), żeby przypomnieć sobie, po co ten etap jest w tym miejscu. Kliknij „▶ Zobacz krok po kroku”, żeby linie pojawiały się po kolei.

Zadanie · krok po kroku

$f (x) = (x + 1)^{2} (x - 2)$

Zad. 1 h)

Plan — co zrobimy i po co

Cel: tabela zmienności — gdzie funkcja rośnie, gdzie maleje i gdzie ma ekstrema.

Dziedzina: to wielomian, więc nic nie trzeba wyrzucać.
Pochodna: najpierw wymnażamy nawiasy — wtedy każdy składnik liczymy wzorem 3. Wynik rozkładamy na czynniki, bo znak iloczynu łatwo odczytać ze znaków czynników. Inna droga: reguła iloczynu — wynik ten sam.
Warunek konieczny: przyrównujemy pochodną do zera i dostajemy kandydatów na ekstrema.
Znak pochodnej: tabela znaków z liczbami próbnymi.
Tabela zmienności: strzałki, warunek dostateczny i wartości ekstremów ze wzoru funkcji.

Wyznacz dziedzinę: to wielomian — wszystkie liczby są dobre.
$D_{f} = R$
Najpierw wymnóż nawiasy. Dla wielomianu to najprostsza droga: potem każdy składnik liczysz wzorem 3.
$f (x) = (x^{2} + 2 x + 1) (x - 2) = x^{3} - 3 x - 2$
$f (x) = (x^{2} + 2 x + 1) (x - 2) = x^{3} - 3 x - 2$
Na kartce: $(x + 1)^{2} = x^{2} + 2 x + 1$ $(x^{2} + 2 x + 1) (x - 2) = x^{3} - 2 x^{2} + 2 x^{2} - 4 x + x - 2$ $x^{3} - 2 x^{2} + 2 x^{2} - 4 x + x - 2 = x^{3} - 3 x - 2$
Dlaczego?
Można też od razu regułą iloczynu: $2 (x + 1) (x - 2) + (x + 1)^{2} = 3 x^{2} - 3$ . Wynik jest ten sam.
Policz pochodną: każdy składnik osobno.
$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3$
Na kartce: $(x^{3})^{'} = 3 x^{2}$ $(3 x)^{'} = 3$ $(2)^{'} = 0$
Rozłóż na czynniki: wyłącz $3$ , a $x^{2} - 1$ rozpisz wzorem $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .
$= 3 (x^{2} - 1) = 3 (x - 1) (x + 1)$
Sprawdź warunek konieczny. Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem.
$f^{'} (x) = 0 ⟺ x - 1 = 0 lub x + 1 = 0 ⟺ x = 1 lub x = - 1$
$f^{'} (x) = 0 ⟺ x - 1 = 0 lub x + 1 = 0 ⟺ x = 1 lub x = - 1$
Liczba $3$ jest dodatnia i nie zmienia znaku. O znaku decydują czynniki $x - 1$ i $x + 1$ .
$f^{'} (x) > 0 ⟺ (x - 1) (x + 1) > 0$
Ustal znak pochodnej w każdym przedziale: weź z przedziału jedną liczbę i podstaw ją do każdego czynnika.
$x$ $(- \infty, - 1)$ $- 1$ $(- 1, 1)$ $1$ $(1, \infty)$
liczba próbna $x = - 2$ $x = 0$ $x = 2$
$x + 1$ − 0 + + +
$x - 1$ − − − 0 +
$f^{'} (x)$ + 0 − 0 +
$x$ $x + 1$ $x - 1$ $f^{'} (x)$
$(- \infty, - 1)$ np. $- 2$ − − +
$- 1$ 0 − 0
$(- 1, 1)$ np. $0$ + − −
$1$ + 0 0
$(1, \infty)$ np. $2$ + + +
Na kartce: $x = - 2 : (- 2 + 1) \cdot (- 2 - 1) = (- 1) \cdot (- 3) = 3 > 0$ $x = 0 : (0 + 1) \cdot (0 - 1) = 1 \cdot (- 1) = - 1 < 0$ $x = 2 : (2 + 1) \cdot (2 - 1) = 3 \cdot 1 = 3 > 0$
Dlaczego?
Punkty stacjonarne dzielą oś na przedziały. W środku przedziału $f^{'}$ nie przechodzi przez zero, więc nie zmienia znaku — jedna liczba mówi o całym przedziale. Znak iloczynu: parzysta liczba minusów daje plus, nieparzysta — minus.
Odczytaj rozwiązania obu nierówności ze znaków $f^{'} (x)$ w tabeli: „+” to $f^{'} (x) > 0$ , „−” to $f^{'} (x) < 0$ .
$f^{'} (x) > 0 dla x \in (- \infty, - 1) \cup (1, \infty) f^{'} (x) < 0 dla x \in (- 1, 1)$
$f^{'} (x) > 0 dla: (- \infty, - 1) \cup (1, \infty) f^{'} (x) < 0 dla: (- 1, 1)$
Przepisz znaki do tabeli zmienności: przy „+” strzałka w górę ↗ (rośnie), przy „−” w dół ↘ (maleje). W punkcie stacjonarnym sprawdź, czy znak się zmienia.

$x$ $(- \infty, - 1)$ $- 1$ $(- 1, 1)$ $1$ $(1, \infty)$

$f^{'} (x)$ + 0 − 0 +

$f (x)$ ↗ max ↘ min ↗
$x$ $f^{'} (x)$ $f (x)$
$(- \infty, - 1)$ + ↗
$- 1$ 0 max
$(- 1, 1)$ − ↘
$1$ 0 min
$(1, \infty)$ + ↗
Dlaczego?
To warunek dostateczny ze slajdu: zmiana z „+” na „−” daje maksimum, z „−” na „+” — minimum. Bez zmiany znaku nie ma ekstremum.
W punkcie $x = - 1$ pochodna zmienia znak z „+” na „−”: funkcja najpierw rośnie, potem maleje. To maksimum lokalne — policz jego wartość, wstawiając $x = - 1$ do wzoru funkcji $f$ , nie do pochodnej.
$f_{m a x} (- 1) = f (- 1) = (- 1 + 1)^{2} \cdot (- 1 - 2) = 0^{2} \cdot (- 3) = 0$
$f_{m a x} (- 1) = f (- 1) = (- 1 + 1)^{2} \cdot (- 1 - 2) = 0^{2} \cdot (- 3) = 0$
W punkcie $x = 1$ pochodna zmienia znak z „−” na „+”: funkcja najpierw maleje, potem rośnie. To minimum lokalne — policz jego wartość, wstawiając $x = 1$ do wzoru funkcji $f$ , nie do pochodnej.
$f_{m i n} (1) = f (1) = (1 + 1)^{2} \cdot (1 - 2) = 4 \cdot (- 1) = - 4$
$f_{m i n} (1) = f (1) = (1 + 1)^{2} \cdot (1 - 2) = 4 \cdot (- 1) = - 4$
Zapisz odpowiedź. Funkcja rośnie w przedziałach $(- \infty, - 1)$ i $(1, \infty)$ , a maleje w przedziale $(- 1, 1)$ .
$ro s ˊ nie w (- \infty, - 1), (1, \infty) maleje w (- 1, 1) f_{m a x} (- 1) = 0 f_{m i n} (1) = - 4$
Sprawdź na wykresie: zielone kawałki rosną, różowe maleją, a pełne kropki stoją w ekstremach.

$x$	$(- \infty, - 1)$	$- 1$	$(- 1, 1)$	$1$	$(1, \infty)$
liczba próbna	$x = - 2$		$x = 0$		$x = 2$
$x + 1$	−	0	+	+	+
$x - 1$	−	−	−	0	+
$f^{'} (x)$	+	0	−	0	+

$x$	$x + 1$	$x - 1$	$f^{'} (x)$
$(- \infty, - 1)$ np. $- 2$	−	−	+
$- 1$	0	−	0
$(- 1, 1)$ np. $0$	+	−	−
$1$	+	0	0
$(1, \infty)$ np. $2$	+	+	+

funkcja rośnie — pochodna dodatniafunkcja maleje — pochodna ujemna

Teraz przykład z dziurami w dziedzinie — tam trzeba pilnować, żeby nie łączyć przedziałów przez dziurę:

Zadanie · krok po kroku

$f (x) = \frac{x ^{2}}{x ^{2} - 9}$

Zad. 1 a)

Plan — co zrobimy i po co

Cel: tabela zmienności.

Dziedzina: mianownik nie może być zerem — wyjdą dwie dziury w osi, $-3$ i $3$ . W tabeli dostaną kolumny z „×”.
Pochodna: to iloraz, więc reguła 4. Licznik upraszczamy, aż zostanie jeden czynnik.
Warunek konieczny: ułamek jest zerem, gdy licznik jest zerem.
Znak: mianownik to kwadrat — zawsze dodatni. O znaku decyduje licznik.
Tabela zmienności z dziurami i wartość ekstremum.

Wyznacz dziedzinę: mianownik nie może być zerem. Wyrzuć liczby, dla których $x^{2} - 9 = 0$ .
$D_{f} = R ∖ {- 3, 3}$
Na kartce: $x^{2} - 9 = 0$ $x^{2} = 9$ $x = 3 lub x = - 3$
Dlaczego?
Przez zero nie da się dzielić. Zapis $R ∖ {- 3, 3}$ czytamy: „wszystkie liczby rzeczywiste oprócz $- 3$ i $3$ ”.
Policz pochodną. To iloraz: licznik $x^{2}$ , mianownik $x^{2} - 9$ . Zapisz regułę 4 z tymi kawałkami.
$f^{'} (x) = \frac{( x ^{2} ) ^{'} \cdot ( x ^{2} - 9 ) - x ^{2} \cdot ( x ^{2} - 9 ) ^{'}}{( x ^{2} - 9 ) ^{2}}$
Podstaw pochodne licznika i mianownika.
$= \frac{2 x \cdot ( x ^{2} - 9 ) - x ^{2} \cdot 2 x}{( x ^{2} - 9 ) ^{2}}$
Na kartce: $(x^{2})^{'} = 2 x$ $(x^{2} - 9)^{'} = 2 x - 0 = 2 x$
Wymnóż nawiasy w liczniku i zredukuj.
$= \frac{2 x ^{3} - 18 x - 2 x ^{3}}{( x ^{2} - 9 ) ^{2}} = \frac{- 18 x}{( x ^{2} - 9 ) ^{2}}$
Na kartce: $2 x \cdot (x^{2} - 9) = 2 x^{3} - 18 x$ $x^{2} \cdot 2 x = 2 x^{3}$ $2 x^{3} - 2 x^{3} = 0$
Sprawdź warunek konieczny: przyrównaj pochodną do zera. Ułamek jest zerem, gdy jego licznik jest zerem.
$f^{'} (x) = 0 ⟺ - 18 x = 0 ⟺ x = 0$
Dlaczego?
Mianownik nie jest zerem, bo pilnuje tego dziedzina. $x = 0$ należy do dziedziny — to punkt stacjonarny.
Mianownik $(x^{2} - 9)^{2}$ jest kwadratem, więc w dziedzinie jest zawsze dodatni. O znaku decyduje licznik.
$f^{'} (x) > 0 ⟺ - 18 x > 0$
Dlaczego?
Kwadrat liczby różnej od zera jest dodatni. W dziedzinie $x^{2} - 9 \neq = 0$ , więc $(x^{2} - 9)^{2} > 0$ .
Ustal znak pochodnej w każdym przedziale: weź z przedziału jedną liczbę i podstaw ją do każdego czynnika.
$x$ $(- \infty, - 3)$ $- 3$ $(- 3, 0)$ $0$ $(0, 3)$ $3$ $(3, \infty)$
liczba próbna $x = - 4$ $x = - 1$ $x = 1$ $x = 4$
$- 18 x$ + × + 0 − × −
$f^{'} (x)$ + × + 0 − × −
$x$ $- 18 x$ $f^{'} (x)$
$(- \infty, - 3)$ np. $- 4$ + +
$- 3$ × ×
$(- 3, 0)$ np. $- 1$ + +
$0$ 0 0
$(0, 3)$ np. $1$ − −
$3$ × ×
$(3, \infty)$ np. $4$ − −
Na kartce: $x = - 4 : - 18 \cdot (- 4) = 72 > 0$ $x = - 1 : - 18 \cdot (- 1) = 18 > 0$ $x = 1 : - 18 \cdot 1 = - 18 < 0$ $x = 4 : - 18 \cdot 4 = - 72 < 0$
Dlaczego?
Punkt stacjonarny i dziury w dziedzinie dzielą oś na przedziały. W środku przedziału $f^{'}$ nie przechodzi przez zero, więc nie zmienia znaku — jedna liczba mówi o całym przedziale. Znak iloczynu: parzysta liczba minusów daje plus, nieparzysta — minus.
Odczytaj rozwiązania obu nierówności ze znaków $f^{'} (x)$ w tabeli: „+” to $f^{'} (x) > 0$ , „−” to $f^{'} (x) < 0$ .
$f^{'} (x) > 0 dla x \in (- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) f^{'} (x) < 0 dla x \in (0, 3) \cup (3, \infty)$
$f^{'} (x) > 0 dla: (- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) f^{'} (x) < 0 dla: (0, 3) \cup (3, \infty)$
Przepisz znaki do tabeli zmienności: przy „+” strzałka w górę ↗ (rośnie), przy „−” w dół ↘ (maleje). W punkcie stacjonarnym sprawdź, czy znak się zmienia.

$x$ $(- \infty, - 3)$ $- 3$ $(- 3, 0)$ $0$ $(0, 3)$ $3$ $(3, \infty)$

$f^{'} (x)$ + × + 0 − × −

$f (x)$ ↗ × ↗ max ↘ × ↘
$x$ $f^{'} (x)$ $f (x)$
$(- \infty, - 3)$ + ↗
$- 3$ × ×
$(- 3, 0)$ + ↗
$0$ 0 max
$(0, 3)$ − ↘
$3$ × ×
$(3, \infty)$ − ↘
Dlaczego?
To warunek dostateczny ze slajdu: zmiana z „+” na „−” daje maksimum, z „−” na „+” — minimum. Bez zmiany znaku nie ma ekstremum.
W punkcie $x = 0$ pochodna zmienia znak z „+” na „−”: funkcja najpierw rośnie, potem maleje. To maksimum lokalne — policz jego wartość, wstawiając $x = 0$ do wzoru funkcji $f$ , nie do pochodnej.
$f_{m a x} (0) = f (0) = \frac{0 ^{2}}{0 ^{2} - 9} = \frac{0}{- 9} = 0$
$f_{m a x} (0) = f (0) = \frac{0 ^{2}}{0 ^{2} - 9} = \frac{0}{- 9} = 0$
Zapisz odpowiedź. Funkcja rośnie w przedziałach $(- \infty, - 3)$ i $(- 3, 0)$ , a maleje w przedziałach $(0, 3)$ i $(3, \infty)$ .
$ro s ˊ nie w (- \infty, - 3), (- 3, 0) maleje w (0, 3), (3, \infty) f_{m a x} (0) = 0$
Dlaczego?
Nie zapisuj „rośnie w $(- \infty, 0)$ ”: w $x = - 3$ funkcji nie ma, a wykres ucieka tam w górę i wraca z dołu. Przedziały oddzielone dziurą w dziedzinie wypisujesz osobno.
Sprawdź na wykresie: zielone kawałki rosną, różowe maleją, a pełne kropki stoją w ekstremach.

$x$	$(- \infty, - 3)$	$- 3$	$(- 3, 0)$	$0$	$(0, 3)$	$3$	$(3, \infty)$
liczba próbna	$x = - 4$		$x = - 1$		$x = 1$		$x = 4$
$- 18 x$	+	×	+	0	−	×	−
$f^{'} (x)$	+	×	+	0	−	×	−

$x$	$- 18 x$	$f^{'} (x)$
$(- \infty, - 3)$ np. $- 4$	+	+
$- 3$	×	×
$(- 3, 0)$ np. $- 1$	+	+
$0$	0	0
$(0, 3)$ np. $1$	−	−
$3$	×	×
$(3, \infty)$ np. $4$	−	−

$x$	$(- \infty, - 3)$	$- 3$	$(- 3, 0)$	$0$	$(0, 3)$	$3$	$(3, \infty)$
$f^{'} (x)$	+	×	+	0	−	×	−
$f (x)$	↗	×	↗	max	↘	×	↘

$x$	$f^{'} (x)$	$f (x)$
$(- \infty, - 3)$	+	↗
$- 3$	×	×
$(- 3, 0)$	+	↗
$0$	0	max
$(0, 3)$	−	↘
$3$	×	×
$(3, \infty)$	−	↘

funkcja rośnie — pochodna dodatniafunkcja maleje — pochodna ujemna

Przykład d) — z logarytmem. Wynik zgadza się z rozwiązaniem z zajęć:

Zadanie · krok po kroku

$f (x) = \frac{1 + l n x}{x}$

Zad. 1 d)

Plan — co zrobimy i po co

Cel: tabela zmienności.

Dziedzina: logarytm istnieje tylko dla liczb dodatnich, a mianownik $x$ nie może być zerem.
Pochodna: reguła ilorazu, potem upraszczamy licznik.
Warunek konieczny: $-\ln x = 0$ , czyli $\ln x = 0$ .
Znak: mianownik $x^2$ jest dodatni. Jako liczby próbne bierzemy potęgi $e$ — wtedy logarytm liczy się od razu. Na zajęciach znak $\ln x$ odczytano ze szkicu wykresu $\ln x$ (ujemny dla $x < 1$ , dodatni dla $x > 1$ ) — to też dobra droga.
Tabela zmienności i wartość maksimum.

Wyznacz dziedzinę: $ln x$ istnieje tylko dla $x > 0$ , a mianownik $x$ nie może być zerem.
$D_{f} = (0, \infty)$
Na kartce: $x > 0 (logarytm)$ $x \neq = 0 (mianownik)$
Dlaczego?
Oba warunki naraz spełniają liczby dodatnie — warunek $x \neq = 0$ jest już w $x > 0$ .
Policz pochodną. To iloraz: licznik $1 + ln x$ , mianownik $x$ . Zapisz regułę 4 z tymi kawałkami.
$f^{'} (x) = \frac{( 1 + ln x ) ^{'} \cdot x - ( 1 + ln x ) \cdot ( x ) ^{'}}{x ^{2}}$
$f^{'} (x) = \frac{( 1 + ln x ) ^{'} \cdot x - ( 1 + ln x ) \cdot ( x ) ^{'}}{x ^{2}}$
Podstaw pochodne licznika i mianownika.
$= \frac{\frac{1}{x} \cdot x - ( 1 + ln x ) \cdot 1}{x ^{2}}$
Na kartce: $(1 + ln x)^{'} = 0 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ $(x)^{'} = 1$
Uprość licznik.
$= \frac{1 - 1 - ln x}{x ^{2}} = \frac{- ln x}{x ^{2}}$
Na kartce: $\frac{1}{x} \cdot x = 1$ $- (1 + ln x) = - 1 - ln x$
Sprawdź warunek konieczny: licznik równy zeru.
$f^{'} (x) = 0 ⟺ - ln x = 0 ⟺ ln x = 0 ⟺ x = 1$
$f^{'} (x) = 0 ⟺ - ln x = 0 ⟺ ln x = 0 ⟺ x = 1$
Dlaczego?
$ln x = 0$ , bo $e^{0} = 1$ : logarytm naturalny to wykładnik, do którego podnosisz $e$ .
Mianownik $x^{2}$ jest w dziedzinie zawsze dodatni. O znaku decyduje licznik $- ln x$ .
$f^{'} (x) > 0 ⟺ - ln x > 0$
Dlaczego?
Jako liczby próbne wygodnie brać potęgi $e$ : $ln e^{- 1} = - 1$ i $ln e = 1$ — logarytm liczysz od razu.
Ustal znak pochodnej w każdym przedziale: weź z przedziału jedną liczbę i podstaw ją do każdego czynnika.
$x$ $(0, 1)$ $1$ $(1, \infty)$
liczba próbna $x = e^{- 1}$ $x = e$
$- ln x$ + 0 −
$f^{'} (x)$ + 0 −
$x$ $- ln x$ $f^{'} (x)$
$(0, 1)$ np. $e^{- 1}$ + +
$1$ 0 0
$(1, \infty)$ np. $e$ − −
Na kartce: $x = e^{- 1} : - ln e^{- 1} = - (- 1) = 1 > 0$ $x = e : - ln e = - 1 < 0$
Dlaczego?
Punkt stacjonarny dzieli oś na przedziały. W środku przedziału $f^{'}$ nie przechodzi przez zero, więc nie zmienia znaku — jedna liczba mówi o całym przedziale. Znak iloczynu: parzysta liczba minusów daje plus, nieparzysta — minus.
Odczytaj rozwiązania obu nierówności ze znaków $f^{'} (x)$ w tabeli: „+” to $f^{'} (x) > 0$ , „−” to $f^{'} (x) < 0$ .
$f^{'} (x) > 0 dla x \in (0, 1) f^{'} (x) < 0 dla x \in (1, \infty)$
$f^{'} (x) > 0 dla: (0, 1) f^{'} (x) < 0 dla: (1, \infty)$
Przepisz znaki do tabeli zmienności: przy „+” strzałka w górę ↗ (rośnie), przy „−” w dół ↘ (maleje). W punkcie stacjonarnym sprawdź, czy znak się zmienia.

