Całka nieoznaczona — funkcja pierwotna, wzory i trzy metody całkowania · Matematyka

Po co to jest

Pochodna odpowiada na pytanie: jak szybko coś się zmienia? Całka odpowiada na pytanie odwrotne: znasz tempo zmian — ile tego jest?

Przykład z ekonomii. Koszt całkowity produkcji $x$ sztuk towaru oznaczmy $K(x)$ . Koszt krańcowy to jego pochodna $K'(x)$ . Mówi, ile mniej więcej kosztuje każda kolejna sztuka. Firma zna koszt krańcowy, na przykład $K'(x) = 2x + 10$ zł. Chce znać sam koszt całkowity $K(x)$ . Szuka więc funkcji, której pochodna to $2x + 10$ .

Szukanie funkcji po jej pochodnej to właśnie całkowanie. Na slajdzie: całkowanie jest działaniem odwrotnym do różniczkowania (różniczkowanie to liczenie pochodnej).

Pasuje $K(x) = x^2 + 10x$ , bo $(x^2 + 10x)' = 2x + 10$ . Ale pasuje też $x^2 + 10x + 500$ , bo pochodna liczby $500$ to $0$ . Te $500$ zł to koszty stałe — np. czynsz, który firma płaci nawet bez produkcji. Z samego kosztu krańcowego nie da się ich odczytać. Dlatego wynik całkowania zawsze kończy się zapisem $+ C$ : „plus jakaś stała, której stąd nie znamy”.

Do czego całka przyda się dalej

Moduł 13 — całka oznaczona: pole pod wykresem i między wykresami. Żeby je policzyć, najpierw liczysz całkę nieoznaczoną z tego modułu.
Ekonomia: z funkcji krańcowych (koszt, przychód, zysk krańcowy) odtwarzasz funkcje całkowite.

Jak przejdziemy przez ten moduł

Pojęcia: funkcja pierwotna, stała $C$ i zapis $\int f(x) \, dx$ (pojęcia od podstaw).
Wzory i reguły ze slajdów: to tabela pochodnych czytana od tyłu (wzory).
Trzy metody z zajęć: każda z przepisem krok po kroku — całkowanie elementarne, przez podstawianie i przez części. Na nich przejdziemy wszystkie $43$ przykłady z listy.

Co będzie na kolokwium

Na liście zadań z tego tematu są trzy polecenia: Zad. 1 (podstawowe wzory, przykłady a–j), Zad. 2 (przez podstawianie, a–r) i Zad. 3 (przez części, a–o). Moduł dodaje do nich dwa typowe warianty spoza listy. Każde polecenie ma w module swój przepis i ćwiczenia.

To na razie tylko mapa — nie musisz jeszcze rozumieć tych zapisów. Wrócisz tu, gdy będziesz szukać przepisu.

1
„Oblicz całkę, stosując podstawowe wzory, np. $\int \frac{d x}{4 x ^{5}}$ ”
Pierwiastki i ułamki zapisujesz jako potęgi, całkę rozbijasz na składniki i każdy liczysz wzorem ze slajdu.
Przepis i przykłady ↓Ćwiczenia ↓Zad. 1 a)–j)
2
„Oblicz całkę metodą przez podstawianie, np. $\int (x^{2} + 2)^{3} x d x$ ”
„Środek” zamieniasz na nową zmienną $t$ , liczysz prostszą całkę po $t$ i wracasz do $x$ .
Przepis i przykłady ↓Ćwiczenia ↓Zad. 2 a)–r)
3
„Oblicz całkę metodą przez części, np. $\int x 4^{x} d x$ ”
Funkcję dzielisz na dwa kawałki $u$ i $v^{'}$ , liczysz $u^{'}$ i $v$ i wstawiasz wszystko do wzoru ze slajdu.
Przepis i przykłady ↓Ćwiczenia ↓Zad. 3 a)–o)
4
„Oblicz całkę (polecenie nie mówi, jaką metodą)”
Najpierw rozpoznajesz metodę po kształcie funkcji pod całką, potem liczysz jej przepisem.
Przepis i przykłady ↓Ćwiczenia ↓typowy wariant
5
„Sprawdź, czy wynik całkowania jest poprawny”
Liczysz pochodną wyniku. Musi wyjść funkcja spod całki.
Przepis i przykłady ↓Ćwiczenia ↓typowy wariant; kontrola każdego wyniku

Pojęcia od podstaw

Pójdziemy tak: pochodna od tyłu → funkcja pierwotna → stała $C$ → zapis całki.

Pochodna od tyłu

Zagadka: jaka funkcja ma pochodną $2x$ ? Z modułu 8 wiesz, że $(x^2)' = 2x$ . Odpowiedź: $x^2$ . To jest całe całkowanie: odgadnąć funkcję po jej pochodnej. Kilka takich zagadek:

funkcja $f(x)$	szukana funkcja $F(x)$	sprawdzenie: $F'(x)$
$2x$	$x^2$	$(x^2)' = 2x$
$3x^2$	$x^3$	$(x^3)' = 3x^2$
$1$	$x$	$(x)' = 1$
$e^x$	$e^x$	$(e^x)' = e^x$
$\frac1x$ (dla $x > 0$ )	$\ln x$	$(\ln x)' = \frac1x$

Jak czytać tabelę: w pierwszej kolumnie stoi funkcja, którą znasz. W drugiej — funkcja, której pochodna daje tę pierwszą. W trzeciej kolumnie liczysz tę pochodną dla sprawdzenia — wychodzi dokładnie pierwsza kolumna.

Uwaga na wielkość liter: małe $f$ i duże $F$ to dwie różne funkcje. $f(x)$ to funkcja, którą znasz. $F(x)$ to funkcja, której szukasz.

Stała $C$ — cała rodzina funkcji

Zagadka „jaka funkcja ma pochodną $2x$ ?” ma więcej niż jedną odpowiedź. Pasuje $x^2$ , ale też $x^2 + 5$ i $x^2 - 3$ . Pochodna stałej to $0$ , więc dodana liczba niczego w pochodnej nie zmienia:

(x^2 + 5)' = 2x + 0 = 2x

Na wykresie dodanie liczby przesuwa cały wykres w górę albo w dół. Kształt zostaje ten sam, więc przy tym samym $x$ wszystkie wykresy są tak samo strome:

Jak czytać:

pięć wykresów funkcji $F(x) = \frac12 x^2 + C$ dla $C = -2, -1, 0, 1, 2$ . Każdy jest przesunięty w pionie względem sąsiada o $1$ . Fioletowe kreski to styczne w tym samym miejscu, $x = 1{,}5$ — wszystkie są równoległe. Równoległe styczne to równe pochodne: każdy z tych wykresów ma pochodną $F'(x) = x$ . Tekst wyżej liczył $x^2 + C$ (pochodna $2x$ ), a rysunek pokazuje $\frac12 x^2 + C$ (pochodna $x$ ) — mechanizm jest ten sam. Przyciskami nad rysunkiem wybierasz jeden wykres — zrobi się jasny.

Slajd z zajęć zapisuje to tak: całka nieoznaczona to rodzina wszystkich funkcji pierwotnych funkcji $f(x)$ , różniących się o stałą. (Ściślej: na jednym przedziale, np. dla samych $x > 0$ . Przy $\frac1x$ po obu stronach zera stała może być inna.) Ta stała to $C$ — stała całkowania. Jeśli funkcja ma jedną funkcję pierwotną, to ma ich nieskończenie wiele — po jednej dla każdej liczby $C$ .

Pułapka· Zgubione C

Wynik bez $+ C$ jest niepełny. Opisuje tylko jedną funkcję z całej rodziny.
$+ C$ dopisujesz w tej linii rachunku, w której znika ostatni znak całki. W następnych liniach $C$ już tylko przepisujesz.
Nową całkę liczoną z boku (pomocniczo) piszesz bez $C$ . Stała pojawia się raz, w głównym rachunku, gdy znika w nim ostatni znak całki. Zobaczysz to przy całkowaniu przez części.
Stałe z kilku całek zbierają się w jedno $C$ — nie trzeba pisać $C_1 + C_2$ .
Wynik może wyglądać inaczej niż w odpowiedziach i nadal być dobry. Na przykład $\frac{(2x - 1)^4}{8} + C$ i $2x^4 - 4x^3 + 3x^2 - x + C$ różnią się tylko o stałą $\frac18$ (Zad. 1 f)). Po wymnożeniu $\frac{(2x - 1)^4}{8} = 2x^4 - 4x^3 + 3x^2 - x + \frac18$ .

Zapis całki

\int f (x) d x = F (x) + C

Czytamy: całka z ef od iks de iks równa się duże ef od iks plus ce

$\int$: znak całki — wydłużona litera S
$f (x)$: funkcja podcałkowa — to, co całkujesz (tak nazywa ją slajd)
$d x$: po iks — mówi, że zmienną jest $x$ ; zamyka całkę jak nawias
$F (x)$: funkcja pierwotna — jedna z funkcji, których pochodna to $f (x)$
$C$: stała całkowania — dowolna liczba

\int

Znak całki

czytamy: „całka”

Polecenie: znajdź funkcję, której pochodna to wyrażenie za znakiem. Zawsze stoi w parze z $d x$ — zwykle na końcu, czasem w liczniku (ramka niżej). Zamiast $d x$ może być $d t$ — zależnie od zmiennej, po której całkujesz.

