Funkcje wielu zmiennych — pochodne cząstkowe i ekstrema bezwarunkowe · Matematyka

Po co to jest

Zysk sklepu internetowego zależy od dwóch rzeczy naraz: od ceny i od wydatków na reklamę. Wyższa cena daje więcej z każdej sztuki, ale mniej klientów. Więcej reklamy to więcej klientów, ale też więcej kosztów. Szukasz najlepszej pary liczb — a nie jednej liczby, jak w modułach 8 i 9.

Taką zależność opisuje funkcja dwóch zmiennych: wstawiasz dwie liczby, dostajesz jedną. Jej wykres to już nie krzywa, tylko powierzchnia — jak teren z górkami i dolinami:

najwyższy punkt — maksimum

Jak czytać:

wykres funkcji z zadania 2 k), $f(x, y) = -x^2 + xy - y^2 + 2x - y - 11$ . Każdy punkt $(x, y)$ podłogi (płaszczyzny $xy$ ) ma swoją wysokość $f(x, y)$ — tu wszystkie są ujemne, ale liczy się kształt terenu. Na szczycie, przy $x = 1$ i $y = 0$ , funkcja ma największą wartość. Pod koniec modułu znajdziesz ten szczyt z samego wzoru.

Narzędzia są te same co dla jednej zmiennej — pochodna przyrównana do zera i druga pochodna — tylko liczy się je po każdej zmiennej osobno.

Jak przejdziemy przez ten moduł

Pojęcia (sekcja 3): funkcja dwóch zmiennych, pochodna cząstkowa, gradient, hesjan i ekstremum — każde na rysunku.
Pochodne cząstkowe (Zad. 1): jeden przepis na wszystkie przykłady z listy.
Ekstrema bezwarunkowe (Zad. 2): procedura z zajęć w sześciu krokach — najpierw układ równań, potem wyznacznik hesjanu.

Co będzie na kolokwium

Na liście są dwa polecenia: Zad. 1 (12 funkcji) i Zad. 2 (16 funkcji). Poniżej oba polecenia i dwa typowe warianty — od najprostszego. Każde ma w module swój przepis i ćwiczenia.

To na razie tylko mapa — nie musisz jeszcze rozumieć tych pojęć. Wrócisz tu, gdy będziesz szukać przepisu.

1
„Oblicz pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu funkcji $f (x, y)$ względem każdej ze zmiennych”
Liczysz pochodną po $x$ , a $y$ traktujesz jak liczbę. Potem odwrotnie. Drugie pochodne liczysz z pierwszych tak samo.
Przepis i przykłady ↓Ćwiczenia ↓Zad. 1 a)–l)
2
„Wyznacz gradient i hesjan funkcji, także w punkcie”
Gotowe pochodne układasz w wektor i macierz. W punkcie — wstawiasz liczby do gotowych wzorów.
Przepis i przykłady ↓Ćwiczenia ↓pytania ze slajdów (gradient, hesjan)
3
„Wyznacz punkty stacjonarne (rozwiąż układ $\nabla f (x, y) = 0$ )”
Obie pierwsze pochodne przyrównujesz do zera i rozwiązujesz układ dwóch równań.
Przepis i przykłady ↓Ćwiczenia ↓krok 2 w Zad. 2
4
„Wyznacz ekstrema bezwarunkowe funkcji”
Procedura z zajęć: punkty stacjonarne, hesjan w każdym punkcie, jego wyznacznik $W$ i warunek dostateczny.
Przepis i przykłady ↓Ćwiczenia ↓Zad. 2 a)–p)

Pojęcia od podstaw

Pójdziemy tak: funkcja dwóch zmiennych → pochodna cząstkowa → gradient → drugie pochodne i hesjan → ekstremum.

Funkcja dwóch zmiennych

Slajd z zajęć: funkcja wielu zmiennych $f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ ma więcej niż jeden argument. Zamiast $x_1, x_2$ pisze się zwykle $x, y$ . Na zajęciach zajmujemy się funkcjami dwóch zmiennych: $f(x, y)$ .

f (x, y)

Funkcja dwóch zmiennych

czytamy: „ef od iks, igrek”

Maszynka, do której wkładasz dwie liczby naraz: $x$ i $y$ . Wynik to jedna liczba. Żeby go policzyć, musisz znać obie — sam $x$ nie wystarczy.

Jak zapamiętać: Jak położenie na mapie: dwie współrzędne (wschód i północ), a odpowiedź to wysokość terenu.

Na przykład $f(x, y) = x^2y$ :

punkt	rachunek	wartość
$(1, 2)$	$f(1, 2) = 1^2 \cdot 2 = 1 \cdot 2$	$2$
$(2, 1)$	$f(2, 1) = 2^2 \cdot 1 = 4 \cdot 1$	$4$
$(-1, 3)$	$f(-1, 3) = (-1)^2 \cdot 3 = 1 \cdot 3$	$3$

Jak czytać tabelę: pierwsza liczba w nawiasie trafia w miejsce $x$ , druga — w miejsce $y$ . Kolejność ma znaczenie: $f(1, 2) = 2$ , a $f(2, 1) = 4$ .

Pochodna cząstkowa: po każdej zmiennej osobno

Slajd z zajęć: pochodna cząstkowa funkcji $f$ względem zmiennej $x$ to pochodna, przy obliczaniu której wszystkie pozostałe zmienne traktujemy jak stałe.

\frac{\partial f}{\partial x}

Pochodna cząstkowa po x

czytamy: „de ef po de iks — pochodna cząstkowa ef względem iks”

Zwykła pochodna po $x$ , w której litera $y$ jest „zamrożona”: zachowuje się jak liczba. Okrągłe $\partial$ (czytamy „de”) mówi, że pochodna jest cząstkowa.

Jak zapamiętać: Okrągłe de zamiast zwykłego: liczysz tylko część — po jednej literze.

\frac{\partial f}{\partial y}

Pochodna cząstkowa po y

czytamy: „de ef po de igrek — pochodna cząstkowa ef względem igrek”

Teraz odwrotnie: liczysz po $y$ , a zamrożony jest $x$ .

Co znaczy „zamrozić”? Weź $f(x, y) = x^2y$ i ustal $y = 2$ . Zostaje zwykła funkcja jednej zmiennej: $f(x, 2) = x^2 \cdot 2 = 2x^2$ . Jej pochodna to $4x$ , a w punkcie $x = 1$ : $4 \cdot 1 = 4$ .

Wzór robi to samo w jednym kroku, z literą zamiast liczby: przy zamrożonym $y$ (na złoto — litera zamrożona, czyli traktowana jak liczba) funkcja $x^2\cG{y}$ to „liczba $\cG{y}$ razy $x^2$ ”, więc

\begin{aligned} &\frac{\partial f}{\partial x} = \cG{y} \cdot 2x = 2xy, \\ &\frac{\partial f}{\partial x}(1, 2) = 2 \cdot 1 \cdot 2 = 4. \end{aligned}

Wyszło to samo. Zapis $\frac{\partial f}{\partial x}(1, 2)$ to pochodna cząstkowa w punkcie $(1, 2)$ : wzór z wstawionymi liczbami. Na rysunku: zamrożenie $y = 2$ to przekrój powierzchni wzdłuż osi $x$ (turkusowa linia), a pochodna cząstkowa to nachylenie tego przekroju.

przekrój przy zamrożonym $y = 2$ (idziesz wzdłuż osi $x$ )przekrój przy zamrożonym $x = 1$ (idziesz wzdłuż osi $y$ )punkt $(1, 2)$ na powierzchni

Jak czytać:

siatka to wykres $f(x, y) = x^2y$ . Obie kolorowe linie przechodzą przez punkt $(1, 2)$ . Turkusowa leży nad prostą $y = 2$ , złota — nad prostą $x = 1$ . Każda z nich to wykres zwykłej funkcji jednej zmiennej — narysowane są niżej, osobno.

przekrój $y = 2$ : $z = 2 x^{2}$ styczna w punkcie $x = 1$

Jak czytać:

turkusowy przekrój z rysunku wyżej, oglądany z boku: $z = f(x, 2) = 2x^2$ . Styczna w $x = 1$ ma nachylenie $4$ — to $\frac{\partial f}{\partial x}(1, 2)$ .

przekrój $x = 1$ : $z = y$

Jak czytać:

złoty przekrój: $z = f(1, y) = 1^2 \cdot y = y$ . To prosta — wznosi się o $1$ na każdy krok o $1$ w prawo. Stąd $\frac{\partial f}{\partial y}(1, 2) = 1$ . Ze wzoru: $\frac{\partial f}{\partial y} = \cG{x^2} \cdot 1 = x^2$ , w punkcie $(1, 2)$ : $1^2 = 1$ .

Sprawdź się

$f (x, y) = x^{3} y + 2 y$ . Ile wynosi $\frac{\partial f}{\partial x}$ ?

Gradient

Slajd z zajęć: pierwsze pochodne cząstkowe tworzą wektor nazywany gradientem. Gradient to wektor kolumnowy (pionowy):

\nabla f (x, y) =

\frac{\partial f}{\partial x}

\frac{\partial f}{\partial y}

\nabla f

Gradient

czytamy: „nabla ef albo gradient ef”

Pionowy wektor z pierwszych pochodnych cząstkowych: u góry pochodna po $x$ , na dole po $y$ . Dla trzech zmiennych ma trzy pozycje.

Jak zapamiętać: Odwrócony trójkąt $\nabla$ to „nabla” — nazwa od harfy w kształcie trójkąta.

Dla $f(x, y) = x^2y$ policzyliśmy już $\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy$ i $\frac{\partial f}{\partial y} = x^2$ , więc:

\nabla f (x, y) =

2 x y

x^{2}

\nabla f (1, 2) =

2 \cdot 1 \cdot 2

1^{2}

4

1

Jak czytać: w punkcie $(1, 2)$ nachylenie powierzchni wynosi $4$ w kierunku osi $x$ i $1$ w kierunku osi $y$ — tak jak na przekrojach wyżej.

Drugie pochodne cząstkowe i hesjan

Z pochodnej cząstkowej można znowu policzyć pochodną cząstkową — to pochodna cząstkowa drugiego rzędu. Funkcja dwóch zmiennych ma ich cztery (slajd: drugich pochodnych jest tyle, ile wynosi kwadrat liczby zmiennych, $2^2 = 4$ ):

\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}}, \frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}}, \frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}, \frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x}

Czytamy: de dwa ef po de iks kwadrat, de dwa ef po de igrek kwadrat, de dwa ef po de iks de igrek, de dwa ef po de igrek de iks

$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}}$: druga pochodna po $x$ — pochodną $\frac{\partial f}{\partial x}$ liczysz jeszcze raz po $x$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}}$: druga pochodna po $y$ — pochodną $\frac{\partial f}{\partial y}$ liczysz jeszcze raz po $y$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}$: pochodna mieszana — na slajdzie: pierwsza pochodna względem $x$ , druga względem $y$ . Bierzesz $\frac{\partial f}{\partial x}$ i liczysz z niej pochodną po $y$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x}$: druga z pochodnych mieszanych — najpierw względem $y$ , potem względem $x$

Dla $f(x, y) = x^2y$ , gdzie $\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy$ i $\frac{\partial f}{\partial y} = x^2$ :

pochodna	liczysz z	zamrożone	wynik
$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$	$2xy$ po $x$	$y$	$2\cG{y} \cdot 1 = 2y$
$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$	$x^2$ po $y$	$x$	$0$ ( $x^2$ to liczba)
$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$	$2xy$ po $y$	$x$	$2\cG{x} \cdot 1 = 2x$
$\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$	$x^2$ po $x$	$y$	$2x$

Jak czytać tabelę: w drugiej kolumnie wzór, który różniczkujesz, i zmienna, po której liczysz. Trzecia kolumna mówi, która litera jest wtedy liczbą. Obie mieszane wyszły równe: $2x$ .

Slajd z zajęć: drugie pochodne cząstkowe tworzą kwadratową macierz nazywaną hesjanem:

H_{f} (x, y) =

\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}}

\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}

\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x}

\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}}

H_{f}

Hesjan

czytamy: „hesjan funkcji ef”

Macierz drugich pochodnych cząstkowych. W pierwszym wierszu pochodne liczone najpierw po $x$ , w drugim — najpierw po $y$ . Na przekątnej (z lewego górnego rogu do prawego dolnego) stoją drugie pochodne po tej samej zmiennej.

Jak zapamiętać: Nazwa od matematyka Ludwiga Hessego — nie musisz jej pamiętać.

Z twierdzenia Schwarza hesjan jest symetryczny: wyrażenia nad przekątną i pod nią są takie same. Dla $f(x, y) = x^2y$ :

H_{f} (x, y) =

2 y

2 x

2 x

0

Ekstremum bezwarunkowe: szczyt, dołek i siodło

Slajd z zajęć: ekstremum bezwarunkowe funkcji wielu zmiennych to odpowiednik ekstremum lokalnego funkcji jednej zmiennej — punkt, w którym funkcja przyjmuje lokalnie (w otoczeniu punktu) wartość największą albo najmniejszą. Otoczenie to tu małe kółko wokół punktu na płaszczyźnie $xy$ (a nie przedział, jak w module 9). „Bezwarunkowe”, bo $x$ i $y$ nie muszą spełniać żadnego dodatkowego równania (byle należały do dziedziny) — takie warunki dojdą w module 11.

Na rysunkach trzy funkcje. Wszystkie w punkcie $(0, 0)$ są „płaskie” — obie pochodne cząstkowe są tam zerem — ale tylko dwie mają tam ekstremum:

miska: $f = x^{2} + y^{2}$

górka: $f = - x^{2} - y^{2}$

siodło: $f = x^{2} - y^{2}$

punkt $(0, 0)$ — pełna kropka: ekstremum, pusta: brak ekstremumsiodło wzdłuż osi $x$ : dołeksiodło wzdłuż osi $y$ : szczyt

Jak czytać rysunki: w misce punkt $(0, 0)$ leży najniżej — to minimum. W górce leży najwyżej — maksimum. Siodło wygląda jak siodło konia albo przełęcz w górach: idąc wzdłuż osi $x$ (turkusowa linia), jesteś w dołku, a idąc wzdłuż osi $y$ (złota linia) — na szczycie. Ani najwyżej, ani najniżej w okolicy, więc ekstremum nie ma.

Co odróżnia miskę, górkę i siodło? Drugie pochodne — tak jak w module 9 znak $f''$ odróżniał kształt ∪ od ∩. Tu robią to dwie liczby z hesjanu: wyznacznik $W$ (siodło czy nie) i lewy górny element $a_{11}$ (miska czy górka).

Zapamiętaj· Warunek dostateczny (slajd, krok 6)

Policz $W(P_0) = \det H_f(x_0, y_0)$ — wyznacznik hesjanu w punkcie stacjonarnym.

$W(P_0) > 0$ — w $P_0$ jest ekstremum. O rodzaju ekstremum mówi lewy górny element hesjanu $a_{11} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ w punkcie $P_0$ (czytamy „a jeden jeden”: wiersz 1, kolumna 1 — jak w module 4): gdy $a_{11} < 0$ — maksimum, gdy $a_{11} > 0$ — minimum.
$W(P_0) < 0$ — w $P_0$ nie ma ekstremum (siodło).
$W(P_0) = 0$ — tą metodą nie da się rozstrzygnąć.

Do zapamiętania: znak $a_{11}$ działa jak znak $f''$ w module 9 — plus to dołek (minimum), minus to górka (maksimum).

Sprawdźmy na trzech rysunkach. Wszystkie hesjany są stałe (bez $x$ i $y$ ), więc w $(0, 0)$ każdy ma te same liczby co w każdym innym punkcie:

funkcja	hesjan	$W$	$a_{11}$	wniosek
$x^2 + y^2$	na przekątnej $2$ i $2$ , poza nią $0$	$2 \cdot 2 - 0 \cdot 0 = 4 > 0$	$2 > 0$	minimum
$-x^2 - y^2$	na przekątnej $-2$ i $-2$ , poza nią $0$	$(-2) \cdot (-2) - 0 \cdot 0 = 4 > 0$	$-2 < 0$	maksimum
$x^2 - y^2$	na przekątnej $2$ i $-2$ , poza nią $0$	$2 \cdot (-2) - 0 \cdot 0 = -4 < 0$	—	brak (siodło)

Jak czytać tabelę: w każdym wierszu najpierw $W$ . Dopiero gdy $W > 0$ , patrzysz na znak $a_{11}$ . Przy siodle $a_{11} = 2$ jest dodatni, ale to nie ma znaczenia — $W < 0$ rozstrzyga, że ekstremum nie ma.

Pochodne cząstkowe

Cel: sześć wzorów — dwie pierwsze pochodne i cztery drugie — zapisane na końcu jako gradient i hesjan.

Polecenie na kolokwium· Oblicz pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu

Oblicz pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu funkcji $f(x, y)$ względem każdej ze zmiennych, np. $f(x, y) = 5x^2y^2 - 6xy + 12x - 9y + 1$ .

Pierwsze pochodne. $\frac{\partial f}{\partial x}$ : zamroź $y$ (traktuj go jak liczbę) i licz zwykłą pochodną po $x$ wzorami i regułami z modułu 8. $\frac{\partial f}{\partial y}$ : odwrotnie. Jeśli trzeba, najpierw zapisz pierwiastki i ułamki jako potęgi.
Drugie po tej samej zmiennej. $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ : wynik z $\frac{\partial f}{\partial x}$ jeszcze raz po $x$ . $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$ : wynik z $\frac{\partial f}{\partial y}$ jeszcze raz po $y$ .
Mieszane. $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ : wynik z $\frac{\partial f}{\partial x}$ po $y$ . $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ : wynik z $\frac{\partial f}{\partial y}$ po $x$ . Muszą wyjść takie same (twierdzenie Schwarza) — jeśli nie, szukaj błędu.
Zapisz wynik jako gradient (wektor pierwszych pochodnych) i hesjan (macierz drugich).

W rachunkach przy pierwszej linii każdego etapu stoi jego numer — najedź na niego (na telefonie: stuknij), żeby przypomnieć sobie, po co ten etap jest. Na złoto zaznaczona jest litera zamrożona w danej pochodnej.

Zadanie · krok po kroku

$f (x, y) = 5 x^{2} y^{2} - 6 x y + 12 x - 9 y + 1$

Zad. 1 a)

Plan — co zrobimy i po co

Cel: dwie pierwsze pochodne i cztery drugie.

Pierwsze pochodne: każdy składnik osobno. Przy pochodnej po $x$ litera $y$ jest liczbą — składnik $-9y$ znika, a $y^2$ w $5x^2y^2$ zostaje jako współczynnik.
Drugie po tej samej zmiennej: z wyników kroku 1, tą samą metodą.
Mieszane: pochodną po $x$ liczymy po $y$ i odwrotnie. Obie wyjdą równe — to sprawdzenie.
Gradient i hesjan: porządkujemy wyniki.

Policz pochodną po $x$ . Litera $y$ jest zamrożona (na złoto) — zachowuje się jak liczba. Każdy składnik liczysz osobno.
$\frac{\partial f}{\partial x} = 5 y^{2} \cdot 2 x - 6 y \cdot 1 + 12 - 0 + 0 = 10 x y^{2} - 6 y + 12$
$\frac{\partial f}{\partial x} = 5 y^{2} \cdot 2 x - 6 y \cdot 1 + 12 - 0 + 0 = 10 x y^{2} - 6 y + 12$
Na kartce: $5 y^{2} x^{2} \to 5 y^{2} \cdot 2 x$ $6 y x \to 6 y \cdot 1$ $9 y \to 0$
Dlaczego?
Pomyśl o $y$ jak o liczbie, np. $y = 3$ : wtedy $5 x^{2} y^{2} = 45 x^{2}$ , a $(45 x^{2})^{'} = 90 x$ . Z literą: $5 y^{2} \cdot 2 x = 10 x y^{2}$ . Składnik bez litery $x$ przy zamrożonym $y$ jest zwykłą liczbą, a pochodna liczby to $0$ (wzór 1).
Policz pochodną po $y$ . Teraz zamrożony jest $x$ (na złoto).
$\frac{\partial f}{\partial y} = 5 x^{2} \cdot 2 y - 6 x \cdot 1 + 0 - 9 + 0 = 10 x^{2} y - 6 x - 9$
$\frac{\partial f}{\partial y} = 5 x^{2} \cdot 2 y - 6 x \cdot 1 + 0 - 9 + 0 = 10 x^{2} y - 6 x - 9$
Dlaczego?
Składnik $12 x$ nie ma $y$ — przy zamrożonym $x$ to liczba, pochodna $0$ . Składnik $- 9 y$ daje $- 9$ .
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $x$ ( $y$ znowu zamrożony).
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} = 10 y^{2} \cdot 1 - 0 + 0 = 10 y^{2}$
Dlaczego?
Liczysz z wyniku $10 x y^{2} - 6 y + 12$ . Przy zamrożonym $y$ składniki $- 6 y$ i $12$ są liczbami.
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $y$ ( $x$ zamrożony).
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} = 10 x^{2} \cdot 1 - 0 - 0 = 10 x^{2}$
Policz pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj po $y$ — teraz zamrożony jest $x$ .
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} = 10 x \cdot 2 y - 6 + 0 = 20 x y - 6$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} = 10 x \cdot 2 y - 6 + 0 = 20 x y - 6$
Dlaczego?
Liczysz z $10 x y^{2} - 6 y + 12$ , tym razem po $y$ : $10 x$ to liczba przed $y^{2}$ .
Sprawdź drugą pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj po $x$ ( $y$ zamrożony). Ma wyjść to samo.
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x} = 10 y \cdot 2 x - 6 - 0 = 20 x y - 6$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x} = 10 y \cdot 2 x - 6 - 0 = 20 x y - 6$
Zapisz gradient: wektor (kolumnę) z pierwszych pochodnych cząstkowych — u góry pochodna po $x$ , na dole po $y$ .gradient
$\nabla f (x, y) =$
$10 x y^{2} - 6 y + 12$ $10 x^{2} y - 6 x - 9$
Zapisz hesjan: macierz drugich pochodnych. W pierwszym wierszu pochodne liczone najpierw po $x$ , w drugim — najpierw po $y$ . Na przekątnej stoją drugie pochodne po tej samej zmiennej.hesjan
$H_{f} (x, y) =$
$10 y^{2}$ $20 x y - 6$ $20 x y - 6$ $10 x^{2}$
Dlaczego?
Hesjan jest symetryczny (twierdzenie Schwarza): wyrażenia nad przekątną i pod nią są takie same.

zmienna „zamrożona” — w tej pochodnej traktujesz ją jak liczbę

Gdy w funkcji jest iloczyn, ale tylko jeden czynnik zawiera daną zmienną, reguła iloczynu nie jest potrzebna — drugi czynnik to liczba:

Zadanie · krok po kroku

$f (x, y) = x^{3} ln y$

Zad. 1 d)

Plan — co zrobimy i po co

Cel: dwie pierwsze pochodne i cztery drugie.

