Ekstrema warunkowe

Po co to jest

Masz $100$ zł i chcesz kupić dwie rzeczy: $x$ sztuk jednej i $y$ sztuk drugiej. Twoje zadowolenie zależy od obu liczb — to funkcja $f(x, y)$ z modułu 10. Ale nie wybierasz dowolnej pary: musisz zmieścić się w budżecie. To jest warunek — dodatkowe równanie, które $x$ i $y$ muszą spełniać.

Na rysunku: funkcja $f(x, y) = 6 - 4x - 3y$ (Zad. 1 a)) to pochyła płaszczyzna — nie ma ani szczytu, ani dołka. Warunek $x^2 + y^2 = 1$ to okrąg. Wolno chodzić tylko po różowej ścieżce nad tym okręgiem. Na ścieżce jest najwyższy i najniższy punkt:

ścieżka: punkty wykresu nad okręgiem $x^{2} + y^{2} = 1$ (linia przerywana na podłodze)najwyższy i najniższy punkt ścieżki

Jak czytać:

siatka to wykres $f$ — pochyła płaszczyzna. Przerywany różowy okrąg na podłodze to warunek: tylko takie pary $(x, y)$ są dozwolone. Ciągła różowa linia to wysokości $f$ nad tymi punktami. Najwyżej ścieżka wznosi się do $11$ , najniżej opada do $1$ — to maksimum i minimum warunkowe. Pod koniec modułu znajdziesz je z samych wzorów.

Bez warunku ta funkcja nie ma ekstremów (procedura z modułu 10 dałaby sprzeczny układ $-4 = 0$ ). Z warunkiem — ma. Dlatego potrzebna jest osobna metoda.

Jak przejdziemy przez ten moduł

Pojęcia (sekcja 3): warunek $\phi(x, y) = 0$ , ekstremum warunkowe, funkcja Lagrange’a z mnożnikiem $\lambda$ i macierz $3 \times 3$ ze slajdu.
Procedura z zajęć w sześciu krokach — na wszystkich siedmiu przykładach z listy.

Co będzie na kolokwium

Na liście jest jedno polecenie: Zad. 1, siedem przykładów a)–g). Poniżej to polecenie i trzy jego części, które mogą paść osobno — od najprostszej. Każda ma w module swój przepis i ćwiczenia.

To na razie tylko mapa — nie musisz jeszcze rozumieć tych pojęć. Wrócisz tu, gdy będziesz szukać przepisu.

1
„Zapisz funkcję Lagrange’a dla funkcji $f (x, y)$ i warunku $ϕ (x, y)$ ”
Warunek przepisujesz tak, żeby po prawej stało $0$ . Lewa strona to $ϕ (x, y)$ . Potem $L = f + λ \cdot ϕ$ .
Przepis i przykłady ↓Ćwiczenia ↓krok 1 procedury
2
„Wyznacz punkty stacjonarne (rozwiąż układ trzech równań)”
$\frac{\partial L}{\partial x} = 0$ , $\frac{\partial L}{\partial y} = 0$ i warunek $ϕ = 0$ . Zwykle: $x$ i $y$ wyrażasz przez $λ$ i wstawiasz do warunku.
Przepis i przykłady ↓Ćwiczenia ↓kroki 2–3 procedury
3
„Policz wyznacznik macierzy ze slajdu w punkcie stacjonarnym”
Macierz $3 \times 3$ : w rogu $0$ , na brzegu pochodne $ϕ$ , w środku drugie pochodne $L$ . Wstawiasz punkt i jego $λ$ , liczysz regułą Sarrusa.
Przepis i przykłady ↓Ćwiczenia ↓kroki 4–5 procedury
4
„Znajdź ekstrema funkcji $f (x, y)$ przy warunku $ϕ (x, y)$ metodą mnożników Lagrange’a”
Cała procedura: funkcja Lagrange’a, układ trzech równań, wyznacznik w każdym punkcie. Wyznacznik $> 0$ — maksimum, $< 0$ — minimum.
Przepis i przykłady ↓Ćwiczenia ↓Zad. 1 a)–g)

Pojęcia od podstaw

Pójdziemy tak: warunek → ekstremum warunkowe → funkcja Lagrange’a → macierz ze slajdu i jej wyznacznik.

Warunek ograniczający $\phi(x, y) = 0$

Slajd z zajęć: przypuśćmy, że istnieje warunek ograniczający postaci $\phi(x, y) = 0$ . To równanie, które muszą spełniać $x$ i $y$ . Para, która go nie spełnia, odpada — nawet jeśli funkcja ma w niej dużą wartość.

ϕ (x, y)

Warunek (fi)

czytamy: „fi od iks, igrek”

Lewa strona warunku zapisanego tak, że po prawej stoi zero. Dla warunku $x + y = 1$ : przenosisz $1$ na lewo, wychodzi $x + y - 1 = 0$ , więc $ϕ (x, y) = x + y - 1$ .

Jak zapamiętać: Grecka litera $ϕ$ („fi”) to tylko nazwa — jak $f$ , ale dla warunku.

Na liście warunek jest zapisany np. jako „ $\phi(x, y)\colon x^2 + y^2 = 1$ ” — to skrót od „warunek: $x^2 + y^2 = 1$ ”. Samo $\phi(x, y)$ to dalej lewa strona po przeniesieniu wszystkiego na lewo. Warunek z treści prawie nigdy nie ma od razu postaci „ $\ldots = 0$ ”. Przepisujesz go tak samo za każdym razem:

x^{2} + y^{2} = 1 ⟺ x^{2} + y^{2} - 1 = 0 \Rightarrow ϕ (x, y) = x^{2} + y^{2} - 1

Czytamy: iks kwadrat plus igrek kwadrat równa się jeden, czyli iks kwadrat plus igrek kwadrat minus jeden równa się zero, więc fi od iks, igrek to iks kwadrat plus igrek kwadrat minus jeden

$x^{2} + y^{2} = 1$: warunek z treści (Zad. 1 a))
$x^{2} + y^{2} - 1 = 0$: liczbę $1$ przenosisz na lewą stronę ze zmianą znaku — po prawej zostaje $0$
$ϕ (x, y) = x^{2} + y^{2} - 1$: lewa strona to $ϕ$ — bez „ $= 0$ ”

Które punkty spełniają warunek $x^2 + y^2 = 1$ ? Wstaw i sprawdź:

punkt	rachunek	spełnia?
$(1, 0)$	$1^2 + 0^2 = 1 + 0 = 1$	tak
$\left(\frac45, \frac35\right)$	$\frac{16}{25} + \frac{9}{25} = \frac{25}{25} = 1$	tak
$(1, 1)$	$1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2 \neq 1$	nie

Jak czytać tabelę: pierwsza liczba w nawiasie trafia w miejsce $x$ , druga — w miejsce $y$ . Punkt jest dozwolony tylko wtedy, gdy wychodzi dokładnie prawa strona warunku ( $1$ ).

Ekstremum warunkowe

Slajd z zajęć: ekstremum warunkowe to taki typ ekstremum, dla którego od punktów stacjonarnych wymaga się spełnienia dodatkowych warunków. Prościej: szukasz najwyższego i najniższego punktu wykresu, ale tylko nad punktami warunku — na ścieżce, nie na całej powierzchni.

Ekstremum warunkowe to co innego niż bezwarunkowe. Zad. 1 b): $f(x, y) = x^2 + y^2$ to miska z dnem w $(0, 0)$ . Ale $(0, 0)$ nie spełnia warunku $x + 4y - 2 = 0$ (wychodzi $0 + 0 - 2 = -2 \neq 0$ ). Na ścieżce najniżej jest gdzie indziej:

ścieżka nad prostą $x + 4 y - 2 = 0$ dno miski — minimum bezwarunkowe (poza warunkiem)minimum warunkowe

Jak czytać:

miska $f(x, y) = x^2 + y^2$ i ścieżka nad prostą $x + 4y = 2$ (przerywana na podłodze). Dno miski, $(0, 0)$ , nie leży na prostej — tam nie wolno wejść. Najniższy punkt ścieżki to $\left(\frac{2}{17}, \frac{8}{17}\right)$ z wartością $\frac{4}{17}$ — wyżej niż dno, ale to najlepsze, na co pozwala warunek.

Funkcja Lagrange’a i mnożnik $\lambda$

Slajd z zajęć: w celu znalezienia ekstremum warunkowego funkcji $f(x, y)$ dla warunku $\phi(x, y)$ należy utworzyć pomocniczo funkcję Lagrange’a:

L (x, y) = f (x, y) + λ \cdot ϕ (x, y)

Czytamy: el od iks, igrek równa się ef od iks, igrek plus lambda razy fi od iks, igrek

$L (x, y)$: funkcja Lagrange’a — pomocnicza funkcja, na której liczysz pochodne zamiast na $f$
$f (x, y)$: funkcja z zadania — przepisujesz ją bez zmian
$λ$: mnożnik Lagrange’a („lambda”) — nieznana liczba; wyjdzie z układu równań razem z $x$ i $y$
$ϕ (x, y)$: lewa strona warunku $ϕ (x, y) = 0$ — zawsze w nawiasie, bo $λ$ mnoży całość

λ

Mnożnik Lagrange’a

czytamy: „lambda”

Nieznana liczba — trzecia niewiadoma obok $x$ i $y$ . Przy liczeniu pochodnych zachowuje się jak zwykła liczba (jak $5$ ). Jej wartość $λ_{0}$ poznasz dopiero z układu równań.

Jak zapamiętać: Grecka litera „l” — od nazwiska Lagrange (czytaj „lagranż”).

Przykład z Zad. 1 f): $f(x, y) = xy$ , warunek $x + y = 1$ , więc $\phi(x, y) = x + y - 1$ i

L(x, y) = xy + \lambda(x + y - 1).

Pochodne cząstkowe $L$ liczysz dokładnie jak w module 10 — druga litera zamrożona (na złoto), a $\lambda$ to liczba. Nawias przy $\lambda$ różniczkujesz w środku, $\lambda$ zostaje przed nim:

\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial x} &= \cG{y} \cdot 1 + \lambda(1 + 0 - 0) = y + \lambda \\ \frac{\partial L}{\partial y} &= \cG{x} \cdot 1 + \lambda(0 + 1 - 0) = x + \lambda \end{aligned}

zmienna „zamrożona” — w tej pochodnej traktujesz ją jak liczbę

Warunek konieczny: układ trzech równań

Slajd z zajęć: pierwsze pochodne cząstkowe funkcji Lagrange’a oraz warunek ograniczający przyrównaj do $0$ . Wychodzi układ trzech równań z trzema niewiadomymi ( $x$ , $y$ , $\lambda$ ):

\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\[2pt] \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\[2pt] \phi(x, y) = 0 \end{cases}

Każde jego rozwiązanie to punkt stacjonarny $P_0 = (x_0, y_0)$ razem ze swoją liczbą $\lambda_0$ . Trzecie równanie pilnuje, żeby punkt leżał na warunku. Dla Zad. 1 f): $y + \lambda = 0$ , $x + \lambda = 0$ , $x + y - 1 = 0$ — wychodzi $P_0 = \left(\frac12, \frac12\right)$ dla $\lambda_0 = -\frac12$ .

Macierz ze slajdu i jej wyznacznik

Krok 5 procedury: dla każdego punktu stacjonarnego liczysz wyznacznik macierzy $3 \times 3$ . Slajd nie nadaje jej nazwy — w kursie oznaczamy ją $\overline{H}$ (czytamy „ha z kreską”), bo w środku stoi hesjan funkcji $L$ , a w pierwszym wierszu i pierwszej kolumnie — „obramowanie” z pochodnych warunku. W książkach nazywa się ją hesjanem obrzeżonym.

H (x, y) =

0

\frac{\partial ϕ}{\partial x}

\frac{\partial ϕ}{\partial y}

\frac{\partial ϕ}{\partial x}

\frac{\partial ^{2} L}{\partial x ^{2}}

\frac{\partial ^{2} L}{\partial x \partial y}

\frac{\partial ϕ}{\partial y}

\frac{\partial ^{2} L}{\partial x \partial y}

\frac{\partial ^{2} L}{\partial y ^{2}}

Czytamy: ha z kreską od iks, igrek

$0$: lewy górny róg — zawsze zero
$\frac{\partial ϕ}{\partial x}, \frac{\partial ϕ}{\partial y}$: brzeg: pochodne cząstkowe warunku — w pierwszym wierszu i (te same) w pierwszej kolumnie
$\frac{\partial ^{2} L}{\partial x ^{2}}, \frac{\partial ^{2} L}{\partial x \partial y}, \frac{\partial ^{2} L}{\partial y ^{2}}$: środek (prawy dolny kwadrat $2 \times 2$ ): drugie pochodne funkcji Lagrange’a — ułożone jak hesjan z modułu 10

zero w rogubrzeg: pochodne warunku $ϕ$ środek: drugie pochodne $L$ (jak hesjan)

Na slajdzie przy każdym elemencie stoi dopisek $(P_0)$ : każdą pochodną liczysz w punkcie stacjonarnym — wstawiasz $x_0$ , $y_0$ i jego $\lambda_0$ . Dla Zad. 1 f) wszystkie pochodne to stałe, więc od razu wychodzą liczby:

H (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) =

0

1

1

1

0

1

1

1

0

zero w rogu $\frac{\partial ϕ}{\partial x} = 1$ , $\frac{\partial ϕ}{\partial y} = 1$ $\frac{\partial ^{2} L}{\partial x ^{2}} = 0$ , $\frac{\partial ^{2} L}{\partial x \partial y} = 1$ , $\frac{\partial ^{2} L}{\partial y ^{2}} = 0$

Przypomnienie z liceum· Wyznacznik 3 × 3 — reguła Sarrusa (moduł 4)

Dopisz z prawej dwie pierwsze kolumny. Trzy przekątne w dół (od lewej góry w prawo w dół) — iloczyny dodajesz. Trzy przekątne w górę (od lewego dołu w prawo w górę) — iloczyny odejmujesz.

H =

0

1

1

0

1

1

0

1

1

0

1

1

0

1

1

Dwie wyblakłe kolumny z prawej to dopisane kolumny 1 i 2 — dzięki nim każda przekątna ma trzy liczby.

det (H) = 0 + 1 + 1 - 0 - 0 - 0 = 2

Jak czytać ten rysunek:

pięć kolumn: trzy kolumny macierzy i dwie dopisane (wyblakłe). Zielone składniki to przekątne w dół, różowe — w górę. Kliknij składnik, a w macierzy podświetlą się jego trzy liczby. Każdy iloczyn z zerem to $0$ — tu dwa składniki dają po $1$ , reszta to zera. Wynik: $W = 1 + 1 = 2$ .