$x$ $(0, 1)$ $1$ $(1, \infty)$

$f^{'} (x)$ + 0 −

$f (x)$ ↗ max ↘
$x$ $f^{'} (x)$ $f (x)$
$(0, 1)$ + ↗
$1$ 0 max
$(1, \infty)$ − ↘
Dlaczego?
To warunek dostateczny ze slajdu: zmiana z „+” na „−” daje maksimum, z „−” na „+” — minimum. Bez zmiany znaku nie ma ekstremum.
W punkcie $x = 1$ pochodna zmienia znak z „+” na „−”: funkcja najpierw rośnie, potem maleje. To maksimum lokalne — policz jego wartość, wstawiając $x = 1$ do wzoru funkcji $f$ , nie do pochodnej.
$f_{m a x} (1) = f (1) = \frac{1 + ln 1}{1} = \frac{1 + 0}{1} = 1$
$f_{m a x} (1) = f (1) = \frac{1 + ln 1}{1} = \frac{1 + 0}{1} = 1$
Zapisz odpowiedź. Funkcja rośnie w przedziale $(0, 1)$ , a maleje w przedziale $(1, \infty)$ .
$ro s ˊ nie w (0, 1) maleje w (1, \infty) f_{m a x} (1) = 1$
Sprawdź na wykresie: zielone kawałki rosną, różowe maleją, a pełne kropki stoją w ekstremach.

$x$	$(0, 1)$	$1$	$(1, \infty)$
liczba próbna	$x = e^{- 1}$		$x = e$
$- ln x$	+	0	−
$f^{'} (x)$	+	0	−

$x$	$- ln x$	$f^{'} (x)$
$(0, 1)$ np. $e^{- 1}$	+	+
$1$	0	0
$(1, \infty)$ np. $e$	−	−

$x$	$(0, 1)$	$1$	$(1, \infty)$
$f^{'} (x)$	+	0	−
$f (x)$	↗	max	↘

$x$	$f^{'} (x)$	$f (x)$
$(0, 1)$	+	↗
$1$	0	max
$(1, \infty)$	−	↘

funkcja rośnie — pochodna dodatniafunkcja maleje — pochodna ujemna

Punkt stacjonarny, w którym ekstremum nie ma — tak wygląda to w tabeli:

Zadanie · krok po kroku

$f (x) = x^{3} \cdot e^{- x}$

Zad. 1 e)

Plan — co zrobimy i po co

Cel: tabela zmienności.

Dziedzina: wszystkie liczby.
Pochodna: reguła iloczynu, potem wyłączamy wspólny czynnik $x^2e^{-x}$ przed nawias.
Warunek konieczny: dwa punkty stacjonarne, $0$ i $3$ .
Znak: $e^{-x}$ zawsze dodatnie. Uważaj na $x^2$ — jest zerem w $x = 0$ , ale nie zmienia znaku.
Tabela zmienności: w $x = 3$ maksimum, a w $x = 0$ — brak ekstremum.

Wyznacz dziedzinę: nie ma mianownika z $x$ , logarytmu ani pierwiastka.
$D_{f} = R$
Policz pochodną. To iloczyn: $x^{3}$ razy $e^{- x}$ . Zapisz regułę 3 z tymi kawałkami.
$f^{'} (x) = (x^{3})^{'} \cdot e^{- x} + x^{3} \cdot (e^{- x})^{'}$
Podstaw pochodne obu czynników.
$= 3 x^{2} \cdot e^{- x} + x^{3} \cdot (- e^{- x})$
Na kartce: $(x^{3})^{'} = 3 x^{2}$ $(e^{- x})^{'} = e^{- x} \cdot (- x)^{'} = - e^{- x}$
Wyłącz wspólny czynnik $x^{2} e^{- x}$ przed nawias.
$= 3 x^{2} e^{- x} - x^{3} e^{- x} = x^{2} e^{- x} (3 - x)$
Na kartce: $3 x^{2} e^{- x} = x^{2} e^{- x} \cdot 3$ $x^{3} e^{- x} = x^{2} e^{- x} \cdot x$
Sprawdź warunek konieczny. Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem; $e^{- x}$ nigdy nie jest zerem.
$f^{'} (x) = 0 ⟺ x^{2} = 0 lub 3 - x = 0 ⟺ x = 0 lub x = 3$
$f^{'} (x) = 0 ⟺ x^{2} = 0 lub 3 - x = 0 ⟺ x = 0 lub x = 3$
Czynnik $e^{- x}$ jest zawsze dodatni. O znaku decydują $x^{2}$ i $3 - x$ .
$f^{'} (x) > 0 ⟺ x^{2} (3 - x) > 0$
Ustal znak pochodnej w każdym przedziale: weź z przedziału jedną liczbę i podstaw ją do każdego czynnika.
$x$ $(- \infty, 0)$ $0$ $(0, 3)$ $3$ $(3, \infty)$
liczba próbna $x = - 1$ $x = 1$ $x = 4$
$x^{2}$ + 0 + + +
$3 - x$ + + + 0 −
$f^{'} (x)$ + 0 + 0 −
$x$ $x^{2}$ $3 - x$ $f^{'} (x)$
$(- \infty, 0)$ np. $- 1$ + + +
$0$ 0 + 0
$(0, 3)$ np. $1$ + + +
$3$ + 0 0
$(3, \infty)$ np. $4$ + − −
Na kartce: $x = - 1 : (- 1)^{2} \cdot (- (- 1) + 3) = 1 \cdot 4 = 4 > 0$ $x = 1 : 1^{2} \cdot (- 1 + 3) = 1 \cdot 2 = 2 > 0$ $x = 4 : 4^{2} \cdot (- 4 + 3) = 16 \cdot (- 1) = - 16 < 0$
Dlaczego?
Punkty stacjonarne dzielą oś na przedziały. W środku przedziału $f^{'}$ nie przechodzi przez zero, więc nie zmienia znaku — jedna liczba mówi o całym przedziale. Znak iloczynu: parzysta liczba minusów daje plus, nieparzysta — minus.
Odczytaj rozwiązania obu nierówności ze znaków $f^{'} (x)$ w tabeli: „+” to $f^{'} (x) > 0$ , „−” to $f^{'} (x) < 0$ .
$f^{'} (x) > 0 dla x \in (- \infty, 0) \cup (0, 3) f^{'} (x) < 0 dla x \in (3, \infty)$
$f^{'} (x) > 0 dla: (- \infty, 0) \cup (0, 3) f^{'} (x) < 0 dla: (3, \infty)$
Przepisz znaki do tabeli zmienności: przy „+” strzałka w górę ↗ (rośnie), przy „−” w dół ↘ (maleje). W punkcie stacjonarnym sprawdź, czy znak się zmienia.

$x$ $(- \infty, 0)$ $0$ $(0, 3)$ $3$ $(3, \infty)$

$f^{'} (x)$ + 0 + 0 −

$f (x)$ ↗ — ↗ max ↘
$x$ $f^{'} (x)$ $f (x)$
$(- \infty, 0)$ + ↗
$0$ 0 —
$(0, 3)$ + ↗
$3$ 0 max
$(3, \infty)$ − ↘
Dlaczego?
To warunek dostateczny ze slajdu: zmiana z „+” na „−” daje maksimum, z „−” na „+” — minimum. Bez zmiany znaku nie ma ekstremum.
W punkcie $x = 0$ pochodna jest równa $0$ , ale po obu stronach ma ten sam znak. Funkcja tu nie zawraca — nie ma ekstremum.
$f^{'} (0) = 0, ale bez zmiany znaku$
W punkcie $x = 3$ pochodna zmienia znak z „+” na „−”: funkcja najpierw rośnie, potem maleje. To maksimum lokalne — policz jego wartość, wstawiając $x = 3$ do wzoru funkcji $f$ , nie do pochodnej.
$f_{m a x} (3) = f (3) = 3^{3} \cdot e^{- 3} = 27 e^{- 3} = \frac{27}{e ^{3}}$
$f_{m a x} (3) = f (3) = 3^{3} \cdot e^{- 3} = 27 e^{- 3} = \frac{27}{e ^{3}}$
Na kartce: $\frac{27}{e ^{3}} \approx 1, 34$
Zapisz odpowiedź. Funkcja rośnie w przedziałach $(- \infty, 0)$ i $(0, 3)$ , a maleje w przedziale $(3, \infty)$ .
$ro s ˊ nie w (- \infty, 0), (0, 3) maleje w (3, \infty) f_{m a x} (3) = \frac{27}{e ^{3}}$
Dlaczego?
W $x = 0$ funkcja nie zawraca — tylko na chwilę się wypłaszcza. Rośnie więc nawet na całym $(- \infty, 3)$ . Bezpieczniej jednak zapisać przedziały tak, jak wyszły w tabeli.
Sprawdź na wykresie: zielone kawałki rosną, różowe maleją, a pełne kropki stoją w ekstremach. Pusta kropka to punkt stacjonarny bez ekstremum.

$x$	$(- \infty, 0)$	$0$	$(0, 3)$	$3$	$(3, \infty)$
liczba próbna	$x = - 1$		$x = 1$		$x = 4$
$x^{2}$	+	0	+	+	+
$3 - x$	+	+	+	0	−
$f^{'} (x)$	+	0	+	0	−

$x$	$x^{2}$	$3 - x$	$f^{'} (x)$
$(- \infty, 0)$ np. $- 1$	+	+	+
$0$	0	+	0
$(0, 3)$ np. $1$	+	+	+
$3$	+	0	0
$(3, \infty)$ np. $4$	+	−	−

$x$	$(- \infty, 0)$	$0$	$(0, 3)$	$3$	$(3, \infty)$
$f^{'} (x)$	+	0	+	0	−
$f (x)$	↗	—	↗	max	↘

$x$	$f^{'} (x)$	$f (x)$
$(- \infty, 0)$	+	↗
$0$	0	—
$(0, 3)$	+	↗
$3$	0	max
$(3, \infty)$	−	↘

funkcja rośnie — pochodna dodatniafunkcja maleje — pochodna ujemna

Pozostałe przykłady z listy

Ta sama procedura, krok po kroku. Kliknij przykład, żeby go rozwinąć.

Zad. 1 b)

f (x) = \frac{x}{x + 1}

Plan — co zrobimy i po co

Cel: tabela zmienności. Nowe tutaj: pochodna nigdy nie jest zerem — nie ma punktów stacjonarnych ani ekstremów. Funkcja rośnie w dwóch przedziałach osobno.

Wyznacz dziedzinę: mianownik $x + 1$ nie może być zerem.
$D_{f} = R ∖ {- 1}$
Na kartce: $x + 1 = 0 ⟺ x = - 1$
Policz pochodną. To iloraz: licznik $x$ , mianownik $x + 1$ . Zapisz regułę 4 z tymi kawałkami.
$f^{'} (x) = \frac{( x ) ^{'} \cdot ( x + 1 ) - x \cdot ( x + 1 ) ^{'}}{( x + 1 ) ^{2}}$
Podstaw pochodne licznika i mianownika.
$= \frac{1 \cdot ( x + 1 ) - x \cdot 1}{( x + 1 ) ^{2}}$
Na kartce: $(x)^{'} = 1$ $(x + 1)^{'} = 1 + 0 = 1$
Uprość licznik.
$= \frac{x + 1 - x}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}}$
Na kartce: $x - x = 0$
Sprawdź warunek konieczny. Licznik to $1$ , a $1$ nigdy nie jest zerem — równanie nie ma rozwiązań. Nie ma punktów stacjonarnych, więc nie ma też ekstremów.
$f^{'} (x) = 0 ⟺ 1 = 0$
Licznik $1$ jest dodatni, a mianownik to kwadrat — w dziedzinie też dodatni. Pochodna jest dodatnia wszędzie w dziedzinie.
$f^{'} (x) = \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} > 0$
Ustal znak pochodnej w każdym przedziale: weź z przedziału jedną liczbę i podstaw ją do każdego czynnika.
$x$ $(- \infty, - 1)$ $- 1$ $(- 1, \infty)$
liczba próbna $x = - 2$ $x = 0$
$1$ + × +
$f^{'} (x)$ + × +
$x$ $1$ $f^{'} (x)$
$(- \infty, - 1)$ np. $- 2$ + +
$- 1$ × ×
$(- 1, \infty)$ np. $0$ + +
Na kartce: $x = - 2 : 1 > 0$ $x = 0 : 1 > 0$
Dlaczego?
Dziura w dziedzinie dzieli oś na przedziały. W środku przedziału $f^{'}$ nie przechodzi przez zero, więc nie zmienia znaku — jedna liczba mówi o całym przedziale. Znak iloczynu: parzysta liczba minusów daje plus, nieparzysta — minus.
Odczytaj rozwiązania obu nierówności ze znaków $f^{'} (x)$ w tabeli: „+” to $f^{'} (x) > 0$ , „−” to $f^{'} (x) < 0$ .
$f^{'} (x) > 0 dla x \in (- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty) f^{'} (x) < 0 nigdzie$
$f^{'} (x) > 0 dla: (- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$
Przepisz znaki do tabeli zmienności: przy „+” strzałka w górę ↗ (rośnie), przy „−” w dół ↘ (maleje). W punkcie stacjonarnym sprawdź, czy znak się zmienia.

$x$ $(- \infty, - 1)$ $- 1$ $(- 1, \infty)$

$f^{'} (x)$ + × +

$f (x)$ ↗ × ↗
$x$ $f^{'} (x)$ $f (x)$
$(- \infty, - 1)$ + ↗
$- 1$ × ×
$(- 1, \infty)$ + ↗
Dlaczego?
To warunek dostateczny ze slajdu: zmiana z „+” na „−” daje maksimum, z „−” na „+” — minimum. Bez zmiany znaku nie ma ekstremum.
Zapisz odpowiedź. Funkcja rośnie w przedziałach $(- \infty, - 1)$ i $(- 1, \infty)$ . Funkcja nie ma ekstremów.
$ro s ˊ nie w (- \infty, - 1), (- 1, \infty)$
Dlaczego?
Nie pisz „rośnie w całej dziedzinie”. Przykład: $f (- 2) = \frac{- 2}{- 1} = 2$ , a $f (0) = 0$ — większy argument, mniejsza wartość. Funkcja rośnie w każdym przedziale osobno.
Sprawdź na wykresie: zielone kawałki rosną, różowe maleją, a pełne kropki stoją w ekstremach.

$x$	$(- \infty, - 1)$	$- 1$	$(- 1, \infty)$
liczba próbna	$x = - 2$		$x = 0$
$1$	+	×	+
$f^{'} (x)$	+	×	+

$x$	$1$	$f^{'} (x)$
$(- \infty, - 1)$ np. $- 2$	+	+
$- 1$	×	×
$(- 1, \infty)$ np. $0$	+	+

$x$	$(- \infty, - 1)$	$- 1$	$(- 1, \infty)$
$f^{'} (x)$	+	×	+
$f (x)$	↗	×	↗

funkcja rośnie — pochodna dodatniafunkcja maleje — pochodna ujemna

Zad. 1 c)

f (x) = x \cdot e^{- \frac{x ^{2}}{2}}

Plan — co zrobimy i po co

Cel: tabela zmienności. Nowe tutaj: pochodna iloczynu z czynnikiem $e^{□}$ (reguła 5) i wyłączenie $e^{- \frac{x ^{2}}{2}}$ przed nawias. Ten czynnik jest zawsze dodatni.

Wyznacz dziedzinę: nie ma ułamka z $x$ w mianowniku, logarytmu ani pierwiastka. Wszystkie liczby są dobre.
$D_{f} = R$
Policz pochodną. To iloczyn: pierwszy czynnik $x$ , drugi $e^{- \frac{x ^{2}}{2}}$ . Zapisz regułę 3 z tymi kawałkami.
$f^{'} (x) = (x)^{'} \cdot e^{- \frac{x ^{2}}{2}} + x \cdot (e^{- \frac{x ^{2}}{2}})^{'}$
pomocniczoPomocniczo policz pochodną drugiego czynnika: $e^{□}$ przepisujesz i mnożysz przez pochodną wykładnika.
$(e^{- \frac{x ^{2}}{2}})^{'} = e^{- \frac{x ^{2}}{2}} \cdot (- \frac{1}{2} x^{2})^{'} = e^{- \frac{x ^{2}}{2}} \cdot (- x)$
$(e^{- \frac{x ^{2}}{2}})^{'} = e^{- \frac{x ^{2}}{2}} \cdot (- \frac{1}{2} x^{2})^{'} = e^{- \frac{x ^{2}}{2}} \cdot (- x)$
Na kartce: $(- \frac{1}{2} x^{2})^{'} = - \frac{1}{2} \cdot 2 x = - x$
Podstaw: $(x)^{'} = 1$ i policzoną pochodną drugiego czynnika.
$f^{'} (x) = 1 \cdot e^{- \frac{x ^{2}}{2}} + x \cdot e^{- \frac{x ^{2}}{2}} \cdot (- x)$
Wyłącz wspólny czynnik $e^{- \frac{x ^{2}}{2}}$ przed nawias.
$= e^{- \frac{x ^{2}}{2}} - x^{2} e^{- \frac{x ^{2}}{2}} = e^{- \frac{x ^{2}}{2}} (1 - x^{2})$
Dlaczego?
Przy badaniu znaku iloczyn jest wygodniejszy niż suma: znak iloczynu odczytasz ze znaków czynników.
Sprawdź warunek konieczny. Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem.
$f^{'} (x) = 0 ⟺ 1 - x^{2} = 0 ⟺ x = - 1 lub x = 1$
$f^{'} (x) = 0 ⟺ 1 - x^{2} = 0 ⟺ x = - 1 lub x = 1$
Na kartce: $1 - x^{2} = 0$ $x^{2} = 1$
Dlaczego?
$e$ do dowolnej potęgi jest dodatnie, nigdy zero — ten czynnik nie daje rozwiązań.
Czynnik $e^{- \frac{x ^{2}}{2}}$ jest zawsze dodatni. O znaku decyduje $1 - x^{2}$ .
$f^{'} (x) > 0 ⟺ 1 - x^{2} > 0$
Ustal znak pochodnej w każdym przedziale: weź z przedziału jedną liczbę i podstaw ją do każdego czynnika.
$x$ $(- \infty, - 1)$ $- 1$ $(- 1, 1)$ $1$ $(1, \infty)$
liczba próbna $x = - 2$ $x = 0$ $x = 2$
$1 - x^{2}$ − 0 + 0 −
$f^{'} (x)$ − 0 + 0 −
$x$ $1 - x^{2}$ $f^{'} (x)$
$(- \infty, - 1)$ np. $- 2$ − −
$- 1$ 0 0
$(- 1, 1)$ np. $0$ + +
$1$ 0 0
$(1, \infty)$ np. $2$ − −
Na kartce: $x = - 2 : 1 - (- 2)^{2} = 1 - 4 = - 3 < 0$ $x = 0 : 1 - 0^{2} = 1 - 0 = 1 > 0$ $x = 2 : 1 - 2^{2} = 1 - 4 = - 3 < 0$
Dlaczego?
Punkty stacjonarne dzielą oś na przedziały. W środku przedziału $f^{'}$ nie przechodzi przez zero, więc nie zmienia znaku — jedna liczba mówi o całym przedziale. Znak iloczynu: parzysta liczba minusów daje plus, nieparzysta — minus.
Odczytaj rozwiązania obu nierówności ze znaków $f^{'} (x)$ w tabeli: „+” to $f^{'} (x) > 0$ , „−” to $f^{'} (x) < 0$ .
$f^{'} (x) > 0 dla x \in (- 1, 1) f^{'} (x) < 0 dla x \in (- \infty, - 1) \cup (1, \infty)$
$f^{'} (x) > 0 dla: (- 1, 1) f^{'} (x) < 0 dla: (- \infty, - 1) \cup (1, \infty)$
Przepisz znaki do tabeli zmienności: przy „+” strzałka w górę ↗ (rośnie), przy „−” w dół ↘ (maleje). W punkcie stacjonarnym sprawdź, czy znak się zmienia.