Pierwsze pochodne: po $x$ czynnik $\ln y$ to liczba, po $y$ czynnik $x^3$ to liczba. Wystarczy reguła 1 (stała przed funkcją).
Drugie po tej samej zmiennej: $\frac{1}{y}$ zapisujemy jako $y^{-1}$ , żeby użyć wzoru 3.
Mieszane: obie wyjdą $\frac{3x^2}{y}$ .
Gradient i hesjan.

Policz pochodną po $x$ . Litera $y$ jest zamrożona (na złoto) — zachowuje się jak liczba.
$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 x^{2} \cdot ln y = 3 x^{2} ln y$
Dlaczego?
$ln y$ to liczba stojąca przy $x^{3}$ — zostaje (reguła 1), a $(x^{3})^{'} = 3 x^{2}$ . Reguła iloczynu nie jest potrzebna: tylko jeden czynnik ma $x$ .
Policz pochodną po $y$ . Teraz zamrożony jest $x$ (na złoto).
$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{3} \cdot \frac{1}{y} = \frac{x ^{3}}{y}$
Dlaczego?
Teraz $x^{3}$ jest liczbą przed $ln y$ , a $(ln y)^{'} = \frac{1}{y}$ .
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $x$ ( $y$ znowu zamrożony).
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} = 3 ln y \cdot 2 x = 6 x ln y$
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $y$ ( $x$ zamrożony).
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} = x^{3} \cdot (y^{- 1})^{'} = x^{3} \cdot (- y^{- 2}) = - \frac{x ^{3}}{y ^{2}}$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} = x^{3} \cdot (y^{- 1})^{'} = x^{3} \cdot (- y^{- 2}) = - \frac{x ^{3}}{y ^{2}}$
Policz pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj po $y$ — teraz zamrożony jest $x$ .
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} = 3 x^{2} \cdot \frac{1}{y} = \frac{3 x ^{2}}{y}$
Sprawdź drugą pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj po $x$ ( $y$ zamrożony). Ma wyjść to samo.
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x} = 3 x^{2} \cdot \frac{1}{y} = \frac{3 x ^{2}}{y}$
Zapisz gradient: wektor (kolumnę) z pierwszych pochodnych cząstkowych — u góry pochodna po $x$ , na dole po $y$ .gradient
$\nabla f (x, y) =$
$3 x^{2} ln y$ $\frac{x ^{3}}{y}$
Zapisz hesjan: macierz drugich pochodnych. W pierwszym wierszu pochodne liczone najpierw po $x$ , w drugim — najpierw po $y$ . Na przekątnej stoją drugie pochodne po tej samej zmiennej.hesjan
$H_{f} (x, y) =$
$6 x ln y$ $\frac{3 x ^{2}}{y}$ $\frac{3 x ^{2}}{y}$ $- \frac{x ^{3}}{y ^{2}}$
Dlaczego?
Hesjan jest symetryczny (twierdzenie Schwarza): wyrażenia nad przekątną i pod nią są takie same.

zmienna „zamrożona” — w tej pochodnej traktujesz ją jak liczbę

Funkcja złożona — litera siedzi w wykładniku razem z drugą:

Zadanie · krok po kroku

$f (x, y) = e^{x y}$

Zad. 1 f)

Plan — co zrobimy i po co

Cel: dwie pierwsze pochodne i cztery drugie.

Pierwsze pochodne: reguła 5 — $e^{\square}$ razy pochodna wykładnika. Wykładnik $xy$ po $x$ daje $y$ , po $y$ daje $x$ .
Drugie po tej samej zmiennej: w $ye^{xy}$ po $x$ czynnik $y$ jest liczbą — wystarczy reguła 5.
Mieszane: w $ye^{xy}$ po $y$ oba czynniki mają $y$ — tu potrzebna jest reguła iloczynu.
Gradient i hesjan.

Policz pochodną po $x$ . Litera $y$ jest zamrożona (na złoto) — zachowuje się jak liczba. To funkcja złożona: $e^{□}$ z wykładnikiem $x y$ .
$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x y} \cdot (x y)^{'} = e^{x y} \cdot y = y e^{x y}$
Dlaczego?
Pochodna $e^{□}$ to $e^{□}$ razy pochodna wykładnika. Wykładnik $x y$ po $x$ : liczba $y$ razy $x$ , więc pochodna to $y$ .
Policz pochodną po $y$ . Teraz zamrożony jest $x$ (na złoto).
$\frac{\partial f}{\partial y} = e^{x y} \cdot (x y)^{'} = e^{x y} \cdot x = x e^{x y}$
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $x$ ( $y$ znowu zamrożony).
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} = y \cdot e^{x y} \cdot y = y^{2} e^{x y}$
Dlaczego?
W $y e^{x y}$ liczba $y$ stoi z przodu. Pochodna $e^{x y}$ po $x$ to znowu $e^{x y} \cdot y$ .
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $y$ ( $x$ zamrożony).
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} = x \cdot e^{x y} \cdot x = x^{2} e^{x y}$
Policz pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj po $y$ — teraz zamrożony jest $x$ . W $y e^{x y}$ obie części mają $y$ — to iloczyn (reguła 3).
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} = 1 \cdot e^{x y} + y \cdot e^{x y} \cdot x = e^{x y} (1 + x y)$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} = 1 \cdot e^{x y} + y \cdot e^{x y} \cdot x = e^{x y} (1 + x y)$
Dlaczego?
Pierwszy czynnik $y$ : pochodna $1$ . Drugi czynnik $e^{x y}$ : pochodna po $y$ to $e^{x y} \cdot x$ . Na końcu wyłącz $e^{x y}$ przed nawias.
Sprawdź drugą pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj po $x$ ( $y$ zamrożony). Ma wyjść to samo.
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x} = 1 \cdot e^{x y} + x \cdot e^{x y} \cdot y = e^{x y} (1 + x y)$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x} = 1 \cdot e^{x y} + x \cdot e^{x y} \cdot y = e^{x y} (1 + x y)$
Zapisz gradient: wektor (kolumnę) z pierwszych pochodnych cząstkowych — u góry pochodna po $x$ , na dole po $y$ .gradient
$\nabla f (x, y) =$
$y e^{x y}$ $x e^{x y}$
Zapisz hesjan: macierz drugich pochodnych. W pierwszym wierszu pochodne liczone najpierw po $x$ , w drugim — najpierw po $y$ . Na przekątnej stoją drugie pochodne po tej samej zmiennej.hesjan
$H_{f} (x, y) =$
$y^{2} e^{x y}$ $e^{x y} (1 + x y)$ $e^{x y} (1 + x y)$ $x^{2} e^{x y}$
Dlaczego?
Hesjan jest symetryczny (twierdzenie Schwarza): wyrażenia nad przekątną i pod nią są takie same.

zmienna „zamrożona” — w tej pochodnej traktujesz ją jak liczbę

Logarytm z iloczynu:

Zadanie · krok po kroku

$f (x, y) = ln (x^{2} y)$

Zad. 1 h)

Plan — co zrobimy i po co

Cel: dwie pierwsze pochodne i cztery drugie.

Pierwsze pochodne: $\ln \square$ ze środkiem $x^2y$ — reguła 5. Po skróceniu wychodzą bardzo proste wyniki.
Drugie po tej samej zmiennej: potęgi z minusem i wzór 3.
Mieszane: $\frac{2}{x}$ nie ma $y$ , a $\frac{1}{y}$ nie ma $x$ — obie mieszane to $0$ .
Gradient i hesjan.

Policz pochodną po $x$ . Litera $y$ jest zamrożona (na złoto) — zachowuje się jak liczba. To $ln □$ ze środkiem $x^{2} y$ .
$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{x ^{2} y} \cdot 2 x y = \frac{2}{x}$
Na kartce: $\frac{2 x y}{x ^{2} y} = \frac{2}{x}$
Dlaczego?
Inny sposób: $ln (x^{2} y) = ln x^{2} + ln y = 2 ln x + ln y$ (dla $x > 0$ ). Wtedy od razu $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2}{x}$ .
Policz pochodną po $y$ . Teraz zamrożony jest $x$ (na złoto).
$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{x ^{2} y} \cdot x^{2} = \frac{1}{y}$
Dlaczego?
Pochodna środka $x^{2} y$ po $y$ to $x^{2}$ . Skracasz $x^{2}$ .
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $x$ ( $y$ znowu zamrożony).
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} = (2 x^{- 1})^{'} = - 2 x^{- 2} = - \frac{2}{x ^{2}}$
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $y$ ( $x$ zamrożony).
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} = (y^{- 1})^{'} = - \frac{1}{y ^{2}}$
Policz pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj po $y$ — teraz zamrożony jest $x$ .
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} = 0$
Dlaczego?
$\frac{2}{x}$ nie ma litery $y$ .
Sprawdź drugą pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj po $x$ ( $y$ zamrożony). Ma wyjść to samo.
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x} = 0$
Dlaczego?
$\frac{1}{y}$ nie ma litery $x$ .
Zapisz gradient: wektor (kolumnę) z pierwszych pochodnych cząstkowych — u góry pochodna po $x$ , na dole po $y$ .gradient
$\nabla f (x, y) =$
$\frac{2}{x}$ $\frac{1}{y}$
Zapisz hesjan: macierz drugich pochodnych. W pierwszym wierszu pochodne liczone najpierw po $x$ , w drugim — najpierw po $y$ . Na przekątnej stoją drugie pochodne po tej samej zmiennej.hesjan
$H_{f} (x, y) =$
$- \frac{2}{x ^{2}}$ $0$ $0$ $- \frac{1}{y ^{2}}$
Dlaczego?
Hesjan jest symetryczny (twierdzenie Schwarza): wyrażenia nad przekątną i pod nią są takie same.

zmienna „zamrożona” — w tej pochodnej traktujesz ją jak liczbę

Pozostałe przykłady z listy

Ten sam przepis, krok po kroku. Kliknij przykład, żeby go rozwinąć.

Zad. 1 b)

f (x, y) = e^{x} + ln y + 5

Plan — co zrobimy i po co

Cel: dwie pierwsze pochodne i cztery drugie. Nowe tutaj: każdy składnik zależy tylko od jednej zmiennej, więc mieszane pochodne to $0$ .

Policz pochodną po $x$ . Litera $y$ jest zamrożona (na złoto) — zachowuje się jak liczba.
$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x} + 0 + 0 = e^{x}$
Dlaczego?
$ln y$ przy zamrożonym $y$ to liczba (np. $ln 3$ ), więc jej pochodna po $x$ to $0$ . Tak samo $5$ .
Policz pochodną po $y$ . Teraz zamrożony jest $x$ (na złoto).
$\frac{\partial f}{\partial y} = 0 + \frac{1}{y} + 0 = \frac{1}{y}$
Dlaczego?
$e^{x}$ przy zamrożonym $x$ to liczba — pochodna $0$ .
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $x$ ( $y$ znowu zamrożony).
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} = e^{x}$
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $y$ ( $x$ zamrożony).
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} = (y^{- 1})^{'} = - y^{- 2} = - \frac{1}{y ^{2}}$
Dlaczego?
Zapisz $\frac{1}{y}$ jako potęgę $y^{- 1}$ i użyj wzoru 3: $- 1 - 1 = - 2$ .
Policz pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj po $y$ — teraz zamrożony jest $x$ .
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} = 0$
Dlaczego?
Wynik $\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x}$ nie ma litery $y$ — po $y$ to stała, pochodna $0$ .
Sprawdź drugą pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj po $x$ ( $y$ zamrożony). Ma wyjść to samo.
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x} = 0$
Dlaczego?
$\frac{1}{y}$ nie ma litery $x$ .
Zapisz gradient: wektor (kolumnę) z pierwszych pochodnych cząstkowych — u góry pochodna po $x$ , na dole po $y$ .gradient
$\nabla f (x, y) =$
$e^{x}$ $\frac{1}{y}$
Zapisz hesjan: macierz drugich pochodnych. W pierwszym wierszu pochodne liczone najpierw po $x$ , w drugim — najpierw po $y$ . Na przekątnej stoją drugie pochodne po tej samej zmiennej.hesjan
$H_{f} (x, y) =$
$e^{x}$ $0$ $0$ $- \frac{1}{y ^{2}}$
Dlaczego?
Hesjan jest symetryczny (twierdzenie Schwarza): wyrażenia nad przekątną i pod nią są takie same.

zmienna „zamrożona” — w tej pochodnej traktujesz ją jak liczbę

Zad. 1 c)

f (x, y) = 2 x^{2} + x^{2} y + e^{y}

Plan — co zrobimy i po co

Cel: dwie pierwsze pochodne i cztery drugie. Nowe tutaj: w $x^{2} y$ litera zamrożona jest współczynnikiem, a $e^{y}$ przy pochodnej po $x$ znika.

Policz pochodną po $x$ . Litera $y$ jest zamrożona (na złoto) — zachowuje się jak liczba.
$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 \cdot 2 x + y \cdot 2 x + 0 = 4 x + 2 x y$
$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 \cdot 2 x + y \cdot 2 x + 0 = 4 x + 2 x y$
Dlaczego?
W $x^{2} y$ liczba $y$ stoi przed $x^{2}$ jak współczynnik. $e^{y}$ to liczba — pochodna $0$ .
Policz pochodną po $y$ . Teraz zamrożony jest $x$ (na złoto).
$\frac{\partial f}{\partial y} = 0 + x^{2} \cdot 1 + e^{y} = x^{2} + e^{y}$
Dlaczego?
$2 x^{2}$ to liczba. W $x^{2} y$ współczynnikiem przy $y$ jest $x^{2}$ , a $(y)^{'} = 1$ .
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $x$ ( $y$ znowu zamrożony).
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} = 4 + 2 y = 4 + 2 y$
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $y$ ( $x$ zamrożony).
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} = 0 + e^{y} = e^{y}$
Policz pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj po $y$ — teraz zamrożony jest $x$ .
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} = 0 + 2 x \cdot 1 = 2 x$
Sprawdź drugą pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj po $x$ ( $y$ zamrożony). Ma wyjść to samo.
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x} = 2 x + 0 = 2 x$
Zapisz gradient: wektor (kolumnę) z pierwszych pochodnych cząstkowych — u góry pochodna po $x$ , na dole po $y$ .gradient
$\nabla f (x, y) =$
$4 x + 2 x y$ $x^{2} + e^{y}$
Zapisz hesjan: macierz drugich pochodnych. W pierwszym wierszu pochodne liczone najpierw po $x$ , w drugim — najpierw po $y$ . Na przekątnej stoją drugie pochodne po tej samej zmiennej.hesjan
$H_{f} (x, y) =$
$4 + 2 y$ $2 x$ $2 x$ $e^{y}$
Dlaczego?
Hesjan jest symetryczny (twierdzenie Schwarza): wyrażenia nad przekątną i pod nią są takie same.

zmienna „zamrożona” — w tej pochodnej traktujesz ją jak liczbę

Zad. 1 e)

f (x, y) = \frac{x}{y}

Plan — co zrobimy i po co

Cel: dwie pierwsze pochodne i cztery drugie. Nowe tutaj: ułamek $\frac{x}{y}$ zapisujemy jako $x \cdot y^{- 1}$ — bez reguły ilorazu.

Najpierw zapisz ułamek jako iloczyn z potęgą: $\frac{x}{y} = x \cdot \frac{1}{y} = x \cdot y^{- 1}$ .
$f (x, y) = x \cdot y^{- 1}$
Dlaczego?
Wtedy przy każdej zmiennej wystarczy wzór 3 — bez reguły ilorazu.
Policz pochodną po $x$ . Litera $y$ jest zamrożona (na złoto) — zachowuje się jak liczba.
$\frac{\partial f}{\partial x} = 1 \cdot y^{- 1} = \frac{1}{y}$
Dlaczego?
$y^{- 1}$ to liczba przed $x$ , a $(x)^{'} = 1$ .
Policz pochodną po $y$ . Teraz zamrożony jest $x$ (na złoto).
$\frac{\partial f}{\partial y} = x \cdot (- y^{- 2}) = - \frac{x}{y ^{2}}$
Dlaczego?
$(y^{- 1})^{'} = - 1 \cdot y^{- 2}$ .
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $x$ ( $y$ znowu zamrożony).
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} = 0$
Dlaczego?
Wynik $\frac{1}{y}$ nie ma litery $x$ — po $x$ to liczba.
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $y$ ( $x$ zamrożony).
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} = - x \cdot (- 2 y^{- 3}) = \frac{2 x}{y ^{3}}$
Dlaczego?
Minus razy minus daje plus: $- x \cdot (- 2) = 2 x$ .
Policz pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj po $y$ — teraz zamrożony jest $x$ .
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} = (y^{- 1})^{'} = - y^{- 2} = - \frac{1}{y ^{2}}$
Sprawdź drugą pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj po $x$ ( $y$ zamrożony). Ma wyjść to samo.
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x} = - 1 \cdot y^{- 2} = - \frac{1}{y ^{2}}$
Zapisz gradient: wektor (kolumnę) z pierwszych pochodnych cząstkowych — u góry pochodna po $x$ , na dole po $y$ .gradient
$\nabla f (x, y) =$
$\frac{1}{y}$ $- \frac{x}{y ^{2}}$
Zapisz hesjan: macierz drugich pochodnych. W pierwszym wierszu pochodne liczone najpierw po $x$ , w drugim — najpierw po $y$ . Na przekątnej stoją drugie pochodne po tej samej zmiennej.hesjan
$H_{f} (x, y) =$
$0$ $- \frac{1}{y ^{2}}$ $- \frac{1}{y ^{2}}$ $\frac{2 x}{y ^{3}}$
Dlaczego?
Hesjan jest symetryczny (twierdzenie Schwarza): wyrażenia nad przekątną i pod nią są takie same.

zmienna „zamrożona” — w tej pochodnej traktujesz ją jak liczbę

Zad. 1 g)

f (x, y) = x \cdot 3 y

Plan — co zrobimy i po co

Cel: dwie pierwsze pochodne i cztery drugie. Nowe tutaj: pierwiastki jako potęgi i rachunki na ułamkach w wykładnikach.

Zapisz pierwiastki jako potęgi: $x = x^{\frac{1}{2}}$ , $3 y = y^{\frac{1}{3}}$ .
$f (x, y) = x^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{3}}$
Policz pochodną po $x$ . Litera $y$ jest zamrożona (na złoto) — zachowuje się jak liczba.
$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{3}} = \frac{3 y}{2 x}$
Na kartce: $\frac{1}{2} - 1 = - \frac{1}{2}$
Policz pochodną po $y$ . Teraz zamrożony jest $x$ (na złoto).
$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{3} y^{- \frac{2}{3}} = \frac{x}{3 3 y ^{2}}$
Na kartce: $\frac{1}{3} - 1 = - \frac{2}{3}$
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $x$ ( $y$ znowu zamrożony).
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2}) x^{- \frac{3}{2}} \cdot y^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{4} x^{- \frac{3}{2}} y^{\frac{1}{3}}$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2}) x^{- \frac{3}{2}} \cdot y^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{4} x^{- \frac{3}{2}} y^{\frac{1}{3}}$
Na kartce: $- \frac{1}{2} - 1 = - \frac{3}{2}$ $\frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4}$
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $y$ ( $x$ zamrożony).
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} = x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3}) y^{- \frac{5}{3}} = - \frac{2}{9} x^{\frac{1}{2}} y^{- \frac{5}{3}}$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} = x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3}) y^{- \frac{5}{3}} = - \frac{2}{9} x^{\frac{1}{2}} y^{- \frac{5}{3}}$
Na kartce: $- \frac{2}{3} - 1 = - \frac{5}{3}$ $\frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3}) = - \frac{2}{9}$
Policz pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj po $y$ — teraz zamrożony jest $x$ .
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{3} y^{- \frac{2}{3}} = \frac{1}{6} x^{- \frac{1}{2}} y^{- \frac{2}{3}}$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{3} y^{- \frac{2}{3}} = \frac{1}{6} x^{- \frac{1}{2}} y^{- \frac{2}{3}}$
Na kartce: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$
Sprawdź drugą pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj po $x$ ( $y$ zamrożony). Ma wyjść to samo.
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x} = \frac{1}{3} y^{- \frac{2}{3}} \cdot \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{6} x^{- \frac{1}{2}} y^{- \frac{2}{3}}$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x} = \frac{1}{3} y^{- \frac{2}{3}} \cdot \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{6} x^{- \frac{1}{2}} y^{- \frac{2}{3}}$
Zapisz gradient: wektor (kolumnę) z pierwszych pochodnych cząstkowych — u góry pochodna po $x$ , na dole po $y$ .gradient
$\nabla f (x, y) =$
$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} y^{\frac{1}{3}}$ $\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} y^{- \frac{2}{3}}$
Zapisz hesjan: macierz drugich pochodnych. W pierwszym wierszu pochodne liczone najpierw po $x$ , w drugim — najpierw po $y$ . Na przekątnej stoją drugie pochodne po tej samej zmiennej.hesjan
$H_{f} (x, y) =$
$- \frac{1}{4} x^{- \frac{3}{2}} y^{\frac{1}{3}}$ $\frac{1}{6} x^{- \frac{1}{2}} y^{- \frac{2}{3}}$ $\frac{1}{6} x^{- \frac{1}{2}} y^{- \frac{2}{3}}$ $- \frac{2}{9} x^{\frac{1}{2}} y^{- \frac{5}{3}}$
Dlaczego?
Hesjan jest symetryczny (twierdzenie Schwarza): wyrażenia nad przekątną i pod nią są takie same.

zmienna „zamrożona” — w tej pochodnej traktujesz ją jak liczbę

Zad. 1 i)

f (x, y) = x^{2} y + x y^{2} + ln x \cdot ln y

Plan — co zrobimy i po co

Cel: dwie pierwsze pochodne i cztery drugie. Nowe tutaj: trzy składniki, w tym iloczyn logarytmów — w każdej pochodnej jeden z nich jest liczbą.