Warunek dostateczny

Slajd z zajęć: funkcja $f$ posiada w punkcie $P_0$ maksimum warunkowe, gdy wyznacznik jest dodatni, oraz minimum warunkowe, gdy jest ujemny. Wyznacznik oznaczamy $W(P_0) = \det \overline{H}(P_0)$ ( $\det$ — skrót od ang. determinant, czyli „wyznacznik”).

Funkcja Lagrange’a

Cel: jeden wzór $L(x, y)$ , w którym jest i funkcja, i warunek. To krok 1 procedury.

Wszystkie przykłady z listy — ten sam przepis:

a) $x^2 + y^2 = 1$ → $\phi = x^2 + y^2 - 1$ → $L = 6 - 4x - 3y + \lambda(x^2 + y^2 - 1)$
b) $x + 4y - 2 = 0$ → $\phi = x + 4y - 2$ → $L = x^2 + y^2 + \lambda(x + 4y - 2)$
c) $x + 2y - 3 = 0$ → $\phi = x + 2y - 3$ → $L = xy + x + y + \lambda(x + 2y - 3)$
d) $x^2 + y^2 = 1$ → $\phi = x^2 + y^2 - 1$ → $L = x^2 - y^2 + \lambda(x^2 + y^2 - 1)$
e) $x^2 + y^2 = 5$ → $\phi = x^2 + y^2 - 5$ → $L = x + 2y + \lambda(x^2 + y^2 - 5)$
f) $x + y = 1$ → $\phi = x + y - 1$ → $L = xy + \lambda(x + y - 1)$
g) $(x + 7)(y - 8) = 0$ → $\phi = (x + 7)(y - 8)$ → $L = (x - 11)(y + 13) + \lambda(x + 7)(y - 8)$

Jak czytać listę: warunek z treści → $\phi(x, y)$ → $L(x, y)$ . W b), c) i g) warunek ma już po prawej $0$ — $\phi$ to po prostu lewa strona. W pozostałych liczbę z prawej strony przenosisz na lewo ze zmianą znaku.

Punkty stacjonarne: układ trzech równań

Cel: wszystkie trójki $(x, y, \lambda)$ , w których obie pochodne $L$ są zerem i spełniony jest warunek. To kroki 2–3 procedury i zwykle najtrudniejsza część zadania — reszta to rachunek według wzoru.

Polecenie na kolokwium· Wyznacz punkty stacjonarne

Rozwiąż układ $\frac{\partial L}{\partial x} = 0$ , $\frac{\partial L}{\partial y} = 0$ , $\phi(x, y) = 0$ , np. dla Zad. 1 a) (pełne rozwiązanie niżej, w sekcji o wyznaczniku).

Policz pochodne $\frac{\partial L}{\partial x}$ i $\frac{\partial L}{\partial y}$ — druga litera zamrożona, $\lambda$ to liczba.
Ułóż układ trzech równań: obie pochodne $= 0$ i warunek $\phi = 0$ .
Najczęstsza droga: z pierwszych dwóch równań wyznacz $x$ i $y$ — wyjdą wyrażenia z $\lambda$ (np. $x = \frac{2}{\lambda}$ ). Zanim podzielisz przez $\lambda$ , sprawdź, że $\lambda = 0$ daje sprzeczność (np. $-4 = 0$ ).
Wstaw je do warunku. Zostaje równanie z samą $\lambda$ . Rozwiąż je — często wychodzą dwie wartości ( $\lambda^2 = \ldots$ daje plus i minus).
Dla każdej $\lambda$ policz $x$ i $y$ . Zapisz punkt razem z jego $\lambda$ .
Iloczyn równy zeru (np. $2x(1 + \lambda) = 0$ ): każdy czynnik osobno — osobne przypadki. Nie dziel przez $x$ .
Sprzeczność we wszystkich przypadkach znaczy: brak punktów stacjonarnych, więc (w zadaniach z listy) brak ekstremów warunkowych.
Sprawdzenie: wstaw punkt do warunku — musi wyjść prawda.

Najpierw przypadek nietypowy — układ bez rozwiązań. Warunek to iloczyn, więc są dwa przypadki:

Zadanie · krok po kroku

$f (x, y) = (x - 11) (y + 13)$ , przy warunku $(x + 7) (y - 8) = 0$

Zad. 1 g)

Plan — co zrobimy i po co

Cel: punkty stacjonarne — albo informacja, że ich nie ma.

Funkcja Lagrange’a: warunek ma już po prawej $0$ . Nawiasów nie wymnażamy.
Pierwsze pochodne $L$ : zamrożony nawias zachowuje się jak liczba.
Warunek konieczny: zaczynamy od trzeciego równania, $\phi = 0$ — iloczyn jest zerem, gdy któryś nawias jest zerem. W obu przypadkach wychodzi sprzeczność, więc ekstremów nie ma i kroki 4–6 odpadają.

Warunek ma już postać „coś $= 0$ ”. $ϕ (x, y)$ to jego lewa strona.
$ϕ (x, y) = (x + 7) (y - 8)$
Utwórz funkcję Lagrange’a: do wzoru $f$ dopisz $+ λ$ razy $ϕ$ w nawiasie.
$L (x, y) = (x - 11) (y + 13) + λ (x + 7) (y - 8)$
$L (x, y) = (x - 11) (y + 13) + λ (x + 7) (y - 8)$
Dlaczego?
Nawiasów nie trzeba wymnażać. Przy zamrożonym $y$ nawias $(y + 13)$ to zwykła liczba stojąca przed $(x - 11)$ .
Policz pochodną $L$ po $x$ . Litera $y$ jest zamrożona (na złoto), $λ$ to liczba. Nawias przy $λ$ różniczkujesz w środku, $λ$ zostaje przed nim.
$\frac{\partial L}{\partial x} = 1 \cdot (y + 13) + λ \cdot 1 \cdot (y - 8) = y + 13 + λ (y - 8)$
$\frac{\partial L}{\partial x} = 1 \cdot (y + 13) + λ \cdot 1 \cdot (y - 8) = y + 13 + λ (y - 8)$
Dlaczego?
Pochodna $(x - 11)$ po $x$ to $1$ , a złoty nawias $(y + 13)$ zostaje jako współczynnik — jak $5$ w $(5 x)^{'} = 5$ .
Policz pochodną $L$ po $y$ . Teraz zamrożony jest $x$ (na złoto), $λ$ dalej jest liczbą.
$\frac{\partial L}{\partial y} = (x - 11) \cdot 1 + λ \cdot (x + 7) \cdot 1 = x - 11 + λ (x + 7)$
$\frac{\partial L}{\partial y} = (x - 11) \cdot 1 + λ \cdot (x + 7) \cdot 1 = x - 11 + λ (x + 7)$
Sprawdź warunek konieczny: obie pierwsze pochodne $L$ i sam warunek $ϕ$ przyrównaj do zera. Wychodzi układ trzech równań z trzema niewiadomymi: $x$ , $y$ , $λ$ .
$⎩ ⎨ ⎧ y + 13 + λ (y - 8) = 0 x - 11 + λ (x + 7) = 0 (x + 7) (y - 8) = 0$
Zacznij od trzeciego równania: iloczyn jest zerem, gdy któryś nawias jest zerem. Dwa przypadki.
$(x + 7) (y - 8) = 0 ⟺ x = - 7 lub y = 8$
$(x + 7) (y - 8) = 0 ⟺ x = - 7 lub y = 8$
Przypadek 1: wstaw $x = - 7$ do drugiego równania. Nawias przy $λ$ się zeruje.
$x = - 7 : - 7 - 11 + λ \cdot 0 = 0 ⟺ - 18 = 0$
$x = - 7 : - 7 - 11 + λ \cdot 0 = 0 ⟺ - 18 = 0$
Dlaczego?
Wychodzi $- 18 = 0$ — fałsz. Ten przypadek nie daje punktów.
Przypadek 2: wstaw $y = 8$ do pierwszego równania.
$y = 8 : 8 + 13 + λ \cdot 0 = 0 ⟺ 21 = 0$
$y = 8 : 8 + 13 + λ \cdot 0 = 0 ⟺ 21 = 0$
Dlaczego?
Znowu fałsz. Układ jest sprzeczny — nie ma punktów stacjonarnych.
Zapisz odpowiedź. Układ nie ma rozwiązań — nie ma punktów stacjonarnych, więc funkcja nie ma ekstremów warunkowych.
$brak punkt o ˊ w stacjonarnych brak ekstrem o ˊ w warunkowych$
Dlaczego?
Skoro żaden punkt nie spełnia warunku koniecznego, kroków 4–6 nie robisz. Uwaga na punkt $(- 7, 8)$ , w którym proste się przecinają: tam obie pochodne $ϕ$ są zerem, więc metoda go nie widzi. Sprawdzasz go osobno: na prostej $x = - 7$ funkcja $f = - 18 (y + 13)$ maleje przez ten punkt, więc nie ma w nim ani maksimum, ani minimum. Na warunku leżą dwie proste: $x = - 7$ i $y = 8$ . Na każdej z nich $f$ jest funkcją liniową (np. dla $x = - 7$ : $f = - 18 (y + 13)$ ), więc rośnie albo maleje bez końca.

zmienna „zamrożona” — w tej pochodnej traktujesz ją jak liczbę

Cel: przy każdym punkcie stacjonarnym jeden wniosek — maksimum albo minimum warunkowe — i jego wartość.

Polecenie na kolokwium· Znajdź ekstrema funkcji przy warunku (metoda mnożników Lagrange’a)

Znajdź ekstrema funkcji $f(x, y)$ przy warunku $\phi(x, y)$ metodą mnożników Lagrange’a, np. $f(x, y) = xy$ , $\phi(x, y)\colon x + y = 1$ .

Procedura ze slajdów, sześć kroków:

Funkcja Lagrange’a: $\phi(x, y)$ (warunek z zerem po prawej) i $L(x, y) = f(x, y) + \lambda \cdot \phi(x, y)$ (przepis wyżej).
Pierwsze pochodne $L$ : $\frac{\partial L}{\partial x}$ , $\frac{\partial L}{\partial y}$ .
Warunek konieczny: układ trzech równań (przepis wyżej) — punkty $P_0$ i ich $\lambda_0$ . Gdy ich nie ma — koniec: brak ekstremów (w zadaniach z listy).
Drugie pochodne $L$ (wszystkie cztery) i pierwsze pochodne warunku $\frac{\partial \phi}{\partial x}$ , $\frac{\partial \phi}{\partial y}$ .
Macierz $\overline{H}$ w każdym punkcie (wstaw $x_0$ , $y_0$ , $\lambda_0$ ) i jej wyznacznik regułą Sarrusa.
Warunek dostateczny: $W > 0$ — maksimum warunkowe, $W < 0$ — minimum warunkowe. Wartość: punkt wstaw do wzoru $f$ .

Zapis wyniku jak w modułach 9 i 10: $f_{\max}\left(\frac12, \frac12\right) = \frac14$ czytamy: „maksimum warunkowe funkcji w punkcie $\left(\frac12, \frac12\right)$ wynosi $\frac14$ ”.

Najkrótszy przykład z listy — cała procedura na jednej stronie. Krok 5 (macierz i wyznacznik) rozpisujemy dokładnie w następnej sekcji:

Zadanie · krok po kroku

$f (x, y) = x y$ , przy warunku $x + y = 1$

Zad. 1 f)

Plan — co zrobimy i po co

Cel: ekstrema warunkowe — gdzie są i jakie mają wartości.

Funkcja Lagrange’a: przenosimy $1$ na lewą stronę warunku.
Pierwsze pochodne $L$ .
Warunek konieczny: $x$ i $y$ wyrażamy przez $\lambda$ i wstawiamy do warunku. Jeden punkt.
Drugie pochodne $L$ i pochodne $\phi$ : same liczby.
Macierz i wyznacznik: macierz nie zależy od punktu; Sarrus.
Warunek dostateczny i wartość ze wzoru $f$ .

Zapisz warunek w postaci $ϕ (x, y) = 0$ : przenieś wszystko na lewą stronę. $ϕ (x, y)$ to ta lewa strona.
$x + y = 1 ⟺ x + y - 1 = 0 \Rightarrow ϕ (x, y) = x + y - 1$
$x + y = 1 ⟺ x + y - 1 = 0 \Rightarrow ϕ (x, y) = x + y - 1$
Utwórz funkcję Lagrange’a: do wzoru $f$ dopisz $+ λ$ razy $ϕ$ w nawiasie.
$L (x, y) = x y + λ (x + y - 1)$
Policz pochodną $L$ po $x$ . Litera $y$ jest zamrożona (na złoto), $λ$ to liczba. Nawias przy $λ$ różniczkujesz w środku, $λ$ zostaje przed nim.
$\frac{\partial L}{\partial x} = y \cdot 1 + λ (1 + 0 - 0) = y + λ$
Policz pochodną $L$ po $y$ . Teraz zamrożony jest $x$ (na złoto), $λ$ dalej jest liczbą.
$\frac{\partial L}{\partial y} = x \cdot 1 + λ (0 + 1 - 0) = x + λ$
Sprawdź warunek konieczny: obie pierwsze pochodne $L$ i sam warunek $ϕ$ przyrównaj do zera. Wychodzi układ trzech równań z trzema niewiadomymi: $x$ , $y$ , $λ$ .
$⎩ ⎨ ⎧ y + λ = 0 x + λ = 0 x + y - 1 = 0$
Z pierwszych dwóch równań wyznacz $y$ i $x$ , wstaw do trzeciego.
$y = - λ, x = - λ \Rightarrow - λ - λ - 1 = 0 ⟺ - 2 λ = 1 ⟺ λ = - \frac{1}{2}$
$y = - λ x = - λ \Rightarrow - λ - λ - 1 = 0 ⟺ - 2 λ = 1 ⟺ λ = - \frac{1}{2}$
Jeden punkt stacjonarny.
$x = y = - (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}, P_{0} = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) dla λ = - \frac{1}{2}$
$x = y = - (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} P_{0} = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) dla λ = - \frac{1}{2}$
Dlaczego?
Sprawdzenie warunku: $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ .
Policz $\frac{\partial ^{2} L}{\partial x ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial L}{\partial x}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $x$ .
$\frac{\partial ^{2} L}{\partial x ^{2}} = 0$
Policz $\frac{\partial ^{2} L}{\partial y ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial L}{\partial y}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $y$ .
$\frac{\partial ^{2} L}{\partial y ^{2}} = 0$
Policz pochodną mieszaną: wynik $\frac{\partial L}{\partial x}$ zróżniczkuj po $y$ (zamrożony $x$ ).
$\frac{\partial ^{2} L}{\partial x \partial y} = 1 + 0 = 1$
Sprawdź drugą pochodną mieszaną: wynik $\frac{\partial L}{\partial y}$ zróżniczkuj po $x$ . Ma wyjść to samo.
$\frac{\partial ^{2} L}{\partial y \partial x} = 1 + 0 = 1$
Policz pochodną warunku $ϕ$ po $x$ (zamrożony $y$ ).
$\frac{\partial ϕ}{\partial x} = 1 + 0 - 0 = 1$
Policz pochodną warunku $ϕ$ po $y$ (zamrożony $x$ ).
$\frac{\partial ϕ}{\partial y} = 0 + 1 - 0 = 1$
Ułóż macierz ze slajdu. W lewym górnym rogu $0$ . Pierwszy wiersz i pierwsza kolumna: $0$ , $\frac{\partial ϕ}{\partial x}$ , $\frac{\partial ϕ}{\partial y}$ . W prawym dolnym kwadracie $2 \times 2$ : drugie pochodne $L$ (jak hesjan).
$H (x, y) =$
$0$ $1$ $1$ $1$ $0$ $1$ $1$ $1$ $0$
Wstaw punkt $P_{0} = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ do macierzy. Tu w macierzy nie ma ani $x$ , ani $y$ , ani $λ$ — same liczby — więc nic się nie zmienia.
$H (P_{0}) =$
$0$ $1$ $1$ $1$ $0$ $1$ $1$ $1$ $0$
Policz wyznacznik regułą Sarrusa: trzy przekątne w dół dodajesz, trzy przekątne w górę odejmujesz. Każdy iloczyn z zerem to $0$ .
$W (P_{0}) = det H (P_{0}) = 0 \cdot 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1 - 1 \cdot 0 \cdot 1 - 0 \cdot 1 \cdot 1 - 1 \cdot 1 \cdot 0 = 0 + 1 + 1 - 0 - 0 - 0 = 1 + 1 = 2$
$W (P_{0}) = det H (P_{0}) = 0 \cdot 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1 - 1 \cdot 0 \cdot 1 - 0 \cdot 1 \cdot 1 - 1 \cdot 1 \cdot 0 = 0 + 1 + 1 - 0 - 0 - 0 = 1 + 1 = 2$
Sprawdź warunek dostateczny. Wyznacznik jest dodatni, więc w punkcie $P_{0} = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ jest maksimum warunkowe.
$W (P_{0}) = 2 > 0 \Rightarrow maksimum warunkowe$
$W (P_{0}) = 2 > 0 \Rightarrow maksimum warunkowe$
Policz wartość maksimum: wstaw $x = \frac{1}{2}$ i $y = \frac{1}{2}$ do wzoru funkcji $f$ (nie do $L$ ).
$f_{m a x} (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$
$f_{m a x} (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$
Zapisz odpowiedź. Maksimum warunkowe w punkcie $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ , równe $\frac{1}{4}$ .
$f_{m a x} (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$