Jak zapamiętać: Wydłużone S — od łacińskiego „summa”, czyli suma.

d x

Różniczka

czytamy: „de iks”

Mówi, po jakiej zmiennej całkujesz. To nie jest „d razy x”. W całkowaniu przez podstawianie pojawi się też $d t$ — całka po $t$ .

Jak zapamiętać: $\int$ otwiera całkę, $d x$ ją zamyka — jak nawias.

C

Stała całkowania

czytamy: „ce”

Dowolna liczba dopisana do wyniku. Pochodna stałej to zero, więc nie da się jej odczytać z funkcji podcałkowej.

Jak zapamiętać: C jak „constans”, czyli stała. Na wykresie: o ile przesunąć wykres w górę.

Sprawdź się

Która funkcja jest funkcją pierwotną funkcji $f (x) = 3 x^{2}$ ?

Wzory i reguły z zajęć

Reguły mówią, co zrobić z sumą, z liczbą przed funkcją i z ułamkiem postaci $\frac{f'}{f}$ . Wzory podają całki najprostszych funkcji. Numeracja jak na slajdzie.

Reguły

nr	reguła	wzór ze slajdu	po ludzku
1	stała przed całkę	$\int c \, f(x) \, dx = c \int f(x) \, dx$	liczba wychodzi przed całkę
2	suma i różnica	$\int (f(x) \pm g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx \pm \int g(x) \, dx$	każdy składnik osobno
3	funkcja postaci $\frac{f'}{f}$	$\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln \lvert f(x) \rvert + C$ , gdy $f(x) \neq 0$	w liczniku pochodna mianownika — wynik to $\ln \lvert \text{mianownik} \rvert$

Jak czytać tabelę: każdy wiersz to jedna reguła z numerem jak na slajdzie. Reguły 1 i 2 działają dokładnie tak samo jak dla pochodnych. Reguła 3 to gotowy skrót — wrócimy do niej przy podstawianiu.

Tabela wzorów

Każdy wzór to wzór na pochodną czytany od tyłu. Ostatnia kolumna pokazuje, z której pochodnej wzór się bierze:

nr	wzór ze slajdu	po ludzku	sprawdzenie pochodną
1	$\int 0 \, dx = C$	całka z zera to stała	$(C)' = 0$
2	$\int dx = x + C$	całka z jedynki to $x$	$(x)' = 1$
3	$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ , $n \neq -1$	wykładnik rośnie o $1$ , przez nowy wykładnik dzielisz	$\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)' = x^n$
4	$\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$ , $a > 0$ , $a \neq 1$	$a^x$ zostaje, dzielisz przez $\ln$ podstawy	$\left(\frac{a^x}{\ln a}\right)' = \frac{a^x \ln a}{\ln a} = a^x$
5	$\int e^x \, dx = e^x + C$	$e^x$ się nie zmienia	$(e^x)' = e^x$
6	$\int \frac{dx}{x} = \ln \lvert x \rvert + C$ , $x \neq 0$	jedynka przez $x$ daje logarytm	$(\ln \lvert x \rvert)' = \frac1x$ (dla $x < 0$ — ramka niżej)
7 ★	$\int \sin x \, dx = -\cos x + C$
8 ★	$\int \cos x \, dx = \sin x + C$
9 ★	$\int \frac{dx}{\cos^2 x} = \operatorname{tg} x + C$ , $\cos x \neq 0$
10 ★	$\int \frac{dx}{\sin^2 x} = -\operatorname{ctg} x + C$ , $\sin x \neq 0$

Jak czytać tabelę: $a$ , $C$ i $n$ to stałe (konkretne liczby), a $e \approx 2{,}718$ to liczba Eulera. W kolumnie „sprawdzenie” liczysz pochodną wyniku i wychodzi funkcja spod całki. Tak można sprawdzić każdy wzór i każdy wynik.

Wzory 7–10 (funkcje trygonometryczne) są na slajdzie oznaczone gwiazdką, a na liście zadań nie ma ani jednej funkcji trygonometrycznej. Zapytaj prowadzącego, czy obowiązują na kolokwium. Dalej w module ich nie używamy.

\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C

Czytamy: całka z iks do potęgi en de iks równa się iks do potęgi en plus jeden, przez en plus jeden, plus ce

$x^{n + 1}$: wykładnik o jeden większy — przy pochodnej wykładnik maleje o jeden
$n + 1$: dzielisz przez nowy wykładnik — przy pochodnej mnożyło się przez stary

Sprawdź się

$\int x^{5} d x =$

Jak sprawdzić każdy wynik

Całka ma ogromną zaletę: każdy wynik da się sprawdzić. Wystarczy policzyć jego pochodną — tak jak w ostatniej kolumnie tabeli.

Zapamiętaj· Pochodne do sprawdzania — przypomnienie z modułu 8

funkcja	pochodna
liczba $c$	$0$
$x^n$	$n x^{n-1}$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^x \ln a$
$\ln x$ , $\ln \lvert x \rvert$	$\frac1x$
$c \cdot f(x)$	$c \cdot f'(x)$ — liczba zostaje
$f(x) + g(x)$	$f'(x) + g'(x)$ — każdy składnik osobno
$u \cdot v$	$u' v + u v'$ — reguła iloczynu
$f(g(x))$	$f'(g(x)) \cdot g'(x)$ — pochodna funkcji zewnętrznej (środek bez zmian) razy pochodna środka

Jak czytać tabelę: w lewej kolumnie funkcja, w prawej jej pochodna. Cztery ostatnie wiersze to reguły (w module 8: reguły 1, 2, 3 i 5). Na przykład z ostatniej: $(\ln \lvert 2x + 1 \rvert)' = \frac{1}{2x + 1} \cdot 2$ , bo pochodna środka $2x + 1$ to $2$ .

Przykład: Zad. 2 d) daje $\int \frac{x}{x^2 + 1} \, dx = \frac12 \ln(x^2 + 1) + C$ . Sprawdzenie regułą funkcji złożonej:

\begin{aligned} \left(\tfrac12 \ln(x^2 + 1)\right)' &= \frac12 \cdot \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x \\ &= \frac{x}{x^2 + 1} \end{aligned}

Wyszła funkcja spod całki — wynik jest dobry.

Całkowanie elementarne

Slajd z zajęć: całkowanie elementarne polega na takim przekształceniu wyrażenia pod całką (o ile to konieczne), żeby można było zastosować wzory 1–10. Prościej: zamieniasz funkcję na sumę „klocków” z tabeli i każdy klocek liczysz wzorem.

Najczęstszy pierwszy ruch: zamiana pierwiastków i ułamków na potęgi. Wtedy prawie wszystko liczy się jednym wzorem — wzorem 3.

Przypomnienie z liceum· Pierwiastki i ułamki jako potęgi

zapis	potęga	dlaczego
$\sqrt{x}$	$x^{\frac12}$	pierwiastek kwadratowy to potęga $\frac12$
$\sqrt[3]{x^2}$	$x^{\frac23}$	wykładnik spod pierwiastka do licznika, stopień pierwiastka do mianownika
$\frac{1}{x^4}$	$x^{-4}$	z mianownika do licznika — wykładnik zmienia znak
$\frac{1}{\sqrt{x}}$	$x^{-\frac12}$	najpierw $\sqrt{x} = x^{\frac12}$ , potem z mianownika do licznika
$x\sqrt{x}$	$x^{\frac32}$	$x^1 \cdot x^{\frac12}$ — przy mnożeniu wykładniki dodajesz
$\frac{x^m}{x^n}$	$x^{m - n}$	przy dzieleniu wykładniki odejmujesz

Jak czytać tabelę: w każdym wierszu ta sama funkcja (dla $x > 0$ ) zapisana na dwa sposoby. Prawa kolumna mówi, z której reguły potęgowania korzystasz.

Wpisz wykładnik

Zamień na potęgę

Wpisz wykładnik tak, żeby po obu stronach była ta sama funkcja.

Wpisz liczby w pola (ułamek jako 1/3 albo −4/3). Kiedy skończysz, kliknij „Sprawdź”.

$x = x$
$3 x^{2} = x$
$\frac{1}{x ^{4}} = x$
$\frac{1}{x} = x$
$x x = x$
$\frac{1}{4 x ^{5}} = x$

Polecenie na kolokwium· Całkowanie elementarne

Oblicz całkę, stosując podstawowe wzory, np. $\int (x^4 + x^8) \, dx$ .