$x$ $(- \infty, - 1)$ $- 1$ $(- 1, 1)$ $1$ $(1, \infty)$

$f^{'} (x)$ − 0 + 0 −

$f (x)$ ↘ min ↗ max ↘
$x$ $f^{'} (x)$ $f (x)$
$(- \infty, - 1)$ − ↘
$- 1$ 0 min
$(- 1, 1)$ + ↗
$1$ 0 max
$(1, \infty)$ − ↘
Dlaczego?
To warunek dostateczny ze slajdu: zmiana z „+” na „−” daje maksimum, z „−” na „+” — minimum. Bez zmiany znaku nie ma ekstremum.
W punkcie $x = - 1$ pochodna zmienia znak z „−” na „+”: funkcja najpierw maleje, potem rośnie. To minimum lokalne — policz jego wartość, wstawiając $x = - 1$ do wzoru funkcji $f$ , nie do pochodnej.
$f_{m i n} (- 1) = f (- 1) = - 1 \cdot e^{- \frac{( - 1 ) ^{2}}{2}} = - e^{- \frac{1}{2}} = - \frac{1}{e}$
$f_{m i n} (- 1) = f (- 1) = - 1 \cdot e^{- \frac{( - 1 ) ^{2}}{2}} = - e^{- \frac{1}{2}} = - \frac{1}{e}$
Na kartce: $e^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{e ^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{e} \approx 0, 61$
W punkcie $x = 1$ pochodna zmienia znak z „+” na „−”: funkcja najpierw rośnie, potem maleje. To maksimum lokalne — policz jego wartość, wstawiając $x = 1$ do wzoru funkcji $f$ , nie do pochodnej.
$f_{m a x} (1) = f (1) = 1 \cdot e^{- \frac{1 ^{2}}{2}} = e^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{e}$
$f_{m a x} (1) = f (1) = 1 \cdot e^{- \frac{1 ^{2}}{2}} = e^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{e}$
Zapisz odpowiedź. Funkcja rośnie w przedziale $(- 1, 1)$ , a maleje w przedziałach $(- \infty, - 1)$ i $(1, \infty)$ .
$ro s ˊ nie w (- 1, 1) maleje w (- \infty, - 1), (1, \infty) f_{m i n} (- 1) = - \frac{1}{e} f_{m a x} (1) = \frac{1}{e}$
Sprawdź na wykresie: zielone kawałki rosną, różowe maleją, a pełne kropki stoją w ekstremach.

$x$	$(- \infty, - 1)$	$- 1$	$(- 1, 1)$	$1$	$(1, \infty)$
liczba próbna	$x = - 2$		$x = 0$		$x = 2$
$1 - x^{2}$	−	0	+	0	−
$f^{'} (x)$	−	0	+	0	−

$x$	$1 - x^{2}$	$f^{'} (x)$
$(- \infty, - 1)$ np. $- 2$	−	−
$- 1$	0	0
$(- 1, 1)$ np. $0$	+	+
$1$	0	0
$(1, \infty)$ np. $2$	−	−

$x$	$(- \infty, - 1)$	$- 1$	$(- 1, 1)$	$1$	$(1, \infty)$
$f^{'} (x)$	−	0	+	0	−
$f (x)$	↘	min	↗	max	↘

$x$	$f^{'} (x)$	$f (x)$
$(- \infty, - 1)$	−	↘
$- 1$	0	min
$(- 1, 1)$	+	↗
$1$	0	max
$(1, \infty)$	−	↘

funkcja rośnie — pochodna dodatniafunkcja maleje — pochodna ujemna

Zad. 1 f)

f (x) = \frac{e ^{x}}{x + 1}

Plan — co zrobimy i po co

Cel: tabela zmienności. Nowe tutaj: dziura $x = - 1$ tuż obok punktu stacjonarnego $0$ — w tabeli są trzy przedziały.

Wyznacz dziedzinę: mianownik $x + 1$ nie może być zerem.
$D_{f} = R ∖ {- 1}$
Na kartce: $x + 1 = 0 ⟺ x = - 1$
Policz pochodną. To iloraz: licznik $e^{x}$ , mianownik $x + 1$ . Zapisz regułę 4 z tymi kawałkami.
$f^{'} (x) = \frac{( e ^{x} ) ^{'} \cdot ( x + 1 ) - e ^{x} \cdot ( x + 1 ) ^{'}}{( x + 1 ) ^{2}}$
Podstaw pochodne licznika i mianownika.
$= \frac{e ^{x} \cdot ( x + 1 ) - e ^{x} \cdot 1}{( x + 1 ) ^{2}}$
Na kartce: $(e^{x})^{'} = e^{x}$ $(x + 1)^{'} = 1$
Wymnóż i zredukuj licznik.
$= \frac{x e ^{x} + e ^{x} - e ^{x}}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{x e ^{x}}{( x + 1 ) ^{2}}$
Na kartce: $e^{x} \cdot (x + 1) = x e^{x} + e^{x}$
Sprawdź warunek konieczny: licznik równy zeru. $e^{x}$ nigdy nie jest zerem, więc zostaje $x = 0$ .
$f^{'} (x) = 0 ⟺ x e^{x} = 0 ⟺ x = 0$
$e^{x} > 0$ zawsze, a mianownik to kwadrat — w dziedzinie dodatni. O znaku decyduje sam czynnik $x$ .
$f^{'} (x) > 0 ⟺ x > 0$
Ustal znak pochodnej w każdym przedziale: weź z przedziału jedną liczbę i podstaw ją do każdego czynnika.
$x$ $(- \infty, - 1)$ $- 1$ $(- 1, 0)$ $0$ $(0, \infty)$
liczba próbna $x = - 2$ $x = - 0, 5$ $x = 1$
$x$ − × − 0 +
$f^{'} (x)$ − × − 0 +
$x$ $x$ $f^{'} (x)$
$(- \infty, - 1)$ np. $- 2$ − −
$- 1$ × ×
$(- 1, 0)$ np. $- 0, 5$ − −
$0$ 0 0
$(0, \infty)$ np. $1$ + +
Na kartce: $x = - 2 : - 2 < 0$ $x = - 0, 5 : - 0, 5 < 0$ $x = 1 : 1 > 0$
Dlaczego?
Punkt stacjonarny i dziura w dziedzinie dzielą oś na przedziały. W środku przedziału $f^{'}$ nie przechodzi przez zero, więc nie zmienia znaku — jedna liczba mówi o całym przedziale. Znak iloczynu: parzysta liczba minusów daje plus, nieparzysta — minus.
Odczytaj rozwiązania obu nierówności ze znaków $f^{'} (x)$ w tabeli: „+” to $f^{'} (x) > 0$ , „−” to $f^{'} (x) < 0$ .
$f^{'} (x) > 0 dla x \in (0, \infty) f^{'} (x) < 0 dla x \in (- \infty, - 1) \cup (- 1, 0)$
$f^{'} (x) > 0 dla: (0, \infty) f^{'} (x) < 0 dla: (- \infty, - 1) \cup (- 1, 0)$
Przepisz znaki do tabeli zmienności: przy „+” strzałka w górę ↗ (rośnie), przy „−” w dół ↘ (maleje). W punkcie stacjonarnym sprawdź, czy znak się zmienia.

$x$ $(- \infty, - 1)$ $- 1$ $(- 1, 0)$ $0$ $(0, \infty)$

$f^{'} (x)$ − × − 0 +

$f (x)$ ↘ × ↘ min ↗
$x$ $f^{'} (x)$ $f (x)$
$(- \infty, - 1)$ − ↘
$- 1$ × ×
$(- 1, 0)$ − ↘
$0$ 0 min
$(0, \infty)$ + ↗
Dlaczego?
To warunek dostateczny ze slajdu: zmiana z „+” na „−” daje maksimum, z „−” na „+” — minimum. Bez zmiany znaku nie ma ekstremum.
W punkcie $x = 0$ pochodna zmienia znak z „−” na „+”: funkcja najpierw maleje, potem rośnie. To minimum lokalne — policz jego wartość, wstawiając $x = 0$ do wzoru funkcji $f$ , nie do pochodnej.
$f_{m i n} (0) = f (0) = \frac{e ^{0}}{0 + 1} = \frac{1}{1} = 1$
$f_{m i n} (0) = f (0) = \frac{e ^{0}}{0 + 1} = \frac{1}{1} = 1$
Zapisz odpowiedź. Funkcja rośnie w przedziale $(0, \infty)$ , a maleje w przedziałach $(- \infty, - 1)$ i $(- 1, 0)$ .
$ro s ˊ nie w (0, \infty) maleje w (- \infty, - 1), (- 1, 0) f_{m i n} (0) = 1$
Dlaczego?
Funkcja maleje w $(- \infty, - 1)$ i w $(- 1, 0)$ — osobno, bo w $x = - 1$ jej nie ma.
Sprawdź na wykresie: zielone kawałki rosną, różowe maleją, a pełne kropki stoją w ekstremach.

$x$	$(- \infty, - 1)$	$- 1$	$(- 1, 0)$	$0$	$(0, \infty)$
liczba próbna	$x = - 2$		$x = - 0, 5$		$x = 1$
$x$	−	×	−	0	+
$f^{'} (x)$	−	×	−	0	+

$x$	$x$	$f^{'} (x)$
$(- \infty, - 1)$ np. $- 2$	−	−
$- 1$	×	×
$(- 1, 0)$ np. $- 0, 5$	−	−
$0$	0	0
$(0, \infty)$ np. $1$	+	+

$x$	$(- \infty, - 1)$	$- 1$	$(- 1, 0)$	$0$	$(0, \infty)$
$f^{'} (x)$	−	×	−	0	+
$f (x)$	↘	×	↘	min	↗

$x$	$f^{'} (x)$	$f (x)$
$(- \infty, - 1)$	−	↘
$- 1$	×	×
$(- 1, 0)$	−	↘
$0$	0	min
$(0, \infty)$	+	↗

funkcja rośnie — pochodna dodatniafunkcja maleje — pochodna ujemna

Zad. 1 g)

f (x) = \frac{x ^{3}}{x ^{2} - 4}

Plan — co zrobimy i po co

Cel: tabela zmienności. Nowe tutaj: trzy punkty stacjonarne i dwie dziury — tabela ma $11$ kolumn. W $x = 0$ brak ekstremum.

Wyznacz dziedzinę: mianownik $x^{2} - 4$ nie może być zerem.
$D_{f} = R ∖ {- 2, 2}$
Na kartce: $x^{2} - 4 = 0$ $x^{2} = 4$ $x = 2 lub x = - 2$
Policz pochodną. To iloraz: licznik $x^{3}$ , mianownik $x^{2} - 4$ . Zapisz regułę 4 z tymi kawałkami.
$f^{'} (x) = \frac{( x ^{3} ) ^{'} \cdot ( x ^{2} - 4 ) - x ^{3} \cdot ( x ^{2} - 4 ) ^{'}}{( x ^{2} - 4 ) ^{2}}$
Podstaw pochodne licznika i mianownika.
$= \frac{3 x ^{2} ( x ^{2} - 4 ) - x ^{3} \cdot 2 x}{( x ^{2} - 4 ) ^{2}}$
Na kartce: $(x^{3})^{'} = 3 x^{2}$ $(x^{2} - 4)^{'} = 2 x$
Wymnóż i zredukuj licznik.
$= \frac{3 x ^{4} - 12 x ^{2} - 2 x ^{4}}{( x ^{2} - 4 ) ^{2}} = \frac{x ^{4} - 12 x ^{2}}{( x ^{2} - 4 ) ^{2}}$
Na kartce: $3 x^{2} (x^{2} - 4) = 3 x^{4} - 12 x^{2}$ $x^{3} \cdot 2 x = 2 x^{4}$ $3 x^{4} - 2 x^{4} = x^{4}$
Wyłącz $x^{2}$ przed nawias w liczniku.
$= \frac{x ^{2} ( x ^{2} - 12 )}{( x ^{2} - 4 ) ^{2}}$
Sprawdź warunek konieczny: licznik równy zeru. Wychodzą trzy punkty: $x = 0$ , $x = - 23$ i $x = 23$ .
$f^{'} (x) = 0 ⟺ x^{2} = 0 lub x^{2} = 12$
Na kartce: $x^{2} = 12 ⟺ x = 12 lub x = - 12$ $12 = 4 \cdot 3 = 23 \approx 3, 46$
Dlaczego?
Wszystkie trzy należą do dziedziny: żaden nie jest równy $- 2$ ani $2$ .
Mianownik $(x^{2} - 4)^{2}$ jest kwadratem, więc w dziedzinie jest zawsze dodatni. O znaku decyduje licznik.
$f^{'} (x) > 0 ⟺ x^{2} (x^{2} - 12) > 0$
Ustal znak pochodnej w każdym przedziale: weź z przedziału jedną liczbę i podstaw ją do każdego czynnika.
$x$ $(- \infty, - 23)$ $- 23$ $(- 23, - 2)$ $- 2$ $(- 2, 0)$ $0$ $(0, 2)$ $2$ $(2, 23)$ $23$ $(23, \infty)$
liczba próbna $x = - 4$ $x = - 3$ $x = - 1$ $x = 1$ $x = 3$ $x = 4$
$x^{2}$ + + + × + 0 + × + + +
$x^{2} - 12$ + 0 − × − − − × − 0 +
$f^{'} (x)$ + 0 − × − 0 − × − 0 +
$x$ $x^{2}$ $x^{2} - 12$ $f^{'} (x)$
$(- \infty, - 23)$ np. $- 4$ + + +
$- 23$ + 0 0
$(- 23, - 2)$ np. $- 3$ + − −
$- 2$ × × ×
$(- 2, 0)$ np. $- 1$ + − −
$0$ 0 − 0
$(0, 2)$ np. $1$ + − −
$2$ × × ×
$(2, 23)$ np. $3$ + − −
$23$ + 0 0
$(23, \infty)$ np. $4$ + + +
Na kartce: $x = - 4 : (- 4)^{2} \cdot ((- 4)^{2} - 12) = 16 \cdot 4 = 64 > 0$ $x = - 3 : (- 3)^{2} \cdot ((- 3)^{2} - 12) = 9 \cdot (- 3) = - 27 < 0$ $x = - 1 : (- 1)^{2} \cdot ((- 1)^{2} - 12) = 1 \cdot (- 11) = - 11 < 0$ $x = 1 : 1^{2} \cdot (1^{2} - 12) = 1 \cdot (- 11) = - 11 < 0$ $x = 3 : 3^{2} \cdot (3^{2} - 12) = 9 \cdot (- 3) = - 27 < 0$ $x = 4 : 4^{2} \cdot (4^{2} - 12) = 16 \cdot 4 = 64 > 0$
Dlaczego?
Punkty stacjonarne i dziury w dziedzinie dzielą oś na przedziały. W środku przedziału $f^{'}$ nie przechodzi przez zero, więc nie zmienia znaku — jedna liczba mówi o całym przedziale. Znak iloczynu: parzysta liczba minusów daje plus, nieparzysta — minus.
Odczytaj rozwiązania obu nierówności ze znaków $f^{'} (x)$ w tabeli: „+” to $f^{'} (x) > 0$ , „−” to $f^{'} (x) < 0$ .
$f^{'} (x) > 0 dla x \in (- \infty, - 23) \cup (23, \infty) f^{'} (x) < 0 dla x \in (- 23, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, 23)$
$f^{'} (x) > 0 dla: (- \infty, - 23) \cup (23, \infty) f^{'} (x) < 0 dla: (- 23, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, 23)$
Przepisz znaki do tabeli zmienności: przy „+” strzałka w górę ↗ (rośnie), przy „−” w dół ↘ (maleje). W punkcie stacjonarnym sprawdź, czy znak się zmienia.