zmienna „zamrożona” — w tej pochodnej traktujesz ją jak liczbę

Macierz w punkcie i jej wyznacznik

Cel: jedna liczba $W(P_0)$ dla każdego punktu stacjonarnego. To kroki 4–5 procedury.

Polecenie na kolokwium· Policz wyznacznik macierzy ze slajdu w punkcie

Policz $\det \overline{H}(P_0)$ dla punktu stacjonarnego $P_0$ i jego $\lambda_0$ .

Policz pochodne: $\frac{\partial \phi}{\partial x}$ , $\frac{\partial \phi}{\partial y}$ (brzeg) i $\frac{\partial^2 L}{\partial x^2}$ , $\frac{\partial^2 L}{\partial x \partial y}$ , $\frac{\partial^2 L}{\partial y^2}$ (środek).
Ułóż macierz ogólną: w rogu $0$ , pierwszy wiersz i pierwsza kolumna — pochodne $\phi$ , w środku — hesjan $L$ .
Wstaw punkt i jego $\lambda$ do każdego elementu. Policz każdą kratkę osobno.
Reguła Sarrusa: trzy przekątne w dół dodajesz, trzy w górę odejmujesz. Iloczyn z zerem to $0$ — w rogu zawsze jest $0$ , więc dwa składniki znikają od razu.

Ułamki i dwie wartości $\lambda$ — przykład z listy, w którym trzeba pilnować par:

Zadanie · krok po kroku

$f (x, y) = 6 - 4 x - 3 y$ , przy warunku $x^{2} + y^{2} = 1$

Zad. 1 a)

Plan — co zrobimy i po co

Cel: ekstrema warunkowe — gdzie są i jakie mają wartości.

Funkcja Lagrange’a: warunek to okrąg; przenosimy $1$ .
Pierwsze pochodne $L$ .
Warunek konieczny: $x = \frac{2}{\lambda}$ i $y = \frac{3}{2\lambda}$ wstawiamy do warunku. Wychodzi $\lambda^2 = \frac{25}{4}$ — dwie wartości $\lambda$ , dwa punkty.
Drugie pochodne $L$ i pochodne $\phi$ : tym razem zależą od $x$ , $y$ i $\lambda$ .
Macierz w każdym punkcie osobno — z jego własną $\lambda$ — i wyznacznik Sarrusem (ułamki).
Warunek dostateczny: jeden punkt to minimum, drugi — maksimum. To te punkty z pierwszego rysunku.

Zapisz warunek w postaci $ϕ (x, y) = 0$ : przenieś wszystko na lewą stronę. $ϕ (x, y)$ to ta lewa strona.
$x^{2} + y^{2} = 1 ⟺ x^{2} + y^{2} - 1 = 0 \Rightarrow ϕ (x, y) = x^{2} + y^{2} - 1$
$x^{2} + y^{2} = 1 ⟺ x^{2} + y^{2} - 1 = 0 \Rightarrow ϕ (x, y) = x^{2} + y^{2} - 1$
Utwórz funkcję Lagrange’a: do wzoru $f$ dopisz $+ λ$ razy $ϕ$ w nawiasie.
$L (x, y) = 6 - 4 x - 3 y + λ (x^{2} + y^{2} - 1)$
Policz pochodną $L$ po $x$ . Litera $y$ jest zamrożona (na złoto), $λ$ to liczba. Nawias przy $λ$ różniczkujesz w środku, $λ$ zostaje przed nim.
$\frac{\partial L}{\partial x} = 0 - 4 - 0 + λ (2 x + 0 - 0) = 2 λ x - 4$
$\frac{\partial L}{\partial x} = 0 - 4 - 0 + λ (2 x + 0 - 0) = 2 λ x - 4$
Dlaczego?
Przy zamrożonym $y$ składniki $- 3 y$ i $y^{2}$ to liczby, więc ich pochodna to $0$ . Liczby $6$ i $- 1$ też dają $0$ . Pochodna $- 4 x$ to $- 4$ , a $x^{2}$ — $2 x$ .
Policz pochodną $L$ po $y$ . Teraz zamrożony jest $x$ (na złoto), $λ$ dalej jest liczbą.
$\frac{\partial L}{\partial y} = 0 - 0 - 3 + λ (0 + 2 y - 0) = 2 λ y - 3$
$\frac{\partial L}{\partial y} = 0 - 0 - 3 + λ (0 + 2 y - 0) = 2 λ y - 3$
Sprawdź warunek konieczny: obie pierwsze pochodne $L$ i sam warunek $ϕ$ przyrównaj do zera. Wychodzi układ trzech równań z trzema niewiadomymi: $x$ , $y$ , $λ$ .
$⎩ ⎨ ⎧ 2 λ x - 4 = 0 2 λ y - 3 = 0 x^{2} + y^{2} - 1 = 0$
Z pierwszego równania wyznacz $x$ , z drugiego — $y$ . Oba wyrażą się przez $λ$ .
$x = \frac{4}{2 λ} = \frac{2}{λ}, y = \frac{3}{2 λ}$
Dlaczego?
Wolno dzielić przez $λ$ , bo $λ \neq = 0$ : dla $λ = 0$ pierwsze równanie dałoby $- 4 = 0$ , a to fałsz.
Wstaw $x$ i $y$ do trzeciego równania (warunku). Zostaje równanie z samą $λ$ . Liczbę $- 1$ przenieś na prawą stronę.
$(\frac{2}{λ})^{2} + (\frac{3}{2 λ})^{2} - 1 = 0 ⟺ \frac{4}{λ ^{2}} + \frac{9}{4 λ ^{2}} = 1$
$(\frac{2}{λ})^{2} + (\frac{3}{2 λ})^{2} - 1 = 0 ⟺ \frac{4}{λ ^{2}} + \frac{9}{4 λ ^{2}} = 1$
Na kartce: $(\frac{2}{λ})^{2} = \frac{4}{λ ^{2}}$ $(\frac{3}{2 λ})^{2} = \frac{9}{4 λ ^{2}}$
Sprowadź ułamki do wspólnego mianownika $4 λ^{2}$ i dodaj liczniki. Potem pomnóż obie strony przez $4 λ^{2}$ .
$\frac{16}{4 λ ^{2}} + \frac{9}{4 λ ^{2}} = 1 ⟺ \frac{25}{4 λ ^{2}} = 1 ⟺ 4 λ^{2} = 25 ⟺ λ^{2} = \frac{25}{4}$
$\frac{16}{4 λ ^{2}} + \frac{9}{4 λ ^{2}} = 1 ⟺ \frac{25}{4 λ ^{2}} = 1 ⟺ 4 λ^{2} = 25 ⟺ λ^{2} = \frac{25}{4}$
Na kartce: $\frac{4}{λ ^{2}} = \frac{4 \cdot 4}{4 λ ^{2}} = \frac{16}{4 λ ^{2}}$
Dwie liczby mają kwadrat równy $\frac{25}{4}$ : $\frac{5}{2}$ i $- \frac{5}{2}$ .
$λ = \frac{5}{2} lub λ = - \frac{5}{2}$
Dlaczego?
Nie zgub ujemnej: $(- \frac{5}{2})^{2} = \frac{25}{4}$ też.
Dla każdej $λ$ policz $x$ i $y$ ze wzorów wyżej.
$λ = \frac{5}{2} : x = 2 : \frac{5}{2} = \frac{4}{5}, y = 3 : (2 \cdot \frac{5}{2}) = \frac{3}{5}$
$λ = \frac{5}{2} : x = 2 : \frac{5}{2} = \frac{4}{5} y = 3 : (2 \cdot \frac{5}{2}) = \frac{3}{5}$
Na kartce: $2 : \frac{5}{2} = 2 \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{5}$ $2 \cdot \frac{5}{2} = 5, 3 : 5 = \frac{3}{5}$
To samo dla drugiej $λ$ — wychodzą liczby przeciwne.
$λ = - \frac{5}{2} : x = 2 : (- \frac{5}{2}) = - \frac{4}{5}, y = 3 : (- 5) = - \frac{3}{5}$
$λ = - \frac{5}{2} : x = 2 : (- \frac{5}{2}) = - \frac{4}{5} y = 3 : (- 5) = - \frac{3}{5}$
Na kartce: $2 : (- \frac{5}{2}) = 2 \cdot (- \frac{2}{5}) = - \frac{4}{5}$ $2 \cdot (- \frac{5}{2}) = - 5, 3 : (- 5) = - \frac{3}{5}$
Dwa punkty stacjonarne — każdy ze swoją $λ$ . Zapisz je razem, bo przy macierzy w kroku 5 potrzebna będzie para: punkt i jego $λ$ .
$P_{1} = (\frac{4}{5}, \frac{3}{5}) dla λ = \frac{5}{2}, P_{2} = (- \frac{4}{5}, - \frac{3}{5}) dla λ = - \frac{5}{2}$
$P_{1} = (\frac{4}{5}, \frac{3}{5}) dla λ = \frac{5}{2} P_{2} = (- \frac{4}{5}, - \frac{3}{5}) dla λ = - \frac{5}{2}$
Dlaczego?
Sprawdzenie warunku: $(\frac{4}{5})^{2} + (\frac{3}{5})^{2} = \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = 1$ . Dla $P_{2}$ : $(- \frac{4}{5})^{2} + (- \frac{3}{5})^{2} = \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = 1$ . Punkty leżą na okręgu.
Policz $\frac{\partial ^{2} L}{\partial x ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial L}{\partial x}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $x$ .
$\frac{\partial ^{2} L}{\partial x ^{2}} = 2 λ$
Dlaczego?
Pochodna $2 λ x$ po $x$ : $2 λ$ to liczba przed $x$ , więc zostaje $2 λ$ . Liczba $- 4$ daje $0$ .
Policz $\frac{\partial ^{2} L}{\partial y ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial L}{\partial y}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $y$ .
$\frac{\partial ^{2} L}{\partial y ^{2}} = 2 λ$
Policz pochodną mieszaną: wynik $\frac{\partial L}{\partial x}$ zróżniczkuj po $y$ (zamrożony $x$ ).
$\frac{\partial ^{2} L}{\partial x \partial y} = 0$
Dlaczego?
W $2 λ x - 4$ nie ma $y$ — przy zamrożonym $x$ to sama liczba.
Sprawdź drugą pochodną mieszaną: wynik $\frac{\partial L}{\partial y}$ zróżniczkuj po $x$ . Ma wyjść to samo.
$\frac{\partial ^{2} L}{\partial y \partial x} = 0$
Policz pochodną warunku $ϕ$ po $x$ (zamrożony $y$ ).
$\frac{\partial ϕ}{\partial x} = 2 x + 0 - 0 = 2 x$
Policz pochodną warunku $ϕ$ po $y$ (zamrożony $x$ ).
$\frac{\partial ϕ}{\partial y} = 0 + 2 y - 0 = 2 y$
Ułóż macierz ze slajdu. W lewym górnym rogu $0$ . Pierwszy wiersz i pierwsza kolumna: $0$ , $\frac{\partial ϕ}{\partial x}$ , $\frac{\partial ϕ}{\partial y}$ . W prawym dolnym kwadracie $2 \times 2$ : drugie pochodne $L$ (jak hesjan).
$H (x, y) =$
$0$ $2 x$ $2 y$ $2 x$ $2 λ$ $0$ $2 y$ $0$ $2 λ$
Wstaw do macierzy punkt $P_{1} = (\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ i jego $λ = \frac{5}{2}$ : za $x$ wstaw $\frac{4}{5}$ , za $y$ wstaw $\frac{3}{5}$ , za $λ$ wstaw $\frac{5}{2}$ . Policz każdy element.
$H (P_{1}) =$
$0$ $2 \cdot \frac{4}{5}$ $2 \cdot \frac{3}{5}$ $2 \cdot \frac{4}{5}$ $2 \cdot \frac{5}{2}$ $0$ $2 \cdot \frac{3}{5}$ $0$ $2 \cdot \frac{5}{2}$
$=$
$0$ $\frac{8}{5}$ $\frac{6}{5}$ $\frac{8}{5}$ $5$ $0$ $\frac{6}{5}$ $0$ $5$
Policz wyznacznik regułą Sarrusa: trzy przekątne w dół dodajesz, trzy przekątne w górę odejmujesz. Każdy iloczyn z zerem to $0$ .
$W (P_{1}) = det H (P_{1}) = 0 \cdot 5 \cdot 5 + \frac{8}{5} \cdot 0 \cdot \frac{6}{5} + \frac{6}{5} \cdot \frac{8}{5} \cdot 0 - \frac{6}{5} \cdot 5 \cdot \frac{6}{5} - 0 \cdot 0 \cdot 0 - \frac{8}{5} \cdot \frac{8}{5} \cdot 5 = 0 + 0 + 0 - \frac{36}{5} - 0 - \frac{64}{5} = - \frac{36}{5} - \frac{64}{5} = - \frac{100}{5} = - 20$
$W (P_{1}) = det H (P_{1}) = 0 \cdot 5 \cdot 5 + \frac{8}{5} \cdot 0 \cdot \frac{6}{5} + \frac{6}{5} \cdot \frac{8}{5} \cdot 0 - \frac{6}{5} \cdot 5 \cdot \frac{6}{5} - 0 \cdot 0 \cdot 0 - \frac{8}{5} \cdot \frac{8}{5} \cdot 5 = 0 + 0 + 0 - \frac{36}{5} - 0 - \frac{64}{5} = - \frac{36}{5} - \frac{64}{5} = - \frac{100}{5} = - 20$
Na kartce: $\frac{6}{5} \cdot 5 \cdot \frac{6}{5} = \frac{36}{5}$ $\frac{8}{5} \cdot \frac{8}{5} \cdot 5 = \frac{64}{5}$
Sprawdź warunek dostateczny. Wyznacznik jest ujemny, więc w punkcie $P_{1} = (\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ jest minimum warunkowe.
$W (P_{1}) = - 20 < 0 \Rightarrow minimum warunkowe$
$W (P_{1}) = - 20 < 0 \Rightarrow minimum warunkowe$
Policz wartość minimum: wstaw $x = \frac{4}{5}$ i $y = \frac{3}{5}$ do wzoru funkcji $f$ (nie do $L$ ).
$f_{m i n} (\frac{4}{5}, \frac{3}{5}) = 6 - 4 \cdot \frac{4}{5} - 3 \cdot \frac{3}{5} = 6 - \frac{16}{5} - \frac{9}{5} = 6 - \frac{25}{5} = 6 - 5 = 1$
$f_{m i n} (\frac{4}{5}, \frac{3}{5}) = 6 - 4 \cdot \frac{4}{5} - 3 \cdot \frac{3}{5} = 6 - \frac{16}{5} - \frac{9}{5} = 6 - \frac{25}{5} = 6 - 5 = 1$
Wstaw do macierzy punkt $P_{2} = (- \frac{4}{5}, - \frac{3}{5})$ i jego $λ = - \frac{5}{2}$ : za $x$ wstaw $- \frac{4}{5}$ , za $y$ wstaw $- \frac{3}{5}$ , za $λ$ wstaw $- \frac{5}{2}$ . Policz każdy element.
$H (P_{2}) =$
$0$ $2 \cdot (- \frac{4}{5})$ $2 \cdot (- \frac{3}{5})$ $2 \cdot (- \frac{4}{5})$ $2 \cdot (- \frac{5}{2})$ $0$ $2 \cdot (- \frac{3}{5})$ $0$ $2 \cdot (- \frac{5}{2})$
$=$
$0$ $- \frac{8}{5}$ $- \frac{6}{5}$ $- \frac{8}{5}$ $- 5$ $0$ $- \frac{6}{5}$ $0$ $- 5$
Policz wyznacznik regułą Sarrusa: trzy przekątne w dół dodajesz, trzy przekątne w górę odejmujesz. Każdy iloczyn z zerem to $0$ .
$W (P_{2}) = det H (P_{2}) = 0 \cdot (- 5) \cdot (- 5) + (- \frac{8}{5}) \cdot 0 \cdot (- \frac{6}{5}) + (- \frac{6}{5}) \cdot (- \frac{8}{5}) \cdot 0 - (- \frac{6}{5}) \cdot (- 5) \cdot (- \frac{6}{5}) - 0 \cdot 0 \cdot 0 - (- \frac{8}{5}) \cdot (- \frac{8}{5}) \cdot (- 5) = 0 + 0 + 0 - (- \frac{36}{5}) - 0 - (- \frac{64}{5}) = \frac{36}{5} + \frac{64}{5} = \frac{100}{5} = 20$
$W (P_{2}) = det H (P_{2}) = 0 \cdot (- 5) \cdot (- 5) + (- \frac{8}{5}) \cdot 0 \cdot (- \frac{6}{5}) + (- \frac{6}{5}) \cdot (- \frac{8}{5}) \cdot 0 - (- \frac{6}{5}) \cdot (- 5) \cdot (- \frac{6}{5}) - 0 \cdot 0 \cdot 0 - (- \frac{8}{5}) \cdot (- \frac{8}{5}) \cdot (- 5) = 0 + 0 + 0 - (- \frac{36}{5}) - 0 - (- \frac{64}{5}) = \frac{36}{5} + \frac{64}{5} = \frac{100}{5} = 20$
Na kartce: $(- \frac{6}{5}) \cdot (- 5) \cdot (- \frac{6}{5}) = - \frac{36}{5}$ $(- \frac{8}{5}) \cdot (- \frac{8}{5}) \cdot (- 5) = - \frac{64}{5}$ $- (- \frac{36}{5}) = + \frac{36}{5}$ $- (- \frac{64}{5}) = + \frac{64}{5}$
Sprawdź warunek dostateczny. Wyznacznik jest dodatni, więc w punkcie $P_{2} = (- \frac{4}{5}, - \frac{3}{5})$ jest maksimum warunkowe.
$W (P_{2}) = 20 > 0 \Rightarrow maksimum warunkowe$
$W (P_{2}) = 20 > 0 \Rightarrow maksimum warunkowe$
Policz wartość maksimum: wstaw $x = - \frac{4}{5}$ i $y = - \frac{3}{5}$ do wzoru funkcji $f$ (nie do $L$ ).
$f_{m a x} (- \frac{4}{5}, - \frac{3}{5}) = 6 - 4 \cdot (- \frac{4}{5}) - 3 \cdot (- \frac{3}{5}) = 6 + \frac{16}{5} + \frac{9}{5} = 6 + \frac{25}{5} = 6 + 5 = 11$
$f_{m a x} (- \frac{4}{5}, - \frac{3}{5}) = 6 - 4 \cdot (- \frac{4}{5}) - 3 \cdot (- \frac{3}{5}) = 6 + \frac{16}{5} + \frac{9}{5} = 6 + \frac{25}{5} = 6 + 5 = 11$
Zapisz odpowiedź. Minimum warunkowe w punkcie $(\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ , równe $1$ ; maksimum warunkowe w punkcie $(- \frac{4}{5}, - \frac{3}{5})$ , równe $11$ .
$f_{m i n} (\frac{4}{5}, \frac{3}{5}) = 1 f_{m a x} (- \frac{4}{5}, - \frac{3}{5}) = 11$