Przekształć: zapisz funkcję tak, żeby pasowała do wzorów.
- Pierwiastki i ułamki „liczba przez potęgę” zamień na potęgi, np. $\frac{2}{x^3} = 2x^{-3}$ .
- Potęga razy potęga — wykładniki dodajesz. Potęga przez potęgę — wykładniki odejmujesz.
- Liczba z mianownika zostaje jako ułamek, np. $\frac{1}{3x^2} = \frac13 x^{-2}$ . W kroku 2 wyjdzie przed całkę.
- Iloczyn nawiasów wymnóż.
- Ułamek z sumą w liczniku rozbij na sumę ułamków.
- $\frac1x$ zostaw — ma własny wzór 6.
Rozbij na składniki: każdy składnik to osobna całka (reguła 2). Liczbę przed funkcją wyłącz przed całkę (reguła 1).
Wzory: każdą małą całkę policz wzorem z tabeli. Przy wzorze 3 nowy wykładnik policz od razu na kartce albo zostaw go w postaci sumy (np. $4 + 1$ ) i policz przy upraszczaniu. W tej linii znika ostatnia całka, więc dopisz $+ C$ .
Uprość: policz wykładniki zostawione w postaci sumy, np. $4 + 1$ . Dzielenie przez ułamek zamień na mnożenie przez odwrotność. Potęgi możesz zapisać z powrotem jako pierwiastki i ułamki. $+ C$ tylko przepisujesz.

wykładnik: rośnie o $1$ , a przez nowy wykładnik dzielisz

Zadanie · krok po kroku

$\int (x^{4} + x^{8}) d x$

Zad. 1 a)

Plan — co zrobimy i po co

Cel: całka, czyli rodzina funkcji, których pochodna to $x^4 + x^8$ .

Przekształć: odpada — pod całką stoją już same potęgi.
Rozbij: dwa składniki, więc dwie osobne całki (reguła 2).
Wzory: obie całki wzorem 3. Przycisk „▶ Zobacz krok po kroku” pokazuje, jak fioletowe wykładniki wlatują do szablonu wzoru. Całki znikają, więc dopisujemy $+ C$ .
Uprość: liczymy nowe wykładniki. $+ C$ tylko przepisujemy.

Całka sumy to suma całek — każdy składnik osobno.
$\int (x^{4} + x^{8}) d x = \int x^{4} d x + \int x^{8} d x$
$\int (x^{4} + x^{8}) d x = \int x^{4} d x + \int x^{8} d x$
szablon wzoruZapisz szablon wzoru 3. Za $n$ wstawisz wykładnik z całki.
$\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$
Wstaw wykładniki do szablonu i dopisz $+ C$ . Kliknij „▶ Zobacz krok po kroku”, żeby zobaczyć, gdzie trafia każdy wykładnik.
$= \frac{x ^{4 + 1}}{4 + 1} + \frac{x ^{8 + 1}}{8 + 1} + C$
Dlaczego?
W tej linii znika ostatni znak całki, więc tu pojawia się $+ C$ . W następnych liniach $C$ tylko przepisujesz.
Policz nowe wykładniki.
$= \frac{x ^{5}}{5} + \frac{x ^{9}}{9} + C$
Na kartce: $4 + 1 = 5$ $8 + 1 = 9$
Dlaczego?
Sprawdzenie pochodną: $(\frac{x ^{5}}{5})^{'} = \frac{5 x ^{4}}{5} = x^{4}$ i tak samo $(\frac{x ^{9}}{9})^{'} = \frac{9 x ^{8}}{9} = x^{8}$ . Wyszła funkcja spod całki — wynik jest dobry.

wykładnik: rośnie o $1$ , a przez nowy wykładnik dzielisz

Teraz twoja kolej: wzór 3 na liczbach. Liczba przed $x$ czeka z przodu (reguła 1), a ty dzielisz ją przez nowy wykładnik.

Wpisz całkę

Wzór 3 na liczbach

Policz całkę każdej potęgi: w pierwsze pole wpisz liczbę przed $x$ , w małe pole u góry — nowy wykładnik.

Wpisz liczby w pola (ułamek jako 1/3 albo −4/3). Kiedy skończysz, kliknij „Sprawdź”.

$\int x^{6} d x =$ $\cdot x$ $+ C$
$\int 4 x^{3} d x =$ $\cdot x$ $+ C$
$\int x^{- 3} d x =$ $\cdot x$ $+ C$
$\int 6 x^{- 4} d x =$ $\cdot x$ $+ C$
$\int x^{\frac{1}{2}} d x =$ $\cdot x$ $+ C$
$\int 5 x^{\frac{2}{3}} d x =$ $\cdot x$ $+ C$
$\int x^{- \frac{1}{2}} d x =$ $\cdot x$ $+ C$
$\int 2 x^{- \frac{1}{3}} d x =$ $\cdot x$ $+ C$

Zadanie · krok po kroku

$\int \frac{d x}{4 x ^{5}}$

Zad. 1 b)

Plan — co zrobimy i po co

Cel: całka z ułamka z pierwiastkiem.

Przekształć: pierwiastek zapisujemy jako potęgę, a potem przenosimy ją z mianownika do licznika — bo wzór 3 działa tylko na $x^n$ .
Rozbij: odpada — jest jeden składnik.
Wzory: wzór 3 z wykładnikiem ułamkowym. Na kartce dodajemy $1$ do $-\frac54$ . Całka znika, więc dopisujemy $+ C$ .
Uprość: dzielenie przez $-\frac14$ to mnożenie przez $-4$ . Na końcu wracamy do zapisu z pierwiastkiem. $+ C$ tylko przepisujemy.

Zapisz pierwiastki i ułamki jako potęgi $x$ — wtedy zadziała wzór 3.
$\int \frac{1}{4 x ^{5}} d x = \int \frac{1}{x ^{\frac{5}{4}}} d x = \int x^{- \frac{5}{4}} d x$
$\int \frac{1}{4 x ^{5}} d x = \int \frac{1}{x ^{\frac{5}{4}}} d x = \int x^{- \frac{5}{4}} d x$
Dlaczego?
Najpierw pierwiastek jako potęga: $4 x^{5} = x^{\frac{5}{4}}$ . Potem jedynka przez potęgę: $\frac{1}{x ^{n}} = x^{- n}$ .
Każdą całkę z potęgi policz wzorem 3: wykładnik zwiększ o $1$ i podziel przez nowy wykładnik. Znika ostatni znak całki — dopisz $+ C$ .
$= \frac{x ^{- \frac{5}{4} + 1}}{- \frac{5}{4} + 1} + C = \frac{x ^{- \frac{1}{4}}}{- \frac{1}{4}} + C$
Na kartce: $- \frac{5}{4} + 1 = - \frac{5}{4} + \frac{4}{4} = - \frac{1}{4}$
Uprość: dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność. Potęgę $x^{- \frac{1}{4}}$ zapisz jako ułamek z pierwiastkiem.
$= - 4 x^{- \frac{1}{4}} + C = - \frac{4}{4 x} + C$
Na kartce: $\frac{1}{- \frac{1}{4}} = - 4$ $x^{- \frac{1}{4}} = \frac{1}{x ^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{4 x}$

Zadanie · krok po kroku

$\int (\frac{2}{x ^{3}} + \frac{1}{x ^{2}} - \frac{1}{x}) d x$

Zad. 1 d)

Plan — co zrobimy i po co

Cel: całka z sumy ułamków.

Przekształć: $\frac{2}{x^3}$ i $\frac{1}{x^2}$ zamieniamy na potęgi. $\frac1x$ zostawiamy — dla niego jest wzór 6.
Rozbij: trzy składniki, liczba $2$ przed całkę.
Wzory: potęgi wzorem 3, $\frac1x$ wzorem 6. Całki znikają, więc dopisujemy $+ C$ .
Uprość: wracamy do ułamków. $+ C$ tylko przepisujemy.

Ułamki z $x^{3}$ i $x^{2}$ zapisz jako potęgi. $\frac{1}{x}$ zostaw — ma własny wzór 6.
$\int (\frac{2}{x ^{3}} + \frac{1}{x ^{2}} - \frac{1}{x}) d x = \int (2 x^{- 3} + x^{- 2} - \frac{1}{x}) d x$
$\int (\frac{2}{x ^{3}} + \frac{1}{x ^{2}} - \frac{1}{x}) d x = \int (2 x^{- 3} + x^{- 2} - \frac{1}{x}) d x$
Dlaczego?
$\frac{1}{x} = x^{- 1}$ , ale wzór 3 nie działa dla $n = - 1$ (wyszłoby dzielenie przez $0$ ). Dlatego $\frac{1}{x}$ całkujesz wzorem 6.
Rozbij całkę na składniki (reguła 2), a liczby wyłącz przed całki (reguła 1).
$= 2 \int x^{- 3} d x + \int x^{- 2} d x - \int \frac{1}{x} d x$
$= 2 \int x^{- 3} d x + \int x^{- 2} d x - \int \frac{1}{x} d x$
Potęgi — wzór 3, $\frac{1}{x}$ — wzór 6. Znika ostatni znak całki — dopisz $+ C$ .
$= 2 \cdot \frac{x ^{- 2}}{- 2} + \frac{x ^{- 1}}{- 1} - ln ∣ x ∣ + C$
Na kartce: $- 3 + 1 = - 2$ $- 2 + 1 = - 1$
Uprość liczby przed potęgami. Potem wróć do ułamków: $x^{- n} = \frac{1}{x ^{n}}$ .
$= - x^{- 2} - x^{- 1} - ln ∣ x ∣ + C = - \frac{1}{x ^{2}} - \frac{1}{x} - ln ∣ x ∣ + C$
$= - x^{- 2} - x^{- 1} - ln ∣ x ∣ + C = - \frac{1}{x ^{2}} - \frac{1}{x} - ln ∣ x ∣ + C$
Na kartce: $2 \cdot \frac{1}{- 2} = - 1$ $\frac{x ^{- 1}}{- 1} = - x^{- 1}$

Zadanie · krok po kroku

$\int (x - 1)^{2} (x - 3) d x$

Zad. 1 e)

Plan — co zrobimy i po co

Cel: całka z iloczynu nawiasów.