$x$ $(- \infty, - 23)$ $- 23$ $(- 23, - 2)$ $- 2$ $(- 2, 0)$ $0$ $(0, 2)$ $2$ $(2, 23)$ $23$ $(23, \infty)$

$f^{'} (x)$ + 0 − × − 0 − × − 0 +

$f (x)$ ↗ max ↘ × ↘ — ↘ × ↘ min ↗
$x$ $f^{'} (x)$ $f (x)$
$(- \infty, - 23)$ + ↗
$- 23$ 0 max
$(- 23, - 2)$ − ↘
$- 2$ × ×
$(- 2, 0)$ − ↘
$0$ 0 —
$(0, 2)$ − ↘
$2$ × ×
$(2, 23)$ − ↘
$23$ 0 min
$(23, \infty)$ + ↗
Dlaczego?
To warunek dostateczny ze slajdu: zmiana z „+” na „−” daje maksimum, z „−” na „+” — minimum. Bez zmiany znaku nie ma ekstremum.
W punkcie $x = - 23$ pochodna zmienia znak z „+” na „−”: funkcja najpierw rośnie, potem maleje. To maksimum lokalne — policz jego wartość, wstawiając $x = - 23$ do wzoru funkcji $f$ , nie do pochodnej.
$f_{m a x} (- 23) = f (- 23) = \frac{( - 2 3 ) ^{3}}{( - 2 3 ) ^{2} - 4} = \frac{- 24 3}{12 - 4} = \frac{- 24 3}{8} = - 33$
$f_{m a x} (- 23) = f (- 23) = \frac{( - 2 3 ) ^{3}}{( - 2 3 ) ^{2} - 4} = \frac{- 24 3}{12 - 4} = \frac{- 24 3}{8} = - 33$
Na kartce: $(- 23)^{3} = (- 2)^{3} \cdot (3)^{3} = - 8 \cdot 33 = - 243$ $(- 23)^{2} = 4 \cdot 3 = 12$
W punkcie $x = 0$ pochodna jest równa $0$ , ale po obu stronach ma ten sam znak. Funkcja tu nie zawraca — nie ma ekstremum.
$f^{'} (0) = 0, ale bez zmiany znaku$
W punkcie $x = 23$ pochodna zmienia znak z „−” na „+”: funkcja najpierw maleje, potem rośnie. To minimum lokalne — policz jego wartość, wstawiając $x = 23$ do wzoru funkcji $f$ , nie do pochodnej.
$f_{m i n} (23) = f (23) = \frac{( 2 3 ) ^{3}}{( 2 3 ) ^{2} - 4} = \frac{24 3}{12 - 4} = \frac{24 3}{8} = 33$
$f_{m i n} (23) = f (23) = \frac{( 2 3 ) ^{3}}{( 2 3 ) ^{2} - 4} = \frac{24 3}{12 - 4} = \frac{24 3}{8} = 33$
Dlaczego?
Maksimum ( $- 33$ ) wyszło mniejsze od minimum ( $33$ ). To nie błąd: ekstrema są lokalne — każde porównujesz tylko z najbliższą okolicą. Między nimi są dziury w dziedzinie ( $- 2$ i $2$ ), przy których wykres ucieka w górę i w dół.
Zapisz odpowiedź. Funkcja rośnie w przedziałach $(- \infty, - 23)$ i $(23, \infty)$ , a maleje w przedziałach $(- 23, - 2)$ , $(- 2, 0)$ , $(0, 2)$ i $(2, 23)$ .
$ro s ˊ nie w (- \infty, - 23), (23, \infty) maleje w (- 23, - 2), (- 2, 0) (0, 2), (2, 23) f_{m a x} (- 23) = - 33 f_{m i n} (23) = 33$
Dlaczego?
W $x = 0$ pochodna jest zerem, ale nie zmienia znaku — nie ma tam ekstremum. Przedziały przy $- 2$ , $0$ i $2$ wypisujesz osobno, tak jak w tabeli.
Sprawdź na wykresie: zielone kawałki rosną, różowe maleją, a pełne kropki stoją w ekstremach. Pusta kropka to punkt stacjonarny bez ekstremum.

$x$	$(- \infty, - 23)$	$- 23$	$(- 23, - 2)$	$- 2$	$(- 2, 0)$	$0$	$(0, 2)$	$2$	$(2, 23)$	$23$	$(23, \infty)$
liczba próbna	$x = - 4$		$x = - 3$		$x = - 1$		$x = 1$		$x = 3$		$x = 4$
$x^{2}$	+	+	+	×	+	0	+	×	+	+	+
$x^{2} - 12$	+	0	−	×	−	−	−	×	−	0	+
$f^{'} (x)$	+	0	−	×	−	0	−	×	−	0	+

$x$	$x^{2}$	$x^{2} - 12$	$f^{'} (x)$
$(- \infty, - 23)$ np. $- 4$	+	+	+
$- 23$	+	0	0
$(- 23, - 2)$ np. $- 3$	+	−	−
$- 2$	×	×	×
$(- 2, 0)$ np. $- 1$	+	−	−
$0$	0	−	0
$(0, 2)$ np. $1$	+	−	−
$2$	×	×	×
$(2, 23)$ np. $3$	+	−	−
$23$	+	0	0
$(23, \infty)$ np. $4$	+	+	+

$x$	$(- \infty, - 23)$	$- 23$	$(- 23, - 2)$	$- 2$	$(- 2, 0)$	$0$	$(0, 2)$	$2$	$(2, 23)$	$23$	$(23, \infty)$
$f^{'} (x)$	+	0	−	×	−	0	−	×	−	0	+
$f (x)$	↗	max	↘	×	↘	—	↘	×	↘	min	↗

$x$	$f^{'} (x)$	$f (x)$
$(- \infty, - 23)$	+	↗
$- 23$	0	max
$(- 23, - 2)$	−	↘
$- 2$	×	×
$(- 2, 0)$	−	↘
$0$	0	—
$(0, 2)$	−	↘
$2$	×	×
$(2, 23)$	−	↘
$23$	0	min
$(23, \infty)$	+	↗

funkcja rośnie — pochodna dodatniafunkcja maleje — pochodna ujemna

Zad. 1 i)

f (x) = - x^{4} + 2 x^{2}

Plan — co zrobimy i po co

Cel: tabela zmienności. Nowe tutaj: trzy czynniki liniowe, w tym $- 4 x$ ze stałą ujemną. Wychodzą dwa maksima i minimum.

Wyznacz dziedzinę: to wielomian — wszystkie liczby są dobre.
$D_{f} = R$
Policz pochodną: każdy składnik osobno.
$f^{'} (x) = - 4 x^{3} + 4 x$
Na kartce: $(- x^{4})^{'} = - 4 x^{3}$ $(2 x^{2})^{'} = 2 \cdot 2 x = 4 x$
Rozłóż na czynniki: wyłącz $- 4 x$ , a $x^{2} - 1$ rozpisz wzorem $a^{2} - b^{2}$ .
$= - 4 x (x^{2} - 1) = - 4 x (x - 1) (x + 1)$
$= - 4 x (x^{2} - 1) = - 4 x (x - 1) (x + 1)$
Na kartce: $- 4 x^{3} = - 4 x \cdot x^{2}$ $4 x = - 4 x \cdot (- 1)$
Sprawdź warunek konieczny: każdy czynnik po kolei równy zeru.
$f^{'} (x) = 0 ⟺ x = 0 lub x = 1 lub x = - 1$
$f^{'} (x) = 0 ⟺ x = 0 lub x = 1 lub x = - 1$
Pochodna jest iloczynem trzech czynników. Ustal znak każdego z nich.
$f^{'} (x) > 0 ⟺ - 4 x (x - 1) (x + 1) > 0$
$f^{'} (x) > 0 ⟺ - 4 x (x - 1) (x + 1) > 0$
Ustal znak pochodnej w każdym przedziale: weź z przedziału jedną liczbę i podstaw ją do każdego czynnika.
$x$ $(- \infty, - 1)$ $- 1$ $(- 1, 0)$ $0$ $(0, 1)$ $1$ $(1, \infty)$
liczba próbna $x = - 2$ $x = - 0, 5$ $x = 0, 5$ $x = 2$
$- 4 x$ + + + 0 − − −
$x - 1$ − − − − − 0 +
$x + 1$ − 0 + + + + +
$f^{'} (x)$ + 0 − 0 + 0 −
$x$ $- 4 x$ $x - 1$ $x + 1$ $f^{'} (x)$
$(- \infty, - 1)$ np. $- 2$ + − − +
$- 1$ + − 0 0
$(- 1, 0)$ np. $- 0, 5$ + − + −
$0$ 0 − + 0
$(0, 1)$ np. $0, 5$ − − + +
$1$ − 0 + 0
$(1, \infty)$ np. $2$ − + + −
Na kartce: $x = - 2 : (- 4 \cdot (- 2)) \cdot (- 2 - 1) \cdot (- 2 + 1) = 8 \cdot (- 3) \cdot (- 1) = 24 > 0$ $x = - 0, 5 : (- 4 \cdot (- 0, 5)) \cdot (- 0, 5 - 1) \cdot (- 0, 5 + 1) = 2 \cdot (- 1, 5) \cdot 0, 5 = - 1, 5 < 0$ $x = 0, 5 : (- 4 \cdot 0, 5) \cdot (0, 5 - 1) \cdot (0, 5 + 1) = (- 2) \cdot (- 0, 5) \cdot 1, 5 = 1, 5 > 0$ $x = 2 : (- 4 \cdot 2) \cdot (2 - 1) \cdot (2 + 1) = (- 8) \cdot 1 \cdot 3 = - 24 < 0$
Dlaczego?
Punkty stacjonarne dzielą oś na przedziały. W środku przedziału $f^{'}$ nie przechodzi przez zero, więc nie zmienia znaku — jedna liczba mówi o całym przedziale. Znak iloczynu: parzysta liczba minusów daje plus, nieparzysta — minus.
Odczytaj rozwiązania obu nierówności ze znaków $f^{'} (x)$ w tabeli: „+” to $f^{'} (x) > 0$ , „−” to $f^{'} (x) < 0$ .
$f^{'} (x) > 0 dla x \in (- \infty, - 1) \cup (0, 1) f^{'} (x) < 0 dla x \in (- 1, 0) \cup (1, \infty)$
$f^{'} (x) > 0 dla: (- \infty, - 1) \cup (0, 1) f^{'} (x) < 0 dla: (- 1, 0) \cup (1, \infty)$
Przepisz znaki do tabeli zmienności: przy „+” strzałka w górę ↗ (rośnie), przy „−” w dół ↘ (maleje). W punkcie stacjonarnym sprawdź, czy znak się zmienia.

$x$ $(- \infty, - 1)$ $- 1$ $(- 1, 0)$ $0$ $(0, 1)$ $1$ $(1, \infty)$

$f^{'} (x)$ + 0 − 0 + 0 −

$f (x)$ ↗ max ↘ min ↗ max ↘
$x$ $f^{'} (x)$ $f (x)$
$(- \infty, - 1)$ + ↗
$- 1$ 0 max
$(- 1, 0)$ − ↘
$0$ 0 min
$(0, 1)$ + ↗
$1$ 0 max
$(1, \infty)$ − ↘
Dlaczego?
To warunek dostateczny ze slajdu: zmiana z „+” na „−” daje maksimum, z „−” na „+” — minimum. Bez zmiany znaku nie ma ekstremum.
W punkcie $x = - 1$ pochodna zmienia znak z „+” na „−”: funkcja najpierw rośnie, potem maleje. To maksimum lokalne — policz jego wartość, wstawiając $x = - 1$ do wzoru funkcji $f$ , nie do pochodnej.
$f_{m a x} (- 1) = f (- 1) = - (- 1)^{4} + 2 \cdot (- 1)^{2} = - 1 + 2 = 1$
$f_{m a x} (- 1) = f (- 1) = - (- 1)^{4} + 2 \cdot (- 1)^{2} = - 1 + 2 = 1$
W punkcie $x = 0$ pochodna zmienia znak z „−” na „+”: funkcja najpierw maleje, potem rośnie. To minimum lokalne — policz jego wartość, wstawiając $x = 0$ do wzoru funkcji $f$ , nie do pochodnej.
$f_{m i n} (0) = f (0) = - 0^{4} + 2 \cdot 0^{2} = 0$
$f_{m i n} (0) = f (0) = - 0^{4} + 2 \cdot 0^{2} = 0$
W punkcie $x = 1$ pochodna zmienia znak z „+” na „−”: funkcja najpierw rośnie, potem maleje. To maksimum lokalne — policz jego wartość, wstawiając $x = 1$ do wzoru funkcji $f$ , nie do pochodnej.
$f_{m a x} (1) = f (1) = - 1^{4} + 2 \cdot 1^{2} = - 1 + 2 = 1$
$f_{m a x} (1) = f (1) = - 1^{4} + 2 \cdot 1^{2} = - 1 + 2 = 1$
Na kartce: $- 1^{4} = - (1^{4}) = - 1$
Zapisz odpowiedź. Funkcja rośnie w przedziałach $(- \infty, - 1)$ i $(0, 1)$ , a maleje w przedziałach $(- 1, 0)$ i $(1, \infty)$ .
$ro s ˊ nie w (- \infty, - 1), (0, 1) maleje w (- 1, 0), (1, \infty) f_{m a x} (- 1) = 1 f_{m i n} (0) = 0 f_{m a x} (1) = 1$
Sprawdź na wykresie: zielone kawałki rosną, różowe maleją, a pełne kropki stoją w ekstremach.

$x$	$(- \infty, - 1)$	$- 1$	$(- 1, 0)$	$0$	$(0, 1)$	$1$	$(1, \infty)$
liczba próbna	$x = - 2$		$x = - 0, 5$		$x = 0, 5$		$x = 2$
$- 4 x$	+	+	+	0	−	−	−
$x - 1$	−	−	−	−	−	0	+
$x + 1$	−	0	+	+	+	+	+
$f^{'} (x)$	+	0	−	0	+	0	−

$x$	$- 4 x$	$x - 1$	$x + 1$	$f^{'} (x)$
$(- \infty, - 1)$ np. $- 2$	+	−	−	+
$- 1$	+	−	0	0
$(- 1, 0)$ np. $- 0, 5$	+	−	+	−
$0$	0	−	+	0
$(0, 1)$ np. $0, 5$	−	−	+	+
$1$	−	0	+	0
$(1, \infty)$ np. $2$	−	+	+	−

$x$	$(- \infty, - 1)$	$- 1$	$(- 1, 0)$	$0$	$(0, 1)$	$1$	$(1, \infty)$
$f^{'} (x)$	+	0	−	0	+	0	−
$f (x)$	↗	max	↘	min	↗	max	↘

funkcja rośnie — pochodna dodatniafunkcja maleje — pochodna ujemna

Zad. 1 j)

f (x) = \frac{2 x + 3}{x ^{2} + 4}

Plan — co zrobimy i po co

Cel: tabela zmienności. Nowe tutaj: trójmian w liczniku rozkładamy deltą, a stała $- 2$ zostaje w tabeli, bo odwraca znak.

Wyznacz dziedzinę: mianownik $x^{2} + 4$ jest zawsze dodatni ( $x^{2} \geq 0$ , plus $4$ ), więc nigdy nie jest zerem.
$D_{f} = R$
Policz pochodną. To iloraz: licznik $2 x + 3$ , mianownik $x^{2} + 4$ . Zapisz regułę 4 z tymi kawałkami.
$f^{'} (x) = \frac{( 2 x + 3 ) ^{'} \cdot ( x ^{2} + 4 ) - ( 2 x + 3 ) \cdot ( x ^{2} + 4 ) ^{'}}{( x ^{2} + 4 ) ^{2}}$
$f^{'} (x) = \frac{( 2 x + 3 ) ^{'} \cdot ( x ^{2} + 4 ) - ( 2 x + 3 ) \cdot ( x ^{2} + 4 ) ^{'}}{( x ^{2} + 4 ) ^{2}}$
Podstaw pochodne licznika i mianownika.
$= \frac{2 ( x ^{2} + 4 ) - ( 2 x + 3 ) \cdot 2 x}{( x ^{2} + 4 ) ^{2}}$
Na kartce: $(2 x + 3)^{'} = 2$ $(x^{2} + 4)^{'} = 2 x$
Wymnóż i zredukuj licznik.
$= \frac{2 x ^{2} + 8 - 4 x ^{2} - 6 x}{( x ^{2} + 4 ) ^{2}} = \frac{- 2 x ^{2} - 6 x + 8}{( x ^{2} + 4 ) ^{2}}$
$= \frac{2 x ^{2} + 8 - 4 x ^{2} - 6 x}{( x ^{2} + 4 ) ^{2}} = \frac{- 2 x ^{2} - 6 x + 8}{( x ^{2} + 4 ) ^{2}}$
Na kartce: $2 (x^{2} + 4) = 2 x^{2} + 8$ $(2 x + 3) \cdot 2 x = 4 x^{2} + 6 x$
Wyłącz $- 2$ i rozłóż trójmian $x^{2} + 3 x - 4$ deltą.
$= \frac{- 2 ( x ^{2} + 3 x - 4 )}{( x ^{2} + 4 ) ^{2}} = \frac{- 2 ( x + 4 ) ( x - 1 )}{( x ^{2} + 4 ) ^{2}}$
$= \frac{- 2 ( x ^{2} + 3 x - 4 )}{( x ^{2} + 4 ) ^{2}} = \frac{- 2 ( x + 4 ) ( x - 1 )}{( x ^{2} + 4 ) ^{2}}$
Na kartce: $Δ = 3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4) = 9 + 16 = 25$ $Δ = 5$ $x_{1} = \frac{- 3 - 5}{2} = - 4$ $x_{2} = \frac{- 3 + 5}{2} = 1$
Sprawdź warunek konieczny: licznik równy zeru, czyli czynnik $x + 4$ albo $x - 1$ równy zeru.
$f^{'} (x) = 0 ⟺ x = - 4 lub x = 1$
Mianownik $(x^{2} + 4)^{2}$ jest zawsze dodatni. Liczba $- 2$ jest ujemna — ona też zmienia znak iloczynu, więc zostaje w tabeli.
$f^{'} (x) > 0 ⟺ - 2 (x + 4) (x - 1) > 0$
Ustal znak pochodnej w każdym przedziale: weź z przedziału jedną liczbę i podstaw ją do każdego czynnika.
$x$ $(- \infty, - 4)$ $- 4$ $(- 4, 1)$ $1$ $(1, \infty)$
liczba próbna $x = - 5$ $x = 0$ $x = 2$
$- 2$ − − − − −
$x + 4$ − 0 + + +
$x - 1$ − − − 0 +
$f^{'} (x)$ − 0 + 0 −
$x$ $- 2$ $x + 4$ $x - 1$ $f^{'} (x)$
$(- \infty, - 4)$ np. $- 5$ − − − −
$- 4$ − 0 − 0
$(- 4, 1)$ np. $0$ − + − +
$1$ − + 0 0
$(1, \infty)$ np. $2$ − + + −
Na kartce: $x = - 5 : (- 2) \cdot (- 5 + 4) \cdot (- 5 - 1) = (- 2) \cdot (- 1) \cdot (- 6) = - 12 < 0$ $x = 0 : (- 2) \cdot (0 + 4) \cdot (0 - 1) = (- 2) \cdot 4 \cdot (- 1) = 8 > 0$ $x = 2 : (- 2) \cdot (2 + 4) \cdot (2 - 1) = (- 2) \cdot 6 \cdot 1 = - 12 < 0$
Dlaczego?
Punkty stacjonarne dzielą oś na przedziały. W środku przedziału $f^{'}$ nie przechodzi przez zero, więc nie zmienia znaku — jedna liczba mówi o całym przedziale. Znak iloczynu: parzysta liczba minusów daje plus, nieparzysta — minus.
Odczytaj rozwiązania obu nierówności ze znaków $f^{'} (x)$ w tabeli: „+” to $f^{'} (x) > 0$ , „−” to $f^{'} (x) < 0$ .
$f^{'} (x) > 0 dla x \in (- 4, 1) f^{'} (x) < 0 dla x \in (- \infty, - 4) \cup (1, \infty)$
$f^{'} (x) > 0 dla: (- 4, 1) f^{'} (x) < 0 dla: (- \infty, - 4) \cup (1, \infty)$
Przepisz znaki do tabeli zmienności: przy „+” strzałka w górę ↗ (rośnie), przy „−” w dół ↘ (maleje). W punkcie stacjonarnym sprawdź, czy znak się zmienia.