Policz pochodną po $x$ . Litera $y$ jest zamrożona (na złoto) — zachowuje się jak liczba.
$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y + y^{2} + \frac{1}{x} \cdot ln y = 2 x y + y^{2} + \frac{ln y}{x}$
$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y + y^{2} + \frac{1}{x} \cdot ln y = 2 x y + y^{2} + \frac{ln y}{x}$
Dlaczego?
W $ln x \cdot ln y$ tylko $ln x$ ma $x$ — reguła iloczynu niepotrzebna.
Policz pochodną po $y$ . Teraz zamrożony jest $x$ (na złoto).
$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} + 2 x y + ln x \cdot \frac{1}{y} = x^{2} + 2 x y + \frac{ln x}{y}$
$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} + 2 x y + ln x \cdot \frac{1}{y} = x^{2} + 2 x y + \frac{ln x}{y}$
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $x$ ( $y$ znowu zamrożony).
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} = 2 y + 0 + ln y \cdot (- x^{- 2}) = 2 y - \frac{ln y}{x ^{2}}$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} = 2 y + 0 + ln y \cdot (- x^{- 2}) = 2 y - \frac{ln y}{x ^{2}}$
Dlaczego?
$\frac{l n y}{x} = ln y \cdot x^{- 1}$ , a $(x^{- 1})^{'} = - x^{- 2}$ .
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $y$ ( $x$ zamrożony).
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} = 0 + 2 x + ln x \cdot (- y^{- 2}) = 2 x - \frac{ln x}{y ^{2}}$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} = 0 + 2 x + ln x \cdot (- y^{- 2}) = 2 x - \frac{ln x}{y ^{2}}$
Policz pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj po $y$ — teraz zamrożony jest $x$ .
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} = 2 x + 2 y + \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{x} = 2 x + 2 y + \frac{1}{x y}$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} = 2 x + 2 y + \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{x} = 2 x + 2 y + \frac{1}{x y}$
Sprawdź drugą pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj po $x$ ( $y$ zamrożony). Ma wyjść to samo.
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x} = 2 x + 2 y + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y} = 2 x + 2 y + \frac{1}{x y}$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x} = 2 x + 2 y + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y} = 2 x + 2 y + \frac{1}{x y}$
Zapisz gradient: wektor (kolumnę) z pierwszych pochodnych cząstkowych — u góry pochodna po $x$ , na dole po $y$ .gradient
$\nabla f (x, y) =$
$2 x y + y^{2} + \frac{ln y}{x}$ $x^{2} + 2 x y + \frac{ln x}{y}$
Zapisz hesjan: macierz drugich pochodnych. W pierwszym wierszu pochodne liczone najpierw po $x$ , w drugim — najpierw po $y$ . Na przekątnej stoją drugie pochodne po tej samej zmiennej.hesjan
$H_{f} (x, y) =$
$2 y - \frac{ln y}{x ^{2}}$ $2 x + 2 y + \frac{1}{x y}$ $2 x + 2 y + \frac{1}{x y}$ $2 x - \frac{ln x}{y ^{2}}$
Dlaczego?
Hesjan jest symetryczny (twierdzenie Schwarza): wyrażenia nad przekątną i pod nią są takie same.

zmienna „zamrożona” — w tej pochodnej traktujesz ją jak liczbę

Zad. 1 j)

f (x, y) = \frac{x ^{3}}{y ^{2}}

Plan — co zrobimy i po co

Cel: dwie pierwsze pochodne i cztery drugie. Nowe tutaj: $\frac{1}{y ^{2}} = y^{- 2}$ i wykładniki ujemne.

Zapisz ułamek jako iloczyn z potęgą: $\frac{1}{y ^{2}} = y^{- 2}$ .
$f (x, y) = x^{3} \cdot y^{- 2}$
Policz pochodną po $x$ . Litera $y$ jest zamrożona (na złoto) — zachowuje się jak liczba.
$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 x^{2} \cdot y^{- 2} = \frac{3 x ^{2}}{y ^{2}}$
Policz pochodną po $y$ . Teraz zamrożony jest $x$ (na złoto).
$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{3} \cdot (- 2 y^{- 3}) = - \frac{2 x ^{3}}{y ^{3}}$
Na kartce: $- 2 - 1 = - 3$
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $x$ ( $y$ znowu zamrożony).
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} = 3 \cdot 2 x \cdot y^{- 2} = \frac{6 x}{y ^{2}}$
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $y$ ( $x$ zamrożony).
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} = - 2 x^{3} \cdot (- 3 y^{- 4}) = \frac{6 x ^{3}}{y ^{4}}$
Na kartce: $- 2 \cdot (- 3) = 6$ $- 3 - 1 = - 4$
Policz pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj po $y$ — teraz zamrożony jest $x$ .
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} = 3 x^{2} \cdot (- 2 y^{- 3}) = - \frac{6 x ^{2}}{y ^{3}}$
Sprawdź drugą pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj po $x$ ( $y$ zamrożony). Ma wyjść to samo.
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x} = - 2 \cdot 3 x^{2} \cdot y^{- 3} = - \frac{6 x ^{2}}{y ^{3}}$
Zapisz gradient: wektor (kolumnę) z pierwszych pochodnych cząstkowych — u góry pochodna po $x$ , na dole po $y$ .gradient
$\nabla f (x, y) =$
$\frac{3 x ^{2}}{y ^{2}}$ $- \frac{2 x ^{3}}{y ^{3}}$
Zapisz hesjan: macierz drugich pochodnych. W pierwszym wierszu pochodne liczone najpierw po $x$ , w drugim — najpierw po $y$ . Na przekątnej stoją drugie pochodne po tej samej zmiennej.hesjan
$H_{f} (x, y) =$
$\frac{6 x}{y ^{2}}$ $- \frac{6 x ^{2}}{y ^{3}}$ $- \frac{6 x ^{2}}{y ^{3}}$ $\frac{6 x ^{3}}{y ^{4}}$
Dlaczego?
Hesjan jest symetryczny (twierdzenie Schwarza): wyrażenia nad przekątną i pod nią są takie same.

zmienna „zamrożona” — w tej pochodnej traktujesz ją jak liczbę

Zad. 1 k)

f (x, y) = \frac{l n x}{l n y} + 2 e^{x} - 9 e^{y} + 121

Plan — co zrobimy i po co

Cel: dwie pierwsze pochodne i cztery drugie. Nowe tutaj: $ln y$ w mianowniku — przy pochodnej po $y$ to funkcja złożona $(ln y)^{- 1}$ . Najdłuższy rachunek na liście.

Zapisz ułamek jako iloczyn: $\frac{l n x}{l n y} = ln x \cdot (ln y)^{- 1}$ .
$f (x, y) = ln x \cdot (ln y)^{- 1} + 2 e^{x} - 9 e^{y} + 121$
$f (x, y) = ln x \cdot (ln y)^{- 1} + 2 e^{x} - 9 e^{y} + 121$
Dlaczego?
Przy pochodnej po $x$ mianownik $ln y$ to po prostu liczba. Przy pochodnej po $y$ łatwiej liczyć potęgę $(ln y)^{- 1}$ niż iloraz.
Policz pochodną po $x$ . Litera $y$ jest zamrożona (na złoto) — zachowuje się jak liczba.
$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{ln y} + 2 e^{x} - 0 + 0 = \frac{1}{x ln y} + 2 e^{x}$
$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{ln y} + 2 e^{x} - 0 + 0 = \frac{1}{x ln y} + 2 e^{x}$
Policz pochodną po $y$ . Teraz zamrożony jest $x$ (na złoto). $(ln y)^{- 1}$ to funkcja złożona: potęga z $ln y$ .
$\frac{\partial f}{\partial y} = ln x \cdot (- 1) (ln y)^{- 2} \cdot \frac{1}{y} - 9 e^{y} = - \frac{ln x}{y ln ^{2} y} - 9 e^{y}$
$\frac{\partial f}{\partial y} = ln x \cdot (- 1) (ln y)^{- 2} \cdot \frac{1}{y} - 9 e^{y} = - \frac{ln x}{y ln ^{2} y} - 9 e^{y}$
Dlaczego?
Wykładnik $- 1$ schodzi przed nawias, w wykładniku zostaje $- 2$ , a na końcu mnożysz przez pochodną środka: $(ln y)^{'} = \frac{1}{y}$ . $ln^{2} y$ to $(ln y)^{2}$ .
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $x$ ( $y$ znowu zamrożony).
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} = - \frac{1}{x ^{2}} \cdot \frac{1}{ln y} + 2 e^{x} = - \frac{1}{x ^{2} ln y} + 2 e^{x}$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} = - \frac{1}{x ^{2}} \cdot \frac{1}{ln y} + 2 e^{x} = - \frac{1}{x ^{2} ln y} + 2 e^{x}$
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $y$ ( $x$ zamrożony). Część z $y$ to iloczyn $y^{- 1} \cdot (ln y)^{- 2}$ — reguła iloczynu.
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} = - ln x \cdot (- \frac{1}{y ^{2} ln ^{2} y} - \frac{2}{y ^{2} ln ^{3} y}) - 9 e^{y} = \frac{ln x}{y ^{2} ln ^{2} y} + \frac{2 ln x}{y ^{2} ln ^{3} y} - 9 e^{y}$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} = - ln x \cdot (- \frac{1}{y ^{2} ln ^{2} y} - \frac{2}{y ^{2} ln ^{3} y}) - 9 e^{y} = \frac{ln x}{y ^{2} ln ^{2} y} + \frac{2 ln x}{y ^{2} ln ^{3} y} - 9 e^{y}$
Na kartce: $(y^{- 1})^{'} = - y^{- 2}$ $((ln y)^{- 2})^{'} = - 2 (ln y)^{- 3} \cdot \frac{1}{y}$ $- y^{- 2} \cdot (ln y)^{- 2} = - \frac{1}{y ^{2} l n ^{2} y}$ $y^{- 1} \cdot (- 2 (ln y)^{- 3} \cdot \frac{1}{y}) = - \frac{2}{y ^{2} l n ^{3} y}$
Dlaczego?
Reguła iloczynu (reguła 3): pochodna pierwszego czynnika razy drugi plus pierwszy razy pochodna drugiego. Pierwszy czynnik to $y^{- 1}$ , drugi — $(ln y)^{- 2}$ . Dwa kawałki z kartki to właśnie te dwa iloczyny.
Policz pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj po $y$ — teraz zamrożony jest $x$ .
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} = \frac{1}{x} \cdot (- 1) (ln y)^{- 2} \cdot \frac{1}{y} = - \frac{1}{x y ln ^{2} y}$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} = \frac{1}{x} \cdot (- 1) (ln y)^{- 2} \cdot \frac{1}{y} = - \frac{1}{x y ln ^{2} y}$
Sprawdź drugą pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj po $x$ ( $y$ zamrożony). Ma wyjść to samo.
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x} = - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y ln ^{2} y} - 0 = - \frac{1}{x y ln ^{2} y}$
Zapisz gradient: wektor (kolumnę) z pierwszych pochodnych cząstkowych — u góry pochodna po $x$ , na dole po $y$ .gradient
$\nabla f (x, y) =$
$\frac{1}{x ln y} + 2 e^{x}$ $- \frac{ln x}{y ln ^{2} y} - 9 e^{y}$
Zapisz hesjan: macierz drugich pochodnych. W pierwszym wierszu pochodne liczone najpierw po $x$ , w drugim — najpierw po $y$ . Na przekątnej stoją drugie pochodne po tej samej zmiennej.hesjan
$H_{f} (x, y) =$
$- \frac{1}{x ^{2} ln y} + 2 e^{x}$ $- \frac{1}{x y ln ^{2} y}$ $- \frac{1}{x y ln ^{2} y}$ $\frac{ln x}{y ^{2} ln ^{2} y} + \frac{2 ln x}{y ^{2} ln ^{3} y} - 9 e^{y}$
Dlaczego?
Hesjan jest symetryczny (twierdzenie Schwarza): wyrażenia nad przekątną i pod nią są takie same.

zmienna „zamrożona” — w tej pochodnej traktujesz ją jak liczbę

Zad. 1 l)

f (x, y) = x^{3} e^{x + y}

Plan — co zrobimy i po co

Cel: dwie pierwsze pochodne i cztery drugie. Nowe tutaj: reguła iloczynu przy pochodnej po $x$ , a po $y$ czynnik $x^{3}$ to liczba.

Policz pochodną po $x$ . Litera $y$ jest zamrożona (na złoto) — zachowuje się jak liczba. Oba czynniki mają $x$ — reguła iloczynu.
$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 x^{2} \cdot e^{x + y} + x^{3} \cdot e^{x + y} = e^{x + y} (x^{3} + 3 x^{2})$
$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 x^{2} \cdot e^{x + y} + x^{3} \cdot e^{x + y} = e^{x + y} (x^{3} + 3 x^{2})$
Na kartce: $(e^{x + y})^{'} = e^{x + y} \cdot 1$
Dlaczego?
Wykładnik $x + y$ ma po $x$ pochodną $1$ , więc $e^{x + y}$ „przepisujesz”.
Policz pochodną po $y$ . Teraz zamrożony jest $x$ (na złoto).
$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{3} \cdot e^{x + y} \cdot 1 = x^{3} e^{x + y}$
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $x$ ( $y$ znowu zamrożony). Znowu iloczyn: $e^{x + y}$ razy $(x^{3} + 3 x^{2})$ .
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} = e^{x + y} (x^{3} + 3 x^{2}) + e^{x + y} (3 x^{2} + 6 x) = e^{x + y} (x^{3} + 6 x^{2} + 6 x)$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} = e^{x + y} (x^{3} + 3 x^{2}) + e^{x + y} (3 x^{2} + 6 x) = e^{x + y} (x^{3} + 6 x^{2} + 6 x)$
Na kartce: $3 x^{2} + 3 x^{2} = 6 x^{2}$
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $y$ ( $x$ zamrożony).
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} = x^{3} \cdot e^{x + y} = x^{3} e^{x + y}$
Policz pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj po $y$ — teraz zamrożony jest $x$ .
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} = e^{x + y} \cdot (x^{3} + 3 x^{2}) = e^{x + y} (x^{3} + 3 x^{2})$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} = e^{x + y} \cdot (x^{3} + 3 x^{2}) = e^{x + y} (x^{3} + 3 x^{2})$
Dlaczego?
Nawias $(x^{3} + 3 x^{2})$ nie ma $y$ — to liczba przed $e^{x + y}$ .
Sprawdź drugą pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj po $x$ ( $y$ zamrożony). Ma wyjść to samo.
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x} = 3 x^{2} \cdot e^{x + y} + x^{3} \cdot e^{x + y} = e^{x + y} (x^{3} + 3 x^{2})$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x} = 3 x^{2} \cdot e^{x + y} + x^{3} \cdot e^{x + y} = e^{x + y} (x^{3} + 3 x^{2})$
Zapisz gradient: wektor (kolumnę) z pierwszych pochodnych cząstkowych — u góry pochodna po $x$ , na dole po $y$ .gradient
$\nabla f (x, y) =$
$e^{x + y} (x^{3} + 3 x^{2})$ $x^{3} e^{x + y}$
Zapisz hesjan: macierz drugich pochodnych. W pierwszym wierszu pochodne liczone najpierw po $x$ , w drugim — najpierw po $y$ . Na przekątnej stoją drugie pochodne po tej samej zmiennej.hesjan
$H_{f} (x, y) =$
$e^{x + y} (x^{3} + 6 x^{2} + 6 x)$ $e^{x + y} (x^{3} + 3 x^{2})$ $e^{x + y} (x^{3} + 3 x^{2})$ $x^{3} e^{x + y}$
Dlaczego?
Hesjan jest symetryczny (twierdzenie Schwarza): wyrażenia nad przekątną i pod nią są takie same.

zmienna „zamrożona” — w tej pochodnej traktujesz ją jak liczbę

Pułapka· Typowe błędy przy pochodnych cząstkowych

Zamrożona litera wyzerowana. $(x^2y)$ po $x$ to $2xy$ , nie $2x$ ani $0$ . Zero daje tylko składnik, w którym nie ma liczonej litery.
Reguła iloczynu bez potrzeby. W $x^3\ln y$ po $x$ czynnik $\ln y$ to liczba: $3x^2\ln y$ . Reguła iloczynu też da dobry wynik, ale rachunek będzie dłuższy.
Brak reguły iloczynu, gdy jest potrzebna. W $ye^{xy}$ po $y$ oba czynniki mają $y$ — tu reguła iloczynu jest konieczna.
Mieszana pochodna z $f$ zamiast z pierwszej pochodnej. $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ liczysz z wyniku $\frac{\partial f}{\partial x}$ , nie z wyjściowej funkcji.
Różne pochodne mieszane. Jeśli wyszły różne, to znak błędu — dla funkcji z listy muszą być równe.

Gradient i hesjan w punkcie

Cel: liczby zamiast wzorów — wartości pochodnych cząstkowych w jednym punkcie.

Dla Zad. 1 a) w punkcie $(1, 1)$ — wzory z rozwiązania wyżej:

\nabla f (1, 1) =

10 \cdot 1 \cdot 1^{2} - 6 \cdot 1 + 12

10 \cdot 1^{2} \cdot 1 - 6 \cdot 1 - 9

16

- 5

H_{f} (1, 1) =

10 \cdot 1^{2}

20 \cdot 1 \cdot 1 - 6

20 \cdot 1 \cdot 1 - 6

10 \cdot 1^{2}

10

14

14

10

Jak czytać: każdy element to ten sam wzór co w ogólnym gradiencie i hesjanie, tylko z liczbami zamiast liter. Na przykład $10 - 6 + 12 = 16$ i $10 - 6 - 9 = -5$ .

Punkty stacjonarne: warunek konieczny

Cel: wszystkie pary $(x, y)$ , w których obie pierwsze pochodne cząstkowe są równe zeru. To krok 2 procedury i zwykle najtrudniejsza część zadania o ekstremach — reszta to rachunek według wzoru.

Polecenie na kolokwium· Wyznacz punkty stacjonarne

Rozwiąż układ $\nabla f(x, y) = 0$ , np. dla $f(x, y) = -x^3 - y^3 + 3xy$ .

Ułóż układ: $\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ i $\frac{\partial f}{\partial y} = 0$ .
Układ liniowy (same $x$ i $y$ bez potęg, jak w Zad. 2 a)): z jednego równania wyznacz zmienną i wstaw do drugiego albo dodaj równania stronami — tak jak w module 5.
Układ z potęgami: z prostszego równania wyznacz jedną zmienną (np. $y = x^2$ ) i wstaw do drugiego. Zostaje równanie z jedną niewiadomą.
Iloczyn równy zeru: wyłącz wspólny czynnik przed nawias, np. $3x(1 - x^3) = 0$ . Każdy czynnik przyrównaj do zera osobno — każdy daje osobne rozwiązania.
Ułamki: pomnóż równanie przez mianownik (nie może być zerem — pilnuj dziedziny).
Każde rozwiązanie zapisz jako punkt $P = (x, y)$ : do każdego $x$ policz jego $y$ . Odrzuć punkty spoza dziedziny.
Sprzeczność (np. $0 = -4$ ) znaczy: brak punktów stacjonarnych, więc brak ekstremów.

Przykład rozwiązany na zajęciach — układ, który nie ma rozwiązań. (Funkcję z ramki, $-x^3 - y^3 + 3xy$ , rozwiązujemy niżej jako Zad. 2 e).)

Zadanie · krok po kroku

$f (x, y) = x^{2} + y^{2} - 2 x y + 2 x + 2 y + 1$

Zad. 2 g)

Plan — co zrobimy i po co

Cel: ekstrema — albo informacja, że ich nie ma.

Pierwsze pochodne: każdy składnik osobno.
Warunek konieczny: układ $\nabla f = 0$ . Ustawiamy $x$ pod $x$ i $y$ pod $y$ i dodajemy równania. Wychodzi fałsz, więc punktów stacjonarnych nie ma i dalsze kroki odpadają.

Policz pochodną po $x$ . Litera $y$ jest zamrożona (na złoto) — zachowuje się jak liczba.
$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x + 0 - 2 y \cdot 1 + 2 + 0 + 0 = 2 x - 2 y + 2$
$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x + 0 - 2 y \cdot 1 + 2 + 0 + 0 = 2 x - 2 y + 2$
Policz pochodną po $y$ . Teraz zamrożony jest $x$ (na złoto).
$\frac{\partial f}{\partial y} = 0 + 2 y - 2 x \cdot 1 + 0 + 2 + 0 = 2 y - 2 x + 2$
$\frac{\partial f}{\partial y} = 0 + 2 y - 2 x \cdot 1 + 0 + 2 + 0 = 2 y - 2 x + 2$
Sprawdź warunek konieczny: obie pierwsze pochodne cząstkowe przyrównaj do zera. Wychodzi układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi.
$\nabla f (x, y) = 0 ⟺ {2 x - 2 y + 2 = 0 2 y - 2 x + 2 = 0$
Przenieś liczby na prawą stronę i ustaw $x$ pod $x$ , a $y$ pod $y$ — tak jak na zajęciach.
${2 x - 2 y = - 2 - 2 x + 2 y = - 2$
Dodaj równania stronami: $2 x - 2 x = 0$ , $- 2 y + 2 y = 0$ , a po prawej $- 2 + (- 2) = - 4$ . Wychodzi fałsz.
$0 = - 4$
Dlaczego?
Układ jest sprzeczny — nie ma rozwiązań. Nie ma więc punktów stacjonarnych, a bez nich nie ma ekstremów. Kroki 3–6 odpadają.
Zapisz odpowiedź. Układ nie ma rozwiązań — nie ma punktów stacjonarnych, więc funkcja nie ma ekstremów.
$brak punkt o ˊ w stacjonarnych brak ekstrem o ˊ w$
Dlaczego?
Tak samo rozwiązano to zadanie na zajęciach: układ sprzeczny, brak punktów stacjonarnych, brak ekstremów.

zmienna „zamrożona” — w tej pochodnej traktujesz ją jak liczbę

Ekstrema bezwarunkowe

Cel: przy każdym punkcie stacjonarnym jeden z wniosków — maksimum, minimum albo brak ekstremum — i przy ekstremum jego wartość.