Przekształć: wymnażamy nawiasy z boku — na samej funkcji podcałkowej, bez znaku całki. Całki iloczynu nie liczy się „każdy nawias osobno” — takiej reguły nie ma. Po wymnożeniu zostaje suma potęg.
Rozbij: cztery składniki, liczby przed całki.
Wzory: potęgi wzorem 3, samo $\int dx$ wzorem 2. Całki znikają, więc dopisujemy $+ C$ .
Uprość: porządkujemy ułamki. $+ C$ tylko przepisujemy.

Z boku przekształć samą funkcję podcałkową: wymnóż nawiasy — najpierw kwadrat ze wzoru, potem każdy wyraz z każdym.
$(x - 1)^{2} (x - 3) = (x^{2} - 2 x + 1) (x - 3) = x^{3} - 3 x^{2} - 2 x^{2} + 6 x + x - 3 = x^{3} - 5 x^{2} + 7 x - 3$
$(x - 1)^{2} (x - 3) = (x^{2} - 2 x + 1) (x - 3) = x^{3} - 3 x^{2} - 2 x^{2} + 6 x + x - 3 = x^{3} - 5 x^{2} + 7 x - 3$
Na kartce: $- 3 x^{2} - 2 x^{2} = - 5 x^{2}$ $6 x + x = 7 x$
Dlaczego?
Całki iloczynu nie liczy się „każdy czynnik osobno” — takiej reguły nie ma. Po wymnożeniu zostaje suma potęg, a do niej są wzory.
Wróć do całki z przekształconą funkcją. Rozbij całkę na składniki (reguła 2), a liczby wyłącz przed całki (reguła 1).
$\int (x^{3} - 5 x^{2} + 7 x - 3) d x = \int x^{3} d x - 5 \int x^{2} d x + 7 \int x d x - 3 \int d x$
$\int (x^{3} - 5 x^{2} + 7 x - 3) d x = \int x^{3} d x - 5 \int x^{2} d x + 7 \int x d x - 3 \int d x$
Potęgi — wzór 3. Samo $\int d x$ — wzór 2: wychodzi $x$ . Znika ostatni znak całki — dopisz $+ C$ .
$= \frac{x ^{4}}{4} - 5 \cdot \frac{x ^{3}}{3} + 7 \cdot \frac{x ^{2}}{2} - 3 x + C$
$= \frac{x ^{4}}{4} - 5 \cdot \frac{x ^{3}}{3} + 7 \cdot \frac{x ^{2}}{2} - 3 x + C$
Uprość zapis.
$= \frac{x ^{4}}{4} - \frac{5 x ^{3}}{3} + \frac{7 x ^{2}}{2} - 3 x + C$

Pozostałe przykłady z Zad. 1

Ułożone od najprostszych. Kliknij przykład, żeby rozwinąć rachunek.

Zad. 1 i)

\int (4 e^{x} + \frac{1}{x}) d x

Plan — co zrobimy i po co

Cel: całka, czyli rodzina funkcji, których pochodna to funkcja spod całki. Dwa składniki z tabeli: $e^{x}$ (wzór 5) i $\frac{1}{x}$ (wzór 6). Liczba $4$ przed całkę.

Rozbij całkę na składniki (reguła 2), a liczby wyłącz przed całki (reguła 1).
$\int (4 e^{x} + \frac{1}{x}) d x = 4 \int e^{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$
$\int (4 e^{x} + \frac{1}{x}) d x = 4 \int e^{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$
$e^{x}$ — wzór 5 (nie zmienia się), $\frac{1}{x}$ — wzór 6. Znika ostatni znak całki — dopisz $+ C$ .
$= 4 e^{x} + ln ∣ x ∣ + C$

Zad. 1 j)

\int 5^{x} d x

Plan — co zrobimy i po co

Cel: całka, czyli rodzina funkcji, których pochodna to funkcja spod całki. Stała podstawa, w wykładniku $x$ — wzór 4 z $a = 5$ . Nie wzór 3: zmienna stoi w wykładniku.

Wzór 4 z $a = 5$ : $5^{x}$ zostaje, dzielisz przez $ln 5$ . Znika ostatni znak całki — dopisz $+ C$ .
$\int 5^{x} d x = \frac{5 ^{x}}{ln 5} + C$
Dlaczego?
Sprawdzenie: $(\frac{5 ^{x}}{l n 5})^{'} = \frac{5 ^{x} l n 5}{l n 5} = 5^{x}$ .

Zad. 1 c)

\int \frac{x}{3 x 3 x ^{2}} d x

Plan — co zrobimy i po co

Cel: całka, czyli rodzina funkcji, których pochodna to funkcja spod całki. Jak w b): wszystko zapisujemy jako potęgi. Potem dzielimy potęgi (wykładniki odejmujemy), a liczba $3$ z mianownika zostaje jako $\frac{1}{3}$ i wychodzi przed całkę. Na końcu wzór 3.

Zapisz pierwiastki i ułamki jako potęgi $x$ — wtedy zadziała wzór 3.
$\int \frac{x}{3 x 3 x ^{2}} d x = \int \frac{x ^{\frac{1}{2}}}{3 x ^{1} \cdot x ^{\frac{2}{3}}} d x = \int \frac{x ^{\frac{1}{2}}}{3 x ^{\frac{5}{3}}} d x$
$\int \frac{x}{3 x 3 x ^{2}} d x = \int \frac{x ^{\frac{1}{2}}}{3 x ^{1} \cdot x ^{\frac{2}{3}}} d x = \int \frac{x ^{\frac{1}{2}}}{3 x ^{\frac{5}{3}}} d x$
Na kartce: $1 + \frac{2}{3} = \frac{3}{3} + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$
Dlaczego?
W mianowniku $x \cdot x^{\frac{2}{3}}$ — przy mnożeniu potęg wykładniki się dodaje.
Dzielenie potęg — wykładniki odejmujesz. Liczba $3$ z mianownika zostaje jako $\frac{1}{3}$ .
$= \int \frac{1}{3} x^{\frac{1}{2} - \frac{5}{3}} d x = \int \frac{1}{3} x^{- \frac{7}{6}} d x$
Na kartce: $\frac{1}{2} - \frac{5}{3} = \frac{3}{6} - \frac{10}{6} = - \frac{7}{6}$
Liczbę $\frac{1}{3}$ wyłącz przed całkę.
$= \frac{1}{3} \int x^{- \frac{7}{6}} d x$
Każdą całkę z potęgi policz wzorem 3: wykładnik zwiększ o $1$ i podziel przez nowy wykładnik. Znika ostatni znak całki — dopisz $+ C$ .
$= \frac{1}{3} \cdot \frac{x ^{- \frac{7}{6} + 1}}{- \frac{7}{6} + 1} + C = \frac{1}{3} \cdot \frac{x ^{- \frac{1}{6}}}{- \frac{1}{6}} + C$
$= \frac{1}{3} \cdot \frac{x ^{- \frac{7}{6} + 1}}{- \frac{7}{6} + 1} + C = \frac{1}{3} \cdot \frac{x ^{- \frac{1}{6}}}{- \frac{1}{6}} + C$
Na kartce: $- \frac{7}{6} + 1 = - \frac{7}{6} + \frac{6}{6} = - \frac{1}{6}$
Uprość: dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność. Potęgę $x^{- \frac{1}{6}}$ zapisz jako ułamek z pierwiastkiem.
$= \frac{1}{3} \cdot (- 6) \cdot x^{- \frac{1}{6}} + C = - 2 x^{- \frac{1}{6}} + C = - \frac{2}{6 x} + C$
$= \frac{1}{3} \cdot (- 6) \cdot x^{- \frac{1}{6}} + C = - 2 x^{- \frac{1}{6}} + C = - \frac{2}{6 x} + C$
Na kartce: $\frac{1}{- \frac{1}{6}} = - 6$ $\frac{1}{3} \cdot (- 6) = - 2$ $x^{- \frac{1}{6}} = \frac{1}{6 x}$

Zad. 1 g)

\int \frac{x ^{3} - x x + 1}{x} d x

Plan — co zrobimy i po co

Cel: całka, czyli rodzina funkcji, których pochodna to funkcja spod całki. Ułamek z sumą w liczniku: z boku, na samej funkcji podcałkowej, dzielimy każdy składnik licznika przez mianownik. Zostają dwie potęgi i $\frac{1}{x}$ .