$x$ $(- \infty, - 4)$ $- 4$ $(- 4, 1)$ $1$ $(1, \infty)$

$f^{'} (x)$ − 0 + 0 −

$f (x)$ ↘ min ↗ max ↘
$x$ $f^{'} (x)$ $f (x)$
$(- \infty, - 4)$ − ↘
$- 4$ 0 min
$(- 4, 1)$ + ↗
$1$ 0 max
$(1, \infty)$ − ↘
Dlaczego?
To warunek dostateczny ze slajdu: zmiana z „+” na „−” daje maksimum, z „−” na „+” — minimum. Bez zmiany znaku nie ma ekstremum.
W punkcie $x = - 4$ pochodna zmienia znak z „−” na „+”: funkcja najpierw maleje, potem rośnie. To minimum lokalne — policz jego wartość, wstawiając $x = - 4$ do wzoru funkcji $f$ , nie do pochodnej.
$f_{m i n} (- 4) = f (- 4) = \frac{2 \cdot ( - 4 ) + 3}{( - 4 ) ^{2} + 4} = \frac{- 5}{20} = - \frac{1}{4}$
$f_{m i n} (- 4) = f (- 4) = \frac{2 \cdot ( - 4 ) + 3}{( - 4 ) ^{2} + 4} = \frac{- 5}{20} = - \frac{1}{4}$
W punkcie $x = 1$ pochodna zmienia znak z „+” na „−”: funkcja najpierw rośnie, potem maleje. To maksimum lokalne — policz jego wartość, wstawiając $x = 1$ do wzoru funkcji $f$ , nie do pochodnej.
$f_{m a x} (1) = f (1) = \frac{2 \cdot 1 + 3}{1 ^{2} + 4} = \frac{5}{5} = 1$
$f_{m a x} (1) = f (1) = \frac{2 \cdot 1 + 3}{1 ^{2} + 4} = \frac{5}{5} = 1$
Zapisz odpowiedź. Funkcja rośnie w przedziale $(- 4, 1)$ , a maleje w przedziałach $(- \infty, - 4)$ i $(1, \infty)$ .
$ro s ˊ nie w (- 4, 1) maleje w (- \infty, - 4), (1, \infty) f_{m i n} (- 4) = - \frac{1}{4} f_{m a x} (1) = 1$
Sprawdź na wykresie: zielone kawałki rosną, różowe maleją, a pełne kropki stoją w ekstremach.

$x$	$(- \infty, - 4)$	$- 4$	$(- 4, 1)$	$1$	$(1, \infty)$
liczba próbna	$x = - 5$		$x = 0$		$x = 2$
$- 2$	−	−	−	−	−
$x + 4$	−	0	+	+	+
$x - 1$	−	−	−	0	+
$f^{'} (x)$	−	0	+	0	−

$x$	$- 2$	$x + 4$	$x - 1$	$f^{'} (x)$
$(- \infty, - 4)$ np. $- 5$	−	−	−	−
$- 4$	−	0	−	0
$(- 4, 1)$ np. $0$	−	+	−	+
$1$	−	+	0	0
$(1, \infty)$ np. $2$	−	+	+	−

$x$	$(- \infty, - 4)$	$- 4$	$(- 4, 1)$	$1$	$(1, \infty)$
$f^{'} (x)$	−	0	+	0	−
$f (x)$	↘	min	↗	max	↘

$x$	$f^{'} (x)$	$f (x)$
$(- \infty, - 4)$	−	↘
$- 4$	0	min
$(- 4, 1)$	+	↗
$1$	0	max
$(1, \infty)$	−	↘

funkcja rośnie — pochodna dodatniafunkcja maleje — pochodna ujemna

Zad. 1 k)

f (x) = x ln x

Plan — co zrobimy i po co

Cel: tabela zmienności. Nowe tutaj: dziedzina $(0, \infty)$ przez logarytm, punkt stacjonarny $\frac{1}{e}$ i liczby próbne jako potęgi $e$ .

Wyznacz dziedzinę: $ln x$ istnieje tylko dla $x > 0$ .
$D_{f} = (0, \infty)$
Policz pochodną. To iloczyn: $x$ razy $ln x$ . Zapisz regułę 3 z tymi kawałkami.
$f^{'} (x) = (x)^{'} \cdot ln x + x \cdot (ln x)^{'}$
Podstaw pochodne czynników i policz.
$= 1 \cdot ln x + x \cdot \frac{1}{x} = ln x + 1$
Na kartce: $(x)^{'} = 1$ $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ $x \cdot \frac{1}{x} = 1$
Sprawdź warunek konieczny.
$f^{'} (x) = 0 ⟺ ln x = - 1 ⟺ x = e^{- 1} = \frac{1}{e}$
$f^{'} (x) = 0 ⟺ ln x = - 1 ⟺ x = e^{- 1} = \frac{1}{e}$
Dlaczego?
$ln x = - 1$ znaczy: $e$ podniesione do potęgi $- 1$ daje $x$ . Stąd $x = e^{- 1} = \frac{1}{e} \approx 0, 37$ — należy do dziedziny.
Pochodna to jeden czynnik. Ustal jego znak liczbami próbnymi — znowu wygodne są potęgi $e$ .
$f^{'} (x) > 0 ⟺ ln x + 1 > 0$
Ustal znak pochodnej w każdym przedziale: weź z przedziału jedną liczbę i podstaw ją do każdego czynnika.
$x$ $(0, \frac{1}{e})$ $\frac{1}{e}$ $(\frac{1}{e}, \infty)$
liczba próbna $x = e^{- 2}$ $x = 1$
$ln x + 1$ − 0 +
$f^{'} (x)$ − 0 +
$x$ $ln x + 1$ $f^{'} (x)$
$(0, \frac{1}{e})$ np. $e^{- 2}$ − −
$\frac{1}{e}$ 0 0
$(\frac{1}{e}, \infty)$ np. $1$ + +
Na kartce: $x = e^{- 2} : ln e^{- 2} + 1 = - 2 + 1 = - 1 < 0$ $x = 1 : ln 1 + 1 = 0 + 1 = 1 > 0$
Dlaczego?
Punkt stacjonarny dzieli oś na przedziały. W środku przedziału $f^{'}$ nie przechodzi przez zero, więc nie zmienia znaku — jedna liczba mówi o całym przedziale. Znak iloczynu: parzysta liczba minusów daje plus, nieparzysta — minus.
Odczytaj rozwiązania obu nierówności ze znaków $f^{'} (x)$ w tabeli: „+” to $f^{'} (x) > 0$ , „−” to $f^{'} (x) < 0$ .
$f^{'} (x) > 0 dla x \in (\frac{1}{e}, \infty) f^{'} (x) < 0 dla x \in (0, \frac{1}{e})$
$f^{'} (x) > 0 dla: (\frac{1}{e}, \infty) f^{'} (x) < 0 dla: (0, \frac{1}{e})$
Przepisz znaki do tabeli zmienności: przy „+” strzałka w górę ↗ (rośnie), przy „−” w dół ↘ (maleje). W punkcie stacjonarnym sprawdź, czy znak się zmienia.

$x$ $(0, \frac{1}{e})$ $\frac{1}{e}$ $(\frac{1}{e}, \infty)$

$f^{'} (x)$ − 0 +

$f (x)$ ↘ min ↗
$x$ $f^{'} (x)$ $f (x)$
$(0, \frac{1}{e})$ − ↘
$\frac{1}{e}$ 0 min
$(\frac{1}{e}, \infty)$ + ↗
Dlaczego?
To warunek dostateczny ze slajdu: zmiana z „+” na „−” daje maksimum, z „−” na „+” — minimum. Bez zmiany znaku nie ma ekstremum.
W punkcie $x = \frac{1}{e}$ pochodna zmienia znak z „−” na „+”: funkcja najpierw maleje, potem rośnie. To minimum lokalne — policz jego wartość, wstawiając $x = \frac{1}{e}$ do wzoru funkcji $f$ , nie do pochodnej.
$f_{m i n} (\frac{1}{e}) = f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot ln \frac{1}{e} = \frac{1}{e} \cdot (- 1) = - \frac{1}{e}$
$f_{m i n} (\frac{1}{e}) = f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot ln \frac{1}{e} = \frac{1}{e} \cdot (- 1) = - \frac{1}{e}$
Na kartce: $ln \frac{1}{e} = ln e^{- 1} = - 1$
Zapisz odpowiedź. Funkcja rośnie w przedziale $(\frac{1}{e}, \infty)$ , a maleje w przedziale $(0, \frac{1}{e})$ .
$ro s ˊ nie w (\frac{1}{e}, \infty) maleje w (0, \frac{1}{e}) f_{m i n} (\frac{1}{e}) = - \frac{1}{e}$
Sprawdź na wykresie: zielone kawałki rosną, różowe maleją, a pełne kropki stoją w ekstremach.

$x$	$(0, \frac{1}{e})$	$\frac{1}{e}$	$(\frac{1}{e}, \infty)$
liczba próbna	$x = e^{- 2}$		$x = 1$
$ln x + 1$	−	0	+
$f^{'} (x)$	−	0	+

$x$	$ln x + 1$	$f^{'} (x)$
$(0, \frac{1}{e})$ np. $e^{- 2}$	−	−
$\frac{1}{e}$	0	0
$(\frac{1}{e}, \infty)$ np. $1$	+	+

$x$	$(0, \frac{1}{e})$	$\frac{1}{e}$	$(\frac{1}{e}, \infty)$
$f^{'} (x)$	−	0	+
$f (x)$	↘	min	↗

$x$	$f^{'} (x)$	$f (x)$
$(0, \frac{1}{e})$	−	↘
$\frac{1}{e}$	0	min
$(\frac{1}{e}, \infty)$	+	↗

funkcja rośnie — pochodna dodatniafunkcja maleje — pochodna ujemna

Zad. 1 l)

f (x) = ln (x^{2} + 1)

Plan — co zrobimy i po co

Cel: tabela zmienności. Nowe tutaj: funkcja złożona z $ln$ . Mianownik $x^{2} + 1$ jest zawsze dodatni.

Wyznacz dziedzinę: pod logarytmem musi być liczba dodatnia, a $x^{2} + 1 \geq 1 > 0$ dla każdego $x$ .
$D_{f} = R$
Policz pochodną. To funkcja złożona: $ln □$ ze środkiem $x^{2} + 1$ . Pochodna $ln □$ to $\frac{1}{□}$ , potem razy pochodna środka.
$f^{'} (x) = \frac{1}{x ^{2} + 1} \cdot (x^{2} + 1)^{'}$
Podstaw $(x^{2} + 1)^{'} = 2 x$ i pomnóż.
$= \frac{1}{x ^{2} + 1} \cdot 2 x = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$
Sprawdź warunek konieczny: licznik równy zeru.
$f^{'} (x) = 0 ⟺ 2 x = 0 ⟺ x = 0$
Mianownik $x^{2} + 1$ jest zawsze dodatni. O znaku decyduje licznik $2 x$ .
$f^{'} (x) > 0 ⟺ 2 x > 0$
Ustal znak pochodnej w każdym przedziale: weź z przedziału jedną liczbę i podstaw ją do każdego czynnika.
$x$ $(- \infty, 0)$ $0$ $(0, \infty)$
liczba próbna $x = - 1$ $x = 1$
$2 x$ − 0 +
$f^{'} (x)$ − 0 +
$x$ $2 x$ $f^{'} (x)$
$(- \infty, 0)$ np. $- 1$ − −
$0$ 0 0
$(0, \infty)$ np. $1$ + +
Na kartce: $x = - 1 : 2 \cdot (- 1) = - 2 < 0$ $x = 1 : 2 \cdot 1 = 2 > 0$
Dlaczego?
Punkt stacjonarny dzieli oś na przedziały. W środku przedziału $f^{'}$ nie przechodzi przez zero, więc nie zmienia znaku — jedna liczba mówi o całym przedziale. Znak iloczynu: parzysta liczba minusów daje plus, nieparzysta — minus.
Odczytaj rozwiązania obu nierówności ze znaków $f^{'} (x)$ w tabeli: „+” to $f^{'} (x) > 0$ , „−” to $f^{'} (x) < 0$ .
$f^{'} (x) > 0 dla x \in (0, \infty) f^{'} (x) < 0 dla x \in (- \infty, 0)$
$f^{'} (x) > 0 dla: (0, \infty) f^{'} (x) < 0 dla: (- \infty, 0)$
Przepisz znaki do tabeli zmienności: przy „+” strzałka w górę ↗ (rośnie), przy „−” w dół ↘ (maleje). W punkcie stacjonarnym sprawdź, czy znak się zmienia.

$x$ $(- \infty, 0)$ $0$ $(0, \infty)$

$f^{'} (x)$ − 0 +

$f (x)$ ↘ min ↗
$x$ $f^{'} (x)$ $f (x)$
$(- \infty, 0)$ − ↘
$0$ 0 min
$(0, \infty)$ + ↗
Dlaczego?
To warunek dostateczny ze slajdu: zmiana z „+” na „−” daje maksimum, z „−” na „+” — minimum. Bez zmiany znaku nie ma ekstremum.
W punkcie $x = 0$ pochodna zmienia znak z „−” na „+”: funkcja najpierw maleje, potem rośnie. To minimum lokalne — policz jego wartość, wstawiając $x = 0$ do wzoru funkcji $f$ , nie do pochodnej.
$f_{m i n} (0) = f (0) = ln (0^{2} + 1) = ln 1 = 0$
$f_{m i n} (0) = f (0) = ln (0^{2} + 1) = ln 1 = 0$
Zapisz odpowiedź. Funkcja rośnie w przedziale $(0, \infty)$ , a maleje w przedziale $(- \infty, 0)$ .
$ro s ˊ nie w (0, \infty) maleje w (- \infty, 0) f_{m i n} (0) = 0$
Sprawdź na wykresie: zielone kawałki rosną, różowe maleją, a pełne kropki stoją w ekstremach.

funkcja rośnie — pochodna dodatniafunkcja maleje — pochodna ujemna

Zad. 1 m)

f (x) = 4 - x^{2}

Plan — co zrobimy i po co

Cel: tabela zmienności. Nowe tutaj: pierwiastek — dziedzina $[- 2, 2]$ z końcami. Na końcach dziedziny pochodnej nie ma.

Wyznacz dziedzinę: pod pierwiastkiem kwadratowym nie może być liczba ujemna.
$D_{f} = [- 2, 2]$
Na kartce: $4 - x^{2} \geq 0$ $x^{2} \leq 4$ $- 2 \leq x \leq 2$
Dlaczego?
Nawiasy kwadratowe znaczą, że końce $- 2$ i $2$ należą do dziedziny: $0 = 0$ istnieje.
Zapisz pierwiastek jako potęgę $\frac{1}{2}$ — wtedy policzysz pochodną wzorem 3 z regułą 5.
$f (x) = (4 - x^{2})^{\frac{1}{2}}$
Policz pochodną: wykładnik schodzi przed nawias, środek bez zmian, razy pochodna środka.
$f^{'} (x) = \frac{1}{2} (4 - x^{2})^{- \frac{1}{2}} \cdot (4 - x^{2})^{'}$
Na kartce: $\frac{1}{2} - 1 = - \frac{1}{2}$
Podstaw $(4 - x^{2})^{'} = - 2 x$ i uprość.
$= \frac{1}{2} (4 - x^{2})^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 2 x) = \frac{- x}{4 - x ^{2}}$
$= \frac{1}{2} (4 - x^{2})^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 2 x) = \frac{- x}{4 - x ^{2}}$
Na kartce: $\frac{1}{2} \cdot (- 2 x) = - x$ $(4 - x^{2})^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{4 - x ^{2}}$
Dlaczego?
Pochodna istnieje tylko dla $x \in (- 2, 2)$ : na końcach dziedziny mianownik $4 - x^{2}$ jest zerem.
Sprawdź warunek konieczny: licznik równy zeru.
$f^{'} (x) = 0 ⟺ - x = 0 ⟺ x = 0$
Mianownik $4 - x^{2}$ jest dodatni dla $x \in (- 2, 2)$ . O znaku decyduje licznik $- x$ .
$f^{'} (x) > 0 ⟺ - x > 0$
Ustal znak pochodnej w każdym przedziale: weź z przedziału jedną liczbę i podstaw ją do każdego czynnika.
$x$ $(- 2, 0)$ $0$ $(0, 2)$
liczba próbna $x = - 1$ $x = 1$
$- x$ + 0 −
$f^{'} (x)$ + 0 −
$x$ $- x$ $f^{'} (x)$
$(- 2, 0)$ np. $- 1$ + +
$0$ 0 0
$(0, 2)$ np. $1$ − −
Na kartce: $x = - 1 : - (- 1) = 1 > 0$ $x = 1 : - 1 = - 1 < 0$
Dlaczego?
Punkt stacjonarny dzieli oś na przedziały. W środku przedziału $f^{'}$ nie przechodzi przez zero, więc nie zmienia znaku — jedna liczba mówi o całym przedziale. Znak iloczynu: parzysta liczba minusów daje plus, nieparzysta — minus.
Odczytaj rozwiązania obu nierówności ze znaków $f^{'} (x)$ w tabeli: „+” to $f^{'} (x) > 0$ , „−” to $f^{'} (x) < 0$ .
$f^{'} (x) > 0 dla x \in (- 2, 0) f^{'} (x) < 0 dla x \in (0, 2)$
$f^{'} (x) > 0 dla: (- 2, 0) f^{'} (x) < 0 dla: (0, 2)$
Przepisz znaki do tabeli zmienności: przy „+” strzałka w górę ↗ (rośnie), przy „−” w dół ↘ (maleje). W punkcie stacjonarnym sprawdź, czy znak się zmienia.

$x$ $(- 2, 0)$ $0$ $(0, 2)$

$f^{'} (x)$ + 0 −

$f (x)$ ↗ max ↘
$x$ $f^{'} (x)$ $f (x)$
$(- 2, 0)$ + ↗
$0$ 0 max
$(0, 2)$ − ↘
Dlaczego?
To warunek dostateczny ze slajdu: zmiana z „+” na „−” daje maksimum, z „−” na „+” — minimum. Bez zmiany znaku nie ma ekstremum.
W punkcie $x = 0$ pochodna zmienia znak z „+” na „−”: funkcja najpierw rośnie, potem maleje. To maksimum lokalne — policz jego wartość, wstawiając $x = 0$ do wzoru funkcji $f$ , nie do pochodnej.
$f_{m a x} (0) = f (0) = 4 - 0^{2} = 4 = 2$
$f_{m a x} (0) = f (0) = 4 - 0^{2} = 4 = 2$
Zapisz odpowiedź. Funkcja rośnie w przedziale $(- 2, 0)$ , a maleje w przedziale $(0, 2)$ .
$ro s ˊ nie w (- 2, 0) maleje w (0, 2) f_{m a x} (0) = 2$
Dlaczego?
Na końcach dziedziny ( $x = - 2$ i $x = 2$ ) pochodna nie istnieje, więc procedura z zajęć ich nie sprawdza. Wartość $f (- 2) = f (2) = 0$ jest najmniejsza w całej dziedzinie; czy nazywać ją ekstremum lokalnym, zależy od przyjętej definicji — zapytaj prowadzącego, jeśli to ważne.
Sprawdź na wykresie: zielone kawałki rosną, różowe maleją, a pełne kropki stoją w ekstremach.

funkcja rośnie — pochodna dodatniafunkcja maleje — pochodna ujemna

Wypełnij tabelę

Sprawdź się: tabela zmienności dla $f (x) = x^{4} - 2 x^{2}$

Pochodna jest już policzona i rozłożona na czynniki: $f^{'} (x) = 4 x^{3} - 4 x = 4 x (x - 1) (x + 1)$ .

W nagłówku są już przedziały i punkty stacjonarne. Uzupełnij znak pochodnej w każdym przedziale, strzałki i wnioski w punktach.

x

(- \infty, - 1)

- 1

(- 1, 0)

0

(0, 1)

1

(1, \infty)

f^{'} (x)

f (x)

„+” i ↗ — funkcja rośnie„−” i ↘ — funkcja maleje

Druga pochodna

Cel: wzór na $f''(x)$ , rozłożony na czynniki. Potrzebny w Zad. 2 i przy pełnym badaniu.

Dwa krótkie przykłady:

\begin{aligned} f(x) &= x^4 - 4x^3 \\ f'(x) &= 4x^3 - 12x^2 \\ f''(x) &= 12x^2 - 24x \\ &= 12x(x - 2) \end{aligned}

\begin{aligned} f(x) &= xe^x \\ f'(x) &= 1 \cdot e^x + x \cdot e^x \\ &= e^x(x + 1) \\ f''(x) &= e^x(x + 1) + e^x \cdot 1 \\ &= e^x(x + 2) \end{aligned}

Jak czytać: pierwszy rachunek to wielomian — każdy składnik osobno wzorem 3. Drugi to iloczyn — reguła 3 dwa razy. Przy $f''$ w drugim rachunku pierwszym czynnikiem jest $e^x$ , a drugim $x + 1$ ; ich pochodne to $e^x$ i $1$ .