Polecenie na kolokwium· Wyznacz ekstrema bezwarunkowe funkcji

Wyznacz ekstrema bezwarunkowe funkcji, np. $f(x, y) = x^2 + y^2 + xy - 6x - 9y$ .

Procedura ze slajdu, sześć kroków:

Pierwsze pochodne cząstkowe $\frac{\partial f}{\partial x}$ , $\frac{\partial f}{\partial y}$ .
Warunek konieczny: $\nabla f(x, y) = 0$ — rozwiąż układ (przepis wyżej). Wyjdą punkty stacjonarne $P_0 = (x_0, y_0)$ . Gdy ich nie ma — koniec: brak ekstremów.
Drugie pochodne cząstkowe: wszystkie cztery.
Hesjan $H_f(x, y)$ i wstawienie do niego każdego punktu stacjonarnego osobno: $H_f(x_0, y_0)$ .
Wyznacznik $W(P_0) = \det H_f(x_0, y_0)$ dla każdego punktu.
Warunek dostateczny: $W > 0$ i $a_{11} < 0$ — maksimum; $W > 0$ i $a_{11} > 0$ — minimum; $W < 0$ — brak ekstremum; $W = 0$ — nie wiadomo. Wartość ekstremum: wstaw punkt do wzoru funkcji $f$ , np. $f_{\min}(1, 4) = -21$ .

Zapis wyniku jak w module 9: $f_{\min}(1, 4) = -21$ czytamy „minimum funkcji w punkcie $(1, 4)$ wynosi $-21$ ”. W nawiasie punkt (gdzie), po znaku równości wartość (ile).

Zadanie · krok po kroku

$f (x, y) = x^{2} + y^{2} + x y - 6 x - 9 y$

Zad. 2 a)

Plan — co zrobimy i po co

Cel: ekstrema — gdzie są i jakie mają wartości.

Pierwsze pochodne: każdy składnik osobno, druga litera zamrożona.
Warunek konieczny: układ jest liniowy — wyznaczamy $y$ z pierwszego równania i wstawiamy do drugiego. Wyjdzie jeden punkt.
Drugie pochodne: same liczby — hesjan nie zależy od punktu.
Hesjan w punkcie.
Wyznacznik $W$ .
Warunek dostateczny i wartość minimum ze wzoru funkcji.

Policz pochodną po $x$ . Litera $y$ jest zamrożona (na złoto) — zachowuje się jak liczba.
$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x + 0 + y \cdot 1 - 6 - 0 = 2 x + y - 6$
$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x + 0 + y \cdot 1 - 6 - 0 = 2 x + y - 6$
Policz pochodną po $y$ . Teraz zamrożony jest $x$ (na złoto).
$\frac{\partial f}{\partial y} = 0 + 2 y + x \cdot 1 - 0 - 9 = 2 y + x - 9$
$\frac{\partial f}{\partial y} = 0 + 2 y + x \cdot 1 - 0 - 9 = 2 y + x - 9$
Sprawdź warunek konieczny: obie pierwsze pochodne cząstkowe przyrównaj do zera. Wychodzi układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi.
$\nabla f (x, y) = 0 ⟺ {2 x + y - 6 = 0 2 y + x - 9 = 0$
Z pierwszego równania wyznacz $y$ i wstaw do drugiego.
$y = 6 - 2 x \Rightarrow 2 (6 - 2 x) + x - 9 = 0$
$y = 6 - 2 x \Rightarrow 2 (6 - 2 x) + x - 9 = 0$
Dlaczego?
Pierwsze równanie ma samo $y$ (bez liczby przed nim) — z niego najłatwiej wyznaczyć $y$ .
Wymnóż nawias i rozwiąż równanie z jedną niewiadomą.
$12 - 4 x + x - 9 = 0 ⟺ - 3 x + 3 = 0 ⟺ x = 1$
$12 - 4 x + x - 9 = 0 ⟺ - 3 x + 3 = 0 ⟺ x = 1$
Na kartce: $2 \cdot (6 - 2 x) = 12 - 4 x$ $x - 4 x = - 3 x$ $12 - 9 = 3$
Wstaw $x = 1$ do wzoru na $y$ . Jeden punkt stacjonarny.
$y = 6 - 2 \cdot 1 = 4, P_{0} = (1, 4)$
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $x$ ( $y$ znowu zamrożony).
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} = 2$
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $y$ ( $x$ zamrożony).
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} = 2$
Policz pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj po $y$ — teraz zamrożony jest $x$ .
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} = 0 + 1 - 0 = 1$
Sprawdź drugą pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj po $x$ ( $y$ zamrożony). Ma wyjść to samo.
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x} = 0 + 1 - 0 = 1$
Ułóż drugie pochodne w hesjan. W pierwszym wierszu: $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}}$ i $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}$ , w drugim: $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x}$ i $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}}$ .hesjan
$H_{f} (x, y) =$
$2$ $1$ $1$ $2$
Wstaw punkt $P_{0} = (1, 4)$ do hesjanu. W hesjanie nie ma ani $x$ , ani $y$ — same liczby — więc w każdym punkcie jest taki sam.
$H_{f} (1, 4) =$
$2$ $1$ $1$ $2$
Policz wyznacznik: iloczyn liczb na przekątnej (lewy górny razy prawy dolny) minus iloczyn liczb na drugiej przekątnej (prawy górny razy lewy dolny).
$W (P_{0}) = det H_{f} (1, 4) = 2 \cdot 2 - 1 \cdot 1 = 4 - 1 = 3$
$W (P_{0}) = det H_{f} (1, 4) = 2 \cdot 2 - 1 \cdot 1 = 4 - 1 = 3$
Sprawdź warunek dostateczny. $W > 0$ , więc w punkcie $P_{0} = (1, 4)$ jest ekstremum. Lewy górny element hesjanu $a_{11} = 2$ jest dodatni — to minimum.
$W (P_{0}) = 3 > 0, a_{11} = 2 > 0 \Rightarrow minimum$
$W (P_{0}) = 3 > 0, a_{11} = 2 > 0 \Rightarrow minimum$
Policz wartość minimum: wstaw $x = 1$ i $y = 4$ do wzoru funkcji $f$ .
$f_{m i n} (1, 4) = 1^{2} + 4^{2} + 1 \cdot 4 - 6 \cdot 1 - 9 \cdot 4 = 1 + 16 + 4 - 6 - 36 = - 21$
$f_{m i n} (1, 4) = 1^{2} + 4^{2} + 1 \cdot 4 - 6 \cdot 1 - 9 \cdot 4 = 1 + 16 + 4 - 6 - 36 = - 21$
Zapisz odpowiedź. Minimum w punkcie $(1, 4)$ , równe $- 21$ .
$f_{m i n} (1, 4) = - 21$

zmienna „zamrożona” — w tej pochodnej traktujesz ją jak liczbę

Dwa punkty stacjonarne — i tylko w jednym ekstremum:

Zadanie · krok po kroku

$f (x, y) = - x^{3} - y^{3} + 3 x y$

Zad. 2 e)

Plan — co zrobimy i po co

Cel: ekstrema — gdzie są i jakie mają wartości.

Pierwsze pochodne.
Warunek konieczny: z pierwszego równania $y = x^2$ , wstawiamy do drugiego. Wyłączamy $3x$ przed nawias — wychodzą dwa punkty.
Drugie pochodne: tym razem zależą od $x$ i $y$ .
Hesjan w każdym punkcie osobno — w każdym wyjdą inne liczby.
Wyznacznik dla każdego punktu.
Warunek dostateczny: w $(0, 0)$ siodło, w $(1, 1)$ maksimum.

Policz pochodną po $x$ . Litera $y$ jest zamrożona (na złoto) — zachowuje się jak liczba.
$\frac{\partial f}{\partial x} = - 3 x^{2} - 0 + 3 y \cdot 1 = - 3 x^{2} + 3 y$
$\frac{\partial f}{\partial x} = - 3 x^{2} - 0 + 3 y \cdot 1 = - 3 x^{2} + 3 y$
Policz pochodną po $y$ . Teraz zamrożony jest $x$ (na złoto).
$\frac{\partial f}{\partial y} = 0 - 3 y^{2} + 3 x \cdot 1 = - 3 y^{2} + 3 x$
Sprawdź warunek konieczny: obie pierwsze pochodne cząstkowe przyrównaj do zera. Wychodzi układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi.
$\nabla f (x, y) = 0 ⟺ {- 3 x^{2} + 3 y = 0 - 3 y^{2} + 3 x = 0$
Z pierwszego równania wyznacz $y$ i wstaw do drugiego.
$3 y = 3 x^{2} ⟺ y = x^{2} \Rightarrow - 3 (x^{2})^{2} + 3 x = 0$
$3 y = 3 x^{2} ⟺ y = x^{2} \Rightarrow - 3 (x^{2})^{2} + 3 x = 0$
Na kartce: $(x^{2})^{2} = x^{4}$
Dlaczego?
Z pierwszego, bo $y$ stoi tam bez potęgi — łatwo go wyznaczyć.
Wyłącz $3 x$ przed nawias. Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem.
$- 3 x^{4} + 3 x = 0 ⟺ 3 x (1 - x^{3}) = 0 ⟺ x = 0 lub x = 1$
$- 3 x^{4} + 3 x = 0 ⟺ 3 x (1 - x^{3}) = 0 ⟺ x = 0 lub x = 1$
Na kartce: $1 - x^{3} = 0 ⟺ x^{3} = 1 ⟺ x = 1$
Dlaczego?
Nie dziel przez $x$ — zgubisz rozwiązanie $x = 0$ .
Policz $y = x^{2}$ : $0^{2} = 0$ i $1^{2} = 1$ . Dwa punkty stacjonarne.
$P_{1} = (0, 0), P_{2} = (1, 1)$
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $x$ ( $y$ znowu zamrożony).
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} = - 6 x$
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $y$ ( $x$ zamrożony).
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} = - 6 y$
Policz pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj po $y$ — teraz zamrożony jest $x$ .
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} = 0 + 3 = 3$
Sprawdź drugą pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj po $x$ ( $y$ zamrożony). Ma wyjść to samo.
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x} = 0 + 3 = 3$
Ułóż drugie pochodne w hesjan. W pierwszym wierszu: $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}}$ i $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}$ , w drugim: $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x}$ i $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}}$ .hesjan
$H_{f} (x, y) =$
$- 6 x$ $3$ $3$ $- 6 y$
Wstaw punkt $P_{1} = (0, 0)$ do hesjanu: za $x$ wstaw $0$ , za $y$ wstaw $0$ . Policz każdy element.
$H_{f} (0, 0) =$
$- 6 \cdot 0$ $3$ $3$ $- 6 \cdot 0$
$=$
$0$ $3$ $3$ $0$
Policz wyznacznik: iloczyn liczb na przekątnej (lewy górny razy prawy dolny) minus iloczyn liczb na drugiej przekątnej (prawy górny razy lewy dolny).
$W (P_{1}) = det H_{f} (0, 0) = 0 \cdot 0 - 3 \cdot 3 = 0 - 9 = - 9$
$W (P_{1}) = det H_{f} (0, 0) = 0 \cdot 0 - 3 \cdot 3 = 0 - 9 = - 9$
Sprawdź warunek dostateczny. $W < 0$ , więc w punkcie $P_{1} = (0, 0)$ nie ma ekstremum. Powierzchnia ma tu kształt siodła: w jednym kierunku idzie w górę, w drugim w dół.
$W (P_{1}) = - 9 < 0 \Rightarrow brak ekstremum$
$W (P_{1}) = - 9 < 0 \Rightarrow brak ekstremum$
Wstaw punkt $P_{2} = (1, 1)$ do hesjanu: za $x$ wstaw $1$ , za $y$ wstaw $1$ . Policz każdy element.
$H_{f} (1, 1) =$
$- 6 \cdot 1$ $3$ $3$ $- 6 \cdot 1$
$=$
$- 6$ $3$ $3$ $- 6$
Policz wyznacznik: iloczyn liczb na przekątnej (lewy górny razy prawy dolny) minus iloczyn liczb na drugiej przekątnej (prawy górny razy lewy dolny).
$W (P_{2}) = det H_{f} (1, 1) = (- 6) \cdot (- 6) - 3 \cdot 3 = 36 - 9 = 27$
$W (P_{2}) = det H_{f} (1, 1) = (- 6) \cdot (- 6) - 3 \cdot 3 = 36 - 9 = 27$
Sprawdź warunek dostateczny. $W > 0$ , więc w punkcie $P_{2} = (1, 1)$ jest ekstremum. Lewy górny element hesjanu $a_{11} = - 6$ jest ujemny — to maksimum.
$W (P_{2}) = 27 > 0, a_{11} = - 6 < 0 \Rightarrow maksimum$
$W (P_{2}) = 27 > 0, a_{11} = - 6 < 0 \Rightarrow maksimum$
Policz wartość maksimum: wstaw $x = 1$ i $y = 1$ do wzoru funkcji $f$ .
$f_{m a x} (1, 1) = - 1^{3} - 1^{3} + 3 \cdot 1 \cdot 1 = - 1 - 1 + 3 = 1$
$f_{m a x} (1, 1) = - 1^{3} - 1^{3} + 3 \cdot 1 \cdot 1 = - 1 - 1 + 3 = 1$
Zapisz odpowiedź. Maksimum w punkcie $(1, 1)$ , równe $1$ .
$(0, 0) : brak ekstremum f_{m a x} (1, 1) = 1$

zmienna „zamrożona” — w tej pochodnej traktujesz ją jak liczbę

Ułamki i dziedzina z treści zadania:

Zadanie · krok po kroku

$f (x, y) = x y + \frac{50}{x} + \frac{20}{y}, x, y > 0$

Zad. 2 c)

Plan — co zrobimy i po co

Cel: ekstrema dla $x > 0$ i $y > 0$ .

Pierwsze pochodne: ułamki zapisujemy jako potęgi.
Warunek konieczny: wyznaczamy $y$ z pierwszego równania i wstawiamy do drugiego. Wychodzi $x(x^3 - 125) = 0$ — rozwiązanie $x = 0$ odrzucamy, bo jest poza dziedziną.
Drugie pochodne.
Hesjan w punkcie — w hesjanie są ułamki.
Wyznacznik.
Warunek dostateczny i wartość.

Zapisz ułamki jako potęgi: $\frac{50}{x} = 50 x^{- 1}$ , $\frac{20}{y} = 20 y^{- 1}$ . Pamiętaj o dziedzinie z treści: $x > 0$ , $y > 0$ .
$f (x, y) = x y + 50 x^{- 1} + 20 y^{- 1}$
Policz pochodną po $x$ . Litera $y$ jest zamrożona (na złoto) — zachowuje się jak liczba.
$\frac{\partial f}{\partial x} = y + 50 \cdot (- x^{- 2}) + 0 = y - \frac{50}{x ^{2}}$
Policz pochodną po $y$ . Teraz zamrożony jest $x$ (na złoto).
$\frac{\partial f}{\partial y} = x + 0 + 20 \cdot (- y^{- 2}) = x - \frac{20}{y ^{2}}$
Sprawdź warunek konieczny: obie pierwsze pochodne cząstkowe przyrównaj do zera. Wychodzi układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi.
$\nabla f (x, y) = 0 ⟺ {y - \frac{50}{x ^{2}} = 0 x - \frac{20}{y ^{2}} = 0$
Z pierwszego równania wyznacz $y$ . Drugie zapisz jako $x = \frac{20}{y ^{2}}$ i wstaw do niego $y$ .
$y = \frac{50}{x ^{2}} \Rightarrow x = \frac{20}{y ^{2}} = \frac{20}{\frac{2500}{x ^{4}}} = \frac{20 x ^{4}}{2500} = \frac{x ^{4}}{125}$
$y = \frac{50}{x ^{2}} x = \frac{20}{y ^{2}} = \frac{20}{\frac{2500}{x ^{4}}} = \frac{20 x ^{4}}{2500} = \frac{x ^{4}}{125}$
Na kartce: $y^{2} = \frac{5 0 ^{2}}{( x ^{2} ) ^{2}} = \frac{2500}{x ^{4}}$ $\frac{20}{2500} = \frac{1}{125}$
Dlaczego?
Dzielenie przez ułamek to mnożenie przez odwrotność: $20 : \frac{2500}{x ^{4}} = 20 \cdot \frac{x ^{4}}{2500}$ .
Pomnóż obie strony przez $125$ , przenieś wszystko na jedną stronę i wyłącz $x$ przed nawias.
$125 x = x^{4} ⟺ x (x^{3} - 125) = 0 ⟺ x = 0 lub x = 5$
$125 x = x^{4} ⟺ x (x^{3} - 125) = 0 ⟺ x = 0 lub x = 5$
Na kartce: $x^{3} = 125 ⟺ x = 3125 = 5$
Dlaczego?
$x = 0$ odrzucasz: nie należy do dziedziny ( $x > 0$ ), a poza tym przez zero nie da się dzielić.
Wstaw $x = 5$ do wzoru na $y$ .
$y = \frac{50}{5 ^{2}} = \frac{50}{25} = 2, P_{0} = (5, 2)$
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $x$ ( $y$ znowu zamrożony).
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} = 0 - 50 \cdot (- 2 x^{- 3}) = \frac{100}{x ^{3}}$
Dlaczego?
Minus razy minus: $- 50 \cdot (- 2) = 100$ .
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $y$ ( $x$ zamrożony).
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} = 0 - 20 \cdot (- 2 y^{- 3}) = \frac{40}{y ^{3}}$
Policz pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj po $y$ — teraz zamrożony jest $x$ .
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} = 1 - 0 = 1$
Sprawdź drugą pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj po $x$ ( $y$ zamrożony). Ma wyjść to samo.
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x} = 1 - 0 = 1$
Ułóż drugie pochodne w hesjan. W pierwszym wierszu: $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}}$ i $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}$ , w drugim: $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x}$ i $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}}$ .hesjan
$H_{f} (x, y) =$
$\frac{100}{x ^{3}}$ $1$ $1$ $\frac{40}{y ^{3}}$
Wstaw punkt $P_{0} = (5, 2)$ do hesjanu: za $x$ wstaw $5$ , za $y$ wstaw $2$ . Policz każdy element.
$H_{f} (5, 2) =$
$\frac{100}{5 ^{3}}$ $1$ $1$ $\frac{40}{2 ^{3}}$
$=$
$\frac{4}{5}$ $1$ $1$ $5$
Na kartce: $5^{3} = 125, \frac{100}{125} = \frac{4}{5}$ $2^{3} = 8, \frac{40}{8} = 5$
Policz wyznacznik: iloczyn liczb na przekątnej (lewy górny razy prawy dolny) minus iloczyn liczb na drugiej przekątnej (prawy górny razy lewy dolny).
$W (P_{0}) = det H_{f} (5, 2) = \frac{4}{5} \cdot 5 - 1 \cdot 1 = 4 - 1 = 3$
$W (P_{0}) = det H_{f} (5, 2) = \frac{4}{5} \cdot 5 - 1 \cdot 1 = 4 - 1 = 3$
Sprawdź warunek dostateczny. $W > 0$ , więc w punkcie $P_{0} = (5, 2)$ jest ekstremum. Lewy górny element hesjanu $a_{11} = \frac{4}{5}$ jest dodatni — to minimum.
$W (P_{0}) = 3 > 0, a_{11} = \frac{4}{5} > 0 \Rightarrow minimum$
$W (P_{0}) = 3 > 0, a_{11} = \frac{4}{5} > 0 \Rightarrow minimum$
Policz wartość minimum: wstaw $x = 5$ i $y = 2$ do wzoru funkcji $f$ .
$f_{m i n} (5, 2) = 5 \cdot 2 + \frac{50}{5} + \frac{20}{2} = 10 + 10 + 10 = 30$
$f_{m i n} (5, 2) = 5 \cdot 2 + \frac{50}{5} + \frac{20}{2} = 10 + 10 + 10 = 30$
Zapisz odpowiedź. Minimum w punkcie $(5, 2)$ , równe $30$ .
$f_{m i n} (5, 2) = 30$

zmienna „zamrożona” — w tej pochodnej traktujesz ją jak liczbę

Sprawdź się

Hesjan w punkcie stacjonarnym ma na przekątnej $2$ i $3$ , a poza przekątną $4$ . Co jest w tym punkcie?

Pozostałe przykłady z listy

Zad. 2 b)

f (x, y) = x + y + 2

Plan — co zrobimy i po co

Cel: ekstrema albo informacja, że ich nie ma. Nowe tutaj: pochodne to stałe $1$ — układ $1 = 0$ jest sprzeczny.

Policz pochodną po $x$ . Litera $y$ jest zamrożona (na złoto) — zachowuje się jak liczba.
$\frac{\partial f}{\partial x} = 1 + 0 + 0 = 1$
Policz pochodną po $y$ . Teraz zamrożony jest $x$ (na złoto).
$\frac{\partial f}{\partial y} = 0 + 1 + 0 = 1$
Sprawdź warunek konieczny: obie pierwsze pochodne cząstkowe przyrównaj do zera. Wychodzi układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi. Tu oba równania mówią $1 = 0$ — to fałsz dla każdego $x$ i $y$ .
$\nabla f (x, y) = 0 ⟺ {1 = 0 1 = 0$
Dlaczego?
Układ jest sprzeczny: nie ma punktów stacjonarnych. Wykres tej funkcji to nachylona płaszczyzna — wszędzie tak samo pochylona, bez szczytów i dołków.
Zapisz odpowiedź. Układ nie ma rozwiązań — nie ma punktów stacjonarnych, więc funkcja nie ma ekstremów.
$brak punkt o ˊ w stacjonarnych brak ekstrem o ˊ w$

zmienna „zamrożona” — w tej pochodnej traktujesz ją jak liczbę

Zad. 2 d)

f (x, y) = x^{2} + 8 y^{3} - 6 x y + 1

Plan — co zrobimy i po co

Cel: ekstrema — gdzie są i jakie mają wartości. Nowe tutaj: $x = 3 y$ i wyłączenie $6 y$ przed nawias. Dwa punkty: siodło i minimum z wartością ułamkową.