zmienna „zamrożona” — w tej pochodnej traktujesz ją jak liczbę

Zapisz warunek w postaci $ϕ (x, y) = 0$ : przenieś wszystko na lewą stronę. $ϕ (x, y)$ to ta lewa strona.
Utwórz funkcję Lagrange’a: do wzoru $f$ dopisz $+ λ$ razy $ϕ$ w nawiasie.
Policz pochodną $L$ po $x$ . Litera $y$ jest zamrożona (na złoto), $λ$ to liczba. Nawias przy $λ$ różniczkujesz w środku, $λ$ zostaje przed nim.
Policz pochodną $L$ po $y$ . Teraz zamrożony jest $x$ (na złoto), $λ$ dalej jest liczbą.
Sprawdź warunek konieczny: obie pierwsze pochodne $L$ i sam warunek $ϕ$ przyrównaj do zera. Wychodzi układ trzech równań z trzema niewiadomymi: $x$ , $y$ , $λ$ .
Z pierwszego równania wyznacz $x$ , z drugiego — $y$ . Oba wyrażą się przez $λ$ .
Wstaw $x$ i $y$ do trzeciego równania (warunku). Zostaje równanie z samą $λ$ . Liczbę $- 1$ przenieś na prawą stronę.
Sprowadź ułamki do wspólnego mianownika $4 λ^{2}$ i dodaj liczniki. Potem pomnóż obie strony przez $4 λ^{2}$ .
Dwie liczby mają kwadrat równy $\frac{25}{4}$ : $\frac{5}{2}$ i $- \frac{5}{2}$ .
Dla każdej $λ$ policz $x$ i $y$ ze wzorów wyżej.
To samo dla drugiej $λ$ — wychodzą liczby przeciwne.
Dwa punkty stacjonarne — każdy ze swoją $λ$ . Zapisz je razem, bo przy macierzy w kroku 5 potrzebna będzie para: punkt i jego $λ$ .
Policz $\frac{\partial ^{2} L}{\partial x ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial L}{\partial x}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $x$ .
Policz $\frac{\partial ^{2} L}{\partial y ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial L}{\partial y}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $y$ .
Policz pochodną mieszaną: wynik $\frac{\partial L}{\partial x}$ zróżniczkuj po $y$ (zamrożony $x$ ).
Sprawdź drugą pochodną mieszaną: wynik $\frac{\partial L}{\partial y}$ zróżniczkuj po $x$ . Ma wyjść to samo.
Policz pochodną warunku $ϕ$ po $x$ (zamrożony $y$ ).
Policz pochodną warunku $ϕ$ po $y$ (zamrożony $x$ ).
Ułóż macierz ze slajdu. W lewym górnym rogu $0$ . Pierwszy wiersz i pierwsza kolumna: $0$ , $\frac{\partial ϕ}{\partial x}$ , $\frac{\partial ϕ}{\partial y}$ . W prawym dolnym kwadracie $2 \times 2$ : drugie pochodne $L$ (jak hesjan).
Wstaw do macierzy punkt $P_{1} = (\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ i jego $λ = \frac{5}{2}$ : za $x$ wstaw $\frac{4}{5}$ , za $y$ wstaw $\frac{3}{5}$ , za $λ$ wstaw $\frac{5}{2}$ . Policz każdy element.
Policz wyznacznik regułą Sarrusa: trzy przekątne w dół dodajesz, trzy przekątne w górę odejmujesz. Każdy iloczyn z zerem to $0$ .
Sprawdź warunek dostateczny. Wyznacznik jest ujemny, więc w punkcie $P_{1} = (\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ jest minimum warunkowe.
Policz wartość minimum: wstaw $x = \frac{4}{5}$ i $y = \frac{3}{5}$ do wzoru funkcji $f$ (nie do $L$ ).
Wstaw do macierzy punkt $P_{2} = (- \frac{4}{5}, - \frac{3}{5})$ i jego $λ = - \frac{5}{2}$ : za $x$ wstaw $- \frac{4}{5}$ , za $y$ wstaw $- \frac{3}{5}$ , za $λ$ wstaw $- \frac{5}{2}$ . Policz każdy element.
Policz wyznacznik regułą Sarrusa: trzy przekątne w dół dodajesz, trzy przekątne w górę odejmujesz. Każdy iloczyn z zerem to $0$ .
Sprawdź warunek dostateczny. Wyznacznik jest dodatni, więc w punkcie $P_{2} = (- \frac{4}{5}, - \frac{3}{5})$ jest maksimum warunkowe.
Policz wartość maksimum: wstaw $x = - \frac{4}{5}$ i $y = - \frac{3}{5}$ do wzoru funkcji $f$ (nie do $L$ ).
Zapisz odpowiedź. Minimum warunkowe w punkcie $(\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ , równe $1$ ; maksimum warunkowe w punkcie $(- \frac{4}{5}, - \frac{3}{5})$ , równe $11$ .

Wyznacznik w punkcie $P_1$ jeszcze raz — na przekątnych. Kliknij składnik, żeby zobaczyć jego trzy liczby:

H (P_{1}) =

0

\frac{8}{5}

\frac{6}{5}

0

\frac{8}{5}

\frac{8}{5}

5

0

\frac{8}{5}

5

\frac{6}{5}

0

5

\frac{6}{5}

0

Dwie wyblakłe kolumny z prawej to dopisane kolumny 1 i 2 — dzięki nim każda przekątna ma trzy liczby.

det (H (P_{1})) = 0 + 0 + 0 - \frac{36}{5} - 0 - \frac{64}{5} = - 20

Jak czytać ten rysunek:

macierz $\overline{H}\left(\frac45, \frac35\right)$ z dwiema dopisanymi kolumnami. Zielone składniki to przekątne w dół, różowe — w górę. Każda przekątna w dół zawiera zero, więc daje $0$ . Z przekątnych w górę tylko dwie omijają zera: $\frac65 \cdot 5 \cdot \frac65 = \frac{36}{5}$ i $\frac85 \cdot \frac85 \cdot 5 = \frac{64}{5}$ . Obie odejmujesz: $-\frac{36}{5} - \frac{64}{5} = -\frac{100}{5} = -20$ .

Cztery punkty stacjonarne i przypadki z iloczynu:

Zadanie · krok po kroku

$f (x, y) = x^{2} - y^{2}$ , przy warunku $x^{2} + y^{2} = 1$

Zad. 1 d)

Plan — co zrobimy i po co

Cel: ekstrema warunkowe — gdzie są i jakie mają wartości.

Funkcja Lagrange’a.
Pierwsze pochodne $L$ — w obu jest wspólny czynnik.
Warunek konieczny: wyłączamy $2x$ i $2y$ przed nawias. Iloczyn równy zeru daje dwa przypadki: $x = 0$ albo $\lambda = -1$ . Wychodzą cztery punkty — dwa z $\lambda = 1$ , dwa z $\lambda = -1$ .
Drugie pochodne $L$ i pochodne $\phi$ .
Macierz i wyznacznik w każdym z czterech punktów.
Warunek dostateczny: dwa minima i dwa maksima.