Z boku przekształć samą funkcję podcałkową: podziel każdy składnik licznika przez mianownik osobno.
$\frac{x ^{3} - x x + 1}{x} = \frac{x ^{3}}{x} - \frac{x x}{x} + \frac{1}{x} = x^{2} - x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x}$
$\frac{x ^{3} - x x + 1}{x} = \frac{x ^{3}}{x} - \frac{x x}{x} + \frac{1}{x} = x^{2} - x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x}$
Dlaczego?
Ułamek z sumą w liczniku rozbijasz na sumę ułamków o tym samym mianowniku: $\frac{a + b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}$ .
Wróć do całki z przekształconą funkcją. Rozbij całkę na składniki (reguła 2). Liczb do wyłączenia tu nie ma — minus to odejmowanie, a reguła 2 działa też dla różnicy.
$\int (x^{2} - x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x}) d x = \int x^{2} d x - \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int \frac{1}{x} d x$
$\int (x^{2} - x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x}) d x = \int x^{2} d x - \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int \frac{1}{x} d x$
Potęgi — wzór 3, $\frac{1}{x}$ — wzór 6. Znika ostatni znak całki — dopisz $+ C$ .
$= \frac{x ^{3}}{3} - \frac{x ^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + ln ∣ x ∣ + C$
Na kartce: $\frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$
Uprość: dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność. Potęgę $x^{\frac{3}{2}}$ zapisz z pierwiastkiem.
$= \frac{x ^{3}}{3} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + ln ∣ x ∣ + C = \frac{x ^{3}}{3} - \frac{2}{3} x x + ln ∣ x ∣ + C$
$= \frac{x ^{3}}{3} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + ln ∣ x ∣ + C = \frac{x ^{3}}{3} - \frac{2}{3} x x + ln ∣ x ∣ + C$
Na kartce: $\frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}$ $x^{\frac{3}{2}} = x \cdot x^{\frac{1}{2}} = x x$

Zad. 1 h)

\int \frac{4 x + 3 3 x ^{2} + 5 x}{3 x} d x

Plan — co zrobimy i po co

Cel: całka, czyli rodzina funkcji, których pochodna to funkcja spod całki. Jak w g), ale z pierwiastkami: z boku zapisujemy je jako potęgi, potem każdy składnik licznika dzielimy przez $x^{\frac{1}{3}}$ .

Z boku przekształć samą funkcję podcałkową: pierwiastki zapisz jako potęgi, $n x^{m} = x^{\frac{m}{n}}$ .
$\frac{4 x + 3 3 x ^{2} + 5 x}{3 x} = \frac{x ^{\frac{1}{4}} + 3 x ^{\frac{2}{3}} + 5 x ^{\frac{1}{2}}}{x ^{\frac{1}{3}}}$
$\frac{4 x + 3 3 x ^{2} + 5 x}{3 x} = \frac{x ^{\frac{1}{4}} + 3 x ^{\frac{2}{3}} + 5 x ^{\frac{1}{2}}}{x ^{\frac{1}{3}}}$
Z boku przekształć samą funkcję podcałkową: każdy składnik licznika podziel przez $x^{\frac{1}{3}}$ — wykładniki odejmujesz.
$= x^{\frac{1}{4} - \frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{2}{3} - \frac{1}{3}} + 5 x^{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} = x^{- \frac{1}{12}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 5 x^{\frac{1}{6}}$
$= x^{\frac{1}{4} - \frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{2}{3} - \frac{1}{3}} + 5 x^{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} = x^{- \frac{1}{12}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 5 x^{\frac{1}{6}}$
Na kartce: $\frac{1}{4} - \frac{1}{3} = \frac{3}{12} - \frac{4}{12} = - \frac{1}{12}$ $\frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$
Wróć do całki z przekształconą funkcją. Rozbij całkę na składniki (reguła 2), a liczby wyłącz przed całki (reguła 1).
$\int (x^{- \frac{1}{12}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 5 x^{\frac{1}{6}}) d x = \int x^{- \frac{1}{12}} d x + 3 \int x^{\frac{1}{3}} d x + 5 \int x^{\frac{1}{6}} d x$
$\int (x^{- \frac{1}{12}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 5 x^{\frac{1}{6}}) d x = \int x^{- \frac{1}{12}} d x + 3 \int x^{\frac{1}{3}} d x + 5 \int x^{\frac{1}{6}} d x$
Każdą całkę z potęgi policz wzorem 3: wykładnik zwiększ o $1$ i podziel przez nowy wykładnik. Znika ostatni znak całki — dopisz $+ C$ .
$= \frac{x ^{\frac{11}{12}}}{\frac{11}{12}} + 3 \cdot \frac{x ^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + 5 \cdot \frac{x ^{\frac{7}{6}}}{\frac{7}{6}} + C$
Na kartce: $- \frac{1}{12} + 1 = \frac{11}{12}$ $\frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}$ $\frac{1}{6} + 1 = \frac{7}{6}$
Uprość: dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność.
$= \frac{12}{11} x^{\frac{11}{12}} + \frac{9}{4} x^{\frac{4}{3}} + \frac{30}{7} x^{\frac{7}{6}} + C$
Na kartce: $\frac{1}{\frac{11}{12}} = \frac{12}{11}$ $3 \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{4}$ $5 \cdot \frac{6}{7} = \frac{30}{7}$

Zad. 1 f)

\int (2 x - 1)^{3} d x

Plan — co zrobimy i po co

Cel: całka, czyli rodzina funkcji, których pochodna to funkcja spod całki. Jak w e): z boku wymnażamy — tu sześcian ze wzoru skróconego mnożenia. Na końcu porównujemy wynik z drogą przez podstawianie (poznamy ją w następnej sekcji).

Z boku przekształć samą funkcję podcałkową: wymnóż sześcian ze wzoru $(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$ , gdzie $a = 2 x$ , $b = 1$ .
$(2 x - 1)^{3} = (2 x)^{3} - 3 \cdot (2 x)^{2} \cdot 1 + 3 \cdot 2 x \cdot 1^{2} - 1^{3} = 8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 1$
$(2 x - 1)^{3} = (2 x)^{3} - 3 \cdot (2 x)^{2} \cdot 1 + 3 \cdot 2 x \cdot 1^{2} - 1^{3} = 8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 1$
Na kartce: $(2 x)^{3} = 8 x^{3}$ $3 \cdot (2 x)^{2} = 3 \cdot 4 x^{2} = 12 x^{2}$
Wróć do całki z przekształconą funkcją. Rozbij całkę na składniki (reguła 2), a liczby wyłącz przed całki (reguła 1).
$\int (8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 1) d x = 8 \int x^{3} d x - 12 \int x^{2} d x + 6 \int x d x - \int d x$
$\int (8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 1) d x = 8 \int x^{3} d x - 12 \int x^{2} d x + 6 \int x d x - \int d x$
Potęgi — wzór 3. Samo $- \int d x$ — wzór 2: wychodzi $- x$ . Znika ostatni znak całki — dopisz $+ C$ .
$= 8 \cdot \frac{x ^{4}}{4} - 12 \cdot \frac{x ^{3}}{3} + 6 \cdot \frac{x ^{2}}{2} - x + C$
$= 8 \cdot \frac{x ^{4}}{4} - 12 \cdot \frac{x ^{3}}{3} + 6 \cdot \frac{x ^{2}}{2} - x + C$
Skróć ułamki.
$= 2 x^{4} - 4 x^{3} + 3 x^{2} - x + C$
Na kartce: $8 \cdot \frac{x ^{4}}{4} = \frac{8}{4} x^{4} = 2 x^{4}$ $12 \cdot \frac{x ^{3}}{3} = \frac{12}{3} x^{3} = 4 x^{3}$ $6 \cdot \frac{x ^{2}}{2} = \frac{6}{2} x^{2} = 3 x^{2}$
Dlaczego?
Ten sam przykład da się policzyć przez podstawienie $t = 2 x - 1$ (poznasz je w następnej sekcji). Wychodzi $\frac{( 2 x - 1 ) ^{4}}{8} + C$ . Po wymnożeniu $(2 x - 1)^{4} = 16 x^{4} - 32 x^{3} + 24 x^{2} - 8 x + 1$ , więc $\frac{( 2 x - 1 ) ^{4}}{8} = 2 x^{4} - 4 x^{3} + 3 x^{2} - x + \frac{1}{8}$ . Oba wyniki są dobre: różnią się tylko o stałą $\frac{1}{8}$ , a stała siedzi w $C$ .

Pułapka· Typowe błędy w całkowaniu elementarnym

Pochodna zamiast całki: $\int x^5 \, dx = 5x^4$ — źle. Przy całce wykładnik rośnie: $\frac{x^6}{6} + C$ .
Mnożenie zamiast dzielenia: $\int x^5 \, dx = 6x^6$ — źle. Przez nowy wykładnik dzielisz.
Wzór 3 dla $\frac1x$ : $\int x^{-1} \, dx = \frac{x^0}{0}$ — nie da się. Dla $\frac1x$ jest wzór 6: $\ln \lvert x \rvert + C$ .
Wzór 3 dla $e^x$ albo $2^x$ : zmienna stoi w wykładniku, więc działa wzór 5 albo 4, nie wzór 3.
Całka iloczynu jako iloczyn całek: najpierw wymnóż nawiasy (jak w e)), dopiero potem całkuj.
Ujemny wykładnik: dodanie jedynki to krok w prawo na osi liczbowej. $-4 + 1 = -3$ (a nie $-5$ ), $-\frac13 + 1 = \frac23$ .