Policz pochodną po $x$ . Litera $y$ jest zamrożona (na złoto) — zachowuje się jak liczba.
$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x + 0 - 6 y \cdot 1 + 0 = 2 x - 6 y$
Policz pochodną po $y$ . Teraz zamrożony jest $x$ (na złoto).
$\frac{\partial f}{\partial y} = 0 + 24 y^{2} - 6 x \cdot 1 + 0 = 24 y^{2} - 6 x$
$\frac{\partial f}{\partial y} = 0 + 24 y^{2} - 6 x \cdot 1 + 0 = 24 y^{2} - 6 x$
Na kartce: $8 \cdot 3 y^{2} = 24 y^{2}$
Sprawdź warunek konieczny: obie pierwsze pochodne cząstkowe przyrównaj do zera. Wychodzi układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi.
$\nabla f (x, y) = 0 ⟺ {2 x - 6 y = 0 24 y^{2} - 6 x = 0$
Z pierwszego równania wyznacz $x$ i wstaw do drugiego.
$2 x = 6 y ⟺ x = 3 y \Rightarrow 24 y^{2} - 6 \cdot 3 y = 0$
$2 x = 6 y ⟺ x = 3 y \Rightarrow 24 y^{2} - 6 \cdot 3 y = 0$
Wyłącz $6 y$ przed nawias. Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem.
$24 y^{2} - 18 y = 0 ⟺ 6 y (4 y - 3) = 0 ⟺ y = 0 lub y = \frac{3}{4}$
$24 y^{2} - 18 y = 0 ⟺ 6 y (4 y - 3) = 0 ⟺ y = 0 lub y = \frac{3}{4}$
Na kartce: $4 y - 3 = 0 ⟺ y = \frac{3}{4}$
Policz $x = 3 y$ dla każdego $y$ : $3 \cdot 0 = 0$ i $3 \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{4}$ . Dwa punkty stacjonarne.
$P_{1} = (0, 0), P_{2} = (\frac{9}{4}, \frac{3}{4})$
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $x$ ( $y$ znowu zamrożony).
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} = 2$
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $y$ ( $x$ zamrożony).
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} = 48 y$
Policz pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj po $y$ — teraz zamrożony jest $x$ .
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} = - 6$
Sprawdź drugą pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj po $x$ ( $y$ zamrożony). Ma wyjść to samo.
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x} = - 6$
Ułóż drugie pochodne w hesjan. W pierwszym wierszu: $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}}$ i $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}$ , w drugim: $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x}$ i $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}}$ .hesjan
$H_{f} (x, y) =$
$2$ $- 6$ $- 6$ $48 y$
Wstaw punkt $P_{1} = (0, 0)$ do hesjanu: za $x$ wstaw $0$ , za $y$ wstaw $0$ . Policz każdy element.
$H_{f} (0, 0) =$
$2$ $- 6$ $- 6$ $48 \cdot 0$
$=$
$2$ $- 6$ $- 6$ $0$
Policz wyznacznik: iloczyn liczb na przekątnej (lewy górny razy prawy dolny) minus iloczyn liczb na drugiej przekątnej (prawy górny razy lewy dolny).
$W (P_{1}) = det H_{f} (0, 0) = 2 \cdot 0 - (- 6) \cdot (- 6) = 0 - 36 = - 36$
$W (P_{1}) = det H_{f} (0, 0) = 2 \cdot 0 - (- 6) \cdot (- 6) = 0 - 36 = - 36$
Sprawdź warunek dostateczny. $W < 0$ , więc w punkcie $P_{1} = (0, 0)$ nie ma ekstremum. Powierzchnia ma tu kształt siodła: w jednym kierunku idzie w górę, w drugim w dół.
$W (P_{1}) = - 36 < 0 \Rightarrow brak ekstremum$
$W (P_{1}) = - 36 < 0 \Rightarrow brak ekstremum$
Wstaw punkt $P_{2} = (\frac{9}{4}, \frac{3}{4})$ do hesjanu: za $x$ wstaw $\frac{9}{4}$ , za $y$ wstaw $\frac{3}{4}$ . Policz każdy element.
$H_{f} (\frac{9}{4}, \frac{3}{4}) =$
$2$ $- 6$ $- 6$ $48 \cdot \frac{3}{4}$
$=$
$2$ $- 6$ $- 6$ $36$
Policz wyznacznik: iloczyn liczb na przekątnej (lewy górny razy prawy dolny) minus iloczyn liczb na drugiej przekątnej (prawy górny razy lewy dolny).
$W (P_{2}) = det H_{f} (\frac{9}{4}, \frac{3}{4}) = 2 \cdot 36 - (- 6) \cdot (- 6) = 72 - 36 = 36$
$W (P_{2}) = det H_{f} (\frac{9}{4}, \frac{3}{4}) = 2 \cdot 36 - (- 6) \cdot (- 6) = 72 - 36 = 36$
Sprawdź warunek dostateczny. $W > 0$ , więc w punkcie $P_{2} = (\frac{9}{4}, \frac{3}{4})$ jest ekstremum. Lewy górny element hesjanu $a_{11} = 2$ jest dodatni — to minimum.
$W (P_{2}) = 36 > 0, a_{11} = 2 > 0 \Rightarrow minimum$
$W (P_{2}) = 36 > 0, a_{11} = 2 > 0 \Rightarrow minimum$
Policz wartość minimum: wstaw $x = \frac{9}{4}$ i $y = \frac{3}{4}$ do wzoru funkcji $f$ .
$f_{m i n} (\frac{9}{4}, \frac{3}{4}) = (\frac{9}{4})^{2} + 8 \cdot (\frac{3}{4})^{3} - 6 \cdot \frac{9}{4} \cdot \frac{3}{4} + 1 = \frac{81}{16} + \frac{54}{16} - \frac{162}{16} + \frac{16}{16} = - \frac{11}{16}$
$f_{m i n} (\frac{9}{4}, \frac{3}{4}) = (\frac{9}{4})^{2} + 8 \cdot (\frac{3}{4})^{3} - 6 \cdot \frac{9}{4} \cdot \frac{3}{4} + 1 = \frac{81}{16} + \frac{54}{16} - \frac{162}{16} + \frac{16}{16} = - \frac{11}{16}$
Na kartce: $(\frac{9}{4})^{2} = \frac{81}{16}$ $(\frac{3}{4})^{3} = \frac{27}{64}$ $\frac{9}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{27}{16}$ $1 = \frac{16}{16}$ $8 \cdot \frac{27}{64} = \frac{216}{64} = \frac{54}{16}$ $6 \cdot \frac{27}{16} = \frac{162}{16}$ $81 + 54 - 162 + 16 = - 11$
Zapisz odpowiedź. Minimum w punkcie $(\frac{9}{4}, \frac{3}{4})$ , równe $- \frac{11}{16}$ .
$(0, 0) : brak ekstremum f_{m i n} (\frac{9}{4}, \frac{3}{4}) = - \frac{11}{16}$

zmienna „zamrożona” — w tej pochodnej traktujesz ją jak liczbę

Zad. 2 f)

f (x, y) = 9 x y - x^{3} - y^{3} - 6

Plan — co zrobimy i po co

Cel: ekstrema — gdzie są i jakie mają wartości. Nowe tutaj: $y = \frac{1}{3} x^{2}$ , potem $x (27 - x^{3}) = 0$ . Siodło i maksimum.

Policz pochodną po $x$ . Litera $y$ jest zamrożona (na złoto) — zachowuje się jak liczba.
$\frac{\partial f}{\partial x} = 9 y \cdot 1 - 3 x^{2} - 0 - 0 = 9 y - 3 x^{2}$
$\frac{\partial f}{\partial x} = 9 y \cdot 1 - 3 x^{2} - 0 - 0 = 9 y - 3 x^{2}$
Policz pochodną po $y$ . Teraz zamrożony jest $x$ (na złoto).
$\frac{\partial f}{\partial y} = 9 x \cdot 1 - 0 - 3 y^{2} - 0 = 9 x - 3 y^{2}$
$\frac{\partial f}{\partial y} = 9 x \cdot 1 - 0 - 3 y^{2} - 0 = 9 x - 3 y^{2}$
Sprawdź warunek konieczny: obie pierwsze pochodne cząstkowe przyrównaj do zera. Wychodzi układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi.
$\nabla f (x, y) = 0 ⟺ {9 y - 3 x^{2} = 0 9 x - 3 y^{2} = 0$
Z pierwszego równania wyznacz $y$ i wstaw do drugiego.
$9 y = 3 x^{2} ⟺ y = \frac{1}{3} x^{2} \Rightarrow 9 x - 3 \cdot (\frac{1}{3} x^{2})^{2} = 0$
$y = \frac{1}{3} x^{2} 9 x - 3 \cdot (\frac{1}{3} x^{2})^{2} = 0$
Policz kwadrat, pomnóż obie strony przez $3$ i wyłącz $x$ przed nawias.
$9 x - \frac{1}{3} x^{4} = 0 ⟺ 27 x - x^{4} = 0 ⟺ x (27 - x^{3}) = 0$
$9 x - \frac{1}{3} x^{4} = 0 ⟺ 27 x - x^{4} = 0 ⟺ x (27 - x^{3}) = 0$
Na kartce: $3 \cdot (\frac{1}{3} x^{2})^{2} = 3 \cdot \frac{1}{9} x^{4} = \frac{1}{3} x^{4}$
Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem. Policz $y = \frac{1}{3} x^{2}$ : $0$ i $\frac{1}{3} \cdot 9 = 3$ .
$x = 0 lub x = 3, P_{1} = (0, 0), P_{2} = (3, 3)$
$x = 0 lub x = 3 P_{1} = (0, 0), P_{2} = (3, 3)$
Na kartce: $27 - x^{3} = 0 ⟺ x^{3} = 27 ⟺ x = 3$
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $x$ ( $y$ znowu zamrożony).
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} = - 6 x$
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $y$ ( $x$ zamrożony).
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} = - 6 y$
Policz pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj po $y$ — teraz zamrożony jest $x$ .
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} = 9 - 0 = 9$
Sprawdź drugą pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj po $x$ ( $y$ zamrożony). Ma wyjść to samo.
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x} = 9 - 0 = 9$
Ułóż drugie pochodne w hesjan. W pierwszym wierszu: $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}}$ i $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}$ , w drugim: $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x}$ i $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}}$ .hesjan
$H_{f} (x, y) =$
$- 6 x$ $9$ $9$ $- 6 y$
Wstaw punkt $P_{1} = (0, 0)$ do hesjanu: za $x$ wstaw $0$ , za $y$ wstaw $0$ . Policz każdy element.
$H_{f} (0, 0) =$
$- 6 \cdot 0$ $9$ $9$ $- 6 \cdot 0$
$=$
$0$ $9$ $9$ $0$
Policz wyznacznik: iloczyn liczb na przekątnej (lewy górny razy prawy dolny) minus iloczyn liczb na drugiej przekątnej (prawy górny razy lewy dolny).
$W (P_{1}) = det H_{f} (0, 0) = 0 \cdot 0 - 9 \cdot 9 = 0 - 81 = - 81$
$W (P_{1}) = det H_{f} (0, 0) = 0 \cdot 0 - 9 \cdot 9 = 0 - 81 = - 81$
Sprawdź warunek dostateczny. $W < 0$ , więc w punkcie $P_{1} = (0, 0)$ nie ma ekstremum. Powierzchnia ma tu kształt siodła: w jednym kierunku idzie w górę, w drugim w dół.
$W (P_{1}) = - 81 < 0 \Rightarrow brak ekstremum$
$W (P_{1}) = - 81 < 0 \Rightarrow brak ekstremum$
Wstaw punkt $P_{2} = (3, 3)$ do hesjanu: za $x$ wstaw $3$ , za $y$ wstaw $3$ . Policz każdy element.
$H_{f} (3, 3) =$
$- 6 \cdot 3$ $9$ $9$ $- 6 \cdot 3$
$=$
$- 18$ $9$ $9$ $- 18$
Policz wyznacznik: iloczyn liczb na przekątnej (lewy górny razy prawy dolny) minus iloczyn liczb na drugiej przekątnej (prawy górny razy lewy dolny).
$W (P_{2}) = det H_{f} (3, 3) = (- 18) \cdot (- 18) - 9 \cdot 9 = 324 - 81 = 243$
$W (P_{2}) = det H_{f} (3, 3) = (- 18) \cdot (- 18) - 9 \cdot 9 = 324 - 81 = 243$
Sprawdź warunek dostateczny. $W > 0$ , więc w punkcie $P_{2} = (3, 3)$ jest ekstremum. Lewy górny element hesjanu $a_{11} = - 18$ jest ujemny — to maksimum.
$W (P_{2}) = 243 > 0, a_{11} = - 18 < 0 \Rightarrow maksimum$
$W (P_{2}) = 243 > 0, a_{11} = - 18 < 0 \Rightarrow maksimum$
Policz wartość maksimum: wstaw $x = 3$ i $y = 3$ do wzoru funkcji $f$ .
$f_{m a x} (3, 3) = 9 \cdot 3 \cdot 3 - 3^{3} - 3^{3} - 6 = 81 - 27 - 27 - 6 = 21$
$f_{m a x} (3, 3) = 9 \cdot 3 \cdot 3 - 3^{3} - 3^{3} - 6 = 81 - 27 - 27 - 6 = 21$
Zapisz odpowiedź. Maksimum w punkcie $(3, 3)$ , równe $21$ .
$(0, 0) : brak ekstremum f_{m a x} (3, 3) = 21$

zmienna „zamrożona” — w tej pochodnej traktujesz ją jak liczbę

Zad. 2 h)

f (x, y) = 3 x^{3} + 3 x^{2} y - y^{3} - 15 x

Plan — co zrobimy i po co

Cel: ekstrema — gdzie są i jakie mają wartości. Nowe tutaj: dwa przypadki ( $y = x$ i $y = - x$ ) i cztery punkty stacjonarne, w tym z pierwiastkami.

Policz pochodną po $x$ . Litera $y$ jest zamrożona (na złoto) — zachowuje się jak liczba.
$\frac{\partial f}{\partial x} = 9 x^{2} + 3 y \cdot 2 x - 0 - 15 = 9 x^{2} + 6 x y - 15$
$\frac{\partial f}{\partial x} = 9 x^{2} + 3 y \cdot 2 x - 0 - 15 = 9 x^{2} + 6 x y - 15$
Policz pochodną po $y$ . Teraz zamrożony jest $x$ (na złoto).
$\frac{\partial f}{\partial y} = 0 + 3 x^{2} \cdot 1 - 3 y^{2} - 0 = 3 x^{2} - 3 y^{2}$
$\frac{\partial f}{\partial y} = 0 + 3 x^{2} \cdot 1 - 3 y^{2} - 0 = 3 x^{2} - 3 y^{2}$
Sprawdź warunek konieczny: obie pierwsze pochodne cząstkowe przyrównaj do zera. Wychodzi układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi.
$\nabla f (x, y) = 0 ⟺ {9 x^{2} + 6 x y - 15 = 0 3 x^{2} - 3 y^{2} = 0$
$\nabla f (x, y) = 0 ⟺ {9 x^{2} + 6 x y - 15 = 0 3 x^{2} - 3 y^{2} = 0$
Zacznij od drugiego równania. Wyłącz $3$ przed nawias: $3 (x^{2} - y^{2})$ , a $x^{2} - y^{2}$ rozłóż wzorem $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ . Wychodzą dwa przypadki.
$3 x^{2} - 3 y^{2} = 0 ⟺ 3 (x - y) (x + y) = 0 ⟺ y = x lub y = - x$
$3 x^{2} - 3 y^{2} = 0 ⟺ 3 (x - y) (x + y) = 0 ⟺ y = x lub y = - x$
Przypadek 1: wstaw $y = x$ do pierwszego równania.
$y = x : 9 x^{2} + 6 x^{2} - 15 = 0 ⟺ 15 x^{2} = 15 ⟺ x = 1 lub x = - 1$
$y = x : 9 x^{2} + 6 x^{2} - 15 = 0 ⟺ 15 x^{2} = 15 ⟺ x = 1 lub x = - 1$
Na kartce: $x^{2} = 1 ⟺ x = 1 lub x = - 1$
Dlaczego?
Stąd dwa punkty: $(1, 1)$ i $(- 1, - 1)$ — bo $y = x$ .
Przypadek 2: wstaw $y = - x$ do pierwszego równania.
$y = - x : 9 x^{2} - 6 x^{2} - 15 = 0 ⟺ 3 x^{2} = 15 ⟺ x = 5 lub x = - 5$
$y = - x : 9 x^{2} - 6 x^{2} - 15 = 0 ⟺ 3 x^{2} = 15 ⟺ x = 5 lub x = - 5$
Na kartce: $6 x \cdot (- x) = - 6 x^{2}$
Dlaczego?
Stąd $(5, - 5)$ i $(- 5, 5)$ — bo $y = - x$ .
Cztery punkty stacjonarne. Każdy trzeba sprawdzić osobno.
$P_{1} = (1, 1), P_{2} = (- 1, - 1), P_{3} = (5, - 5), P_{4} = (- 5, 5)$
$P_{1} = (1, 1), P_{2} = (- 1, - 1) P_{3} = (5, - 5), P_{4} = (- 5, 5)$
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $x$ ( $y$ znowu zamrożony).
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} = 18 x + 6 y$
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $y$ ( $x$ zamrożony).
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} = - 6 y$
Policz pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj po $y$ — teraz zamrożony jest $x$ .
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} = 6 x - 0 = 6 x$
Sprawdź drugą pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj po $x$ ( $y$ zamrożony). Ma wyjść to samo.
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x} = 6 x - 0 = 6 x$
Ułóż drugie pochodne w hesjan. W pierwszym wierszu: $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}}$ i $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}$ , w drugim: $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x}$ i $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}}$ .hesjan
$H_{f} (x, y) =$
$18 x + 6 y$ $6 x$ $6 x$ $- 6 y$
Wstaw punkt $P_{1} = (1, 1)$ do hesjanu: za $x$ wstaw $1$ , za $y$ wstaw $1$ . Policz każdy element.
$H_{f} (1, 1) =$
$18 \cdot 1 + 6 \cdot 1$ $6 \cdot 1$ $6 \cdot 1$ $- 6 \cdot 1$
$=$
$24$ $6$ $6$ $- 6$
Policz wyznacznik: iloczyn liczb na przekątnej (lewy górny razy prawy dolny) minus iloczyn liczb na drugiej przekątnej (prawy górny razy lewy dolny).
$W (P_{1}) = det H_{f} (1, 1) = 24 \cdot (- 6) - 6 \cdot 6 = - 144 - 36 = - 180$
$W (P_{1}) = det H_{f} (1, 1) = 24 \cdot (- 6) - 6 \cdot 6 = - 144 - 36 = - 180$
Sprawdź warunek dostateczny. $W < 0$ , więc w punkcie $P_{1} = (1, 1)$ nie ma ekstremum. Powierzchnia ma tu kształt siodła: w jednym kierunku idzie w górę, w drugim w dół.
$W (P_{1}) = - 180 < 0 \Rightarrow brak ekstremum$
$W (P_{1}) = - 180 < 0 \Rightarrow brak ekstremum$
Wstaw punkt $P_{2} = (- 1, - 1)$ do hesjanu: za $x$ wstaw $- 1$ , za $y$ wstaw $- 1$ . Policz każdy element.
$H_{f} (- 1, - 1) =$
$18 \cdot (- 1) + 6 \cdot (- 1)$ $6 \cdot (- 1)$ $6 \cdot (- 1)$ $- 6 \cdot (- 1)$
$=$
$- 24$ $- 6$ $- 6$ $6$
Policz wyznacznik: iloczyn liczb na przekątnej (lewy górny razy prawy dolny) minus iloczyn liczb na drugiej przekątnej (prawy górny razy lewy dolny).
$W (P_{2}) = det H_{f} (- 1, - 1) = (- 24) \cdot 6 - (- 6) \cdot (- 6) = - 144 - 36 = - 180$
$W (P_{2}) = det H_{f} (- 1, - 1) = (- 24) \cdot 6 - (- 6) \cdot (- 6) = - 144 - 36 = - 180$
Sprawdź warunek dostateczny. $W < 0$ , więc w punkcie $P_{2} = (- 1, - 1)$ nie ma ekstremum. Powierzchnia ma tu kształt siodła: w jednym kierunku idzie w górę, w drugim w dół.
$W (P_{2}) = - 180 < 0 \Rightarrow brak ekstremum$
$W (P_{2}) = - 180 < 0 \Rightarrow brak ekstremum$
Wstaw punkt $P_{3} = (5, - 5)$ do hesjanu: za $x$ wstaw $5$ , za $y$ wstaw $- 5$ . Policz każdy element.
$H_{f} (5, - 5) =$
$18 \cdot 5 + 6 \cdot (- 5)$ $6 \cdot 5$ $6 \cdot 5$ $- 6 \cdot (- 5)$
$=$
$125$ $65$ $65$ $65$
Na kartce: $185 + 6 \cdot (- 5) = 185 - 65 = 125$ $- 6 \cdot (- 5) = 65$
Policz wyznacznik: iloczyn liczb na przekątnej (lewy górny razy prawy dolny) minus iloczyn liczb na drugiej przekątnej (prawy górny razy lewy dolny).
$W (P_{3}) = det H_{f} (5, - 5) = 125 \cdot 65 - 65 \cdot 65 = 72 \cdot 5 - 36 \cdot 5 = 360 - 180 = 180$
$W (P_{3}) = det H_{f} (5, - 5) = 125 \cdot 65 - 65 \cdot 65 = 72 \cdot 5 - 36 \cdot 5 = 360 - 180 = 180$
Na kartce: $5 \cdot 5 = 5$ $12 \cdot 6 = 72, 6 \cdot 6 = 36$
Sprawdź warunek dostateczny. $W > 0$ , więc w punkcie $P_{3} = (5, - 5)$ jest ekstremum. Lewy górny element hesjanu $a_{11} = 125$ jest dodatni — to minimum.
$W (P_{3}) = 180 > 0, a_{11} = 125 > 0 \Rightarrow minimum$
$W (P_{3}) = 180 > 0, a_{11} = 125 > 0 \Rightarrow minimum$
Policz wartość minimum: wstaw $x = 5$ i $y = - 5$ do wzoru funkcji $f$ .
$f_{m i n} (5, - 5) = 3 (5)^{3} + 3 \cdot 5 \cdot (- 5) - (- 5)^{3} - 155 = 155 - 155 + 55 - 155 = - 105$
$f_{m i n} (5, - 5) = 3 (5)^{3} + 3 \cdot 5 \cdot (- 5) - (- 5)^{3} - 155 = 155 - 155 + 55 - 155 = - 105$
Na kartce: $(5)^{3} = (5)^{2} \cdot 5 = 55$ $(- 5)^{3} = - 55$ $5 \cdot 5 = 5$
Wstaw punkt $P_{4} = (- 5, 5)$ do hesjanu: za $x$ wstaw $- 5$ , za $y$ wstaw $5$ . Policz każdy element.
$H_{f} (- 5, 5) =$
$18 \cdot (- 5) + 6 \cdot 5$ $6 \cdot (- 5)$ $6 \cdot (- 5)$ $- 6 \cdot 5$
$=$
$- 125$ $- 65$ $- 65$ $- 65$
Na kartce: $18 \cdot (- 5) + 65 = - 185 + 65 = - 125$ $- 6 \cdot 5 = - 65$
Policz wyznacznik: iloczyn liczb na przekątnej (lewy górny razy prawy dolny) minus iloczyn liczb na drugiej przekątnej (prawy górny razy lewy dolny).
$W (P_{4}) = det H_{f} (- 5, 5) = (- 125) \cdot (- 65) - (- 65) \cdot (- 65) = 72 \cdot 5 - 36 \cdot 5 = 360 - 180 = 180$
$W (P_{4}) = det H_{f} (- 5, 5) = (- 125) \cdot (- 65) - (- 65) \cdot (- 65) = 72 \cdot 5 - 36 \cdot 5 = 360 - 180 = 180$
Na kartce: $5 \cdot 5 = 5$ $12 \cdot 6 = 72, 6 \cdot 6 = 36$
Sprawdź warunek dostateczny. $W > 0$ , więc w punkcie $P_{4} = (- 5, 5)$ jest ekstremum. Lewy górny element hesjanu $a_{11} = - 125$ jest ujemny — to maksimum.
$W (P_{4}) = 180 > 0, a_{11} = - 125 < 0 \Rightarrow maksimum$
$W (P_{4}) = 180 > 0, a_{11} = - 125 < 0 \Rightarrow maksimum$
Policz wartość maksimum: wstaw $x = - 5$ i $y = 5$ do wzoru funkcji $f$ .
$f_{m a x} (- 5, 5) = 3 (- 5)^{3} + 3 \cdot 5 \cdot 5 - (5)^{3} - 15 \cdot (- 5) = - 155 + 155 - 55 + 155 = 105$
$f_{m a x} (- 5, 5) = 3 (- 5)^{3} + 3 \cdot 5 \cdot 5 - (5)^{3} - 15 \cdot (- 5) = - 155 + 155 - 55 + 155 = 105$
Zapisz odpowiedź. Minimum w punkcie $(5, - 5)$ , równe $- 105$ ; maksimum w punkcie $(- 5, 5)$ , równe $105$ .
$(1, 1) : brak ekstremum (- 1, - 1) : brak ekstremum f_{m i n} (5, - 5) = - 105 f_{m a x} (- 5, 5) = 105$