Wypukłość, wklęsłość i punkty przegięcia

Cel: tabela zmienności z drugą pochodną (w tym module nazywamy ją krótko tabelą kształtu): znak $f''(x)$ i kształt — ∪ (wypukła) albo ∩ (wklęsła) w każdym przedziale, a w punktach, gdzie $f''(x) = 0$ : punkt przegięcia albo „—”. Tak wygląda gotowa tabela dla funkcji z rysunków:

$x$	$(- \infty, 0)$	$0$	$(0, \infty)$
$f^{''} (x)$	−	0	+
$f (x)$	∩	przegięcie	∪

$x$	$f^{''} (x)$	$f (x)$
$(- \infty, 0)$	−	∩
$0$	0	przegięcie
$(0, \infty)$	+	∪

„+” i ∪ — wykres wypukły„−” i ∩ — wykres wklęsłypunkt, w którym $f^{''} (x) = 0$

Jak czytać tabelę: przy „+” kształt ∪, przy „−” kształt ∩. Gdzie kształt się zmienia, jest punkt przegięcia — w tym przykładzie w $x = 0$ .

Polecenie na kolokwium· Wyznacz przedziały wklęsłości i wypukłości oraz punkty przegięcia

Wyznacz przedziały wklęsłości i wypukłości oraz punkty przegięcia funkcji, np. $f(x) = \frac{x^2}{1 + x^2}$ .

Procedura ze slajdu — taka sama jak przy ekstremach, tylko z drugą pochodną:

Dziedzina $D_f$ .
Druga pochodna $f''(x)$ (przepis wyżej), rozłożona na czynniki.
Warunek konieczny: $f''(x) = 0$ . Rozwiązania z dziedziny to kandydaci na punkty przegięcia.
Nierówności $f''(x) > 0$ i $f''(x) < 0$ — tabela znaków.
Tabela i warunek dostateczny. Przy „+” wypukła (∪), przy „−” wklęsła (∩). Gdzie znak $f''$ się zmienia — punkt przegięcia $P = (x_0, f(x_0))$ ; drugą współrzędną liczysz ze wzoru funkcji $f$ . Na koniec zapisz odpowiedź.

Zadanie · krok po kroku

$f (x) = - x^{4} + 6 x^{2} - 4$

Zad. 2 a)

Plan — co zrobimy i po co

Cel: tabela kształtu — gdzie wykres jest wypukły, gdzie wklęsły i gdzie są punkty przegięcia.

Dziedzina: wielomian, więc wszystkie liczby.
Druga pochodna: dwa razy wzór 3, potem rozkład na czynniki (wzór $a^2 - b^2$ ).
Warunek konieczny: $f''(x) = 0$ — kandydaci $-1$ i $1$ .
Znak: stała $-12$ jest ujemna — zostaje w tabeli, bo odwraca znak.
Tabela i punkty przegięcia: druga współrzędna ze wzoru funkcji.

Wyznacz dziedzinę: to wielomian — wszystkie liczby są dobre.
$D_{f} = R$
Policz pierwszą pochodną: każdy składnik osobno.
$f^{'} (x) = - 4 x^{3} + 12 x$
Na kartce: $(- x^{4})^{'} = - 4 x^{3}$ $(6 x^{2})^{'} = 12 x$ $(- 4)^{'} = 0$
Policz drugą pochodną: pochodną wyniku z poprzedniej linii.
$f^{''} (x) = - 12 x^{2} + 12$
Na kartce: $(- 4 x^{3})^{'} = - 12 x^{2}$ $(12 x)^{'} = 12$
Rozłóż na czynniki: wyłącz $- 12$ , a $x^{2} - 1$ rozpisz wzorem $a^{2} - b^{2}$ .
$= - 12 (x^{2} - 1) = - 12 (x - 1) (x + 1)$
$= - 12 (x^{2} - 1) = - 12 (x - 1) (x + 1)$
Sprawdź warunek konieczny: przyrównaj drugą pochodną do zera.
$f^{''} (x) = 0 ⟺ x = 1 lub x = - 1$
Liczba $- 12$ jest ujemna — zostaje w tabeli, bo odwraca znak iloczynu.
$f^{''} (x) > 0 ⟺ - 12 (x - 1) (x + 1) > 0$
$f^{''} (x) > 0 ⟺ - 12 (x - 1) (x + 1) > 0$
Ustal znak drugiej pochodnej w każdym przedziale: weź z przedziału jedną liczbę i podstaw ją do każdego czynnika.
$x$ $(- \infty, - 1)$ $- 1$ $(- 1, 1)$ $1$ $(1, \infty)$
liczba próbna $x = - 2$ $x = 0$ $x = 2$
$- 12$ − − − − −
$x - 1$ − − − 0 +
$x + 1$ − 0 + + +
$f^{''} (x)$ − 0 + 0 −
$x$ $- 12$ $x - 1$ $x + 1$ $f^{''} (x)$
$(- \infty, - 1)$ np. $- 2$ − − − −
$- 1$ − − 0 0
$(- 1, 1)$ np. $0$ − − + +
$1$ − 0 + 0
$(1, \infty)$ np. $2$ − + + −
Na kartce: $x = - 2 : (- 12) \cdot (- 2 - 1) \cdot (- 2 + 1) = (- 12) \cdot (- 3) \cdot (- 1) = - 36 < 0$ $x = 0 : (- 12) \cdot (0 - 1) \cdot (0 + 1) = (- 12) \cdot (- 1) \cdot 1 = 12 > 0$ $x = 2 : (- 12) \cdot (2 - 1) \cdot (2 + 1) = (- 12) \cdot 1 \cdot 3 = - 36 < 0$
Dlaczego?
Zera $f^{''}$ dzielą oś na przedziały. W środku przedziału $f^{''}$ nie przechodzi przez zero, więc nie zmienia znaku — jedna liczba mówi o całym przedziale. Znak iloczynu: parzysta liczba minusów daje plus, nieparzysta — minus.
Odczytaj rozwiązania obu nierówności ze znaków $f^{''} (x)$ w tabeli: „+” to $f^{''} (x) > 0$ , „−” to $f^{''} (x) < 0$ .
$f^{''} (x) > 0 dla x \in (- 1, 1) f^{''} (x) < 0 dla x \in (- \infty, - 1) \cup (1, \infty)$
$f^{''} (x) > 0 dla: (- 1, 1) f^{''} (x) < 0 dla: (- \infty, - 1) \cup (1, \infty)$
Przepisz znaki do tabeli: przy „+” kształt ∪ (wypukła), przy „−” ∩ (wklęsła). W punktach, gdzie $f^{''} (x) = 0$ , sprawdź, czy znak się zmienia.

$x$ $(- \infty, - 1)$ $- 1$ $(- 1, 1)$ $1$ $(1, \infty)$

$f^{''} (x)$ − 0 + 0 −

$f (x)$ ∩ przegięcie ∪ przegięcie ∩
$x$ $f^{''} (x)$ $f (x)$
$(- \infty, - 1)$ − ∩
$- 1$ 0 przegięcie
$(- 1, 1)$ + ∪
$1$ 0 przegięcie
$(1, \infty)$ − ∩
Dlaczego?
To warunek dostateczny ze slajdu: punkt przegięcia jest tam, gdzie druga pochodna zmienia znak.
W punkcie $x = - 1$ druga pochodna zmienia znak — wykres zmienia kształt. To punkt przegięcia. Podaj go jako punkt: obie współrzędne; drugą policz ze wzoru funkcji $f$ .
$P_{1} = (- 1, f (- 1)), f (- 1) = - (- 1)^{4} + 6 \cdot (- 1)^{2} - 4 = - 1 + 6 - 4 = 1$
$P_{1} f (- 1) = (- 1, f (- 1)) = - (- 1)^{4} + 6 \cdot (- 1)^{2} - 4 = - 1 + 6 - 4 = 1$
W punkcie $x = 1$ druga pochodna zmienia znak — wykres zmienia kształt. To punkt przegięcia. Podaj go jako punkt: obie współrzędne; drugą policz ze wzoru funkcji $f$ .
$P_{2} = (1, f (1)), f (1) = - 1^{4} + 6 \cdot 1^{2} - 4 = - 1 + 6 - 4 = 1$
$P_{2} f (1) = (1, f (1)) = - 1^{4} + 6 \cdot 1^{2} - 4 = - 1 + 6 - 4 = 1$
Na kartce: $- 1^{4} = - (1^{4}) = - 1$
Zapisz odpowiedź. Funkcja jest wypukła w przedziale $(- 1, 1)$ , a wklęsła w przedziałach $(- \infty, - 1)$ i $(1, \infty)$ .
$wypuk ł a w (- 1, 1) wkl ę s ł a w (- \infty, - 1), (1, \infty) P_{1} = (- 1, 1) P_{2} = (1, 1)$
Sprawdź na wykresie: turkusowe kawałki są wypukłe (∪), złote — wklęsłe (∩), a fioletowe kropki to punkty przegięcia.

wypukła (∪) — druga pochodna dodatniawklęsła (∩) — druga pochodna ujemnapunkt przegięcia

Przykład d) — tu druga pochodna wymaga skracania. Wynik zgadza się z rozwiązaniem z zajęć:

Zadanie · krok po kroku

$f (x) = \frac{x ^{2}}{1 + x ^{2}}$

Zad. 2 d)

Plan — co zrobimy i po co

Cel: tabela kształtu.

Dziedzina: mianownik $1 + x^2$ nigdy nie jest zerem.
Druga pochodna: pierwsza z reguły ilorazu, druga też. W liczniku wyłączamy $(1 + x^2)$ i skracamy z mianownikiem — bez tego rachunek robi się bardzo długi.
Warunek konieczny: licznik $2 - 6x^2 = 0$ .
Znak: mianownik dodatni; o znaku decyduje $2 - 6x^2$ . Na zajęciach znak odczytano ze szkicu paraboli — tak jak tutaj.
Tabela i dwa punkty przegięcia z tą samą drugą współrzędną $\frac14$ .

Wyznacz dziedzinę: mianownik $1 + x^{2} \geq 1$ , więc nigdy nie jest zerem.
$D_{f} = R$
Policz pierwszą pochodną regułą ilorazu.
$f^{'} (x) = \frac{2 x ( 1 + x ^{2} ) - x ^{2} \cdot 2 x}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}} = \frac{2 x}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}}$
$f^{'} (x) = \frac{2 x ( 1 + x ^{2} ) - x ^{2} \cdot 2 x}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}} = \frac{2 x}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}}$
Na kartce: $2 x + 2 x^{3} - 2 x^{3} = 2 x$
Policz drugą pochodną. Znowu iloraz: licznik $2 x$ , mianownik $(1 + x^{2})^{2}$ .
$f^{''} (x) = \frac{( 2 x ) ^{'} \cdot ( 1 + x ^{2} ) ^{2} - 2 x \cdot ( ( 1 + x ^{2} ) ^{2} ) ^{'}}{( 1 + x ^{2} ) ^{4}}$
$f^{''} (x) = \frac{( 2 x ) ^{'} \cdot ( 1 + x ^{2} ) ^{2} - 2 x \cdot ( ( 1 + x ^{2} ) ^{2} ) ^{'}}{( 1 + x ^{2} ) ^{4}}$
Na kartce: $((1 + x^{2})^{2})^{2} = (1 + x^{2})^{4}$
pomocniczoPomocniczo: pochodna mianownika to funkcja złożona.
$((1 + x^{2})^{2})^{'} = 2 (1 + x^{2}) \cdot 2 x$
Podstaw pochodne licznika i mianownika.
$f^{''} (x) = \frac{2 ( 1 + x ^{2} ) ^{2} - 2 x \cdot 2 ( 1 + x ^{2} ) \cdot 2 x}{( 1 + x ^{2} ) ^{4}}$
$f^{''} (x) = \frac{2 ( 1 + x ^{2} ) ^{2} - 2 x \cdot 2 ( 1 + x ^{2} ) \cdot 2 x}{( 1 + x ^{2} ) ^{4}}$
Wyłącz wspólny czynnik $(1 + x^{2})$ w liczniku.
$= \frac{( 1 + x ^{2} ) ( 2 ( 1 + x ^{2} ) - 8 x ^{2} )}{( 1 + x ^{2} ) ^{4}}$
Na kartce: $2 x \cdot 2 (1 + x^{2}) \cdot 2 x = (1 + x^{2}) \cdot 8 x^{2}$
Skróć $(1 + x^{2})$ z licznika i mianownika, potem zredukuj.
$= \frac{2 + 2 x ^{2} - 8 x ^{2}}{( 1 + x ^{2} ) ^{3}} = \frac{2 - 6 x ^{2}}{( 1 + x ^{2} ) ^{3}}$
$= \frac{2 + 2 x ^{2} - 8 x ^{2}}{( 1 + x ^{2} ) ^{3}} = \frac{2 - 6 x ^{2}}{( 1 + x ^{2} ) ^{3}}$
Na kartce: $\frac{( 1 + x ^{2} ) ^{4}}{1 + x ^{2}} = (1 + x^{2})^{3}$ $2 x^{2} - 8 x^{2} = - 6 x^{2}$
Sprawdź warunek konieczny: licznik równy zeru.
$f^{''} (x) = 0 ⟺ 2 - 6 x^{2} = 0 ⟺ x = - \frac{3}{3} lub x = \frac{3}{3}$
$f^{''} (x) = 0 ⟺ 2 - 6 x^{2} = 0 ⟺ x = - \frac{3}{3} lub x = \frac{3}{3}$
Na kartce: $6 x^{2} = 2$ $x^{2} = \frac{1}{3}$ $x = - \frac{1}{3} lub x = \frac{1}{3}$ $\frac{1}{3} = \frac{1}{3} = \frac{3}{3} \approx 0, 58$
Dlaczego?
$\frac{1}{3}$ zamieniasz na $\frac{3}{3}$ , mnożąc licznik i mianownik przez $3$ . To ta sama liczba, zapisana bez pierwiastka w mianowniku.
Mianownik $(1 + x^{2})^{3}$ jest zawsze dodatni. O znaku decyduje licznik $2 - 6 x^{2}$ .
$f^{''} (x) > 0 ⟺ 2 - 6 x^{2} > 0$
Dlaczego?
Ten sam znak da szkic paraboli $y = 2 - 6 x^{2}$ : ramiona w dół, miejsca zerowe $\pm \frac{3}{3}$ , dodatnia między nimi.
Ustal znak drugiej pochodnej w każdym przedziale: weź z przedziału jedną liczbę i podstaw ją do każdego czynnika.
$x$ $(- \infty, - \frac{3}{3})$ $- \frac{3}{3}$ $(- \frac{3}{3}, \frac{3}{3})$ $\frac{3}{3}$ $(\frac{3}{3}, \infty)$
liczba próbna $x = - 1$ $x = 0$ $x = 1$
$2 - 6 x^{2}$ − 0 + 0 −
$f^{''} (x)$ − 0 + 0 −
$x$ $2 - 6 x^{2}$ $f^{''} (x)$
$(- \infty, - \frac{3}{3})$ np. $- 1$ − −
$- \frac{3}{3}$ 0 0
$(- \frac{3}{3}, \frac{3}{3})$ np. $0$ + +
$\frac{3}{3}$ 0 0
$(\frac{3}{3}, \infty)$ np. $1$ − −
Na kartce: $x = - 1 : 2 - 6 \cdot (- 1)^{2} = - 4 < 0$ $x = 0 : 2 - 6 \cdot 0^{2} = 2 > 0$ $x = 1 : 2 - 6 \cdot 1^{2} = - 4 < 0$
Dlaczego?
Zera $f^{''}$ dzielą oś na przedziały. W środku przedziału $f^{''}$ nie przechodzi przez zero, więc nie zmienia znaku — jedna liczba mówi o całym przedziale. Znak iloczynu: parzysta liczba minusów daje plus, nieparzysta — minus.
Odczytaj rozwiązania obu nierówności ze znaków $f^{''} (x)$ w tabeli: „+” to $f^{''} (x) > 0$ , „−” to $f^{''} (x) < 0$ .
$f^{''} (x) > 0 dla x \in (- \frac{3}{3}, \frac{3}{3}) f^{''} (x) < 0 dla x \in (- \infty, - \frac{3}{3}) \cup (\frac{3}{3}, \infty)$
$f^{''} (x) > 0 dla: (- \frac{3}{3}, \frac{3}{3}) f^{''} (x) < 0 dla: (- \infty, - \frac{3}{3}) \cup (\frac{3}{3}, \infty)$
Przepisz znaki do tabeli: przy „+” kształt ∪ (wypukła), przy „−” ∩ (wklęsła). W punktach, gdzie $f^{''} (x) = 0$ , sprawdź, czy znak się zmienia.

$x$ $(- \infty, - \frac{3}{3})$ $- \frac{3}{3}$ $(- \frac{3}{3}, \frac{3}{3})$ $\frac{3}{3}$ $(\frac{3}{3}, \infty)$

$f^{''} (x)$ − 0 + 0 −

$f (x)$ ∩ przegięcie ∪ przegięcie ∩
$x$ $f^{''} (x)$ $f (x)$
$(- \infty, - \frac{3}{3})$ − ∩
$- \frac{3}{3}$ 0 przegięcie
$(- \frac{3}{3}, \frac{3}{3})$ + ∪
$\frac{3}{3}$ 0 przegięcie
$(\frac{3}{3}, \infty)$ − ∩
Dlaczego?
To warunek dostateczny ze slajdu: punkt przegięcia jest tam, gdzie druga pochodna zmienia znak.
W punkcie $x = - \frac{3}{3}$ druga pochodna zmienia znak — wykres zmienia kształt. To punkt przegięcia. Podaj go jako punkt: obie współrzędne; drugą policz ze wzoru funkcji $f$ .
$P_{1} = (- \frac{3}{3}, f (- \frac{3}{3})), f (- \frac{3}{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3} + 1} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
$P_{1} f (- \frac{3}{3}) = (- \frac{3}{3}, f (- \frac{3}{3})) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3} + 1} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
Na kartce: $(- \frac{3}{3})^{2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
W punkcie $x = \frac{3}{3}$ druga pochodna zmienia znak — wykres zmienia kształt. To punkt przegięcia. Podaj go jako punkt: obie współrzędne; drugą policz ze wzoru funkcji $f$ .
$P_{2} = (\frac{3}{3}, f (\frac{3}{3})), f (\frac{3}{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3} + 1} = \frac{1}{4}$
$P_{2} f (\frac{3}{3}) = (\frac{3}{3}, f (\frac{3}{3})) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3} + 1} = \frac{1}{4}$
Zapisz odpowiedź. Funkcja jest wypukła w przedziale $(- \frac{3}{3}, \frac{3}{3})$ , a wklęsła w przedziałach $(- \infty, - \frac{3}{3})$ i $(\frac{3}{3}, \infty)$ .
$wypuk ł a w (- \frac{3}{3}, \frac{3}{3}) wkl ę s ł a w (- \infty, - \frac{3}{3}), (\frac{3}{3}, \infty) P_{1} = (- \frac{3}{3}, \frac{1}{4}) P_{2} = (\frac{3}{3}, \frac{1}{4})$
Sprawdź na wykresie: turkusowe kawałki są wypukłe (∪), złote — wklęsłe (∩), a fioletowe kropki to punkty przegięcia.

wypukła (∪) — druga pochodna dodatniawklęsła (∩) — druga pochodna ujemnapunkt przegięcia

Druga pochodna, która nigdy nie jest zerem, i dziura w dziedzinie — punktu przegięcia nie ma:

Zadanie · krok po kroku

$f (x) = \frac{2 x ^{2} + 1}{x ^{2}}$

Zad. 2 c)

Plan — co zrobimy i po co

Cel: tabela kształtu.