Zapisz warunek w postaci $ϕ (x, y) = 0$ : przenieś wszystko na lewą stronę. $ϕ (x, y)$ to ta lewa strona.
$x^{2} + y^{2} = 1 ⟺ x^{2} + y^{2} - 1 = 0 \Rightarrow ϕ (x, y) = x^{2} + y^{2} - 1$
$x^{2} + y^{2} = 1 ⟺ x^{2} + y^{2} - 1 = 0 \Rightarrow ϕ (x, y) = x^{2} + y^{2} - 1$
Utwórz funkcję Lagrange’a: do wzoru $f$ dopisz $+ λ$ razy $ϕ$ w nawiasie.
$L (x, y) = x^{2} - y^{2} + λ (x^{2} + y^{2} - 1)$
Policz pochodną $L$ po $x$ . Litera $y$ jest zamrożona (na złoto), $λ$ to liczba. Nawias przy $λ$ różniczkujesz w środku, $λ$ zostaje przed nim.
$\frac{\partial L}{\partial x} = 2 x - 0 + λ (2 x + 0 - 0) = 2 x + 2 λ x$
$\frac{\partial L}{\partial x} = 2 x - 0 + λ (2 x + 0 - 0) = 2 x + 2 λ x$
Policz pochodną $L$ po $y$ . Teraz zamrożony jest $x$ (na złoto), $λ$ dalej jest liczbą.
$\frac{\partial L}{\partial y} = 0 - 2 y + λ (0 + 2 y - 0) = - 2 y + 2 λ y$
$\frac{\partial L}{\partial y} = 0 - 2 y + λ (0 + 2 y - 0) = - 2 y + 2 λ y$
Sprawdź warunek konieczny: obie pierwsze pochodne $L$ i sam warunek $ϕ$ przyrównaj do zera. Wychodzi układ trzech równań z trzema niewiadomymi: $x$ , $y$ , $λ$ .
$⎩ ⎨ ⎧ 2 x + 2 λ x = 0 - 2 y + 2 λ y = 0 x^{2} + y^{2} - 1 = 0$
W pierwszym równaniu wyłącz $2 x$ przed nawias. Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem.
$2 x (1 + λ) = 0 ⟺ x = 0 lub λ = - 1$
$2 x (1 + λ) = 0 ⟺ x = 0 lub λ = - 1$
Dlaczego?
Nie dziel przez $x$ ! Zgubisz przypadek $x = 0$ , a z nim dwa punkty.
To samo w drugim równaniu: wyłącz $2 y$ .
$2 y (- 1 + λ) = 0 ⟺ y = 0 lub λ = 1$
$2 y (- 1 + λ) = 0 ⟺ y = 0 lub λ = 1$
Przypadek 1: $x = 0$ . Z warunku $0 + y^{2} = 1$ . Ponieważ $y \neq = 0$ , drugie równanie wymaga $λ = 1$ .
$x = 0 : y^{2} = 1 ⟺ y = 1 lub y = - 1, wtedy λ = 1$
$x = 0 : y^{2} = 1 ⟺ y = 1 lub y = - 1 wtedy λ = 1$
Przypadek 2: $λ = - 1$ . Wstaw do drugiego równania: wychodzi $y = 0$ . Potem warunek daje $x$ .
$λ = - 1 : 2 y \cdot (- 2) = 0 ⟺ y = 0, wtedy x^{2} = 1 ⟺ x = 1 lub x = - 1$
$λ = - 1 : 2 y \cdot (- 2) = 0 ⟺ y = 0 x^{2} = 1 ⟺ x = 1 lub x = - 1$
Na kartce: $- 1 + (- 1) = - 2$
Cztery punkty stacjonarne: dwa z pierwszego przypadku, dwa z drugiego. Przy każdym zapamiętaj jego $λ$ .
$P_{1} = (0, 1), P_{2} = (0, - 1) dla λ = 1 P_{3} = (1, 0), P_{4} = (- 1, 0) dla λ = - 1$
Dlaczego?
Przypadek $x = 0$ i $y = 0$ naraz nie istnieje: $0^{2} + 0^{2} = 0 \neq = 1$ , więc warunek nie jest spełniony.
Policz $\frac{\partial ^{2} L}{\partial x ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial L}{\partial x}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $x$ .
$\frac{\partial ^{2} L}{\partial x ^{2}} = 2 + 2 λ$
Policz $\frac{\partial ^{2} L}{\partial y ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial L}{\partial y}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $y$ .
$\frac{\partial ^{2} L}{\partial y ^{2}} = - 2 + 2 λ$
Policz pochodną mieszaną: wynik $\frac{\partial L}{\partial x}$ zróżniczkuj po $y$ (zamrożony $x$ ).
$\frac{\partial ^{2} L}{\partial x \partial y} = 0$
Sprawdź drugą pochodną mieszaną: wynik $\frac{\partial L}{\partial y}$ zróżniczkuj po $x$ . Ma wyjść to samo.
$\frac{\partial ^{2} L}{\partial y \partial x} = 0$
Policz pochodną warunku $ϕ$ po $x$ (zamrożony $y$ ).
$\frac{\partial ϕ}{\partial x} = 2 x + 0 - 0 = 2 x$
Policz pochodną warunku $ϕ$ po $y$ (zamrożony $x$ ).
$\frac{\partial ϕ}{\partial y} = 0 + 2 y - 0 = 2 y$
Ułóż macierz ze slajdu. W lewym górnym rogu $0$ . Pierwszy wiersz i pierwsza kolumna: $0$ , $\frac{\partial ϕ}{\partial x}$ , $\frac{\partial ϕ}{\partial y}$ . W prawym dolnym kwadracie $2 \times 2$ : drugie pochodne $L$ (jak hesjan).
$H (x, y) =$
$0$ $2 x$ $2 y$ $2 x$ $2 + 2 λ$ $0$ $2 y$ $0$ $- 2 + 2 λ$
Wstaw do macierzy punkt $P_{1} = (0, 1)$ i jego $λ = 1$ : za $x$ wstaw $0$ , za $y$ wstaw $1$ , za $λ$ wstaw $1$ . Policz każdy element.
$H (P_{1}) =$
$0$ $2 \cdot 0$ $2 \cdot 1$ $2 \cdot 0$ $2 + 2 \cdot 1$ $0$ $2 \cdot 1$ $0$ $- 2 + 2 \cdot 1$
$=$
$0$ $0$ $2$ $0$ $4$ $0$ $2$ $0$ $0$
Policz wyznacznik regułą Sarrusa: trzy przekątne w dół dodajesz, trzy przekątne w górę odejmujesz. Każdy iloczyn z zerem to $0$ .
$W (P_{1}) = det H (P_{1}) = 0 \cdot 4 \cdot 0 + 0 \cdot 0 \cdot 2 + 2 \cdot 0 \cdot 0 - 2 \cdot 4 \cdot 2 - 0 \cdot 0 \cdot 0 - 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0 + 0 + 0 - 16 - 0 - 0 = - 16$
$W (P_{1}) = det H (P_{1}) = 0 \cdot 4 \cdot 0 + 0 \cdot 0 \cdot 2 + 2 \cdot 0 \cdot 0 - 2 \cdot 4 \cdot 2 - 0 \cdot 0 \cdot 0 - 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0 + 0 + 0 - 16 - 0 - 0 = - 16$
Sprawdź warunek dostateczny. Wyznacznik jest ujemny, więc w punkcie $P_{1} = (0, 1)$ jest minimum warunkowe.
$W (P_{1}) = - 16 < 0 \Rightarrow minimum warunkowe$
$W (P_{1}) = - 16 < 0 \Rightarrow minimum warunkowe$
Policz wartość minimum: wstaw $x = 0$ i $y = 1$ do wzoru funkcji $f$ (nie do $L$ ).
$f_{m i n} (0, 1) = 0^{2} - 1^{2} = 0 - 1 = - 1$
$f_{m i n} (0, 1) = 0^{2} - 1^{2} = 0 - 1 = - 1$
Wstaw do macierzy punkt $P_{2} = (0, - 1)$ i jego $λ = 1$ : za $x$ wstaw $0$ , za $y$ wstaw $- 1$ , za $λ$ wstaw $1$ . Policz każdy element.
$H (P_{2}) =$
$0$ $2 \cdot 0$ $2 \cdot (- 1)$ $2 \cdot 0$ $2 + 2 \cdot 1$ $0$ $2 \cdot (- 1)$ $0$ $- 2 + 2 \cdot 1$
$=$
$0$ $0$ $- 2$ $0$ $4$ $0$ $- 2$ $0$ $0$
Policz wyznacznik regułą Sarrusa: trzy przekątne w dół dodajesz, trzy przekątne w górę odejmujesz. Każdy iloczyn z zerem to $0$ .
$W (P_{2}) = det H (P_{2}) = 0 \cdot 4 \cdot 0 + 0 \cdot 0 \cdot (- 2) + (- 2) \cdot 0 \cdot 0 - (- 2) \cdot 4 \cdot (- 2) - 0 \cdot 0 \cdot 0 - 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0 + 0 + 0 - 16 - 0 - 0 = - 16$
$W (P_{2}) = det H (P_{2}) = 0 \cdot 4 \cdot 0 + 0 \cdot 0 \cdot (- 2) + (- 2) \cdot 0 \cdot 0 - (- 2) \cdot 4 \cdot (- 2) - 0 \cdot 0 \cdot 0 - 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0 + 0 + 0 - 16 - 0 - 0 = - 16$
Sprawdź warunek dostateczny. Wyznacznik jest ujemny, więc w punkcie $P_{2} = (0, - 1)$ jest minimum warunkowe.
$W (P_{2}) = - 16 < 0 \Rightarrow minimum warunkowe$
$W (P_{2}) = - 16 < 0 \Rightarrow minimum warunkowe$
Policz wartość minimum: wstaw $x = 0$ i $y = - 1$ do wzoru funkcji $f$ (nie do $L$ ).
$f_{m i n} (0, - 1) = 0^{2} - (- 1)^{2} = 0 - 1 = - 1$
$f_{m i n} (0, - 1) = 0^{2} - (- 1)^{2} = 0 - 1 = - 1$
Wstaw do macierzy punkt $P_{3} = (1, 0)$ i jego $λ = - 1$ : za $x$ wstaw $1$ , za $y$ wstaw $0$ , za $λ$ wstaw $- 1$ . Policz każdy element.
$H (P_{3}) =$
$0$ $2 \cdot 1$ $2 \cdot 0$ $2 \cdot 1$ $2 + 2 \cdot (- 1)$ $0$ $2 \cdot 0$ $0$ $- 2 + 2 \cdot (- 1)$
$=$
$0$ $2$ $0$ $2$ $0$ $0$ $0$ $0$ $- 4$
Policz wyznacznik regułą Sarrusa: trzy przekątne w dół dodajesz, trzy przekątne w górę odejmujesz. Każdy iloczyn z zerem to $0$ .
$W (P_{3}) = det H (P_{3}) = 0 \cdot 0 \cdot (- 4) + 2 \cdot 0 \cdot 0 + 0 \cdot 2 \cdot 0 - 0 \cdot 0 \cdot 0 - 0 \cdot 0 \cdot 0 - 2 \cdot 2 \cdot (- 4) = 0 + 0 + 0 - 0 - 0 - (- 16) = 16$
$W (P_{3}) = det H (P_{3}) = 0 \cdot 0 \cdot (- 4) + 2 \cdot 0 \cdot 0 + 0 \cdot 2 \cdot 0 - 0 \cdot 0 \cdot 0 - 0 \cdot 0 \cdot 0 - 2 \cdot 2 \cdot (- 4) = 0 + 0 + 0 - 0 - 0 - (- 16) = 16$
Na kartce: $- (- 16) = + 16$
Sprawdź warunek dostateczny. Wyznacznik jest dodatni, więc w punkcie $P_{3} = (1, 0)$ jest maksimum warunkowe.
$W (P_{3}) = 16 > 0 \Rightarrow maksimum warunkowe$
$W (P_{3}) = 16 > 0 \Rightarrow maksimum warunkowe$
Policz wartość maksimum: wstaw $x = 1$ i $y = 0$ do wzoru funkcji $f$ (nie do $L$ ).
$f_{m a x} (1, 0) = 1^{2} - 0^{2} = 1 - 0 = 1$
$f_{m a x} (1, 0) = 1^{2} - 0^{2} = 1 - 0 = 1$
Wstaw do macierzy punkt $P_{4} = (- 1, 0)$ i jego $λ = - 1$ : za $x$ wstaw $- 1$ , za $y$ wstaw $0$ , za $λ$ wstaw $- 1$ . Policz każdy element.
$H (P_{4}) =$
$0$ $2 \cdot (- 1)$ $2 \cdot 0$ $2 \cdot (- 1)$ $2 + 2 \cdot (- 1)$ $0$ $2 \cdot 0$ $0$ $- 2 + 2 \cdot (- 1)$
$=$
$0$ $- 2$ $0$ $- 2$ $0$ $0$ $0$ $0$ $- 4$
Policz wyznacznik regułą Sarrusa: trzy przekątne w dół dodajesz, trzy przekątne w górę odejmujesz. Każdy iloczyn z zerem to $0$ .
$W (P_{4}) = det H (P_{4}) = 0 \cdot 0 \cdot (- 4) + (- 2) \cdot 0 \cdot 0 + 0 \cdot (- 2) \cdot 0 - 0 \cdot 0 \cdot 0 - 0 \cdot 0 \cdot 0 - (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 4) = 0 + 0 + 0 - 0 - 0 - (- 16) = 16$
$W (P_{4}) = det H (P_{4}) = 0 \cdot 0 \cdot (- 4) + (- 2) \cdot 0 \cdot 0 + 0 \cdot (- 2) \cdot 0 - 0 \cdot 0 \cdot 0 - 0 \cdot 0 \cdot 0 - (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 4) = 0 + 0 + 0 - 0 - 0 - (- 16) = 16$
Na kartce: $- (- 16) = + 16$
Sprawdź warunek dostateczny. Wyznacznik jest dodatni, więc w punkcie $P_{4} = (- 1, 0)$ jest maksimum warunkowe.
$W (P_{4}) = 16 > 0 \Rightarrow maksimum warunkowe$
$W (P_{4}) = 16 > 0 \Rightarrow maksimum warunkowe$
Policz wartość maksimum: wstaw $x = - 1$ i $y = 0$ do wzoru funkcji $f$ (nie do $L$ ).
$f_{m a x} (- 1, 0) = (- 1)^{2} - 0^{2} = 1 - 0 = 1$
$f_{m a x} (- 1, 0) = (- 1)^{2} - 0^{2} = 1 - 0 = 1$
Zapisz odpowiedź. Minimum warunkowe w punkcie $(0, 1)$ , równe $- 1$ ; minimum warunkowe w punkcie $(0, - 1)$ , równe $- 1$ ; maksimum warunkowe w punkcie $(1, 0)$ , równe $1$ ; maksimum warunkowe w punkcie $(- 1, 0)$ , równe $1$ .
$f_{m i n} (0, 1) = - 1 f_{m i n} (0, - 1) = - 1 f_{m a x} (1, 0) = 1 f_{m a x} (- 1, 0) = 1$