zmienna „zamrożona” — w tej pochodnej traktujesz ją jak liczbę

Policz pochodną po $x$ . Litera $y$ jest zamrożona (na złoto) — zachowuje się jak liczba.
Policz pochodną po $y$ . Teraz zamrożony jest $x$ (na złoto).
Sprawdź warunek konieczny: obie pierwsze pochodne cząstkowe przyrównaj do zera. Wychodzi układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi.
Zacznij od drugiego równania. Wyłącz $3$ przed nawias: $3 (x^{2} - y^{2})$ , a $x^{2} - y^{2}$ rozłóż wzorem $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ . Wychodzą dwa przypadki.
Przypadek 1: wstaw $y = x$ do pierwszego równania.
Przypadek 2: wstaw $y = - x$ do pierwszego równania.
Cztery punkty stacjonarne. Każdy trzeba sprawdzić osobno.
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $x$ ( $y$ znowu zamrożony).
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $y$ ( $x$ zamrożony).
Policz pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj po $y$ — teraz zamrożony jest $x$ .
Sprawdź drugą pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj po $x$ ( $y$ zamrożony). Ma wyjść to samo.
Ułóż drugie pochodne w hesjan. W pierwszym wierszu: $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}}$ i $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}$ , w drugim: $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x}$ i $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}}$ .
Wstaw punkt $P_{1} = (1, 1)$ do hesjanu: za $x$ wstaw $1$ , za $y$ wstaw $1$ . Policz każdy element.
Policz wyznacznik: iloczyn liczb na przekątnej (lewy górny razy prawy dolny) minus iloczyn liczb na drugiej przekątnej (prawy górny razy lewy dolny).
Sprawdź warunek dostateczny. $W < 0$ , więc w punkcie $P_{1} = (1, 1)$ nie ma ekstremum. Powierzchnia ma tu kształt siodła: w jednym kierunku idzie w górę, w drugim w dół.
Wstaw punkt $P_{2} = (- 1, - 1)$ do hesjanu: za $x$ wstaw $- 1$ , za $y$ wstaw $- 1$ . Policz każdy element.
Policz wyznacznik: iloczyn liczb na przekątnej (lewy górny razy prawy dolny) minus iloczyn liczb na drugiej przekątnej (prawy górny razy lewy dolny).
Sprawdź warunek dostateczny. $W < 0$ , więc w punkcie $P_{2} = (- 1, - 1)$ nie ma ekstremum. Powierzchnia ma tu kształt siodła: w jednym kierunku idzie w górę, w drugim w dół.
Wstaw punkt $P_{3} = (5, - 5)$ do hesjanu: za $x$ wstaw $5$ , za $y$ wstaw $- 5$ . Policz każdy element.
Policz wyznacznik: iloczyn liczb na przekątnej (lewy górny razy prawy dolny) minus iloczyn liczb na drugiej przekątnej (prawy górny razy lewy dolny).
Sprawdź warunek dostateczny. $W > 0$ , więc w punkcie $P_{3} = (5, - 5)$ jest ekstremum. Lewy górny element hesjanu $a_{11} = 125$ jest dodatni — to minimum.
Policz wartość minimum: wstaw $x = 5$ i $y = - 5$ do wzoru funkcji $f$ .
Wstaw punkt $P_{4} = (- 5, 5)$ do hesjanu: za $x$ wstaw $- 5$ , za $y$ wstaw $5$ . Policz każdy element.
Policz wyznacznik: iloczyn liczb na przekątnej (lewy górny razy prawy dolny) minus iloczyn liczb na drugiej przekątnej (prawy górny razy lewy dolny).
Sprawdź warunek dostateczny. $W > 0$ , więc w punkcie $P_{4} = (- 5, 5)$ jest ekstremum. Lewy górny element hesjanu $a_{11} = - 125$ jest ujemny — to maksimum.
Policz wartość maksimum: wstaw $x = - 5$ i $y = 5$ do wzoru funkcji $f$ .
Zapisz odpowiedź. Minimum w punkcie $(5, - 5)$ , równe $- 105$ ; maksimum w punkcie $(- 5, 5)$ , równe $105$ .

Zad. 2 i)

f (x, y) = 4 y^{2} + 3 x^{2} - 2 y

Plan — co zrobimy i po co

Cel: ekstrema — gdzie są i jakie mają wartości. Nowe tutaj: każde równanie układu ma tylko jedną niewiadomą.

Policz pochodną po $x$ . Litera $y$ jest zamrożona (na złoto) — zachowuje się jak liczba.
$\frac{\partial f}{\partial x} = 0 + 6 x - 0 = 6 x$
Policz pochodną po $y$ . Teraz zamrożony jest $x$ (na złoto).
$\frac{\partial f}{\partial y} = 8 y + 0 - 2 = 8 y - 2$
Sprawdź warunek konieczny: obie pierwsze pochodne cząstkowe przyrównaj do zera. Wychodzi układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi. Tu każde równanie ma jedną niewiadomą — rozwiązujesz je osobno.
$\nabla f (x, y) = 0 ⟺ {6 x = 0 8 y - 2 = 0 ⟺ {x = 0 y = \frac{1}{4}$
$\nabla f (x, y) = 0 ⟺ {6 x = 0 8 y - 2 = 0 ⟺ {x = 0 y = \frac{1}{4}$
Na kartce: $8 y = 2 ⟺ y = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
Jeden punkt stacjonarny.
$P_{0} = (0, \frac{1}{4})$
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $x$ ( $y$ znowu zamrożony).
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} = 6$
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $y$ ( $x$ zamrożony).
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} = 8$
Policz pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj po $y$ — teraz zamrożony jest $x$ .
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} = 0$
Dlaczego?
$6 x$ nie ma litery $y$ .
Sprawdź drugą pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj po $x$ ( $y$ zamrożony). Ma wyjść to samo.
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x} = 0$
Ułóż drugie pochodne w hesjan. W pierwszym wierszu: $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}}$ i $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}$ , w drugim: $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x}$ i $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}}$ .hesjan
$H_{f} (x, y) =$
$6$ $0$ $0$ $8$
Wstaw punkt $P_{0} = (0, \frac{1}{4})$ do hesjanu. W hesjanie nie ma ani $x$ , ani $y$ — same liczby — więc w każdym punkcie jest taki sam.
$H_{f} (0, \frac{1}{4}) =$
$6$ $0$ $0$ $8$
Policz wyznacznik: iloczyn liczb na przekątnej (lewy górny razy prawy dolny) minus iloczyn liczb na drugiej przekątnej (prawy górny razy lewy dolny).
$W (P_{0}) = det H_{f} (0, \frac{1}{4}) = 6 \cdot 8 - 0 \cdot 0 = 48$
$W (P_{0}) = det H_{f} (0, \frac{1}{4}) = 6 \cdot 8 - 0 \cdot 0 = 48$
Sprawdź warunek dostateczny. $W > 0$ , więc w punkcie $P_{0} = (0, \frac{1}{4})$ jest ekstremum. Lewy górny element hesjanu $a_{11} = 6$ jest dodatni — to minimum.
$W (P_{0}) = 48 > 0, a_{11} = 6 > 0 \Rightarrow minimum$
$W (P_{0}) = 48 > 0, a_{11} = 6 > 0 \Rightarrow minimum$
Policz wartość minimum: wstaw $x = 0$ i $y = \frac{1}{4}$ do wzoru funkcji $f$ .
$f_{m i n} (0, \frac{1}{4}) = 4 \cdot (\frac{1}{4})^{2} + 3 \cdot 0^{2} - 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = - \frac{1}{4}$
$f_{m i n} (0, \frac{1}{4}) = 4 \cdot (\frac{1}{4})^{2} + 3 \cdot 0^{2} - 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = - \frac{1}{4}$
Na kartce: $4 \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{4}$ $\frac{1}{4} - \frac{2}{4} = - \frac{1}{4}$
Zapisz odpowiedź. Minimum w punkcie $(0, \frac{1}{4})$ , równe $- \frac{1}{4}$ .
$f_{m i n} (0, \frac{1}{4}) = - \frac{1}{4}$

zmienna „zamrożona” — w tej pochodnej traktujesz ją jak liczbę

Zad. 2 j)

f (x, y) = x^{3} + y^{2} - 6 x y - 48

Plan — co zrobimy i po co

Cel: ekstrema — gdzie są i jakie mają wartości. Nowe tutaj: $y = 3 x$ z drugiego równania, potem $3 x (x - 6) = 0$ . Siodło i minimum.

Policz pochodną po $x$ . Litera $y$ jest zamrożona (na złoto) — zachowuje się jak liczba.
$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 x^{2} + 0 - 6 y \cdot 1 - 0 = 3 x^{2} - 6 y$
$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 x^{2} + 0 - 6 y \cdot 1 - 0 = 3 x^{2} - 6 y$
Policz pochodną po $y$ . Teraz zamrożony jest $x$ (na złoto).
$\frac{\partial f}{\partial y} = 0 + 2 y - 6 x \cdot 1 - 0 = 2 y - 6 x$
Sprawdź warunek konieczny: obie pierwsze pochodne cząstkowe przyrównaj do zera. Wychodzi układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi.
$\nabla f (x, y) = 0 ⟺ {3 x^{2} - 6 y = 0 2 y - 6 x = 0$
Z drugiego równania wyznacz $y$ — tam jest najprościej — i wstaw do pierwszego.
$2 y = 6 x ⟺ y = 3 x \Rightarrow 3 x^{2} - 6 \cdot 3 x = 0$
$2 y = 6 x ⟺ y = 3 x \Rightarrow 3 x^{2} - 6 \cdot 3 x = 0$
Wyłącz $3 x$ przed nawias.
$3 x^{2} - 18 x = 0 ⟺ 3 x (x - 6) = 0 ⟺ x = 0 lub x = 6$
$3 x^{2} - 18 x = 0 ⟺ 3 x (x - 6) = 0 ⟺ x = 0 lub x = 6$
Policz $y = 3 x$ : $3 \cdot 0 = 0$ i $3 \cdot 6 = 18$ .
$P_{1} = (0, 0), P_{2} = (6, 18)$
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $x$ ( $y$ znowu zamrożony).
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} = 6 x$
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $y$ ( $x$ zamrożony).
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} = 2$
Policz pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj po $y$ — teraz zamrożony jest $x$ .
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} = - 6$
Sprawdź drugą pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj po $x$ ( $y$ zamrożony). Ma wyjść to samo.
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x} = - 6$
Ułóż drugie pochodne w hesjan. W pierwszym wierszu: $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}}$ i $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}$ , w drugim: $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x}$ i $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}}$ .hesjan
$H_{f} (x, y) =$
$6 x$ $- 6$ $- 6$ $2$
Wstaw punkt $P_{1} = (0, 0)$ do hesjanu: za $x$ wstaw $0$ , za $y$ wstaw $0$ . Policz każdy element.
$H_{f} (0, 0) =$
$6 \cdot 0$ $- 6$ $- 6$ $2$
$=$
$0$ $- 6$ $- 6$ $2$
Policz wyznacznik: iloczyn liczb na przekątnej (lewy górny razy prawy dolny) minus iloczyn liczb na drugiej przekątnej (prawy górny razy lewy dolny).
$W (P_{1}) = det H_{f} (0, 0) = 0 \cdot 2 - (- 6) \cdot (- 6) = 0 - 36 = - 36$
$W (P_{1}) = det H_{f} (0, 0) = 0 \cdot 2 - (- 6) \cdot (- 6) = 0 - 36 = - 36$
Sprawdź warunek dostateczny. $W < 0$ , więc w punkcie $P_{1} = (0, 0)$ nie ma ekstremum. Powierzchnia ma tu kształt siodła: w jednym kierunku idzie w górę, w drugim w dół.
$W (P_{1}) = - 36 < 0 \Rightarrow brak ekstremum$
$W (P_{1}) = - 36 < 0 \Rightarrow brak ekstremum$
Wstaw punkt $P_{2} = (6, 18)$ do hesjanu: za $x$ wstaw $6$ , za $y$ wstaw $18$ . Policz każdy element.
$H_{f} (6, 18) =$
$6 \cdot 6$ $- 6$ $- 6$ $2$
$=$
$36$ $- 6$ $- 6$ $2$
Policz wyznacznik: iloczyn liczb na przekątnej (lewy górny razy prawy dolny) minus iloczyn liczb na drugiej przekątnej (prawy górny razy lewy dolny).
$W (P_{2}) = det H_{f} (6, 18) = 36 \cdot 2 - (- 6) \cdot (- 6) = 72 - 36 = 36$
$W (P_{2}) = det H_{f} (6, 18) = 36 \cdot 2 - (- 6) \cdot (- 6) = 72 - 36 = 36$
Sprawdź warunek dostateczny. $W > 0$ , więc w punkcie $P_{2} = (6, 18)$ jest ekstremum. Lewy górny element hesjanu $a_{11} = 36$ jest dodatni — to minimum.
$W (P_{2}) = 36 > 0, a_{11} = 36 > 0 \Rightarrow minimum$
$W (P_{2}) = 36 > 0, a_{11} = 36 > 0 \Rightarrow minimum$
Policz wartość minimum: wstaw $x = 6$ i $y = 18$ do wzoru funkcji $f$ .
$f_{m i n} (6, 18) = 6^{3} + 1 8^{2} - 6 \cdot 6 \cdot 18 - 48 = 216 + 324 - 648 - 48 = - 156$
$f_{m i n} (6, 18) = 6^{3} + 1 8^{2} - 6 \cdot 6 \cdot 18 - 48 = 216 + 324 - 648 - 48 = - 156$
Na kartce: $6^{3} = 216, 1 8^{2} = 324$ $6 \cdot 6 \cdot 18 = 36 \cdot 18 = 648$ $216 + 324 = 540, 540 - 648 = - 108, - 108 - 48 = - 156$
Zapisz odpowiedź. Minimum w punkcie $(6, 18)$ , równe $- 156$ .
$(0, 0) : brak ekstremum f_{m i n} (6, 18) = - 156$

zmienna „zamrożona” — w tej pochodnej traktujesz ją jak liczbę

Zad. 2 k)

f (x, y) = - x^{2} + x y - y^{2} + 2 x - y - 11

Plan — co zrobimy i po co

Cel: ekstrema — gdzie są i jakie mają wartości. Nowe tutaj: maksimum — funkcja z pierwszego rysunku w module.

Policz pochodną po $x$ . Litera $y$ jest zamrożona (na złoto) — zachowuje się jak liczba.
$\frac{\partial f}{\partial x} = - 2 x + y \cdot 1 - 0 + 2 - 0 - 0 = - 2 x + y + 2$
$\frac{\partial f}{\partial x} = - 2 x + y \cdot 1 - 0 + 2 - 0 - 0 = - 2 x + y + 2$
Policz pochodną po $y$ . Teraz zamrożony jest $x$ (na złoto).
$\frac{\partial f}{\partial y} = 0 + x \cdot 1 - 2 y + 0 - 1 - 0 = x - 2 y - 1$
$\frac{\partial f}{\partial y} = 0 + x \cdot 1 - 2 y + 0 - 1 - 0 = x - 2 y - 1$
Sprawdź warunek konieczny: obie pierwsze pochodne cząstkowe przyrównaj do zera. Wychodzi układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi.
$\nabla f (x, y) = 0 ⟺ {- 2 x + y + 2 = 0 x - 2 y - 1 = 0$
Z drugiego równania wyznacz $x$ i wstaw do pierwszego.
$x = 2 y + 1 \Rightarrow - 2 (2 y + 1) + y + 2 = 0$
$x = 2 y + 1 \Rightarrow - 2 (2 y + 1) + y + 2 = 0$
Wymnóż nawias i zredukuj.
$- 4 y - 2 + y + 2 = 0 ⟺ - 3 y = 0 ⟺ y = 0$
$- 4 y - 2 + y + 2 = 0 ⟺ - 3 y = 0 ⟺ y = 0$
Wstaw $y = 0$ do wzoru na $x$ .
$x = 2 \cdot 0 + 1 = 1, P_{0} = (1, 0)$
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $x$ ( $y$ znowu zamrożony).
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} = - 2$
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $y$ ( $x$ zamrożony).
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} = - 2$
Policz pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj po $y$ — teraz zamrożony jest $x$ .
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} = 0 + 1 + 0 = 1$
Sprawdź drugą pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj po $x$ ( $y$ zamrożony). Ma wyjść to samo.
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x} = 1 - 0 - 0 = 1$
Ułóż drugie pochodne w hesjan. W pierwszym wierszu: $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}}$ i $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}$ , w drugim: $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x}$ i $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}}$ .hesjan
$H_{f} (x, y) =$
$- 2$ $1$ $1$ $- 2$
Wstaw punkt $P_{0} = (1, 0)$ do hesjanu. W hesjanie nie ma ani $x$ , ani $y$ — same liczby — więc w każdym punkcie jest taki sam.
$H_{f} (1, 0) =$
$- 2$ $1$ $1$ $- 2$
Policz wyznacznik: iloczyn liczb na przekątnej (lewy górny razy prawy dolny) minus iloczyn liczb na drugiej przekątnej (prawy górny razy lewy dolny).
$W (P_{0}) = det H_{f} (1, 0) = (- 2) \cdot (- 2) - 1 \cdot 1 = 4 - 1 = 3$
$W (P_{0}) = det H_{f} (1, 0) = (- 2) \cdot (- 2) - 1 \cdot 1 = 4 - 1 = 3$
Sprawdź warunek dostateczny. $W > 0$ , więc w punkcie $P_{0} = (1, 0)$ jest ekstremum. Lewy górny element hesjanu $a_{11} = - 2$ jest ujemny — to maksimum.
$W (P_{0}) = 3 > 0, a_{11} = - 2 < 0 \Rightarrow maksimum$
$W (P_{0}) = 3 > 0, a_{11} = - 2 < 0 \Rightarrow maksimum$
Policz wartość maksimum: wstaw $x = 1$ i $y = 0$ do wzoru funkcji $f$ .
$f_{m a x} (1, 0) = - 1^{2} + 1 \cdot 0 - 0^{2} + 2 \cdot 1 - 0 - 11 = - 1 + 2 - 11 = - 10$
$f_{m a x} (1, 0) = - 1^{2} + 1 \cdot 0 - 0^{2} + 2 \cdot 1 - 0 - 11 = - 1 + 2 - 11 = - 10$
Na kartce: $- 1^{2} = - (1^{2}) = - 1$
Zapisz odpowiedź. Maksimum w punkcie $(1, 0)$ , równe $- 10$ .
$f_{m a x} (1, 0) = - 10$

zmienna „zamrożona” — w tej pochodnej traktujesz ją jak liczbę

Zad. 2 l)

f (x, y) = (2 x + 3 y) (x - y)

Plan — co zrobimy i po co

Cel: ekstrema — gdzie są i jakie mają wartości. Nowe tutaj: najpierw wymnażamy nawiasy. Jedyny punkt stacjonarny to siodło.