Dziedzina: mianownik $x^2 \neq 0$ , więc $x \neq 0$ .
Druga pochodna: zamiast reguły ilorazu dzielimy licznik przez mianownik — zostają potęgi i wzór 3.
Warunek konieczny: $f''(x) = \frac{6}{x^4}$ nigdy nie jest zerem.
Znak: $6 > 0$ i $x^4 > 0$ — dodatnia w całej dziedzinie.
Tabela: wypukła po obu stronach dziury, punktów przegięcia brak.

Wyznacz dziedzinę: mianownik $x^{2}$ nie może być zerem.
$D_{f} = R ∖ {0}$
Podziel każdy składnik licznika przez mianownik. Zamiast reguły ilorazu wystarczy wtedy wzór 3.
$f (x) = \frac{2 x ^{2}}{x ^{2}} + \frac{1}{x ^{2}} = 2 + x^{- 2}$
Policz pierwszą pochodną.
$f^{'} (x) = - 2 x^{- 3}$
Na kartce: $(2)^{'} = 0$ $(x^{- 2})^{'} = - 2 x^{- 3}$
Policz drugą pochodną.
$f^{''} (x) = 6 x^{- 4} = \frac{6}{x ^{4}}$
Na kartce: $- 2 \cdot (- 3) = 6$ $- 3 - 1 = - 4$
Sprawdź warunek konieczny. Licznik $6$ nigdy nie jest zerem — równanie nie ma rozwiązań. Punktów przegięcia nie ma.
$f^{''} (x) = 0 ⟺ 6 = 0$
Licznik $6$ jest dodatni, a $x^{4} > 0$ dla każdego $x \neq = 0$ . Druga pochodna jest dodatnia w całej dziedzinie.
$f^{''} (x) = \frac{6}{x ^{4}} > 0$
Ustal znak drugiej pochodnej w każdym przedziale: weź z przedziału jedną liczbę i podstaw ją do każdego czynnika.
$x$ $(- \infty, 0)$ $0$ $(0, \infty)$
liczba próbna $x = - 1$ $x = 1$
$6$ + × +
$f^{''} (x)$ + × +
$x$ $6$ $f^{''} (x)$
$(- \infty, 0)$ np. $- 1$ + +
$0$ × ×
$(0, \infty)$ np. $1$ + +
Na kartce: $x = - 1 : 6 > 0$ $x = 1 : 6 > 0$
Dlaczego?
Dziura w dziedzinie dzieli oś na przedziały. W środku przedziału $f^{''}$ nie przechodzi przez zero, więc nie zmienia znaku — jedna liczba mówi o całym przedziale. Znak iloczynu: parzysta liczba minusów daje plus, nieparzysta — minus.
Odczytaj rozwiązania obu nierówności ze znaków $f^{''} (x)$ w tabeli: „+” to $f^{''} (x) > 0$ , „−” to $f^{''} (x) < 0$ .
$f^{''} (x) > 0 dla x \in (- \infty, 0) \cup (0, \infty) f^{''} (x) < 0 nigdzie$
$f^{''} (x) > 0 dla: (- \infty, 0) \cup (0, \infty)$
Przepisz znaki do tabeli: przy „+” kształt ∪ (wypukła), przy „−” ∩ (wklęsła). W punktach, gdzie $f^{''} (x) = 0$ , sprawdź, czy znak się zmienia.

$x$ $(- \infty, 0)$ $0$ $(0, \infty)$

$f^{''} (x)$ + × +

$f (x)$ ∪ × ∪
$x$ $f^{''} (x)$ $f (x)$
$(- \infty, 0)$ + ∪
$0$ × ×
$(0, \infty)$ + ∪
Dlaczego?
To warunek dostateczny ze slajdu: punkt przegięcia jest tam, gdzie druga pochodna zmienia znak.
Zapisz odpowiedź. Funkcja jest wypukła w przedziałach $(- \infty, 0)$ i $(0, \infty)$ . Punktów przegięcia nie ma.
$wypuk ł a w (- \infty, 0), (0, \infty)$
Dlaczego?
W $x = 0$ kształt się nie zmienia, a poza tym $0$ nie należy do dziedziny — na wykresie nie ma tam punktu.
Sprawdź na wykresie: turkusowe kawałki są wypukłe (∪), złote — wklęsłe (∩), a fioletowe kropki to punkty przegięcia.

wypukła (∪) — druga pochodna dodatniawklęsła (∩) — druga pochodna ujemnapunkt przegięcia

Pozostałe przykłady z listy

Zad. 2 b)

f (x) = (x + 1)^{2} (x - 2)

Plan — co zrobimy i po co

Cel: tabela kształtu. Ta sama funkcja co w Zad. 1 h) — pierwsza pochodna jest już policzona. Druga to $6 x$ , a punkt przegięcia leży w połowie drogi między maksimum a minimum.

Wyznacz dziedzinę: to wielomian — wszystkie liczby są dobre.
$D_{f} = R$
Wymnóż nawiasy — rachunek jest taki sam jak w zadaniu 1 h).
$f (x) = x^{3} - 3 x - 2$
Na kartce: $(x + 1)^{2} (x - 2) = (x^{2} + 2 x + 1) (x - 2) = x^{3} - 3 x - 2$
Policz pierwszą pochodną.
$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3$
Policz drugą pochodną.
$f^{''} (x) = 6 x$
Na kartce: $(3 x^{2})^{'} = 6 x$ $(3)^{'} = 0$
Sprawdź warunek konieczny.
$f^{''} (x) = 0 ⟺ 6 x = 0 ⟺ x = 0$
Druga pochodna to jeden czynnik — ustal jego znak liczbami próbnymi.
$f^{''} (x) > 0 ⟺ 6 x > 0$
Ustal znak drugiej pochodnej w każdym przedziale: weź z przedziału jedną liczbę i podstaw ją do każdego czynnika.
$x$ $(- \infty, 0)$ $0$ $(0, \infty)$
liczba próbna $x = - 1$ $x = 1$
$6 x$ − 0 +
$f^{''} (x)$ − 0 +
$x$ $6 x$ $f^{''} (x)$
$(- \infty, 0)$ np. $- 1$ − −
$0$ 0 0
$(0, \infty)$ np. $1$ + +
Na kartce: $x = - 1 : 6 \cdot (- 1) = - 6 < 0$ $x = 1 : 6 \cdot 1 = 6 > 0$
Dlaczego?
Zero $f^{''}$ dzieli oś na przedziały. W środku przedziału $f^{''}$ nie przechodzi przez zero, więc nie zmienia znaku — jedna liczba mówi o całym przedziale. Znak iloczynu: parzysta liczba minusów daje plus, nieparzysta — minus.
Odczytaj rozwiązania obu nierówności ze znaków $f^{''} (x)$ w tabeli: „+” to $f^{''} (x) > 0$ , „−” to $f^{''} (x) < 0$ .
$f^{''} (x) > 0 dla x \in (0, \infty) f^{''} (x) < 0 dla x \in (- \infty, 0)$
$f^{''} (x) > 0 dla: (0, \infty) f^{''} (x) < 0 dla: (- \infty, 0)$
Przepisz znaki do tabeli: przy „+” kształt ∪ (wypukła), przy „−” ∩ (wklęsła). W punktach, gdzie $f^{''} (x) = 0$ , sprawdź, czy znak się zmienia.

$x$ $(- \infty, 0)$ $0$ $(0, \infty)$

$f^{''} (x)$ − 0 +

$f (x)$ ∩ przegięcie ∪
$x$ $f^{''} (x)$ $f (x)$
$(- \infty, 0)$ − ∩
$0$ 0 przegięcie
$(0, \infty)$ + ∪
Dlaczego?
To warunek dostateczny ze slajdu: punkt przegięcia jest tam, gdzie druga pochodna zmienia znak.
W punkcie $x = 0$ druga pochodna zmienia znak — wykres zmienia kształt. To punkt przegięcia. Podaj go jako punkt: obie współrzędne; drugą policz ze wzoru funkcji $f$ .
$P = (0, f (0)), f (0) = (0 + 1)^{2} \cdot (0 - 2) = 1 \cdot (- 2) = - 2$
$P f (0) = (0, f (0)) = (0 + 1)^{2} \cdot (0 - 2) = 1 \cdot (- 2) = - 2$
Zapisz odpowiedź. Funkcja jest wypukła w przedziale $(0, \infty)$ , a wklęsła w przedziale $(- \infty, 0)$ .
$wypuk ł a w (0, \infty) wkl ę s ł a w (- \infty, 0) P = (0, - 2)$
Sprawdź na wykresie: turkusowe kawałki są wypukłe (∪), złote — wklęsłe (∩), a fioletowe kropki to punkty przegięcia.

wypukła (∪) — druga pochodna dodatniawklęsła (∩) — druga pochodna ujemnapunkt przegięcia

Zad. 2 e)

f (x) = \frac{x ^{3}}{x ^{2} + 3}

Plan — co zrobimy i po co

Cel: tabela kształtu. Nowe tutaj: druga pochodna ilorazu ze skracaniem $(x^{2} + 3)$ i trzy punkty przegięcia.

Wyznacz dziedzinę: mianownik $x^{2} + 3 \geq 3$ , więc nigdy nie jest zerem.
$D_{f} = R$
Policz pierwszą pochodną regułą ilorazu.
$f^{'} (x) = \frac{3 x ^{2} ( x ^{2} + 3 ) - x ^{3} \cdot 2 x}{( x ^{2} + 3 ) ^{2}} = \frac{x ^{4} + 9 x ^{2}}{( x ^{2} + 3 ) ^{2}}$
$f^{'} (x) = \frac{3 x ^{2} ( x ^{2} + 3 ) - x ^{3} \cdot 2 x}{( x ^{2} + 3 ) ^{2}} = \frac{x ^{4} + 9 x ^{2}}{( x ^{2} + 3 ) ^{2}}$
Na kartce: $3 x^{2} (x^{2} + 3) = 3 x^{4} + 9 x^{2}$ $3 x^{4} + 9 x^{2} - 2 x^{4} = x^{4} + 9 x^{2}$
Policz drugą pochodną: iloraz z licznikiem $x^{4} + 9 x^{2}$ i mianownikiem $(x^{2} + 3)^{2}$ .
$f^{''} (x) = \frac{( x ^{4} + 9 x ^{2} ) ^{'} \cdot ( x ^{2} + 3 ) ^{2} - ( x ^{4} + 9 x ^{2} ) \cdot ( ( x ^{2} + 3 ) ^{2} ) ^{'}}{( x ^{2} + 3 ) ^{4}}$
$f^{''} (x) = \frac{( x ^{4} + 9 x ^{2} ) ^{'} \cdot ( x ^{2} + 3 ) ^{2} - ( x ^{4} + 9 x ^{2} ) \cdot ( ( x ^{2} + 3 ) ^{2} ) ^{'}}{( x ^{2} + 3 ) ^{4}}$
Podstaw pochodne licznika i mianownika.
$= \frac{( 4 x ^{3} + 18 x ) ( x ^{2} + 3 ) ^{2} - ( x ^{4} + 9 x ^{2} ) \cdot 4 x ( x ^{2} + 3 )}{( x ^{2} + 3 ) ^{4}}$
$= \frac{( 4 x ^{3} + 18 x ) ( x ^{2} + 3 ) ^{2} - ( x ^{4} + 9 x ^{2} ) \cdot 4 x ( x ^{2} + 3 )}{( x ^{2} + 3 ) ^{4}}$
Na kartce: $(x^{4} + 9 x^{2})^{'} = 4 x^{3} + 18 x$ $((x^{2} + 3)^{2})^{'} = 2 (x^{2} + 3) \cdot 2 x = 4 x (x^{2} + 3)$
Wyłącz $(x^{2} + 3)$ w liczniku i skróć z mianownikiem.
$= \frac{( 4 x ^{3} + 18 x ) ( x ^{2} + 3 ) - 4 x ( x ^{4} + 9 x ^{2} )}{( x ^{2} + 3 ) ^{3}}$
$= \frac{( 4 x ^{3} + 18 x ) ( x ^{2} + 3 ) - 4 x ( x ^{4} + 9 x ^{2} )}{( x ^{2} + 3 ) ^{3}}$
Wymnóż nawiasy i zredukuj.
$= \frac{4 x ^{5} + 30 x ^{3} + 54 x - 4 x ^{5} - 36 x ^{3}}{( x ^{2} + 3 ) ^{3}} = \frac{- 6 x ^{3} + 54 x}{( x ^{2} + 3 ) ^{3}}$
$= \frac{4 x ^{5} + 30 x ^{3} + 54 x - 4 x ^{5} - 36 x ^{3}}{( x ^{2} + 3 ) ^{3}} = \frac{- 6 x ^{3} + 54 x}{( x ^{2} + 3 ) ^{3}}$
Na kartce: $(4 x^{3} + 18 x) (x^{2} + 3) = 4 x^{5} + 12 x^{3} + 18 x^{3} + 54 x = 4 x^{5} + 30 x^{3} + 54 x$ $4 x (x^{4} + 9 x^{2}) = 4 x^{5} + 36 x^{3}$
Wyłącz $- 6 x$ i rozłóż $x^{2} - 9$ .
$= \frac{- 6 x ( x ^{2} - 9 )}{( x ^{2} + 3 ) ^{3}} = \frac{- 6 x ( x - 3 ) ( x + 3 )}{( x ^{2} + 3 ) ^{3}}$
$= \frac{- 6 x ( x ^{2} - 9 )}{( x ^{2} + 3 ) ^{3}} = \frac{- 6 x ( x - 3 ) ( x + 3 )}{( x ^{2} + 3 ) ^{3}}$
Sprawdź warunek konieczny: każdy czynnik licznika po kolei równy zeru.
$f^{''} (x) = 0 ⟺ x = 0 lub x = 3 lub x = - 3$
$f^{''} (x) = 0 ⟺ x = 0 lub x = 3 lub x = - 3$
Mianownik $(x^{2} + 3)^{3}$ jest zawsze dodatni. O znaku decyduje licznik.
$f^{''} (x) > 0 ⟺ - 6 x (x - 3) (x + 3) > 0$
$f^{''} (x) > 0 ⟺ - 6 x (x - 3) (x + 3) > 0$
Ustal znak drugiej pochodnej w każdym przedziale: weź z przedziału jedną liczbę i podstaw ją do każdego czynnika.
$x$ $(- \infty, - 3)$ $- 3$ $(- 3, 0)$ $0$ $(0, 3)$ $3$ $(3, \infty)$
liczba próbna $x = - 4$ $x = - 1$ $x = 1$ $x = 4$
$- 6 x$ + + + 0 − − −
$x - 3$ − − − − − 0 +
$x + 3$ − 0 + + + + +
$f^{''} (x)$ + 0 − 0 + 0 −
$x$ $- 6 x$ $x - 3$ $x + 3$ $f^{''} (x)$
$(- \infty, - 3)$ np. $- 4$ + − − +
$- 3$ + − 0 0
$(- 3, 0)$ np. $- 1$ + − + −
$0$ 0 − + 0
$(0, 3)$ np. $1$ − − + +
$3$ − 0 + 0
$(3, \infty)$ np. $4$ − + + −
Na kartce: $x = - 4 : (- 6 \cdot (- 4)) \cdot (- 4 - 3) \cdot (- 4 + 3) = 24 \cdot (- 7) \cdot (- 1) = 168 > 0$ $x = - 1 : (- 6 \cdot (- 1)) \cdot (- 1 - 3) \cdot (- 1 + 3) = 6 \cdot (- 4) \cdot 2 = - 48 < 0$ $x = 1 : (- 6 \cdot 1) \cdot (1 - 3) \cdot (1 + 3) = (- 6) \cdot (- 2) \cdot 4 = 48 > 0$ $x = 4 : (- 6 \cdot 4) \cdot (4 - 3) \cdot (4 + 3) = (- 24) \cdot 1 \cdot 7 = - 168 < 0$
Dlaczego?
Zera $f^{''}$ dzielą oś na przedziały. W środku przedziału $f^{''}$ nie przechodzi przez zero, więc nie zmienia znaku — jedna liczba mówi o całym przedziale. Znak iloczynu: parzysta liczba minusów daje plus, nieparzysta — minus.
Odczytaj rozwiązania obu nierówności ze znaków $f^{''} (x)$ w tabeli: „+” to $f^{''} (x) > 0$ , „−” to $f^{''} (x) < 0$ .
$f^{''} (x) > 0 dla x \in (- \infty, - 3) \cup (0, 3) f^{''} (x) < 0 dla x \in (- 3, 0) \cup (3, \infty)$
$f^{''} (x) > 0 dla: (- \infty, - 3) \cup (0, 3) f^{''} (x) < 0 dla: (- 3, 0) \cup (3, \infty)$
Przepisz znaki do tabeli: przy „+” kształt ∪ (wypukła), przy „−” ∩ (wklęsła). W punktach, gdzie $f^{''} (x) = 0$ , sprawdź, czy znak się zmienia.

$x$ $(- \infty, - 3)$ $- 3$ $(- 3, 0)$ $0$ $(0, 3)$ $3$ $(3, \infty)$

$f^{''} (x)$ + 0 − 0 + 0 −

$f (x)$ ∪ przegięcie ∩ przegięcie ∪ przegięcie ∩
$x$ $f^{''} (x)$ $f (x)$
$(- \infty, - 3)$ + ∪
$- 3$ 0 przegięcie
$(- 3, 0)$ − ∩
$0$ 0 przegięcie
$(0, 3)$ + ∪
$3$ 0 przegięcie
$(3, \infty)$ − ∩
Dlaczego?
To warunek dostateczny ze slajdu: punkt przegięcia jest tam, gdzie druga pochodna zmienia znak.
W punkcie $x = - 3$ druga pochodna zmienia znak — wykres zmienia kształt. To punkt przegięcia. Podaj go jako punkt: obie współrzędne; drugą policz ze wzoru funkcji $f$ .
$P_{1} = (- 3, f (- 3)), f (- 3) = \frac{( - 3 ) ^{3}}{( - 3 ) ^{2} + 3} = \frac{- 27}{12} = - \frac{9}{4}$
$P_{1} f (- 3) = (- 3, f (- 3)) = \frac{( - 3 ) ^{3}}{( - 3 ) ^{2} + 3} = \frac{- 27}{12} = - \frac{9}{4}$
W punkcie $x = 0$ druga pochodna zmienia znak — wykres zmienia kształt. To punkt przegięcia. Podaj go jako punkt: obie współrzędne; drugą policz ze wzoru funkcji $f$ .
$P_{2} = (0, f (0)), f (0) = \frac{0 ^{3}}{0 ^{2} + 3} = 0$
$P_{2} f (0) = (0, f (0)) = \frac{0 ^{3}}{0 ^{2} + 3} = 0$
W punkcie $x = 3$ druga pochodna zmienia znak — wykres zmienia kształt. To punkt przegięcia. Podaj go jako punkt: obie współrzędne; drugą policz ze wzoru funkcji $f$ .
$P_{3} = (3, f (3)), f (3) = \frac{3 ^{3}}{3 ^{2} + 3} = \frac{27}{12} = \frac{9}{4}$
$P_{3} f (3) = (3, f (3)) = \frac{3 ^{3}}{3 ^{2} + 3} = \frac{27}{12} = \frac{9}{4}$
Zapisz odpowiedź. Funkcja jest wypukła w przedziałach $(- \infty, - 3)$ i $(0, 3)$ , a wklęsła w przedziałach $(- 3, 0)$ i $(3, \infty)$ .
$wypuk ł a w (- \infty, - 3), (0, 3) wkl ę s ł a w (- 3, 0), (3, \infty) P_{1} = (- 3, - \frac{9}{4}) P_{2} = (0, 0) P_{3} = (3, \frac{9}{4})$
Sprawdź na wykresie: turkusowe kawałki są wypukłe (∪), złote — wklęsłe (∩), a fioletowe kropki to punkty przegięcia.

wypukła (∪) — druga pochodna dodatniawklęsła (∩) — druga pochodna ujemnapunkt przegięcia

Wypełnij tabelę

Sprawdź się: tabela kształtu dla $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{4}$

Druga pochodna jest już policzona i rozłożona na czynniki: $f^{''} (x) = 60 x^{3} - 60 x^{2} = 60 x^{2} (x - 1)$ .