zmienna „zamrożona” — w tej pochodnej traktujesz ją jak liczbę

Zapisz warunek w postaci $ϕ (x, y) = 0$ : przenieś wszystko na lewą stronę. $ϕ (x, y)$ to ta lewa strona.
Utwórz funkcję Lagrange’a: do wzoru $f$ dopisz $+ λ$ razy $ϕ$ w nawiasie.
Policz pochodną $L$ po $x$ . Litera $y$ jest zamrożona (na złoto), $λ$ to liczba. Nawias przy $λ$ różniczkujesz w środku, $λ$ zostaje przed nim.
Policz pochodną $L$ po $y$ . Teraz zamrożony jest $x$ (na złoto), $λ$ dalej jest liczbą.
Sprawdź warunek konieczny: obie pierwsze pochodne $L$ i sam warunek $ϕ$ przyrównaj do zera. Wychodzi układ trzech równań z trzema niewiadomymi: $x$ , $y$ , $λ$ .
W pierwszym równaniu wyłącz $2 x$ przed nawias. Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem.
To samo w drugim równaniu: wyłącz $2 y$ .
Przypadek 1: $x = 0$ . Z warunku $0 + y^{2} = 1$ . Ponieważ $y \neq = 0$ , drugie równanie wymaga $λ = 1$ .
Przypadek 2: $λ = - 1$ . Wstaw do drugiego równania: wychodzi $y = 0$ . Potem warunek daje $x$ .
Cztery punkty stacjonarne: dwa z pierwszego przypadku, dwa z drugiego. Przy każdym zapamiętaj jego $λ$ .
Policz $\frac{\partial ^{2} L}{\partial x ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial L}{\partial x}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $x$ .
Policz $\frac{\partial ^{2} L}{\partial y ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial L}{\partial y}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $y$ .
Policz pochodną mieszaną: wynik $\frac{\partial L}{\partial x}$ zróżniczkuj po $y$ (zamrożony $x$ ).
Sprawdź drugą pochodną mieszaną: wynik $\frac{\partial L}{\partial y}$ zróżniczkuj po $x$ . Ma wyjść to samo.
Policz pochodną warunku $ϕ$ po $x$ (zamrożony $y$ ).
Policz pochodną warunku $ϕ$ po $y$ (zamrożony $x$ ).
Ułóż macierz ze slajdu. W lewym górnym rogu $0$ . Pierwszy wiersz i pierwsza kolumna: $0$ , $\frac{\partial ϕ}{\partial x}$ , $\frac{\partial ϕ}{\partial y}$ . W prawym dolnym kwadracie $2 \times 2$ : drugie pochodne $L$ (jak hesjan).
Wstaw do macierzy punkt $P_{1} = (0, 1)$ i jego $λ = 1$ : za $x$ wstaw $0$ , za $y$ wstaw $1$ , za $λ$ wstaw $1$ . Policz każdy element.
Policz wyznacznik regułą Sarrusa: trzy przekątne w dół dodajesz, trzy przekątne w górę odejmujesz. Każdy iloczyn z zerem to $0$ .
Sprawdź warunek dostateczny. Wyznacznik jest ujemny, więc w punkcie $P_{1} = (0, 1)$ jest minimum warunkowe.
Policz wartość minimum: wstaw $x = 0$ i $y = 1$ do wzoru funkcji $f$ (nie do $L$ ).
Wstaw do macierzy punkt $P_{2} = (0, - 1)$ i jego $λ = 1$ : za $x$ wstaw $0$ , za $y$ wstaw $- 1$ , za $λ$ wstaw $1$ . Policz każdy element.
Policz wyznacznik regułą Sarrusa: trzy przekątne w dół dodajesz, trzy przekątne w górę odejmujesz. Każdy iloczyn z zerem to $0$ .
Sprawdź warunek dostateczny. Wyznacznik jest ujemny, więc w punkcie $P_{2} = (0, - 1)$ jest minimum warunkowe.
Policz wartość minimum: wstaw $x = 0$ i $y = - 1$ do wzoru funkcji $f$ (nie do $L$ ).
Wstaw do macierzy punkt $P_{3} = (1, 0)$ i jego $λ = - 1$ : za $x$ wstaw $1$ , za $y$ wstaw $0$ , za $λ$ wstaw $- 1$ . Policz każdy element.
Policz wyznacznik regułą Sarrusa: trzy przekątne w dół dodajesz, trzy przekątne w górę odejmujesz. Każdy iloczyn z zerem to $0$ .
Sprawdź warunek dostateczny. Wyznacznik jest dodatni, więc w punkcie $P_{3} = (1, 0)$ jest maksimum warunkowe.
Policz wartość maksimum: wstaw $x = 1$ i $y = 0$ do wzoru funkcji $f$ (nie do $L$ ).
Wstaw do macierzy punkt $P_{4} = (- 1, 0)$ i jego $λ = - 1$ : za $x$ wstaw $- 1$ , za $y$ wstaw $0$ , za $λ$ wstaw $- 1$ . Policz każdy element.
Policz wyznacznik regułą Sarrusa: trzy przekątne w dół dodajesz, trzy przekątne w górę odejmujesz. Każdy iloczyn z zerem to $0$ .
Sprawdź warunek dostateczny. Wyznacznik jest dodatni, więc w punkcie $P_{4} = (- 1, 0)$ jest maksimum warunkowe.
Policz wartość maksimum: wstaw $x = - 1$ i $y = 0$ do wzoru funkcji $f$ (nie do $L$ ).
Zapisz odpowiedź. Minimum warunkowe w punkcie $(0, 1)$ , równe $- 1$ ; minimum warunkowe w punkcie $(0, - 1)$ , równe $- 1$ ; maksimum warunkowe w punkcie $(1, 0)$ , równe $1$ ; maksimum warunkowe w punkcie $(- 1, 0)$ , równe $1$ .

Sprawdź się

W punkcie stacjonarnym wyszło $W (P_{0}) = - 16$ . Co tam jest?

Pozostałe przykłady z listy

Zad. 1 b)

f (x, y) = x^{2} + y^{2} ϕ (x, y) : x + 4 y - 2 = 0

Plan — co zrobimy i po co

Cel: ekstrema warunkowe — gdzie są i jakie mają wartości. Jak w f): warunek to prosta, a macierz to same liczby. Tu: miska z rysunku w pojęciach i minimum warunkowe.

Warunek ma już postać „coś $= 0$ ”. $ϕ (x, y)$ to jego lewa strona.
$ϕ (x, y) = x + 4 y - 2$
Utwórz funkcję Lagrange’a: do wzoru $f$ dopisz $+ λ$ razy $ϕ$ w nawiasie.
$L (x, y) = x^{2} + y^{2} + λ (x + 4 y - 2)$
Policz pochodną $L$ po $x$ . Litera $y$ jest zamrożona (na złoto), $λ$ to liczba. Nawias przy $λ$ różniczkujesz w środku, $λ$ zostaje przed nim.
$\frac{\partial L}{\partial x} = 2 x + 0 + λ (1 + 0 - 0) = 2 x + λ$
Policz pochodną $L$ po $y$ . Teraz zamrożony jest $x$ (na złoto), $λ$ dalej jest liczbą.
$\frac{\partial L}{\partial y} = 0 + 2 y + λ (0 + 4 - 0) = 2 y + 4 λ$
$\frac{\partial L}{\partial y} = 0 + 2 y + λ (0 + 4 - 0) = 2 y + 4 λ$
Sprawdź warunek konieczny: obie pierwsze pochodne $L$ i sam warunek $ϕ$ przyrównaj do zera. Wychodzi układ trzech równań z trzema niewiadomymi: $x$ , $y$ , $λ$ .
$⎩ ⎨ ⎧ 2 x + λ = 0 2 y + 4 λ = 0 x + 4 y - 2 = 0$
Z pierwszego równania wyznacz $x$ , z drugiego — $y$ . Oba przez $λ$ .
$x = - \frac{λ}{2}, y = - \frac{4 λ}{2} = - 2 λ$
Wstaw $x$ i $y$ do trzeciego równania. Liczbę $- 2$ przenieś na prawą stronę.
$- \frac{λ}{2} + 4 \cdot (- 2 λ) - 2 = 0 ⟺ - \frac{λ}{2} - 8 λ = 2$
$- \frac{λ}{2} + 4 \cdot (- 2 λ) - 2 = 0 ⟺ - \frac{λ}{2} - 8 λ = 2$
Wspólny mianownik $2$ , dodaj liczniki. Potem pomnóż obie strony przez $2$ i podziel przez $- 17$ .
$- \frac{λ}{2} - \frac{16 λ}{2} = 2 ⟺ - \frac{17 λ}{2} = 2 ⟺ λ = - \frac{4}{17}$
$- \frac{λ}{2} - \frac{16 λ}{2} = 2 ⟺ - \frac{17 λ}{2} = 2 ⟺ λ = - \frac{4}{17}$
Na kartce: $8 λ = \frac{16 λ}{2}$ $- 17 λ = 4 ⟺ λ = - \frac{4}{17}$
Wstaw $λ$ do wzorów na $x$ i $y$ . Minus razy minus daje plus.
$x = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{4}{17}) = \frac{2}{17}, y = - 2 \cdot (- \frac{4}{17}) = \frac{8}{17}$
$x = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{4}{17}) = \frac{2}{17} y = - 2 \cdot (- \frac{4}{17}) = \frac{8}{17}$
Jeden punkt stacjonarny.
$P_{0} = (\frac{2}{17}, \frac{8}{17}) dla λ = - \frac{4}{17}$
Dlaczego?
Sprawdzenie warunku: $\frac{2}{17} + 4 \cdot \frac{8}{17} - 2 = \frac{2 + 32 - 34}{17} = 0$ .
Policz $\frac{\partial ^{2} L}{\partial x ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial L}{\partial x}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $x$ .
$\frac{\partial ^{2} L}{\partial x ^{2}} = 2$
Policz $\frac{\partial ^{2} L}{\partial y ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial L}{\partial y}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $y$ .
$\frac{\partial ^{2} L}{\partial y ^{2}} = 2$
Policz pochodną mieszaną: wynik $\frac{\partial L}{\partial x}$ zróżniczkuj po $y$ (zamrożony $x$ ).
$\frac{\partial ^{2} L}{\partial x \partial y} = 0$
Sprawdź drugą pochodną mieszaną: wynik $\frac{\partial L}{\partial y}$ zróżniczkuj po $x$ . Ma wyjść to samo.
$\frac{\partial ^{2} L}{\partial y \partial x} = 0$
Policz pochodną warunku $ϕ$ po $x$ (zamrożony $y$ ).
$\frac{\partial ϕ}{\partial x} = 1 + 0 - 0 = 1$
Policz pochodną warunku $ϕ$ po $y$ (zamrożony $x$ ).
$\frac{\partial ϕ}{\partial y} = 0 + 4 - 0 = 4$
Ułóż macierz ze slajdu. W lewym górnym rogu $0$ . Pierwszy wiersz i pierwsza kolumna: $0$ , $\frac{\partial ϕ}{\partial x}$ , $\frac{\partial ϕ}{\partial y}$ . W prawym dolnym kwadracie $2 \times 2$ : drugie pochodne $L$ (jak hesjan).
$H (x, y) =$
$0$ $1$ $4$ $1$ $2$ $0$ $4$ $0$ $2$
Wstaw punkt $P_{0} = (\frac{2}{17}, \frac{8}{17})$ do macierzy. Tu w macierzy nie ma ani $x$ , ani $y$ , ani $λ$ — same liczby — więc nic się nie zmienia.
$H (P_{0}) =$
$0$ $1$ $4$ $1$ $2$ $0$ $4$ $0$ $2$
Policz wyznacznik regułą Sarrusa: trzy przekątne w dół dodajesz, trzy przekątne w górę odejmujesz. Każdy iloczyn z zerem to $0$ .
$W (P_{0}) = det H (P_{0}) = 0 \cdot 2 \cdot 2 + 1 \cdot 0 \cdot 4 + 4 \cdot 1 \cdot 0 - 4 \cdot 2 \cdot 4 - 0 \cdot 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1 \cdot 2 = 0 + 0 + 0 - 32 - 0 - 2 = - 32 - 2 = - 34$
$W (P_{0}) = det H (P_{0}) = 0 \cdot 2 \cdot 2 + 1 \cdot 0 \cdot 4 + 4 \cdot 1 \cdot 0 - 4 \cdot 2 \cdot 4 - 0 \cdot 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1 \cdot 2 = 0 + 0 + 0 - 32 - 0 - 2 = - 32 - 2 = - 34$
Sprawdź warunek dostateczny. Wyznacznik jest ujemny, więc w punkcie $P_{0} = (\frac{2}{17}, \frac{8}{17})$ jest minimum warunkowe.
$W (P_{0}) = - 34 < 0 \Rightarrow minimum warunkowe$
$W (P_{0}) = - 34 < 0 \Rightarrow minimum warunkowe$
Policz wartość minimum: wstaw $x = \frac{2}{17}$ i $y = \frac{8}{17}$ do wzoru funkcji $f$ (nie do $L$ ).
$f_{m i n} (\frac{2}{17}, \frac{8}{17}) = (\frac{2}{17})^{2} + (\frac{8}{17})^{2} = \frac{4}{289} + \frac{64}{289} = \frac{68}{289} = \frac{4}{17}$
$f_{m i n} (\frac{2}{17}, \frac{8}{17}) = (\frac{2}{17})^{2} + (\frac{8}{17})^{2} = \frac{4}{289} + \frac{64}{289} = \frac{68}{289} = \frac{4}{17}$
Na kartce: $\frac{68}{289} = \frac{4 \cdot 17}{17 \cdot 17} = \frac{4}{17}$
Zapisz odpowiedź. Minimum warunkowe w punkcie $(\frac{2}{17}, \frac{8}{17})$ , równe $\frac{4}{17}$ .
$f_{m i n} (\frac{2}{17}, \frac{8}{17}) = \frac{4}{17}$

zmienna „zamrożona” — w tej pochodnej traktujesz ją jak liczbę

Zad. 1 c)

f (x, y) = x y + x + y ϕ (x, y) : x + 2 y - 3 = 0

Plan — co zrobimy i po co

Cel: ekstrema warunkowe — gdzie są i jakie mają wartości. Jak w f) — macierz ze stałych. Nowe: w pochodnych pojawia się $+ 1$ ze składników $x$ i $y$ funkcji.