Najpierw wymnóż nawiasy — każdy wyraz z każdym. Potem pochodne liczysz wzorami 2 i 3.wymnażanie nawiasów
$f (x, y) = 2 x^{2} - 2 x y + 3 x y - 3 y^{2} = 2 x^{2} + x y - 3 y^{2}$
$f (x, y) = 2 x^{2} - 2 x y + 3 x y - 3 y^{2} = 2 x^{2} + x y - 3 y^{2}$
Policz pochodną po $x$ . Litera $y$ jest zamrożona (na złoto) — zachowuje się jak liczba.
$\frac{\partial f}{\partial x} = 4 x + y \cdot 1 - 0 = 4 x + y$
Policz pochodną po $y$ . Teraz zamrożony jest $x$ (na złoto).
$\frac{\partial f}{\partial y} = 0 + x \cdot 1 - 6 y = x - 6 y$
Sprawdź warunek konieczny: obie pierwsze pochodne cząstkowe przyrównaj do zera. Wychodzi układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi.
$\nabla f (x, y) = 0 ⟺ {4 x + y = 0 x - 6 y = 0$
Z pierwszego równania wyznacz $y$ i wstaw do drugiego.
$y = - 4 x \Rightarrow x - 6 \cdot (- 4 x) = 0 ⟺ 25 x = 0 ⟺ x = 0$
$y = - 4 x \Rightarrow x - 6 \cdot (- 4 x) = 0 ⟺ 25 x = 0 ⟺ x = 0$
Na kartce: $- 6 \cdot (- 4 x) = 24 x$ $x + 24 x = 25 x$
Jeden punkt stacjonarny.
$y = - 4 \cdot 0 = 0, P_{0} = (0, 0)$
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $x$ ( $y$ znowu zamrożony).
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} = 4$
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $y$ ( $x$ zamrożony).
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} = - 6$
Policz pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj po $y$ — teraz zamrożony jest $x$ .
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} = 0 + 1 = 1$
Sprawdź drugą pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj po $x$ ( $y$ zamrożony). Ma wyjść to samo.
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x} = 1 - 0 = 1$
Ułóż drugie pochodne w hesjan. W pierwszym wierszu: $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}}$ i $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}$ , w drugim: $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x}$ i $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}}$ .hesjan
$H_{f} (x, y) =$
$4$ $1$ $1$ $- 6$
Wstaw punkt $P_{0} = (0, 0)$ do hesjanu. W hesjanie nie ma ani $x$ , ani $y$ — same liczby — więc w każdym punkcie jest taki sam.
$H_{f} (0, 0) =$
$4$ $1$ $1$ $- 6$
Policz wyznacznik: iloczyn liczb na przekątnej (lewy górny razy prawy dolny) minus iloczyn liczb na drugiej przekątnej (prawy górny razy lewy dolny).
$W (P_{0}) = det H_{f} (0, 0) = 4 \cdot (- 6) - 1 \cdot 1 = - 24 - 1 = - 25$
$W (P_{0}) = det H_{f} (0, 0) = 4 \cdot (- 6) - 1 \cdot 1 = - 24 - 1 = - 25$
Sprawdź warunek dostateczny. $W < 0$ , więc w punkcie $P_{0} = (0, 0)$ nie ma ekstremum. Powierzchnia ma tu kształt siodła: w jednym kierunku idzie w górę, w drugim w dół.
$W (P_{0}) = - 25 < 0 \Rightarrow brak ekstremum$
$W (P_{0}) = - 25 < 0 \Rightarrow brak ekstremum$
Zapisz odpowiedź. W żadnym punkcie stacjonarnym nie ma ekstremum — funkcja nie ma ekstremów.
$(0, 0) : brak ekstremum$

zmienna „zamrożona” — w tej pochodnej traktujesz ją jak liczbę

Zad. 2 m)

f (x, y) = x^{2} - 2 x y + 9 y^{2} - x + y - 5

Plan — co zrobimy i po co

Cel: ekstrema — gdzie są i jakie mają wartości. Nowe tutaj: układ rozwiązany dodawaniem stronami.

Policz pochodną po $x$ . Litera $y$ jest zamrożona (na złoto) — zachowuje się jak liczba.
$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x - 2 y \cdot 1 + 0 - 1 + 0 - 0 = 2 x - 2 y - 1$
$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x - 2 y \cdot 1 + 0 - 1 + 0 - 0 = 2 x - 2 y - 1$
Policz pochodną po $y$ . Teraz zamrożony jest $x$ (na złoto).
$\frac{\partial f}{\partial y} = 0 - 2 x \cdot 1 + 18 y - 0 + 1 - 0 = - 2 x + 18 y + 1$
$\frac{\partial f}{\partial y} = 0 - 2 x \cdot 1 + 18 y - 0 + 1 - 0 = - 2 x + 18 y + 1$
Sprawdź warunek konieczny: obie pierwsze pochodne cząstkowe przyrównaj do zera. Wychodzi układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi.
$\nabla f (x, y) = 0 ⟺ {2 x - 2 y - 1 = 0 - 2 x + 18 y + 1 = 0$
$\nabla f (x, y) = 0 ⟺ {2 x - 2 y - 1 = 0 - 2 x + 18 y + 1 = 0$
Dodaj równania stronami: $2 x$ i $- 2 x$ się znoszą, zostaje $- 2 y + 18 y = 16 y$ , a $- 1 + 1 = 0$ .
$16 y = 0 ⟺ y = 0$
Dlaczego?
Dodawanie stronami działa, gdy przy jednej niewiadomej stoją liczby przeciwne ( $2$ i $- 2$ ). Podstawianie też da ten sam wynik.
Wstaw $y = 0$ do pierwszego równania.
$2 x - 0 - 1 = 0 ⟺ x = \frac{1}{2}, P_{0} = (\frac{1}{2}, 0)$
$2 x - 0 - 1 = 0 ⟺ x = \frac{1}{2} P_{0} = (\frac{1}{2}, 0)$
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $x$ ( $y$ znowu zamrożony).
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} = 2$
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $y$ ( $x$ zamrożony).
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} = 18$
Policz pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj po $y$ — teraz zamrożony jest $x$ .
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} = - 2$
Sprawdź drugą pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj po $x$ ( $y$ zamrożony). Ma wyjść to samo.
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x} = - 2$
Ułóż drugie pochodne w hesjan. W pierwszym wierszu: $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}}$ i $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}$ , w drugim: $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x}$ i $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}}$ .hesjan
$H_{f} (x, y) =$
$2$ $- 2$ $- 2$ $18$
Wstaw punkt $P_{0} = (\frac{1}{2}, 0)$ do hesjanu. W hesjanie nie ma ani $x$ , ani $y$ — same liczby — więc w każdym punkcie jest taki sam.
$H_{f} (\frac{1}{2}, 0) =$
$2$ $- 2$ $- 2$ $18$
Policz wyznacznik: iloczyn liczb na przekątnej (lewy górny razy prawy dolny) minus iloczyn liczb na drugiej przekątnej (prawy górny razy lewy dolny).
$W (P_{0}) = det H_{f} (\frac{1}{2}, 0) = 2 \cdot 18 - (- 2) \cdot (- 2) = 36 - 4 = 32$
$W (P_{0}) = det H_{f} (\frac{1}{2}, 0) = 2 \cdot 18 - (- 2) \cdot (- 2) = 36 - 4 = 32$
Sprawdź warunek dostateczny. $W > 0$ , więc w punkcie $P_{0} = (\frac{1}{2}, 0)$ jest ekstremum. Lewy górny element hesjanu $a_{11} = 2$ jest dodatni — to minimum.
$W (P_{0}) = 32 > 0, a_{11} = 2 > 0 \Rightarrow minimum$
$W (P_{0}) = 32 > 0, a_{11} = 2 > 0 \Rightarrow minimum$
Policz wartość minimum: wstaw $x = \frac{1}{2}$ i $y = 0$ do wzoru funkcji $f$ .
$f_{m i n} (\frac{1}{2}, 0) = (\frac{1}{2})^{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 0 + 9 \cdot 0^{2} - \frac{1}{2} + 0 - 5 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 5 = - \frac{21}{4}$
$f_{m i n} (\frac{1}{2}, 0) = (\frac{1}{2})^{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 0 + 9 \cdot 0^{2} - \frac{1}{2} + 0 - 5 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 5 = - \frac{21}{4}$
Na kartce: $\frac{1}{4} - \frac{2}{4} - \frac{20}{4} = - \frac{21}{4}$
Zapisz odpowiedź. Minimum w punkcie $(\frac{1}{2}, 0)$ , równe $- \frac{21}{4}$ .
$f_{m i n} (\frac{1}{2}, 0) = - \frac{21}{4}$

zmienna „zamrożona” — w tej pochodnej traktujesz ją jak liczbę

Zad. 2 n)

f (x, y) = x^{2} + x y + y^{2} - 4 ln x - 10 ln y

Plan — co zrobimy i po co

Cel: ekstrema dla $x > 0$ i $y > 0$ . Nowe tutaj: najtrudniejszy układ na liście — równanie dwukwadratowe (podstawienie $t = x^{2}$ ) i odrzucanie rozwiązań spoza dziedziny.

Zapisz dziedzinę: logarytm istnieje tylko dla liczb dodatnich.
$D_{f} : x > 0, y > 0$
Policz pochodną po $x$ . Litera $y$ jest zamrożona (na złoto) — zachowuje się jak liczba.
$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x + y + 0 - \frac{4}{x} - 0 = 2 x + y - \frac{4}{x}$
$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x + y + 0 - \frac{4}{x} - 0 = 2 x + y - \frac{4}{x}$
Policz pochodną po $y$ . Teraz zamrożony jest $x$ (na złoto).
$\frac{\partial f}{\partial y} = 0 + x + 2 y - 0 - \frac{10}{y} = x + 2 y - \frac{10}{y}$
$\frac{\partial f}{\partial y} = 0 + x + 2 y - 0 - \frac{10}{y} = x + 2 y - \frac{10}{y}$
Sprawdź warunek konieczny: obie pierwsze pochodne cząstkowe przyrównaj do zera. Wychodzi układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi. Pomnóż pierwsze równanie przez $x$ , a drugie przez $y$ — znikną ułamki (wolno, bo $x, y > 0$ ).
$\nabla f (x, y) = 0 ⟺ {2 x + y - \frac{4}{x} = 0 x + 2 y - \frac{10}{y} = 0 ⟺ {2 x^{2} + x y - 4 = 0 x y + 2 y^{2} - 10 = 0$
$\nabla f (x, y) = 0 ⟺ {2 x + y - \frac{4}{x} = 0 x + 2 y - \frac{10}{y} = 0 ⟺ {2 x^{2} + x y - 4 = 0 x y + 2 y^{2} - 10 = 0$
Z pierwszego równania wyznacz cały iloczyn $x y$ i wstaw go do drugiego.
$x y = 4 - 2 x^{2} \Rightarrow 4 - 2 x^{2} + 2 y^{2} - 10 = 0 ⟺ y^{2} = x^{2} + 3$
$x y = 4 - 2 x^{2} \Rightarrow 4 - 2 x^{2} + 2 y^{2} - 10 = 0 ⟺ y^{2} = x^{2} + 3$
Na kartce: $2 y^{2} = 2 x^{2} + 6 : 2$
Z pierwszego równania wyznacz $y$ (dzielisz przez $x \neq = 0$ ) i wstaw do $y^{2} = x^{2} + 3$ .
$y = \frac{4 - 2 x ^{2}}{x} \Rightarrow \frac{( 4 - 2 x ^{2} ) ^{2}}{x ^{2}} = x^{2} + 3$
Pomnóż obie strony przez $x^{2}$ i wymnóż kwadrat ze wzoru $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ .
$16 - 16 x^{2} + 4 x^{4} = x^{4} + 3 x^{2} ⟺ 3 x^{4} - 19 x^{2} + 16 = 0$
$16 - 16 x^{2} + 4 x^{4} = x^{4} + 3 x^{2} ⟺ 3 x^{4} - 19 x^{2} + 16 = 0$
Na kartce: $(4 - 2 x^{2})^{2} = 16 - 16 x^{2} + 4 x^{4}$
Podstaw $t = x^{2}$ — wychodzi zwykłe równanie kwadratowe. Rozwiąż je deltą.
$t = x^{2} : 3 t^{2} - 19 t + 16 = 0, Δ = 169, t = 1 lub t = \frac{16}{3}$
$t = x^{2} : 3 t^{2} - 19 t + 16 = 0 Δ = 169, t = 1 lub t = \frac{16}{3}$
Na kartce: $Δ = 1 9^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 16 = 361 - 192 = 169$ $Δ = 13$ $t = \frac{19 - 13}{6} = 1$ $t = \frac{19 + 13}{6} = \frac{32}{6} = \frac{16}{3}$
Wróć do $x$ : $x^{2} = 1$ , a w dziedzinie $x > 0$ , więc $x = 1$ . Policz $y$ .
$t = 1 : x = 1, y = \frac{4 - 2}{1} = 2 \Rightarrow P_{0} = (1, 2)$
$t = 1 : x = 1, y = \frac{4 - 2}{1} = 2 \Rightarrow P_{0} = (1, 2)$
Dlaczego?
Druga możliwość, $t = \frac{16}{3}$ , daje $x = \frac{4}{3}$ i $y = \frac{4 - \frac{32}{3}}{x} < 0$ (licznik jest ujemny) — poza dziedziną, odrzucasz.
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $x$ ( $y$ znowu zamrożony).
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} = 2 + \frac{4}{x ^{2}}$
Dlaczego?
Pochodna $- 4 x^{- 1}$ to $- 4 \cdot (- 1) x^{- 2} = 4 x^{- 2}$ .
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $y$ ( $x$ zamrożony).
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} = 2 + \frac{10}{y ^{2}}$
Policz pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj po $y$ — teraz zamrożony jest $x$ .
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} = 0 + 1 - 0 = 1$
Sprawdź drugą pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj po $x$ ( $y$ zamrożony). Ma wyjść to samo.
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x} = 1 + 0 - 0 = 1$
Ułóż drugie pochodne w hesjan. W pierwszym wierszu: $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}}$ i $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}$ , w drugim: $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x}$ i $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}}$ .hesjan
$H_{f} (x, y) =$
$2 + \frac{4}{x ^{2}}$ $1$ $1$ $2 + \frac{10}{y ^{2}}$
Wstaw punkt $P_{0} = (1, 2)$ do hesjanu: za $x$ wstaw $1$ , za $y$ wstaw $2$ . Policz każdy element.
$H_{f} (1, 2) =$
$2 + \frac{4}{1}$ $1$ $1$ $2 + \frac{10}{4}$
$=$
$6$ $1$ $1$ $\frac{9}{2}$
Na kartce: $\frac{10}{4} = \frac{5}{2}, 2 + \frac{5}{2} = \frac{9}{2}$
Policz wyznacznik: iloczyn liczb na przekątnej (lewy górny razy prawy dolny) minus iloczyn liczb na drugiej przekątnej (prawy górny razy lewy dolny).
$W (P_{0}) = det H_{f} (1, 2) = 6 \cdot \frac{9}{2} - 1 \cdot 1 = 27 - 1 = 26$
$W (P_{0}) = det H_{f} (1, 2) = 6 \cdot \frac{9}{2} - 1 \cdot 1 = 27 - 1 = 26$
Na kartce: $6 \cdot \frac{9}{2} = \frac{54}{2} = 27$
Sprawdź warunek dostateczny. $W > 0$ , więc w punkcie $P_{0} = (1, 2)$ jest ekstremum. Lewy górny element hesjanu $a_{11} = 6$ jest dodatni — to minimum.
$W (P_{0}) = 26 > 0, a_{11} = 6 > 0 \Rightarrow minimum$
$W (P_{0}) = 26 > 0, a_{11} = 6 > 0 \Rightarrow minimum$
Policz wartość minimum: wstaw $x = 1$ i $y = 2$ do wzoru funkcji $f$ .
$f_{m i n} (1, 2) = 1 + 2 + 4 - 4 ln 1 - 10 ln 2 = 7 - 10 ln 2$
$f_{m i n} (1, 2) = 1 + 2 + 4 - 4 ln 1 - 10 ln 2 = 7 - 10 ln 2$
Na kartce: $ln 1 = 0$ $7 - 10 ln 2 \approx 0, 07$
Zapisz odpowiedź. Minimum w punkcie $(1, 2)$ , równe $7 - 10 ln 2$ .
$f_{m i n} (1, 2) = 7 - 10 ln 2$

zmienna „zamrożona” — w tej pochodnej traktujesz ją jak liczbę

Zad. 2 o)

f (x, y) = 4 x y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y}

Plan — co zrobimy i po co

Cel: ekstrema — gdzie są i jakie mają wartości. Nowe tutaj: pierwiastek trzeciego stopnia w punkcie stacjonarnym. Hesjan liczy się bez pierwiastków, bo $x^{3} = \frac{1}{4}$ .

Zapisz ułamki jako potęgi. Dziedzina: $x \neq = 0$ i $y \neq = 0$ .
$f (x, y) = 4 x y + x^{- 1} + y^{- 1}, x \neq = 0, y \neq = 0$
$f (x, y) = 4 x y + x^{- 1} + y^{- 1}, x \neq = 0, y \neq = 0$
Policz pochodną po $x$ . Litera $y$ jest zamrożona (na złoto) — zachowuje się jak liczba.
$\frac{\partial f}{\partial x} = 4 y - x^{- 2} + 0 = 4 y - \frac{1}{x ^{2}}$
Policz pochodną po $y$ . Teraz zamrożony jest $x$ (na złoto).
$\frac{\partial f}{\partial y} = 4 x + 0 - y^{- 2} = 4 x - \frac{1}{y ^{2}}$
Sprawdź warunek konieczny: obie pierwsze pochodne cząstkowe przyrównaj do zera. Wychodzi układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi.
$\nabla f (x, y) = 0 ⟺ {4 y - \frac{1}{x ^{2}} = 0 4 x - \frac{1}{y ^{2}} = 0$
Z pierwszego równania wyznacz $y$ . Drugie pomnóż przez $y^{2}$ i wstaw $y$ .
$y = \frac{1}{4 x ^{2}} \Rightarrow 4 x \cdot y^{2} = 1 ⟺ 4 x \cdot \frac{1}{16 x ^{4}} = 1 ⟺ \frac{1}{4 x ^{3}} = 1$
$y = \frac{1}{4 x ^{2}} \Rightarrow 4 x \cdot y^{2} = 1 ⟺ 4 x \cdot \frac{1}{16 x ^{4}} = 1 ⟺ \frac{1}{4 x ^{3}} = 1$
Na kartce: $y^{2} = \frac{1}{16 x ^{4}}$ $\frac{4 x}{16 x ^{4}} = \frac{1}{4 x ^{3}}$
Rozwiąż: $4 x^{3} = 1$ . Potem policz $y$ .
$x^{3} = \frac{1}{4} ⟺ x = \frac{1}{3 4}, y = \frac{1}{4 x ^{2}} = \frac{1}{3 4}$
$x^{3} = \frac{1}{4} ⟺ x = \frac{1}{3 4} y = \frac{1}{4 x ^{2}} = \frac{1}{3 4}$
Na kartce: $4 x^{2} = 4 \cdot \frac{1}{3 16} = \frac{4}{3 16} = 34$
Dlaczego?
Wyszło $x = y$ . Przyda się: $x^{3} = y^{3} = \frac{1}{4}$ .
Jeden punkt stacjonarny.
$P_{0} = (\frac{1}{3 4}, \frac{1}{3 4})$
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $x$ ( $y$ znowu zamrożony).
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} = 2 x^{- 3} = \frac{2}{x ^{3}}$
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $y$ ( $x$ zamrożony).
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} = 2 y^{- 3} = \frac{2}{y ^{3}}$
Policz pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj po $y$ — teraz zamrożony jest $x$ .
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} = 4$
Sprawdź drugą pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj po $x$ ( $y$ zamrożony). Ma wyjść to samo.
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x} = 4$
Ułóż drugie pochodne w hesjan. W pierwszym wierszu: $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}}$ i $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}$ , w drugim: $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x}$ i $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}}$ .hesjan
$H_{f} (x, y) =$
$\frac{2}{x ^{3}}$ $4$ $4$ $\frac{2}{y ^{3}}$
Wstaw punkt $P_{0} = (\frac{1}{3 4}, \frac{1}{3 4})$ do hesjanu: za $x$ wstaw $\frac{1}{3 4}$ , za $y$ wstaw $\frac{1}{3 4}$ . Policz każdy element.
$H_{f} (\frac{1}{3 4}, \frac{1}{3 4}) =$
$2 : \frac{1}{4}$ $4$ $4$ $2 : \frac{1}{4}$
$=$
$8$ $4$ $4$ $8$
Policz wyznacznik: iloczyn liczb na przekątnej (lewy górny razy prawy dolny) minus iloczyn liczb na drugiej przekątnej (prawy górny razy lewy dolny).
$W (P_{0}) = det H_{f} (\frac{1}{3 4}, \frac{1}{3 4}) = 8 \cdot 8 - 4 \cdot 4 = 64 - 16 = 48$
$W (P_{0}) = det H_{f} (\frac{1}{3 4}, \frac{1}{3 4}) = 8 \cdot 8 - 4 \cdot 4 = 64 - 16 = 48$
Sprawdź warunek dostateczny. $W > 0$ , więc w punkcie $P_{0} = (\frac{1}{3 4}, \frac{1}{3 4})$ jest ekstremum. Lewy górny element hesjanu $a_{11} = 8$ jest dodatni — to minimum.
$W (P_{0}) = 48 > 0, a_{11} = 8 > 0 \Rightarrow minimum$
$W (P_{0}) = 48 > 0, a_{11} = 8 > 0 \Rightarrow minimum$
Dlaczego?
W punkcie $x^{3} = y^{3} = \frac{1}{4}$ , więc $\frac{2}{x ^{3}} = 2 : \frac{1}{4} = 8$ — bez liczenia pierwiastków.
Policz wartość minimum: wstaw $x = \frac{1}{3 4}$ i $y = \frac{1}{3 4}$ do wzoru funkcji $f$ .
$f_{m i n} (\frac{1}{3 4}, \frac{1}{3 4}) = \frac{4}{3 16} + 34 + 34 = 34 + 234 = 334$
$f_{m i n} (\frac{1}{3 4}, \frac{1}{3 4}) = \frac{4}{3 16} + 34 + 34 = 34 + 234 = 334$
Na kartce: $4 x y = \frac{4}{3 4 \cdot 3 4} = \frac{4}{3 16} = 34$ $\frac{1}{x} = 34$ $334 \approx 4, 76$
Zapisz odpowiedź. Minimum w punkcie $(\frac{1}{3 4}, \frac{1}{3 4})$ , równe $334$ .
$f_{m i n} (\frac{1}{3 4}, \frac{1}{3 4}) = 334$

zmienna „zamrożona” — w tej pochodnej traktujesz ją jak liczbę

Zad. 2 p)

f (x, y) = e^{2 x} (x + y^{2} + 2 y)

Plan — co zrobimy i po co

Cel: ekstrema — gdzie są i jakie mają wartości. Nowe tutaj: czynnik $e^{2 x}$ — nigdy nie jest zerem, więc można przez niego podzielić. W hesjanie pojawia się liczba $e$ .