Całkowanie przez podstawianie

Podstawianie to odpowiednik reguły funkcji złożonej z modułu 8. Pomaga, gdy pod całką jest funkcja w funkcji, a po zamianie „środka” na nową zmienną zostaje prosta całka. Kiedy tak jest, wyjaśniamy niżej, w „Jak wybrać t”. Na slajdzie wzór wygląda tak:

\int f (g (x)) g^{'} (x) d x = \int f (t) d t

Czytamy: całka z ef od gie od iks razy gie prim od iks de iks równa się całka z ef od te de te, gdzie te równa się gie od iks, a de te równa się gie prim od iks de iks

$f$: funkcja zewnętrzna — to, co robisz ze środkiem (np. podnosisz do potęgi, wstawiasz pod pierwiastek)
$g (x)$: środek — funkcja wstawiona do innej funkcji; to zastąpisz literą $t$
$g^{'} (x) d x$: pochodna środka razy $d x$ — to zastąpisz przez $d t$
$f (t) d t$: prostsza całka — w samej zmiennej $t$ , liczona wzorami z tabeli

Na slajdzie obok wzoru jest dopisek: $t = g(x)$ , $dt = g'(x) \, dx$ . Ten dopisek to cała metoda. Zamieniasz środek na $t$ , a pochodną środka razy $dx$ — na $dt$ . Zostaje całka, w której jest już tylko $t$ — zwykle prosta, liczona wzorami z tabeli.

Jak wybrać t

Za $t$ bierzesz środek — to, co siedzi wewnątrz innej funkcji: w nawiasie z potęgą, pod pierwiastkiem, w wykładniku albo w mianowniku. Pełna lista jest w ramce niżej.

Podstawienie zadziała, gdy po zamianie na $t$ zostaje funkcja z tabeli albo suma takich funkcji (potęga $t$ , $\frac1t$ , $e^t$ , $a^t$ ), a nie iloczyn. Tak jest w dwóch typowych sytuacjach:

Pochodna obok: obok środka stoi jego pochodna, w której jest $x$ . Może być pomnożona przez liczbę (np. jest $x$ zamiast $2x$ ) — tę liczbę poprawisz przy liczeniu $dt$ .
Środek liniowy: środek ma postać $kx + b$ (liczba razy $x$ plus liczba), np. $2x + 9$ . Pochodna takiego środka to sama liczba, więc obok wystarczy samo $dx$ . Warunek: poza środkiem nie ma innej funkcji z $x$ albo po zapisaniu jej przez $t$ (i rozbiciu ułamka) cała funkcja staje się sumą potęg $t$ .

Przy środku liniowym może stać jeszcze licznik z $x$ , jak w Zad. 2 k) niżej. Zapisujesz go przez $t$ i rozbijasz ułamek. Zostaje suma potęg $t$ — też klocki z tabeli, więc podstawienie zadziała. Inaczej w $\int xe^{2x} \, dx$ : z $t = 2x$ masz $x = \frac{t}{2}$ i $dx = \frac12 \, dt$ . Wtedy $xe^{2x} \, dx = \frac{t}{2} \cdot e^t \cdot \frac12 \, dt$ , czyli zostaje $\frac14 \int te^t \, dt$ — znowu iloczyn.

całka	środek $t$	$dt$	co stoi obok środka
$\int (x^2 + 2)^3 x \, dx$	$x^2 + 2$ (w nawiasie z potęgą)	$2x \, dx$	$x \, dx$ — brakuje liczby $2$
$\int \sqrt{2x + 9} \, dx$	$2x + 9$ (pod pierwiastkiem)	$2 \, dx$	samo $dx$ — brakuje liczby $2$
$\int \frac{(\ln x)^2}{x} \, dx$	$\ln x$ (w nawiasie z potęgą)	$\frac1x \, dx$	$\frac1x \, dx$ — dokładnie
$\int xe^{-x^2} \, dx$	$-x^2$ (w wykładniku)	$-2x \, dx$	$x \, dx$ — brakuje liczby $-2$
$\int 7^{1 - x} \, dx$	$1 - x$ (w wykładniku)	$-dx$	samo $dx$ — brakuje liczby $-1$

Jak czytać tabelę: w drugiej kolumnie w nawiasie jest wskazówka, gdzie szukać środka. W trzeciej — pochodna środka razy $dx$ . Ostatnia kolumna porównuje $dt$ z tym, co naprawdę stoi w całce obok środka. Brakuje najwyżej liczby — więc podstawienie zadziała.

Zapamiętaj· Gdzie szukać środka

w nawiasie podniesionym do potęgi: $(x^2 + 2)^3$ ,
pod pierwiastkiem: $\sqrt{2x + 9}$ ,
w wykładniku: $e^{-x^2}$ , $7^{1 - x}$ ,
w mianowniku: $\frac{x}{x^2 + 1}$ ,
sam logarytm w nawiasie z potęgą: $(\ln x)^2$ — środkiem jest $\ln x$ ,
sam $\ln x$ , gdy obok stoi $\frac1x$ : w $\frac{\ln x}{x}$ środkiem jest $\ln x$ .

$(\ln x)^2$ zapisuje się też krócej: $\ln^2 x$ . To nie to samo co $\ln(x^2)$ .

Samo miejsce nie wystarczy. Podstawienie zadziała, gdy po zamianie na $t$ zostaje funkcja z tabeli albo suma takich funkcji ( $t^n$ , $\frac1t$ , $e^t$ , $a^t$ ), a nie iloczyn. Dwie typowe sytuacje: obok środka stoi jego pochodna, w której jest $x$ (może być pomnożona przez liczbę), albo środek jest liniowy ( $kx + b$ ), a reszty funkcji nie ma albo po zapisaniu jej przez $t$ cała funkcja staje się sumą potęg $t$ (jak w Zad. 2 k)). W $\int (x^2 + 1)^2 \, dx$ środek $x^2 + 1$ siedzi w nawiasie z potęgą, ale obok nie ma $x$ . Podstawienie nie pomoże. Tę całkę liczysz po wymnożeniu kwadratu: $(x^2 + 1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1$ .

Polecenie na kolokwium· Całkowanie przez podstawianie

Oblicz całkę metodą przez podstawianie, np. $\int (x^2 + 2)^3 x \, dx$ .

Wybierz $t$ : za $t$ weź środek. Sprawdź, czy po zamianie zostanie funkcja z tabeli albo suma takich funkcji. Tak jest, gdy obok środka stoi jego pochodna, w której jest $x$ (może być pomnożona przez liczbę), albo gdy środek jest liniowy, a reszty funkcji nie ma (Zad. 2 c)) albo po zapisaniu jej przez $t$ cała funkcja staje się sumą potęg $t$ (Zad. 2 k)).
Policz $dt$ : pochodna $t$ , a za nią $dx$ . Wyznacz z tego to, co stoi w całce obok środka, np. $x \, dx = \frac12 \, dt$ . Gdy środek jest liniowy, a obok stoi jeszcze $x$ , wyznacz też $x$ przez $t$ . Wszystko zapisz w ramce z boku, jak w zeszycie.
Zamień na $t$ : w miejsce środka wpisz $t$ , a resztę razem z $dx$ zastąp tym, co wyszło w ramce. Sprawdź, czy nie został żaden $x$ . Liczbę wyłącz przed całkę, pierwiastek zapisz jako potęgę, a ułamek z sumą w liczniku rozbij na składniki.
Policz całkę po $t$ : użyj wzorów z tabeli. W tej linii znika ostatnia całka, więc dopisz $+ C$ .
Wróć do $x$ : za $t$ wstaw środek. $+ C$ tylko przepisujesz.

środek, czyli $t$ to, co stoi obok środka, i jego zamiennik z $d t$

Zadanie · krok po kroku

$\int (x^{2} + 2)^{3} x d x$

Zad. 2 a)

Plan — co zrobimy i po co

Cel: całka z nawiasu do potęgi, przy którym stoi $x$ .

Wybierz $t$ : środek to $x^2 + 2$ — siedzi w nawiasie z potęgą. Obok stoi $x$ , czyli pochodna środka ( $2x$ ) bez dwójki. Dlatego podstawienie zadziała.
Policz $dt$ : pochodna środka to $2x$ , więc $dt = 2x \, dx$ . W całce jest tylko $x \, dx$ , czyli połowa $dt$ . Zapisujemy to w ramce.
Zamień na $t$ : złoty środek staje się $t$ , turkusowe $x \, dx$ — $\frac12 \, dt$ . Przycisk „▶ Zobacz krok po kroku” pokazuje, co gdzie trafia.
Policz całkę po $t$ : wzór 3. Całka znika, więc dopisujemy $+ C$ .
Wróć do $x$ : za $t$ wstawiamy $x^2 + 2$ . $+ C$ tylko przepisujemy.