Warunek ma już postać „coś $= 0$ ”. $ϕ (x, y)$ to jego lewa strona.
$ϕ (x, y) = x + 2 y - 3$
Utwórz funkcję Lagrange’a: do wzoru $f$ dopisz $+ λ$ razy $ϕ$ w nawiasie.
$L (x, y) = x y + x + y + λ (x + 2 y - 3)$
Policz pochodną $L$ po $x$ . Litera $y$ jest zamrożona (na złoto), $λ$ to liczba. Nawias przy $λ$ różniczkujesz w środku, $λ$ zostaje przed nim.
$\frac{\partial L}{\partial x} = y \cdot 1 + 1 + 0 + λ (1 + 0 - 0) = y + 1 + λ$
$\frac{\partial L}{\partial x} = y \cdot 1 + 1 + 0 + λ (1 + 0 - 0) = y + 1 + λ$
Policz pochodną $L$ po $y$ . Teraz zamrożony jest $x$ (na złoto), $λ$ dalej jest liczbą.
$\frac{\partial L}{\partial y} = x \cdot 1 + 0 + 1 + λ (0 + 2 - 0) = x + 1 + 2 λ$
$\frac{\partial L}{\partial y} = x \cdot 1 + 0 + 1 + λ (0 + 2 - 0) = x + 1 + 2 λ$
Sprawdź warunek konieczny: obie pierwsze pochodne $L$ i sam warunek $ϕ$ przyrównaj do zera. Wychodzi układ trzech równań z trzema niewiadomymi: $x$ , $y$ , $λ$ .
$⎩ ⎨ ⎧ y + 1 + λ = 0 x + 1 + 2 λ = 0 x + 2 y - 3 = 0$
Z pierwszego równania wyznacz $y$ , z drugiego — $x$ .
$y = - 1 - λ, x = - 1 - 2 λ$
Wstaw $x$ i $y$ do trzeciego równania i wymnóż nawias.
$- 1 - 2 λ + 2 (- 1 - λ) - 3 = 0 ⟺ - 1 - 2 λ - 2 - 2 λ - 3 = 0$
$- 1 - 2 λ + 2 (- 1 - λ) - 3 = 0 ⟺ - 1 - 2 λ - 2 - 2 λ - 3 = 0$
Zbierz składniki z $λ$ i same liczby.
$- 4 λ - 6 = 0 ⟺ - 4 λ = 6 ⟺ λ = - \frac{3}{2}$
$- 4 λ - 6 = 0 ⟺ - 4 λ = 6 ⟺ λ = - \frac{3}{2}$
Na kartce: $- 2 λ - 2 λ = - 4 λ$ $- 1 - 2 - 3 = - 6$ $\frac{6}{- 4} = - \frac{3}{2}$
Wstaw $λ$ do wzorów na $x$ i $y$ .
$y = - 1 - (- \frac{3}{2}) = \frac{1}{2}, x = - 1 - 2 \cdot (- \frac{3}{2}) = - 1 + 3 = 2$
$y = - 1 - (- \frac{3}{2}) = \frac{1}{2} x = - 1 - 2 \cdot (- \frac{3}{2}) = - 1 + 3 = 2$
Na kartce: $- 1 + \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$
Jeden punkt stacjonarny.
$P_{0} = (2, \frac{1}{2}) dla λ = - \frac{3}{2}$
Dlaczego?
Sprawdzenie warunku: $2 + 2 \cdot \frac{1}{2} - 3 = 2 + 1 - 3 = 0$ .
Policz $\frac{\partial ^{2} L}{\partial x ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial L}{\partial x}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $x$ .
$\frac{\partial ^{2} L}{\partial x ^{2}} = 0$
Dlaczego?
W $y + 1 + λ$ nie ma $x$ — przy zamrożonym $y$ to sama liczba.
Policz $\frac{\partial ^{2} L}{\partial y ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial L}{\partial y}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $y$ .
$\frac{\partial ^{2} L}{\partial y ^{2}} = 0$
Policz pochodną mieszaną: wynik $\frac{\partial L}{\partial x}$ zróżniczkuj po $y$ (zamrożony $x$ ).
$\frac{\partial ^{2} L}{\partial x \partial y} = 1 + 0 + 0 = 1$
Sprawdź drugą pochodną mieszaną: wynik $\frac{\partial L}{\partial y}$ zróżniczkuj po $x$ . Ma wyjść to samo.
$\frac{\partial ^{2} L}{\partial y \partial x} = 1 + 0 + 0 = 1$
Policz pochodną warunku $ϕ$ po $x$ (zamrożony $y$ ).
$\frac{\partial ϕ}{\partial x} = 1 + 0 - 0 = 1$
Policz pochodną warunku $ϕ$ po $y$ (zamrożony $x$ ).
$\frac{\partial ϕ}{\partial y} = 0 + 2 - 0 = 2$
Ułóż macierz ze slajdu. W lewym górnym rogu $0$ . Pierwszy wiersz i pierwsza kolumna: $0$ , $\frac{\partial ϕ}{\partial x}$ , $\frac{\partial ϕ}{\partial y}$ . W prawym dolnym kwadracie $2 \times 2$ : drugie pochodne $L$ (jak hesjan).
$H (x, y) =$
$0$ $1$ $2$ $1$ $0$ $1$ $2$ $1$ $0$
Wstaw punkt $P_{0} = (2, \frac{1}{2})$ do macierzy. Tu w macierzy nie ma ani $x$ , ani $y$ , ani $λ$ — same liczby — więc nic się nie zmienia.
$H (P_{0}) =$
$0$ $1$ $2$ $1$ $0$ $1$ $2$ $1$ $0$
Policz wyznacznik regułą Sarrusa: trzy przekątne w dół dodajesz, trzy przekątne w górę odejmujesz. Każdy iloczyn z zerem to $0$ .
$W (P_{0}) = det H (P_{0}) = 0 \cdot 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 \cdot 1 - 2 \cdot 0 \cdot 2 - 0 \cdot 1 \cdot 1 - 1 \cdot 1 \cdot 0 = 0 + 2 + 2 - 0 - 0 - 0 = 2 + 2 = 4$
$W (P_{0}) = det H (P_{0}) = 0 \cdot 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 \cdot 1 - 2 \cdot 0 \cdot 2 - 0 \cdot 1 \cdot 1 - 1 \cdot 1 \cdot 0 = 0 + 2 + 2 - 0 - 0 - 0 = 2 + 2 = 4$
Sprawdź warunek dostateczny. Wyznacznik jest dodatni, więc w punkcie $P_{0} = (2, \frac{1}{2})$ jest maksimum warunkowe.
$W (P_{0}) = 4 > 0 \Rightarrow maksimum warunkowe$
$W (P_{0}) = 4 > 0 \Rightarrow maksimum warunkowe$
Policz wartość maksimum: wstaw $x = 2$ i $y = \frac{1}{2}$ do wzoru funkcji $f$ (nie do $L$ ).
$f_{m a x} (2, \frac{1}{2}) = 2 \cdot \frac{1}{2} + 2 + \frac{1}{2} = 1 + 2 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$
$f_{m a x} (2, \frac{1}{2}) = 2 \cdot \frac{1}{2} + 2 + \frac{1}{2} = 1 + 2 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$
Zapisz odpowiedź. Maksimum warunkowe w punkcie $(2, \frac{1}{2})$ , równe $\frac{7}{2}$ .
$f_{m a x} (2, \frac{1}{2}) = \frac{7}{2}$

zmienna „zamrożona” — w tej pochodnej traktujesz ją jak liczbę

Zad. 1 e)

f (x, y) = x + 2 y ϕ (x, y) : x^{2} + y^{2} = 5

Plan — co zrobimy i po co

Cel: ekstrema warunkowe — gdzie są i jakie mają wartości. Jak w a): dwie wartości $λ = \pm \frac{1}{2}$ i „minus minus” w regule Sarrusa — ale bez ułamków w macierzy. Okrąg o promieniu $5$ .

Zapisz warunek w postaci $ϕ (x, y) = 0$ : przenieś wszystko na lewą stronę. $ϕ (x, y)$ to ta lewa strona.
$x^{2} + y^{2} = 5 ⟺ x^{2} + y^{2} - 5 = 0 \Rightarrow ϕ (x, y) = x^{2} + y^{2} - 5$
$x^{2} + y^{2} = 5 ⟺ x^{2} + y^{2} - 5 = 0 \Rightarrow ϕ (x, y) = x^{2} + y^{2} - 5$
Utwórz funkcję Lagrange’a: do wzoru $f$ dopisz $+ λ$ razy $ϕ$ w nawiasie.
$L (x, y) = x + 2 y + λ (x^{2} + y^{2} - 5)$
Policz pochodną $L$ po $x$ . Litera $y$ jest zamrożona (na złoto), $λ$ to liczba. Nawias przy $λ$ różniczkujesz w środku, $λ$ zostaje przed nim.
$\frac{\partial L}{\partial x} = 1 + 0 + λ (2 x + 0 - 0) = 1 + 2 λ x$
$\frac{\partial L}{\partial x} = 1 + 0 + λ (2 x + 0 - 0) = 1 + 2 λ x$
Policz pochodną $L$ po $y$ . Teraz zamrożony jest $x$ (na złoto), $λ$ dalej jest liczbą.
$\frac{\partial L}{\partial y} = 0 + 2 + λ (0 + 2 y - 0) = 2 + 2 λ y$
$\frac{\partial L}{\partial y} = 0 + 2 + λ (0 + 2 y - 0) = 2 + 2 λ y$
Sprawdź warunek konieczny: obie pierwsze pochodne $L$ i sam warunek $ϕ$ przyrównaj do zera. Wychodzi układ trzech równań z trzema niewiadomymi: $x$ , $y$ , $λ$ .
$⎩ ⎨ ⎧ 1 + 2 λ x = 0 2 + 2 λ y = 0 x^{2} + y^{2} - 5 = 0$
Z pierwszego równania wyznacz $x$ , z drugiego — $y$ .
$x = - \frac{1}{2 λ}, y = - \frac{2}{2 λ} = - \frac{1}{λ}$
Dlaczego?
$λ \neq = 0$ : dla $λ = 0$ pierwsze równanie dałoby $1 = 0$ .
Wstaw $x$ i $y$ do warunku (liczbę $- 5$ od razu przenieś na prawo) i sprowadź do wspólnego mianownika.
$\frac{1}{4 λ ^{2}} + \frac{1}{λ ^{2}} = 5 ⟺ \frac{1}{4 λ ^{2}} + \frac{4}{4 λ ^{2}} = 5 ⟺ \frac{5}{4 λ ^{2}} = 5$
$\frac{1}{4 λ ^{2}} + \frac{1}{λ ^{2}} = 5 ⟺ \frac{1}{4 λ ^{2}} + \frac{4}{4 λ ^{2}} = 5 ⟺ \frac{5}{4 λ ^{2}} = 5$
Na kartce: $(- \frac{1}{2 λ})^{2} = \frac{1}{4 λ ^{2}}$ $(- \frac{1}{λ})^{2} = \frac{1}{λ ^{2}}$
Pomnóż obie strony przez $4 λ^{2}$ , podziel przez $20$ .
$5 = 20 λ^{2} ⟺ λ^{2} = \frac{1}{4} ⟺ λ = \frac{1}{2} lub λ = - \frac{1}{2}$
$5 = 20 λ^{2} ⟺ λ^{2} = \frac{1}{4} ⟺ λ = \frac{1}{2} lub λ = - \frac{1}{2}$
Na kartce: $\frac{5}{20} = \frac{1}{4}$
Policz $x$ i $y$ dla pierwszej $λ$ .
$λ = \frac{1}{2} : x = - \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2}} = - 1, y = - \frac{1}{\frac{1}{2}} = - 2$
$λ = \frac{1}{2} : x = - \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2}} = - 1 y = - \frac{1}{\frac{1}{2}} = - 2$
Na kartce: $2 \cdot \frac{1}{2} = 1$
I dla drugiej.
$λ = - \frac{1}{2} : x = - \frac{1}{2 \cdot ( - \frac{1}{2} )} = 1, y = - \frac{1}{- \frac{1}{2}} = 2$
$λ = - \frac{1}{2} : x = - \frac{1}{2 \cdot ( - \frac{1}{2} )} = 1 y = - \frac{1}{- \frac{1}{2}} = 2$
Na kartce: $2 \cdot (- \frac{1}{2}) = - 1$
Dwa punkty stacjonarne.
$P_{1} = (- 1, - 2) dla λ = \frac{1}{2}, P_{2} = (1, 2) dla λ = - \frac{1}{2}$
$P_{1} = (- 1, - 2) dla λ = \frac{1}{2} P_{2} = (1, 2) dla λ = - \frac{1}{2}$
Dlaczego?
Sprawdzenie: $(- 1)^{2} + (- 2)^{2} = 1 + 4 = 5$ i $1^{2} + 2^{2} = 5$ .
Policz $\frac{\partial ^{2} L}{\partial x ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial L}{\partial x}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $x$ .
$\frac{\partial ^{2} L}{\partial x ^{2}} = 2 λ$
Policz $\frac{\partial ^{2} L}{\partial y ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial L}{\partial y}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $y$ .
$\frac{\partial ^{2} L}{\partial y ^{2}} = 2 λ$
Policz pochodną mieszaną: wynik $\frac{\partial L}{\partial x}$ zróżniczkuj po $y$ (zamrożony $x$ ).
$\frac{\partial ^{2} L}{\partial x \partial y} = 0$
Sprawdź drugą pochodną mieszaną: wynik $\frac{\partial L}{\partial y}$ zróżniczkuj po $x$ . Ma wyjść to samo.
$\frac{\partial ^{2} L}{\partial y \partial x} = 0$
Policz pochodną warunku $ϕ$ po $x$ (zamrożony $y$ ).
$\frac{\partial ϕ}{\partial x} = 2 x + 0 - 0 = 2 x$
Policz pochodną warunku $ϕ$ po $y$ (zamrożony $x$ ).
$\frac{\partial ϕ}{\partial y} = 0 + 2 y - 0 = 2 y$
Ułóż macierz ze slajdu. W lewym górnym rogu $0$ . Pierwszy wiersz i pierwsza kolumna: $0$ , $\frac{\partial ϕ}{\partial x}$ , $\frac{\partial ϕ}{\partial y}$ . W prawym dolnym kwadracie $2 \times 2$ : drugie pochodne $L$ (jak hesjan).
$H (x, y) =$
$0$ $2 x$ $2 y$ $2 x$ $2 λ$ $0$ $2 y$ $0$ $2 λ$
Wstaw do macierzy punkt $P_{1} = (- 1, - 2)$ i jego $λ = \frac{1}{2}$ : za $x$ wstaw $- 1$ , za $y$ wstaw $- 2$ , za $λ$ wstaw $\frac{1}{2}$ . Policz każdy element.
$H (P_{1}) =$
$0$ $2 \cdot (- 1)$ $2 \cdot (- 2)$ $2 \cdot (- 1)$ $2 \cdot \frac{1}{2}$ $0$ $2 \cdot (- 2)$ $0$ $2 \cdot \frac{1}{2}$
$=$
$0$ $- 2$ $- 4$ $- 2$ $1$ $0$ $- 4$ $0$ $1$
Policz wyznacznik regułą Sarrusa: trzy przekątne w dół dodajesz, trzy przekątne w górę odejmujesz. Każdy iloczyn z zerem to $0$ .
$W (P_{1}) = det H (P_{1}) = 0 \cdot 1 \cdot 1 + (- 2) \cdot 0 \cdot (- 4) + (- 4) \cdot (- 2) \cdot 0 - (- 4) \cdot 1 \cdot (- 4) - 0 \cdot 0 \cdot 0 - (- 2) \cdot (- 2) \cdot 1 = 0 + 0 + 0 - 16 - 0 - 4 = - 16 - 4 = - 20$
$W (P_{1}) = det H (P_{1}) = 0 \cdot 1 \cdot 1 + (- 2) \cdot 0 \cdot (- 4) + (- 4) \cdot (- 2) \cdot 0 - (- 4) \cdot 1 \cdot (- 4) - 0 \cdot 0 \cdot 0 - (- 2) \cdot (- 2) \cdot 1 = 0 + 0 + 0 - 16 - 0 - 4 = - 16 - 4 = - 20$
Sprawdź warunek dostateczny. Wyznacznik jest ujemny, więc w punkcie $P_{1} = (- 1, - 2)$ jest minimum warunkowe.
$W (P_{1}) = - 20 < 0 \Rightarrow minimum warunkowe$
$W (P_{1}) = - 20 < 0 \Rightarrow minimum warunkowe$
Policz wartość minimum: wstaw $x = - 1$ i $y = - 2$ do wzoru funkcji $f$ (nie do $L$ ).
$f_{m i n} (- 1, - 2) = - 1 + 2 \cdot (- 2) = - 1 - 4 = - 5$
$f_{m i n} (- 1, - 2) = - 1 + 2 \cdot (- 2) = - 1 - 4 = - 5$
Wstaw do macierzy punkt $P_{2} = (1, 2)$ i jego $λ = - \frac{1}{2}$ : za $x$ wstaw $1$ , za $y$ wstaw $2$ , za $λ$ wstaw $- \frac{1}{2}$ . Policz każdy element.
$H (P_{2}) =$
$0$ $2 \cdot 1$ $2 \cdot 2$ $2 \cdot 1$ $2 \cdot (- \frac{1}{2})$ $0$ $2 \cdot 2$ $0$ $2 \cdot (- \frac{1}{2})$
$=$
$0$ $2$ $4$ $2$ $- 1$ $0$ $4$ $0$ $- 1$
Policz wyznacznik regułą Sarrusa: trzy przekątne w dół dodajesz, trzy przekątne w górę odejmujesz. Każdy iloczyn z zerem to $0$ .
$W (P_{2}) = det H (P_{2}) = 0 \cdot (- 1) \cdot (- 1) + 2 \cdot 0 \cdot 4 + 4 \cdot 2 \cdot 0 - 4 \cdot (- 1) \cdot 4 - 0 \cdot 0 \cdot 0 - 2 \cdot 2 \cdot (- 1) = 0 + 0 + 0 - (- 16) - 0 - (- 4) = 16 + 4 = 20$
$W (P_{2}) = det H (P_{2}) = 0 \cdot (- 1) \cdot (- 1) + 2 \cdot 0 \cdot 4 + 4 \cdot 2 \cdot 0 - 4 \cdot (- 1) \cdot 4 - 0 \cdot 0 \cdot 0 - 2 \cdot 2 \cdot (- 1) = 0 + 0 + 0 - (- 16) - 0 - (- 4) = 16 + 4 = 20$
Na kartce: $- (- 16) = + 16$ $- (- 4) = + 4$
Sprawdź warunek dostateczny. Wyznacznik jest dodatni, więc w punkcie $P_{2} = (1, 2)$ jest maksimum warunkowe.
$W (P_{2}) = 20 > 0 \Rightarrow maksimum warunkowe$
$W (P_{2}) = 20 > 0 \Rightarrow maksimum warunkowe$
Policz wartość maksimum: wstaw $x = 1$ i $y = 2$ do wzoru funkcji $f$ (nie do $L$ ).
$f_{m a x} (1, 2) = 1 + 2 \cdot 2 = 1 + 4 = 5$
$f_{m a x} (1, 2) = 1 + 2 \cdot 2 = 1 + 4 = 5$
Zapisz odpowiedź. Minimum warunkowe w punkcie $(- 1, - 2)$ , równe $- 5$ ; maksimum warunkowe w punkcie $(1, 2)$ , równe $5$ .
$f_{m i n} (- 1, - 2) = - 5 f_{m a x} (1, 2) = 5$