Policz pochodną po $x$ . Litera $y$ jest zamrożona (na złoto) — zachowuje się jak liczba. Oba czynniki mają $x$ — reguła iloczynu.
$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 e^{2 x} (x + y^{2} + 2 y) + e^{2 x} \cdot 1 = e^{2 x} (2 x + 2 y^{2} + 4 y + 1)$
$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 e^{2 x} (x + y^{2} + 2 y) + e^{2 x} \cdot 1 = e^{2 x} (2 x + 2 y^{2} + 4 y + 1)$
Na kartce: $(e^{2 x})^{'} = e^{2 x} \cdot 2$ $(x + y^{2} + 2 y)^{'} = 1$
Policz pochodną po $y$ . Teraz zamrożony jest $x$ (na złoto).
$\frac{\partial f}{\partial y} = e^{2 x} \cdot (0 + 2 y + 2) = e^{2 x} (2 y + 2)$
$\frac{\partial f}{\partial y} = e^{2 x} \cdot (0 + 2 y + 2) = e^{2 x} (2 y + 2)$
Sprawdź warunek konieczny: obie pierwsze pochodne cząstkowe przyrównaj do zera. Wychodzi układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi. Czynnik $e^{2 x}$ jest zawsze dodatni, więc nigdy nie jest zerem — możesz przez niego podzielić.
$\nabla f (x, y) = 0 ⟺ {e^{2 x} (2 x + 2 y^{2} + 4 y + 1) = 0 e^{2 x} (2 y + 2) = 0$
$\nabla f (x, y) = 0 ⟺ {e^{2 x} (2 x + 2 y^{2} + 4 y + 1) = 0 e^{2 x} (2 y + 2) = 0$
Z drugiego równania od razu $y = - 1$ . Wstaw do pierwszego.
$2 y + 2 = 0 ⟺ y = - 1 \Rightarrow 2 x + 2 - 4 + 1 = 0 ⟺ 2 x - 1 = 0 ⟺ x = \frac{1}{2}$
$2 y + 2 = 0 ⟺ y = - 1 2 x + 2 - 4 + 1 = 0 ⟺ x = \frac{1}{2}$
Na kartce: $2 \cdot (- 1)^{2} + 4 \cdot (- 1) = 2 - 4$
Jeden punkt stacjonarny.
$P_{0} = (\frac{1}{2}, - 1)$
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $x$ ( $y$ znowu zamrożony). Znowu iloczyn.
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} = 2 e^{2 x} (2 x + 2 y^{2} + 4 y + 1) + e^{2 x} \cdot 2 = e^{2 x} (4 x + 4 y^{2} + 8 y + 4)$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} = 2 e^{2 x} (2 x + 2 y^{2} + 4 y + 1) + e^{2 x} \cdot 2 = e^{2 x} (4 x + 4 y^{2} + 8 y + 4)$
Policz $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $y$ ( $x$ zamrożony).
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} = e^{2 x} \cdot 2 = 2 e^{2 x}$
Policz pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial x}$ zróżniczkuj po $y$ — teraz zamrożony jest $x$ .
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} = e^{2 x} \cdot (4 y + 4) = e^{2 x} (4 y + 4)$
Sprawdź drugą pochodną mieszaną $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x}$ : wynik $\frac{\partial f}{\partial y}$ zróżniczkuj po $x$ ( $y$ zamrożony). Ma wyjść to samo.
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x} = 2 e^{2 x} (2 y + 2) = e^{2 x} (4 y + 4)$
Ułóż drugie pochodne w hesjan. W pierwszym wierszu: $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}}$ i $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}$ , w drugim: $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x}$ i $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}}$ .hesjan
$H_{f} (x, y) =$
$e^{2 x} (4 x + 4 y^{2} + 8 y + 4)$ $e^{2 x} (4 y + 4)$ $e^{2 x} (4 y + 4)$ $2 e^{2 x}$
Wstaw punkt $P_{0} = (\frac{1}{2}, - 1)$ do hesjanu: za $x$ wstaw $\frac{1}{2}$ , za $y$ wstaw $- 1$ . Policz każdy element.
$H_{f} (\frac{1}{2}, - 1) =$
$e \cdot (2 + 4 - 8 + 4)$ $e \cdot 0$ $e \cdot 0$ $2 e$
$=$
$2 e$ $0$ $0$ $2 e$
Policz wyznacznik: iloczyn liczb na przekątnej (lewy górny razy prawy dolny) minus iloczyn liczb na drugiej przekątnej (prawy górny razy lewy dolny).
$W (P_{0}) = det H_{f} (\frac{1}{2}, - 1) = 2 e \cdot 2 e - 0 \cdot 0 = 4 e^{2}$
$W (P_{0}) = det H_{f} (\frac{1}{2}, - 1) = 2 e \cdot 2 e - 0 \cdot 0 = 4 e^{2}$
Sprawdź warunek dostateczny. $W > 0$ , więc w punkcie $P_{0} = (\frac{1}{2}, - 1)$ jest ekstremum. Lewy górny element hesjanu $a_{11} = 2 e$ jest dodatni — to minimum.
$W (P_{0}) = 4 e^{2} > 0, a_{11} = 2 e > 0 \Rightarrow minimum$
$W (P_{0}) = 4 e^{2} > 0, a_{11} = 2 e > 0 \Rightarrow minimum$
Dlaczego?
W punkcie $x = \frac{1}{2}$ jest $e^{2 x} = e^{1} = e$ .
Policz wartość minimum: wstaw $x = \frac{1}{2}$ i $y = - 1$ do wzoru funkcji $f$ .
$f_{m i n} (\frac{1}{2}, - 1) = e^{1} \cdot (\frac{1}{2} + (- 1)^{2} + 2 \cdot (- 1)) = e \cdot (\frac{1}{2} + 1 - 2) = - \frac{e}{2}$
$f_{m i n} (\frac{1}{2}, - 1) = e^{1} \cdot (\frac{1}{2} + (- 1)^{2} + 2 \cdot (- 1)) = e \cdot (\frac{1}{2} + 1 - 2) = - \frac{e}{2}$
Na kartce: $- \frac{e}{2} \approx - 1, 36$
Zapisz odpowiedź. Minimum w punkcie $(\frac{1}{2}, - 1)$ , równe $- \frac{e}{2}$ .
$f_{m i n} (\frac{1}{2}, - 1) = - \frac{e}{2}$

zmienna „zamrożona” — w tej pochodnej traktujesz ją jak liczbę

Wszystkie odpowiedzi z listy

Wyniki wszystkich zadań w jednym miejscu — do sprawdzenia własnych rachunków. Link przy każdym przykładzie prowadzi do rozwiązania krok po kroku.

Zad. 1 — pochodne cząstkowe

Zad. 1 a) krok po kroku ↑
$f (x, y) = 5 x^{2} y^{2} - 6 x y + 12 x - 9 y + 1$
$\frac{\partial f}{\partial x} = 10 x y^{2} - 6 y + 12$
$\frac{\partial f}{\partial y} = 10 x^{2} y - 6 x - 9$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} = 10 y^{2}$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} = 10 x^{2}$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x} = 20 x y - 6$
Zad. 1 b) krok po kroku ↑
$f (x, y) = e^{x} + ln y + 5$
$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x}$
$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{y}$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} = e^{x}$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} = - \frac{1}{y ^{2}}$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x} = 0$
Zad. 1 c) krok po kroku ↑
$f (x, y) = 2 x^{2} + x^{2} y + e^{y}$
$\frac{\partial f}{\partial x} = 4 x + 2 x y$
$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} + e^{y}$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} = 4 + 2 y$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} = e^{y}$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x} = 2 x$
Zad. 1 d) krok po kroku ↑
$f (x, y) = x^{3} ln y$
$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 x^{2} ln y$
$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x ^{3}}{y}$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} = 6 x ln y$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} = - \frac{x ^{3}}{y ^{2}}$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x} = \frac{3 x ^{2}}{y}$
Zad. 1 e) krok po kroku ↑
$f (x, y) = \frac{x}{y}$
$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{y}$
$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{x}{y ^{2}}$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} = 0$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} = \frac{2 x}{y ^{3}}$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x} = - \frac{1}{y ^{2}}$
Zad. 1 f) krok po kroku ↑
$f (x, y) = e^{x y}$
$\frac{\partial f}{\partial x} = y e^{x y}$
$\frac{\partial f}{\partial y} = x e^{x y}$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} = y^{2} e^{x y}$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} = x^{2} e^{x y}$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x} = e^{x y} (1 + x y)$
Zad. 1 g) krok po kroku ↑
$f (x, y) = x \cdot 3 y$
$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} y^{\frac{1}{3}}$
$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} y^{- \frac{2}{3}}$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} = - \frac{1}{4} x^{- \frac{3}{2}} y^{\frac{1}{3}}$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} = - \frac{2}{9} x^{\frac{1}{2}} y^{- \frac{5}{3}}$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x} = \frac{1}{6} x^{- \frac{1}{2}} y^{- \frac{2}{3}}$
Zad. 1 h) krok po kroku ↑
$f (x, y) = ln (x^{2} y)$
$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2}{x}$
$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{y}$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} = - \frac{2}{x ^{2}}$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} = - \frac{1}{y ^{2}}$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x} = 0$
Zad. 1 i) krok po kroku ↑
$f (x, y) = x^{2} y + x y^{2} + ln x \cdot ln y$
$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y + y^{2} + \frac{ln y}{x}$
$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} + 2 x y + \frac{ln x}{y}$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} = 2 y - \frac{ln y}{x ^{2}}$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} = 2 x - \frac{ln x}{y ^{2}}$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x} = 2 x + 2 y + \frac{1}{x y}$
Zad. 1 j) krok po kroku ↑
$f (x, y) = \frac{x ^{3}}{y ^{2}}$
$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{3 x ^{2}}{y ^{2}}$
$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{2 x ^{3}}{y ^{3}}$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} = \frac{6 x}{y ^{2}}$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} = \frac{6 x ^{3}}{y ^{4}}$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x} = - \frac{6 x ^{2}}{y ^{3}}$
Zad. 1 k) krok po kroku ↑
$f (x, y) = \frac{ln x}{ln y} + 2 e^{x} - 9 e^{y} + 121$
$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{x ln y} + 2 e^{x}$
$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{ln x}{y ln ^{2} y} - 9 e^{y}$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} = - \frac{1}{x ^{2} ln y} + 2 e^{x}$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} = \frac{ln x}{y ^{2} ln ^{2} y} + \frac{2 ln x}{y ^{2} ln ^{3} y} - 9 e^{y}$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x} = - \frac{1}{x y ln ^{2} y}$
Zad. 1 l) krok po kroku ↑
$f (x, y) = x^{3} e^{x + y}$
$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x + y} (x^{3} + 3 x^{2})$
$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{3} e^{x + y}$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} = e^{x + y} (x^{3} + 6 x^{2} + 6 x)$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} = x^{3} e^{x + y}$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x} = e^{x + y} (x^{3} + 3 x^{2})$

Zad. 2 — ekstrema bezwarunkowe

Zad. 2 a) krok po kroku ↑
$f (x, y) = x^{2} + y^{2} + x y - 6 x - 9 y$
$f_{m i n} (1, 4) = - 21$
Zad. 2 b) krok po kroku ↑
$f (x, y) = x + y + 2$
$brak punkt o ˊ w stacjonarnych brak ekstrem o ˊ w$
Zad. 2 c) krok po kroku ↑
$f (x, y) = x y + \frac{50}{x} + \frac{20}{y}, x, y > 0$
$f_{m i n} (5, 2) = 30$
Zad. 2 d) krok po kroku ↑
$f (x, y) = x^{2} + 8 y^{3} - 6 x y + 1$
$(0, 0) : brak ekstremum f_{m i n} (\frac{9}{4}, \frac{3}{4}) = - \frac{11}{16}$
Zad. 2 e) krok po kroku ↑
$f (x, y) = - x^{3} - y^{3} + 3 x y$
$(0, 0) : brak ekstremum f_{m a x} (1, 1) = 1$
Zad. 2 f) krok po kroku ↑
$f (x, y) = 9 x y - x^{3} - y^{3} - 6$
$(0, 0) : brak ekstremum f_{m a x} (3, 3) = 21$
Zad. 2 g) krok po kroku ↑
$f (x, y) = x^{2} + y^{2} - 2 x y + 2 x + 2 y + 1$
$brak punkt o ˊ w stacjonarnych brak ekstrem o ˊ w$
Zad. 2 h) krok po kroku ↑
$f (x, y) = 3 x^{3} + 3 x^{2} y - y^{3} - 15 x$
$(1, 1) : brak ekstremum (- 1, - 1) : brak ekstremum f_{m i n} (5, - 5) = - 105 f_{m a x} (- 5, 5) = 105$
Zad. 2 i) krok po kroku ↑
$f (x, y) = 4 y^{2} + 3 x^{2} - 2 y$
$f_{m i n} (0, \frac{1}{4}) = - \frac{1}{4}$
Zad. 2 j) krok po kroku ↑
$f (x, y) = x^{3} + y^{2} - 6 x y - 48$
$(0, 0) : brak ekstremum f_{m i n} (6, 18) = - 156$
Zad. 2 k) krok po kroku ↑
$f (x, y) = - x^{2} + x y - y^{2} + 2 x - y - 11$
$f_{m a x} (1, 0) = - 10$
Zad. 2 l) krok po kroku ↑
$f (x, y) = (2 x + 3 y) (x - y)$
$(0, 0) : brak ekstremum$
Zad. 2 m) krok po kroku ↑
$f (x, y) = x^{2} - 2 x y + 9 y^{2} - x + y - 5$
$f_{m i n} (\frac{1}{2}, 0) = - \frac{21}{4}$
Zad. 2 n) krok po kroku ↑
$f (x, y) = x^{2} + x y + y^{2} - 4 ln x - 10 ln y$
$f_{m i n} (1, 2) = 7 - 10 ln 2$
Zad. 2 o) krok po kroku ↑
$f (x, y) = 4 x y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$
$f_{m i n} (\frac{1}{3 4}, \frac{1}{3 4}) = 334$
Zad. 2 p) krok po kroku ↑
$f (x, y) = e^{2 x} (x + y^{2} + 2 y)$
$f_{m i n} (\frac{1}{2}, - 1) = - \frac{e}{2}$

Ściąga przed kolokwium

Pochodna cząstkowa

\frac{\partial f}{\partial x}

y

zamrożony (liczba).

\frac{\partial f}{\partial y}

x

zamrożony. Wzory i reguły z modułu 8.

Zamrożona literaPrzy liczonej literze — współczynnik:

(x^2y)

x

2xy

. Składnik bez liczonej litery —

0

Drugie pochodne

\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}

\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}

i mieszane:

\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}

— najpierw po

x

, potem po

y

SchwarzPochodne mieszane są równe (gdy są ciągłe — w zadaniach z listy zawsze). Liczysz obie — druga to sprawdzenie.

Gradient

\nabla f

— wektor (kolumna) pierwszych pochodnych: u góry po

x

, na dole po

y

Hesjan

H_f

— macierz drugich pochodnych: wiersz 1 — najpierw po

x

, wiersz 2 — najpierw po

y

. Symetryczny.

Warunek konieczny

\nabla f = 0

: obie pierwsze pochodne równe

0

— układ równań. Rozwiązania to punkty stacjonarne.

UkładWyznacz zmienną z prostszego równania i wstaw. Iloczyn

= 0

— każdy czynnik osobno. Nie dziel przez zmienną.

Wyznacznik 2 × 2

W = a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21}

— przekątna minus druga przekątna (

a_{12}

— wiersz 1, kolumna 2 itd.).

Warunek dostateczny

W > 0

: ekstremum (

a_{11} < 0

— max,

a_{11} > 0

— min).

W < 0

: brak.

W = 0

: nie wiadomo.

Wartość

f_{\max}(x_0, y_0) = f(x_0, y_0)

— punkt wstawiasz do wzoru funkcji.

Brak punktówUkład sprzeczny (

0 = -4

) — brak punktów stacjonarnych, brak ekstremów.

Ćwiczenia przed kolokwium

Krótkie zadania na każde polecenie. Po każdej odpowiedzi zobaczysz, dlaczego jest dobra albo zła — złe odpowiedzi to typowe błędy.

Pochodne cząstkowe

Ćwiczenia · 6 zadań

$f (x, y) = x^{3} y^{2} + 4 y$ . Ile wynosi $\frac{\partial f}{\partial x}$ ?
$f (x, y) = x^{3} y^{2} + 4 y$ . Ile wynosi $\frac{\partial f}{\partial y}$ ?
$f (x, y) = e^{3 x + y}$ . Ile wynosi $\frac{\partial f}{\partial x}$ ?
$f (x, y) = x^{2} y^{3}$ . Ile wynosi $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}$ ?
Ile pochodnych cząstkowych drugiego rzędu ma funkcja trzech zmiennych $f (x, y, z)$ ?
$f (x, y) = ln (x y)$ dla $x, y > 0$ . Ile wynosi $\frac{\partial f}{\partial x}$ ?

Gradient i hesjan w punkcie

Wpisz macierz

Hesjan w punkcie (1, 2)

Funkcja: $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ . Pierwsze pochodne: $\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + 3y^2$ , $\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 6xy$ . Policz drugie pochodne, wstaw $x = 1$ , $y = 2$ i wpisz hesjan.

Wpisz liczby w pola. Kiedy skończysz, kliknij „Sprawdź”.

H_{f} (1, 2) =

Ćwiczenia · 3 zadania

$f (x, y) = x^{2} y + y^{3}$ . Ile wynosi $\frac{\partial f}{\partial x}$ w punkcie $(1, 2)$ ?
$f (x, y) = x^{2} y + y^{3}$ . Ile wynosi prawy dolny element hesjanu w punkcie $(1, 2)$ ?
$f (x, y) = x^{2} + y^{2}$ . Gradient w punkcie $(3, 4)$ ma składowe:

Punkty stacjonarne

Ćwiczenia · 5 zadań

Rozwiązanie układu ${2 x - y = 0 x + y - 3 = 0$ to punkt:
Układ ${x^{2} - y = 0 y - 4 = 0$ ma rozwiązania:
Z równania $x (x - 3) = 0$ wychodzi:
Układ $\nabla f = 0$ wyszedł ${x + y = 1 x + y = 3$ . Co to znaczy?
Dziedzina: $x > 0$ . Z układu wyszło $x = - 2$ albo $x = 3$ . Które rozwiązania zostają?

Ekstrema bezwarunkowe

Ćwiczenie

Co jest w punkcie stacjonarnym? Policz W i zdecyduj

Hesjan w punkcie: na przekątnej $4$ i $2$ , poza przekątną $1$ .
Hesjan w punkcie: na przekątnej $- 6$ i $- 2$ , poza przekątną $3$ .
Hesjan w punkcie: na przekątnej $2$ i $- 8$ , poza przekątną $0$ .
Hesjan w punkcie: na przekątnej $3$ i $12$ , poza przekątną $6$ .
Hesjan w punkcie: na przekątnej $- 1$ i $- 5$ , poza przekątną $3$ .
Hesjan w punkcie: na przekątnej $0$ i $5$ , poza przekątną $2$ .

Ćwiczenia · 4 zadania

W punkcie stacjonarnym $W (P_{0}) = 5$ i $a_{11} = - 3$ . Co tam jest?
W punkcie stacjonarnym $W (P_{0}) = - 2$ i $a_{11} = 4$ . Co tam jest?
$f_{m i n} (1, 4) = - 21$ znaczy:
Dlaczego hesjan liczysz osobno w każdym punkcie stacjonarnym?

Quiz z teorii

Quiz · 10 pytań

Żeby policzyć wartość funkcji $f (x, y)$ , potrzebujesz:
Licząc $\frac{\partial f}{\partial x}$ :
Gradient $\nabla f$ to:
Hesjan $H_{f}$ to:
Twierdzenie Schwarza mówi, że (przy ciągłych pochodnych):
Na zajęciach $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}$ to:
Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji $f (x, y)$ to:
$W (P_{0}) < 0$ . W punkcie $P_{0}$ :
$W (P_{0}) > 0$ i $a_{11} > 0$ . W punkcie $P_{0}$ jest:
Ile pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu ma funkcja $n$ zmiennych?