Znajdź środek: wyrażenie w nawiasie z potęgą. To będzie $t$ .
$\int (x^{2} + 2)^{3} \cdot x d x$
Dlaczego?
Obok środka stoi $x$ — prawie pochodna środka ( $2 x$ ). To znak, że podstawienie zadziała.
pomocniczoZapisz ramkę: $t$ to środek, $d t$ to pochodna środka razy $d x$ . Wyznacz z tego $x d x$ .
$t d t = x^{2} + 2 = 2 x d x \Rightarrow x d x = \frac{1}{2} d t$
$t d t \Rightarrow x d x = x^{2} + 2 = 2 x d x = \frac{1}{2} d t$
Na kartce: $(x^{2} + 2)^{'} = 2 x$ $2 x d x = d t \Rightarrow x d x = \frac{1}{2} d t$
Dlaczego?
Pochodna środka to $2 x$ , a obok środka stoi samo $x$ — brakuje liczby $2$ . Dlatego obie strony dzielisz przez $2$ : $x d x$ to połowa $d t$ . Strzałka $\Rightarrow$ znaczy „więc”.
Przejdź w całce do zmiennej $t$ . Środek zastąp przez $t$ , a resztę razem z $d x$ — tym, co wyszło w ramce.
$\int (x^{2} + 2)^{3} x d x = \int t^{3} \cdot \frac{1}{2} d t = \frac{1}{2} \int t^{3} d t$
$\int (x^{2} + 2)^{3} x d x = \int t^{3} \cdot \frac{1}{2} d t = \frac{1}{2} \int t^{3} d t$
Dlaczego?
Złoty środek zamienia się w $t$ , a turkusowe $x d x$ — w $\frac{1}{2} d t$ . Żaden $x$ nie został, więc zamiana się udała.
Policz całkę z $t^{3}$ wzorem 3. Znika ostatni znak całki — dopisz $+ C$ .
$= \frac{1}{2} \cdot \frac{t ^{4}}{4} + C = \frac{t ^{4}}{8} + C$
Na kartce: $3 + 1 = 4$ $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$
Wróć do $x$ : za $t$ wstaw środek z ramki. $C$ tylko przepisz.
$= \frac{( x ^{2} + 2 ) ^{4}}{8} + C$

środek, czyli $t$ to, co stoi obok środka, i jego zamiennik z $d t$

Przykład ze środkiem liniowym — obok środka stoi samo $dx$ :

Zadanie · krok po kroku

$\int 2 x + 9 d x$

Zad. 2 c)

Plan — co zrobimy i po co

Cel: całka z pierwiastka z sumy — takiego pierwiastka nie da się rozbić na klocki.

Wybierz $t$ : wyrażenie pod pierwiastkiem, $2x + 9$ . Środek jest liniowy (pochodna to liczba $2$ ), więc obok wystarczy samo $dx$ . Poza środkiem nie ma innej funkcji z $x$ — podstawienie zadziała.
Policz $dt$ : $dt = 2 \, dx$ , więc $dx = \frac12 \, dt$ . Zapisujemy to w ramce.
Zamień na $t$ : pierwiastek zapisujemy jako potęgę.
Policz całkę po $t$ : wzór 3 z wykładnikiem $\frac12$ . Całka znika, więc dopisujemy $+ C$ .
Wróć do $x$ : za $t$ wstawiamy $2x + 9$ . $+ C$ tylko przepisujemy.

Znajdź środek: wyrażenie pod pierwiastkiem. To będzie $t$ .
$\int 2 x + 9 d x$
Dlaczego?
Środek jest liniowy, czyli postaci $k x + b$ , a poza nim nie ma innej funkcji z $x$ . Pochodna środka to sama liczba $2$ , więc obok wystarczy samo $d x$ . Po zamianie na $t$ zostanie sama funkcja z tabeli.
pomocniczoZapisz ramkę: $t$ to środek, a $d t$ — pochodna środka razy $d x$ . Wyznacz z tego $d x$ .
$t d t = 2 x + 9 = 2 d x \Rightarrow d x = \frac{1}{2} d t$
$t d t \Rightarrow d x = 2 x + 9 = 2 d x = \frac{1}{2} d t$
Na kartce: $(2 x + 9)^{'} = 2$
Przejdź w całce do zmiennej $t$ . Środek zastąp przez $t$ , a resztę razem z $d x$ — tym, co wyszło w ramce.
$\int 2 x + 9 d x = \int t \cdot \frac{1}{2} d t = \frac{1}{2} \int t^{\frac{1}{2}} d t$
$\int 2 x + 9 d x = \int t \cdot \frac{1}{2} d t = \frac{1}{2} \int t^{\frac{1}{2}} d t$
Wzór 3. Znika ostatni znak całki — dopisz $+ C$ .
$= \frac{1}{2} \cdot \frac{t ^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3} t^{\frac{3}{2}} + C$
$= \frac{1}{2} \cdot \frac{t ^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3} t^{\frac{3}{2}} + C$
Na kartce: $\frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$ $\frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}$ $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
Wróć do $x$ : za $t$ wstaw środek z ramki. $C$ tylko przepisz.
$= \frac{1}{3} (2 x + 9)^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3} (2 x + 9)^{3} + C$
$= \frac{1}{3} (2 x + 9)^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3} (2 x + 9)^{3} + C$

środek, czyli $t$

Zadanie · krok po kroku

$\int \frac{x}{x ^{2} + 1} d x$

Zad. 2 d)

Plan — co zrobimy i po co

Cel: całka z ułamka, w którym licznik to prawie pochodna mianownika.

Wybierz $t$ : środek to mianownik $x^2 + 1$ . Jego pochodna to $2x$ , a w liczniku jest $x$ — brakuje tylko dwójki. Dlatego podstawienie zadziała.
Policz $dt$ : $dt = 2x \, dx$ , więc $x \, dx = \frac12 \, dt$ . Zapisujemy to w ramce.
Zamień na $t$ : zostaje $\frac1t$ .
Policz całkę po $t$ : wzór 6 — wychodzi logarytm. Całka znika, więc dopisujemy $+ C$ .
Wróć do $x$ : kreski wartości bezwzględnej możemy opuścić, bo $x^2 + 1 > 0$ . $+ C$ tylko przepisujemy.

Znajdź środek: mianownik. To będzie $t$ .
$\int \frac{x}{x ^{2} + 1} d x$
Dlaczego?
Pochodna środka to $2 x$ , a w liczniku stoi $x$ — brakuje tylko liczby $2$ . Podstawienie zadziała.
pomocniczoZapisz ramkę: $t$ to środek, a $d t$ — pochodna środka razy $d x$ . Wyznacz z tego $x d x$ .
$t d t = x^{2} + 1 = 2 x d x \Rightarrow x d x = \frac{1}{2} d t$
$t d t \Rightarrow x d x = x^{2} + 1 = 2 x d x = \frac{1}{2} d t$
Na kartce: $(x^{2} + 1)^{'} = 2 x$
Przejdź w całce do zmiennej $t$ . Środek zastąp przez $t$ , a resztę razem z $d x$ — tym, co wyszło w ramce.
$\int \frac{x}{x ^{2} + 1} d x = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} d t$
Wzór 6: całka z $\frac{1}{t}$ to $ln ∣ t ∣$ . Znika ostatni znak całki — dopisz $+ C$ .
$= \frac{1}{2} ln ∣ t ∣ + C$
Wróć do $x$ : za $t$ wstaw środek z ramki. $C$ tylko przepisz.
$= \frac{1}{2} ln (x^{2} + 1) + C$
Dlaczego?
$x^{2} + 1$ jest zawsze dodatnie, więc wartość bezwzględną można opuścić. To samo daje reguła 3: $\frac{x}{x ^{2} + 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$ — w liczniku pochodna mianownika.

środek, czyli $t$

Gdy przy środku liniowym stoi jeszcze $x$ , zapisujesz go przez $t$ :

Zadanie · krok po kroku

$\int \frac{x - 3}{3 x + 3} d x$

Zad. 2 k)

Plan — co zrobimy i po co

Cel: całka z ułamka z pierwiastkiem trzeciego stopnia.

Wybierz $t$ : wyrażenie pod pierwiastkiem, $x + 3$ . Obok stoi licznik $x - 3$ , a nie pochodna środka. Ale środek jest liniowy, a licznik zapiszemy przez $t$ . Po rozbiciu ułamka zostanie suma potęg $t$ , więc podstawienie zadziała.
Policz $dt$ : pochodna środka to $1$ , więc $dt = dx$ . W ramce zapisujemy też licznik przez $t$ : z $t = x + 3$ mamy $x = t - 3$ , więc $x - 3 = t - 6$ .
Zamień na $t$ : po zamianie nie zostaje żaden $x$ . Ułamek rozbijamy na dwa.
Policz całkę po $t$ : dwie potęgi, wzór 3. Całki znikają, więc dopisujemy $+ C$ .
Wróć do $x$ : za $t$ wstawiamy $x + 3$ . $+ C$ tylko przepisujemy.