Druga pochodna ma dwa zera: $0$ i $1$ . Czy każde z nich daje punkt przegięcia? Wypełnij tabelę i sprawdź.

x

(- \infty, 0)

0

(0, 1)

1

(1, \infty)

f^{''} (x)

f (x)

„+” i ∪ — wykres wypukły„−” i ∩ — wykres wklęsły

Pełne badanie funkcji

Cel: jedna wspólna tabela, z której odczytasz wszystko naraz — monotoniczność, ekstrema, wypukłość i punkty przegięcia. Na kolokwium bywa jedno polecenie „zbadaj przebieg zmienności funkcji”. Na liście to dwa osobne zadania, ale Zad. 1 h) i Zad. 2 b) to ta sama funkcja, $f(x) = (x + 1)^2(x - 2) = x^3 - 3x - 2$ . Złóżmy je razem.

Wyniki obu procedur dla tej funkcji (całe rachunki: Zad. 1 h) i Zad. 2 b)):

\begin{aligned} f'(x) &= 3x^2 - 3 \\ &= 3(x - 1)(x + 1) \\ f'(x) = 0 &\iff x = -1 \ \text{lub} \ x = 1 \end{aligned}

\begin{aligned} f''(x) &= 6x \\ f''(x) = 0 &\iff x = 0 \end{aligned}

Na osi stają więc trzy punkty: $-1$ , $0$ i $1$ . W każdym przedziale i punkcie bierzesz znak z tabeli $f'$ i z tabeli $f''$ :

$x$	$f'(x)$	$f''(x)$	funkcja
$(-\infty, -1)$	$+$	$-$	rośnie ↗, wklęsła ∩
$-1$	$0$	$-$	maksimum: $f_{\max}(-1) = 0$
$(-1, 0)$	$-$	$-$	maleje ↘, wklęsła ∩
$0$	$-$	$0$	punkt przegięcia: $P = (0, -2)$
$(0, 1)$	$-$	$+$	maleje ↘, wypukła ∪
$1$	$0$	$+$	minimum: $f_{\min}(1) = -4$
$(1, \infty)$	$+$	$+$	rośnie ↗, wypukła ∪

Jak czytać tabelę: wiersze to przedziały i punkty z obu procedur, od lewej do prawej na osi. W punkcie $-1$ znak $f''$ to znak liczby $f''(-1) = 6 \cdot (-1) = -6$ . W punkcie $0$ znak $f'$ to znak liczby $f'(0) = 3 \cdot 0^2 - 3 = -3$ . Ostatnia kolumna łączy oba wnioski.

wklęsła (∩)wypukła (∪)ekstremumpunkt przegięcia

Jak czytać:

wykres $f(x) = x^3 - 3x - 2$ . Złota część jest wklęsła, turkusowa — wypukła. Napisy u góry streszczają każdy przedział: strzałka z $f'$ , kształt z $f''$ . Wklęsła część rośnie aż do maksimum, potem maleje. Po punkcie przegięcia wykres jest wypukły: maleje coraz wolniej do minimum, potem rośnie coraz szybciej.

Wszystkie odpowiedzi z listy

Wyniki wszystkich zadań w jednym miejscu — do sprawdzenia własnych rachunków. Link przy każdym przykładzie prowadzi do rozwiązania krok po kroku.

Zad. 1 — ekstrema i przedziały monotoniczności

Zad. 1 a) krok po kroku ↑
$f (x) = \frac{x ^{2}}{x ^{2} - 9}$
$ro s ˊ nie w (- \infty, - 3), (- 3, 0) maleje w (0, 3), (3, \infty) f_{m a x} (0) = 0$
Zad. 1 b) krok po kroku ↑
$f (x) = \frac{x}{x + 1}$
$ro s ˊ nie w (- \infty, - 1), (- 1, \infty)$
Ekstremów brak.
Zad. 1 c) krok po kroku ↑
$f (x) = x \cdot e^{- \frac{x ^{2}}{2}}$
$ro s ˊ nie w (- 1, 1) maleje w (- \infty, - 1), (1, \infty) f_{m i n} (- 1) = - \frac{1}{e} f_{m a x} (1) = \frac{1}{e}$
Zad. 1 d) krok po kroku ↑
$f (x) = \frac{1 + ln x}{x}$
$ro s ˊ nie w (0, 1) maleje w (1, \infty) f_{m a x} (1) = 1$
Zad. 1 e) krok po kroku ↑
$f (x) = x^{3} \cdot e^{- x}$
$ro s ˊ nie w (- \infty, 0), (0, 3) maleje w (3, \infty) f_{m a x} (3) = \frac{27}{e ^{3}}$
Zad. 1 f) krok po kroku ↑
$f (x) = \frac{e ^{x}}{x + 1}$
$ro s ˊ nie w (0, \infty) maleje w (- \infty, - 1), (- 1, 0) f_{m i n} (0) = 1$
Zad. 1 g) krok po kroku ↑
$f (x) = \frac{x ^{3}}{x ^{2} - 4}$
$ro s ˊ nie w (- \infty, - 23), (23, \infty) maleje w (- 23, - 2), (- 2, 0) (0, 2), (2, 23) f_{m a x} (- 23) = - 33 f_{m i n} (23) = 33$
Zad. 1 h) krok po kroku ↑
$f (x) = (x + 1)^{2} (x - 2)$
$ro s ˊ nie w (- \infty, - 1), (1, \infty) maleje w (- 1, 1) f_{m a x} (- 1) = 0 f_{m i n} (1) = - 4$
Zad. 1 i) krok po kroku ↑
$f (x) = - x^{4} + 2 x^{2}$
$ro s ˊ nie w (- \infty, - 1), (0, 1) maleje w (- 1, 0), (1, \infty) f_{m a x} (- 1) = 1 f_{m i n} (0) = 0 f_{m a x} (1) = 1$
Zad. 1 j) krok po kroku ↑
$f (x) = \frac{2 x + 3}{x ^{2} + 4}$
$ro s ˊ nie w (- 4, 1) maleje w (- \infty, - 4), (1, \infty) f_{m i n} (- 4) = - \frac{1}{4} f_{m a x} (1) = 1$
Zad. 1 k) krok po kroku ↑
$f (x) = x ln x$
$ro s ˊ nie w (\frac{1}{e}, \infty) maleje w (0, \frac{1}{e}) f_{m i n} (\frac{1}{e}) = - \frac{1}{e}$
Zad. 1 l) krok po kroku ↑
$f (x) = ln (x^{2} + 1)$
$ro s ˊ nie w (0, \infty) maleje w (- \infty, 0) f_{m i n} (0) = 0$
Zad. 1 m) krok po kroku ↑
$f (x) = 4 - x^{2}$
$ro s ˊ nie w (- 2, 0) maleje w (0, 2) f_{m a x} (0) = 2$

Zad. 2 — wypukłość, wklęsłość i punkty przegięcia

Zad. 2 a) krok po kroku ↑
$f (x) = - x^{4} + 6 x^{2} - 4$
$wypuk ł a w (- 1, 1) wkl ę s ł a w (- \infty, - 1), (1, \infty) P_{1} = (- 1, 1) P_{2} = (1, 1)$
Zad. 2 b) krok po kroku ↑
$f (x) = (x + 1)^{2} (x - 2)$
$wypuk ł a w (0, \infty) wkl ę s ł a w (- \infty, 0) P = (0, - 2)$
Zad. 2 c) krok po kroku ↑
$f (x) = \frac{2 x ^{2} + 1}{x ^{2}}$
$wypuk ł a w (- \infty, 0), (0, \infty)$
Punktów przegięcia brak.
Zad. 2 d) krok po kroku ↑
$f (x) = \frac{x ^{2}}{1 + x ^{2}}$
$wypuk ł a w (- \frac{3}{3}, \frac{3}{3}) wkl ę s ł a w (- \infty, - \frac{3}{3}), (\frac{3}{3}, \infty) P_{1} = (- \frac{3}{3}, \frac{1}{4}) P_{2} = (\frac{3}{3}, \frac{1}{4})$
Zad. 2 e) krok po kroku ↑
$f (x) = \frac{x ^{3}}{x ^{2} + 3}$
$wypuk ł a w (- \infty, - 3), (0, 3) wkl ę s ł a w (- 3, 0), (3, \infty) P_{1} = (- 3, - \frac{9}{4}) P_{2} = (0, 0) P_{3} = (3, \frac{9}{4})$

Ściąga przed kolokwium

Procedura (5 etapów)1) dziedzina, 2) pochodna rozłożona na czynniki, 3) warunek konieczny

= 0

, 4) znak:

> 0

< 0

, 5) tabela i warunek dostateczny.

Znak pochodnej

f' > 0

— rośnie ↗,

f' < 0

— maleje ↘.

Ekstremum

f'(x_0) = 0

i zmiana znaku: z „+” na „−” — max, z „−” na „+” — min. Bez zmiany — brak.

Wartość ekstremumWstaw

x_0

do wzoru

f

, nie

f'

. Zapis:

f_{\max}(x_0) = f(x_0)

Druga pochodna

f'' = (f')'

— pochodna pochodnej, czytamy „ef bis”.

Kształt

f'' > 0

— wypukła ∪ (nad stycznymi),

f'' < 0

— wklęsła ∩ (pod stycznymi).

Punkt przegięcia

f''(x_0) = 0

i zmiana znaku

f''

. Zapis:

P = (x_0, f(x_0))

Tabela znakówZera i dziury na osi, z każdego przedziału jedna liczba próbna. Parzysta liczba minusów — „+”.

Pomiń, bo dodatnieKwadrat w mianowniku,

e^{\ldots}

x^2 + c

dla

c > 0

. Ujemne stałe zostają.

Dziury w dziedzinieKolumna z „×”. Przedziałów po obu stronach dziury nie łączysz.

Odpowiedź„Rośnie w

(a, b)

i w

(c, d)

” — przedziały osobno, bez

\cup

Ćwiczenia przed kolokwium

Krótkie zadania na każde polecenie. Po każdej odpowiedzi zobaczysz, dlaczego jest dobra albo zła — złe odpowiedzi to typowe błędy.

Znak wyrażenia

Ćwiczenia · 5 zadań

$f^{'} (x) = x^{2} (x - 4)$ . Znak pochodnej w przedziałach $(- \infty, 0)$ i $(0, 4)$ to:
Który czynnik możesz pominąć przy badaniu znaku $\frac{- 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$ ?
$f^{'} (x) = e^{x} (2 - x)$ jest dodatnia dla:
W pewnym przedziale znaki trzech czynników wyszły: „−”, „−”, „+”. Znak iloczynu to:
Dlaczego w tabeli znaków wystarczy jedna liczba z przedziału?

Monotoniczność i ekstrema

Wypełnij tabelę

Tabela zmienności dla $f (x) = x^{3} - 12 x$

Pochodna jest już policzona i rozłożona na czynniki: $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 = 3 (x - 2) (x + 2)$ .

x

(- \infty, - 2)

- 2

(- 2, 2)

2

(2, \infty)

f^{'} (x)

f (x)

„+” i ↗ — funkcja rośnie„−” i ↘ — funkcja maleje

Wypełnij tabelę

Tabela zmienności dla $f (x) = x + \frac{1}{x}$

Pochodna jest już policzona i rozłożona na czynniki: $f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x ^{2}} = \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{x ^{2}}$ .

Uwaga na kolumnę $0$ — tej liczby nie ma w dziedzinie.

x

(- \infty, - 1)

- 1

(- 1, 0)

0

(0, 1)

1

(1, \infty)

f^{'} (x)

f (x)

„+” i ↗ — funkcja rośnie„−” i ↘ — funkcja maleje

Wypełnij tabelę

Tabela zmienności dla $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x$

Pochodna jest już policzona i rozłożona na czynniki: $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x + 3 = 3 (x - 1)^{2}$ .

x

(- \infty, 1)

1

(1, \infty)

f^{'} (x)

f (x)

„+” i ↗ — funkcja rośnie„−” i ↘ — funkcja maleje

Ćwiczenia · 6 zadań

W tabeli zmienności: z lewej strony $x = 2$ jest „+”, z prawej „−”. W $x = 2$ funkcja ma:
$f^{'} (x) = 3 (x - 1)^{2}$ . Co jest w punkcie $x = 1$ ?
$f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ ma maksimum lokalne w $x = - 1$ . Ile wynosi to maksimum?
Pochodna zmienia znak z „−” na „+” w $x = 2$ , a $f (2) = 5$ . Jak zapisać wynik?
$f (x) = \frac{x}{x + 1}$ rośnie w $(- \infty, - 1)$ i w $(- 1, \infty)$ . Czy można napisać „rośnie w $R ∖ {- 1}$ ”?
Dla $f (x) = \frac{x ^{2}}{x ^{2} - 9}$ w tabeli są kolumny $- 3$ i $3$ z „×”. Dlaczego?

Druga pochodna

Ćwiczenia · 5 zadań

$f (x) = x^{4}$ . Druga pochodna to:
$f (x) = e^{2 x}$ . Druga pochodna to:
$f (x) = ln x$ . Druga pochodna to:
$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 1$ . Ile wynosi $f^{''} (1)$ ?
$f (x) = x e^{x}$ . Druga pochodna to:

Wypukłość i punkty przegięcia

Wypełnij tabelę

Tabela kształtu dla $f (x) = x^{4} - 6 x^{2}$

Druga pochodna jest już policzona i rozłożona na czynniki: $f^{''} (x) = 12 x^{2} - 12 = 12 (x - 1) (x + 1)$ .

x

(- \infty, - 1)

- 1

(- 1, 1)

1

(1, \infty)

f^{''} (x)

f (x)

„+” i ∪ — wykres wypukły„−” i ∩ — wykres wklęsły

Wypełnij tabelę

Tabela kształtu dla $f (x) = \frac{1}{x}$

Druga pochodna jest już policzona i rozłożona na czynniki: $f^{''} (x) = \frac{2}{x ^{3}}$ .

Kolumna $0$ to dziura w dziedzinie.

x

(- \infty, 0)

0

(0, \infty)

f^{''} (x)

f (x)

„+” i ∪ — wykres wypukły„−” i ∩ — wykres wklęsły

Ćwiczenia · 5 zadań

W przedziale $f^{''} (x) > 0$ . Wykres jest tam:
$f^{''}$ zmienia znak w $x = 1$ , a $f (1) = 3$ . Punkt przegięcia to:
$f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ . Punkt przegięcia to:
Wykres leży nad każdą ze swoich stycznych. Jest:
Druga pochodna funkcji $f (x) = \frac{1}{x}$ to $f^{''} (x) = \frac{2}{x ^{3}}$ i zmienia znak przy $x = 0$ . Punkt przegięcia:

Pełne badanie

Ćwiczenia · 4 zadania

W przedziale $f^{'} (x) > 0$ i $f^{''} (x) < 0$ . Funkcja:
W przedziale $f^{'} (x) < 0$ i $f^{''} (x) > 0$ . Funkcja:
$f (x) = (x + 1)^{2} (x - 2)$ . Co robi funkcja w przedziale $(- 1, 0)$ ?
Przy pełnym badaniu w punkcie $x = 1$ wyszło: $f^{'} (1) = 0$ , pochodna zmienia znak z „−” na „+”, a $f^{''} (1) = 6$ . Co jest w $x = 1$ ?

Quiz z teorii

Quiz · 10 pytań

Ekstremum lokalne to punkt, w którym funkcja przyjmuje:
Warunek konieczny istnienia ekstremum w $x_{0}$ (gdy $f^{'} (x_{0})$ istnieje) to:
Warunek dostateczny istnienia ekstremum to:
Pochodna zmienia znak z „−” na „+”. W tym punkcie jest:
Czy każdy punkt stacjonarny jest ekstremum?
Wykres wypukły w przedziale to taki, który:
$f^{''} (x) < 0$ dla każdego $x \in X$ . Wykres funkcji na $X$ jest:
Punkt przegięcia zapisujesz jako:
Druga pochodna $f^{''}$ to:
W tabeli zmienności kolumna z „×” oznacza:

$x$	$2 - 6 x^{2}$	$f^{''} (x)$
$(- \infty, - \frac{3}{3})$ np. $- 1$	−	−
$- \frac{3}{3}$	0	0
$(- \frac{3}{3}, \frac{3}{3})$ np. $0$	+	+
$\frac{3}{3}$	0	0
$(\frac{3}{3}, \infty)$ np. $1$	−	−

$x$	$f^{''} (x)$	$f (x)$
$(- \infty, - \frac{3}{3})$	−	∩
$- \frac{3}{3}$	0	przegięcie
$(- \frac{3}{3}, \frac{3}{3})$	+	∪
$\frac{3}{3}$	0	przegięcie
$(\frac{3}{3}, \infty)$	−	∩

Po co to jest

Jak przejdziemy przez ten moduł

Co będzie na kolokwium

Pojęcia od podstaw

Monotoniczność: rośnie albo maleje

Ekstremum lokalne: szczyt albo dołek w okolicy

Kiedy pochodna wskazuje ekstremum: warunek konieczny i dostateczny

Druga pochodna

Wypukłość i wklęsłość: jak wykres się wygina

Punkt przegięcia

Znak wyrażenia: tabela znaków

Monotoniczność i ekstrema

Pozostałe przykłady z listy

Sprawdź się: tabela zmienności dla f(x)=x4−2x2

Druga pochodna

Wypukłość, wklęsłość i punkty przegięcia

Pozostałe przykłady z listy

Sprawdź się: tabela kształtu dla f(x)=3x5−5x4

Pełne badanie funkcji

Wszystkie odpowiedzi z listy

Zad. 1 — ekstrema i przedziały monotoniczności

Zad. 2 — wypukłość, wklęsłość i punkty przegięcia

Ściąga przed kolokwium

Ćwiczenia przed kolokwium

Znak wyrażenia

Monotoniczność i ekstrema

Tabela zmienności dla f(x)=x3−12x

Tabela zmienności dla f(x)=x+x1​

Tabela zmienności dla f(x)=x3−3x2+3x

Druga pochodna

Wypukłość i punkty przegięcia

Tabela kształtu dla f(x)=x4−6x2

Tabela kształtu dla f(x)=x1​

Pełne badanie

Quiz z teorii

Sprawdź się: tabela zmienności dla $f (x) = x^{4} - 2 x^{2}$

Sprawdź się: tabela kształtu dla $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{4}$

Tabela zmienności dla $f (x) = x^{3} - 12 x$

Tabela zmienności dla $f (x) = x + \frac{1}{x}$

Tabela zmienności dla $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x$

Tabela kształtu dla $f (x) = x^{4} - 6 x^{2}$

Tabela kształtu dla $f (x) = \frac{1}{x}$