zmienna „zamrożona” — w tej pochodnej traktujesz ją jak liczbę

Zapisz warunek w postaci $ϕ (x, y) = 0$ : przenieś wszystko na lewą stronę. $ϕ (x, y)$ to ta lewa strona.
Utwórz funkcję Lagrange’a: do wzoru $f$ dopisz $+ λ$ razy $ϕ$ w nawiasie.
Policz pochodną $L$ po $x$ . Litera $y$ jest zamrożona (na złoto), $λ$ to liczba. Nawias przy $λ$ różniczkujesz w środku, $λ$ zostaje przed nim.
Policz pochodną $L$ po $y$ . Teraz zamrożony jest $x$ (na złoto), $λ$ dalej jest liczbą.
Sprawdź warunek konieczny: obie pierwsze pochodne $L$ i sam warunek $ϕ$ przyrównaj do zera. Wychodzi układ trzech równań z trzema niewiadomymi: $x$ , $y$ , $λ$ .
Z pierwszego równania wyznacz $x$ , z drugiego — $y$ .
Wstaw $x$ i $y$ do warunku (liczbę $- 5$ od razu przenieś na prawo) i sprowadź do wspólnego mianownika.
Pomnóż obie strony przez $4 λ^{2}$ , podziel przez $20$ .
Policz $x$ i $y$ dla pierwszej $λ$ .
I dla drugiej.
Dwa punkty stacjonarne.
Policz $\frac{\partial ^{2} L}{\partial x ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial L}{\partial x}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $x$ .
Policz $\frac{\partial ^{2} L}{\partial y ^{2}}$ : wynik $\frac{\partial L}{\partial y}$ zróżniczkuj jeszcze raz po $y$ .
Policz pochodną mieszaną: wynik $\frac{\partial L}{\partial x}$ zróżniczkuj po $y$ (zamrożony $x$ ).
Sprawdź drugą pochodną mieszaną: wynik $\frac{\partial L}{\partial y}$ zróżniczkuj po $x$ . Ma wyjść to samo.
Policz pochodną warunku $ϕ$ po $x$ (zamrożony $y$ ).
Policz pochodną warunku $ϕ$ po $y$ (zamrożony $x$ ).
Ułóż macierz ze slajdu. W lewym górnym rogu $0$ . Pierwszy wiersz i pierwsza kolumna: $0$ , $\frac{\partial ϕ}{\partial x}$ , $\frac{\partial ϕ}{\partial y}$ . W prawym dolnym kwadracie $2 \times 2$ : drugie pochodne $L$ (jak hesjan).
Wstaw do macierzy punkt $P_{1} = (- 1, - 2)$ i jego $λ = \frac{1}{2}$ : za $x$ wstaw $- 1$ , za $y$ wstaw $- 2$ , za $λ$ wstaw $\frac{1}{2}$ . Policz każdy element.
Policz wyznacznik regułą Sarrusa: trzy przekątne w dół dodajesz, trzy przekątne w górę odejmujesz. Każdy iloczyn z zerem to $0$ .
Sprawdź warunek dostateczny. Wyznacznik jest ujemny, więc w punkcie $P_{1} = (- 1, - 2)$ jest minimum warunkowe.
Policz wartość minimum: wstaw $x = - 1$ i $y = - 2$ do wzoru funkcji $f$ (nie do $L$ ).
Wstaw do macierzy punkt $P_{2} = (1, 2)$ i jego $λ = - \frac{1}{2}$ : za $x$ wstaw $1$ , za $y$ wstaw $2$ , za $λ$ wstaw $- \frac{1}{2}$ . Policz każdy element.
Policz wyznacznik regułą Sarrusa: trzy przekątne w dół dodajesz, trzy przekątne w górę odejmujesz. Każdy iloczyn z zerem to $0$ .
Sprawdź warunek dostateczny. Wyznacznik jest dodatni, więc w punkcie $P_{2} = (1, 2)$ jest maksimum warunkowe.
Policz wartość maksimum: wstaw $x = 1$ i $y = 2$ do wzoru funkcji $f$ (nie do $L$ ).
Zapisz odpowiedź. Minimum warunkowe w punkcie $(- 1, - 2)$ , równe $- 5$ ; maksimum warunkowe w punkcie $(1, 2)$ , równe $5$ .

Wszystkie odpowiedzi z listy

Wyniki wszystkich przykładów w jednym miejscu — do sprawdzenia własnych rachunków. Link przy każdym przykładzie prowadzi do rozwiązania krok po kroku.

Zad. 1 a) krok po kroku ↑
$f (x, y) = 6 - 4 x - 3 y ϕ (x, y) : x^{2} + y^{2} = 1$
$f_{m i n} (\frac{4}{5}, \frac{3}{5}) = 1 f_{m a x} (- \frac{4}{5}, - \frac{3}{5}) = 11$
Zad. 1 b) krok po kroku ↑
$f (x, y) = x^{2} + y^{2} ϕ (x, y) : x + 4 y - 2 = 0$
$f_{m i n} (\frac{2}{17}, \frac{8}{17}) = \frac{4}{17}$
Zad. 1 c) krok po kroku ↑
$f (x, y) = x y + x + y ϕ (x, y) : x + 2 y - 3 = 0$
$f_{m a x} (2, \frac{1}{2}) = \frac{7}{2}$
Zad. 1 d) krok po kroku ↑
$f (x, y) = x^{2} - y^{2} ϕ (x, y) : x^{2} + y^{2} = 1$
$f_{m i n} (0, 1) = - 1 f_{m i n} (0, - 1) = - 1 f_{m a x} (1, 0) = 1 f_{m a x} (- 1, 0) = 1$
Zad. 1 e) krok po kroku ↑
$f (x, y) = x + 2 y ϕ (x, y) : x^{2} + y^{2} = 5$
$f_{m i n} (- 1, - 2) = - 5 f_{m a x} (1, 2) = 5$
Zad. 1 f) krok po kroku ↑
$f (x, y) = x y ϕ (x, y) : x + y = 1$
$f_{m a x} (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$
Zad. 1 g) krok po kroku ↑
$f (x, y) = (x - 11) (y + 13) ϕ (x, y) : (x + 7) (y - 8) = 0$
$brak punkt o ˊ w stacjonarnych brak ekstrem o ˊ w warunkowych$

Ściąga przed kolokwium

WarunekPrzenieś wszystko na lewo:

x + y = 1 \Rightarrow \phi(x, y) = x + y - 1

. Po prawej

0

Funkcja Lagrange’a

L(x, y) = f(x, y) + \lambda \cdot \phi(x, y)

—

\phi

w nawiasie.

λMnożnik Lagrange’a — nieznana liczba. Przy pochodnych zachowuje się jak liczba:

(\lambda x)' = \lambda

Pochodne L

\frac{\partial L}{\partial x}

y

zamrożony,

\frac{\partial L}{\partial y}

x

zamrożony — jak w module 10.

Warunek koniecznyUkład trzech równań:

\frac{\partial L}{\partial x} = 0

\frac{\partial L}{\partial y} = 0

\phi = 0

. Niewiadome:

x

y

\lambda

Układ

x

y

przez

\lambda

→ wstaw do warunku. Iloczyn

= 0

— przypadki. Każdy punkt ze swoją

\lambda

Macierz $\overline{H}$ W rogu

0

, na brzegu

\frac{\partial \phi}{\partial x}

\frac{\partial \phi}{\partial y}

, w środku hesjan

L

SarrusDopisz dwie kolumny. Trzy przekątne w dół

+

, trzy w górę

-

Warunek dostateczny

W > 0

— maksimum warunkowe.

W < 0

— minimum warunkowe. Odwrotnie niż

a_{11}

w module 10!

WartośćPunkt wstawiasz do

f

(nie do

L

f_{\max}(x_0, y_0) = f(x_0, y_0)

Brak punktówUkład sprzeczny we wszystkich przypadkach — brak ekstremów warunkowych (Zad. 1 g)).

Ćwiczenia przed kolokwium

Krótkie zadania na każde polecenie. Po każdej odpowiedzi zobaczysz, dlaczego jest dobra albo zła — złe odpowiedzi to typowe błędy.

Funkcja Lagrange’a

Ćwiczenia · 5 zadań

Warunek: $x + y = 10$ . Ile wynosi $ϕ (x, y)$ ?
$f (x, y) = x^{2} + y^{2}$ , warunek $x + y = 10$ . Funkcja Lagrange’a to:
$L (x, y) = x y + λ (x + 2 y - 4)$ . Ile wynosi $\frac{\partial L}{\partial x}$ ?
$L (x, y) = x^{2} + λ (x^{2} + y^{2} - 1)$ . Ile wynosi $\frac{\partial L}{\partial y}$ ?
Czym jest $λ$ w funkcji Lagrange’a?

Punkty stacjonarne

Ćwiczenia · 5 zadań

Rozwiązanie układu $⎩ ⎨ ⎧ 2 x + λ = 0 2 y + λ = 0 x + y - 2 = 0$ to:
Z równania $2 λ x - 4 = 0$ wyznaczasz $x = \frac{2}{λ}$ . Kiedy wolno dzielić przez $λ$ ?
Z układu wyszło $λ^{2} = \frac{9}{4}$ . Ile punktów stacjonarnych może z tego wyjść?
Z równania $2 x (1 + λ) = 0$ wychodzi:
Warunek: $x^{2} + y^{2} = 1$ . Który punkt na pewno nie może być punktem stacjonarnym?

Macierz i wyznacznik w punkcie

Wpisz macierz

Macierz ze slajdu w punkcie (1, 1)

Funkcja $f(x, y) = x + y$ , warunek $x^2 + y^2 = 2$ , czyli $L = x + y + \lambda(x^2 + y^2 - 2)$ . Pochodne: $\frac{\partial \phi}{\partial x} = 2x$ , $\frac{\partial \phi}{\partial y} = 2y$ , $\frac{\partial^2 L}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 L}{\partial y^2} = 2\lambda$ , $\frac{\partial^2 L}{\partial x \partial y} = 0$ . Punkt stacjonarny $(1, 1)$ ma $\lambda = -\frac12$ . Wpisz macierz w tym punkcie.

Wpisz liczby w pola. Kiedy skończysz, kliknij „Sprawdź”.

H (1, 1) =

Ćwiczenia · 3 zadania

Wyznacznik macierzy $H (1, 1)$ z ćwiczenia wyżej (regułą Sarrusa) to:
$H (1, 1) =$
$0$ $2$ $2$ $2$ $- 1$ $0$ $2$ $0$ $- 1$
Wyznacznik macierzy z Zad. 1 c) to:
$H =$
$0$ $1$ $2$ $1$ $0$ $1$ $2$ $1$ $0$
W rogu macierzy $H$ stoi $0$ . Które składniki reguły Sarrusa przez to na pewno znikają?