Znajdź środek: wyrażenie pod pierwiastkiem. To będzie $t$ .
$\int \frac{x - 3}{3 x + 3} d x$
Dlaczego?
Środek jest liniowy, czyli postaci $k x + b$ , a jego pochodna to $1$ . Dlatego $d x$ wystarczy. Licznik zapisany przez $t$ to $t - 6$ . Po podzieleniu przez $3 t$ zostaje suma potęg $t$ — same funkcje z tabeli, więc podstawienie zadziała.
pomocniczoZapisz ramkę: $t$ , $d t$ i licznik przez $t$ . Z $t = x + 3$ masz $x = t - 3$ , więc $x - 3 = t - 6$ .
$t d t x t - 6 = x + 3 = d x = t - 3 = x - 3$
Na kartce: $(x + 3)^{'} = 1$
Zamień na $t$ i rozbij ułamek na dwa.
$\int \frac{x - 3}{3 x + 3} d x = \int \frac{t - 6}{3 t} d t = \int \frac{t}{3 t} d t - 6 \int \frac{1}{3 t} d t$
Zapisz jako potęgi.
$= \int t^{\frac{2}{3}} d t - 6 \int t^{- \frac{1}{3}} d t$
Na kartce: $\frac{t}{t ^{\frac{1}{3}}} = t^{1 - \frac{1}{3}} = t^{\frac{2}{3}}$
Wzór 3. Znika ostatni znak całki — dopisz $+ C$ .
$= \frac{t ^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} - 6 \cdot \frac{t ^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} + C = \frac{3}{5} t^{\frac{5}{3}} - 9 t^{\frac{2}{3}} + C$
$= \frac{t ^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} - 6 \cdot \frac{t ^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} + C = \frac{3}{5} t^{\frac{5}{3}} - 9 t^{\frac{2}{3}} + C$
Na kartce: $\frac{2}{3} + 1 = \frac{2}{3} + \frac{3}{3} = \frac{5}{3}$ $- \frac{1}{3} + 1 = - \frac{1}{3} + \frac{3}{3} = \frac{2}{3}$ $\frac{1}{\frac{5}{3}} = \frac{3}{5}$ $6 \cdot \frac{1}{\frac{2}{3}} = 6 \cdot \frac{3}{2} = \frac{18}{2} = 9$
Wróć do $x$ : za $t$ wstaw środek z ramki. $C$ tylko przepisz. Potęgi zapisz z pierwiastkiem.
$= \frac{3}{5} (x + 3)^{\frac{5}{3}} - 9 (x + 3)^{\frac{2}{3}} + C = \frac{3}{5} 3 (x + 3)^{5} - 9 3 (x + 3)^{2} + C$
$= \frac{3}{5} (x + 3)^{\frac{5}{3}} - 9 (x + 3)^{\frac{2}{3}} + C = \frac{3}{5} 3 (x + 3)^{5} - 9 3 (x + 3)^{2} + C$

środek, czyli $t$

Środek może też siedzieć w wykładniku:

Zadanie · krok po kroku

$\int x e^{- x^{2}} d x$

Zad. 2 n)

Plan — co zrobimy i po co

Cel: całka z $e$ do potęgi, przy którym stoi $x$ .

Wybierz $t$ : środek to wykładnik $-x^2$ . Jego pochodna to $-2x$ , a obok stoi $x$ — brakuje tylko liczby $-2$ . Dlatego podstawienie zadziała.
Policz $dt$ : $dt = -2x \, dx$ , więc $x \, dx = -\frac12 \, dt$ . Minus zostaje: dzielimy przez $-2$ , a nie przez $2$ . Zapisujemy to w ramce.
Zamień na $t$ : zostaje $e^t$ .
Policz całkę po $t$ : wzór 5. Całka znika, więc dopisujemy $+ C$ .
Wróć do $x$ : za $t$ wstawiamy $-x^2$ . $+ C$ tylko przepisujemy.

Znajdź środek: wykładnik. To będzie $t$ .
$\int x e^{- x^{2}} d x$
Dlaczego?
Pochodna środka to $- 2 x$ , a przed $e$ stoi $x$ — brakuje tylko liczby $- 2$ . Podstawienie zadziała.
pomocniczoZapisz ramkę: $t$ to środek, a $d t$ — pochodna środka razy $d x$ . Wyznacz z tego $x d x$ .
$t d t = - x^{2} = - 2 x d x \Rightarrow x d x = - \frac{1}{2} d t$
$t d t \Rightarrow x d x = - x^{2} = - 2 x d x = - \frac{1}{2} d t$
Na kartce: $(- x^{2})^{'} = - 2 x$
Dlaczego?
Minus zostaje: dzielisz przez $- 2$ , nie przez $2$ . Stąd $x d x = - \frac{1}{2} d t$ .
Przejdź w całce do zmiennej $t$ . Środek zastąp przez $t$ , a resztę razem z $d x$ — tym, co wyszło w ramce.
$\int x e^{- x^{2}} d x = - \frac{1}{2} \int e^{t} d t$
Wzór 5. Znika ostatni znak całki — dopisz $+ C$ .
$= - \frac{1}{2} e^{t} + C$
Wróć do $x$ : za $t$ wstaw środek z ramki. $C$ tylko przepisz.
$= - \frac{1}{2} e^{- x^{2}} + C$

środek, czyli $t$

Pozostałe przykłady z Zad. 2

Ułożone od najprostszych. Kliknij przykład, żeby rozwinąć rachunek.

Zad. 2 b)

\int (x^{2} + 3)^{8} x d x

Plan — co zrobimy i po co

Cel: całka, czyli rodzina funkcji, których pochodna to funkcja spod całki. Dokładnie jak a): $t = x^{2} + 3$ , $x d x = \frac{1}{2} d t$ .

Znajdź środek: wyrażenie w nawiasie z potęgą. To będzie $t$ .
$\int (x^{2} + 3)^{8} x d x$
Dlaczego?
Pochodna środka to $2 x$ , a obok stoi $x$ — brakuje tylko liczby $2$ . Podstawienie zadziała.
pomocniczoZapisz ramkę: $t$ to środek, a $d t$ — pochodna środka razy $d x$ . Wyznacz z tego $x d x$ .
$t d t = x^{2} + 3 = 2 x d x \Rightarrow x d x = \frac{1}{2} d t$
$t d t \Rightarrow x d x = x^{2} + 3 = 2 x d x = \frac{1}{2} d t$
Na kartce: $(x^{2} + 3)^{'} = 2 x$
Przejdź w całce do zmiennej $t$ . Środek zastąp przez $t$ , a resztę razem z $d x$ — tym, co wyszło w ramce.
$\int (x^{2} + 3)^{8} x d x = \frac{1}{2} \int t^{8} d t$
Wzór 3. Znika ostatni znak całki — dopisz $+ C$ .
$= \frac{1}{2} \cdot \frac{t ^{9}}{9} + C = \frac{t ^{9}}{18} + C$
Wróć do $x$ : za $t$ wstaw środek z ramki. $C$ tylko przepisz.
$= \frac{( x ^{2} + 3 ) ^{9}}{18} + C$

środek, czyli $t$

Zad. 2 r)

\int (x + 5)^{999} d x

Plan — co zrobimy i po co

Cel: całka, czyli rodzina funkcji, których pochodna to funkcja spod całki. Środek liniowy z pochodną $1$ : $t = x + 5$ , $d t = d x$ . Wymnażanie odpada — wyszłoby tysiąc składników.

Znajdź środek: wyrażenie w nawiasie z potęgą. To będzie $t$ .
$\int (x + 5)^{999} d x$
Dlaczego?
Środek jest liniowy, czyli postaci $k x + b$ , a jego pochodna to $1$ . Wymnażanie $999$ nawiasów odpada. Podstawienie zamienia całkę w zwykłą potęgę.
pomocniczoZapisz ramkę: $t$ to środek, a $d t$ — pochodna środka razy $d x$ . Tu $d t = d x$ .
$t d t = x + 5 = d x$
Na kartce: $(x + 5)^{'} = 1$
Przejdź w całce do zmiennej $t$ . Środek zastąp przez $t$ , a resztę razem z $d x$ — tym, co wyszło w ramce.
$\int (x + 5)^{999} d x = \int t^{999} d t$
Wzór 3. Znika ostatni znak całki — dopisz $+ C$ .
$= \frac{t ^{1000}}{1000} + C$
Wróć do $x$ : za $t$ wstaw środek z ramki. $C$ tylko przepisz.
$= \frac{( x + 5 ) ^{1000}}{1000} + C$

środek, czyli $t$

Zad. 2 q)

\int 5^{2 x + 3} d x

Plan — co zrobimy i po co

Cel: całka, czyli rodzina funkcji, których pochodna to funkcja spod całki. Środek w wykładniku: $t = 2 x + 3$ , $d x = \frac{1}{2} d t$ . Potem wzór 4.

Znajdź środek: wykładnik. To będzie $t$ .
$\int 5^{2 x + 3} d x$
Dlaczego?
Środek jest liniowy, czyli postaci $k x + b$ , a poza nim nie ma innej funkcji z $x$ . Pochodna środka to sama liczba $2$ , więc obok wystarczy samo $d x$ . Po zamianie na $t$ zostanie sama funkcja z tabeli.
pomocniczoZapisz ramkę: $t$ to środek, a $d t$ — pochodna środka razy $d x$ . Wyznacz z tego $d x$ .
$t d t = 2 x + 3 = 2 d x \Rightarrow d x = \frac{1}{2} d t$
$t d t \Rightarrow d x = 2 x + 3 = 2 d x = \frac{1}{2} d t$
Na kartce: $(2 x + 3)^{'} = 2$
Przejdź w całce do zmiennej $t$ . Środek zastąp przez $t$ , a resztę razem z $d x$ — tym, co wyszło w ramce.
$\int 5^{2 x + 3} d x = \frac{1}{2} \int 5^{t} d t$
Wzór 4 z $a = 5$ . Znika ostatni znak całki — dopisz $+ C$ .
$= \frac{1}{2} \cdot \frac{5 ^{t}}{ln 5} + C$
Wróć do $x$ : za $t$ wstaw środek z ramki. $C$ tylko przepisz.
$= \frac{5 ^{2 x + 3}}{2 ln 5} + C$
Na kartce: $\frac{1}{2} \cdot \frac{5 ^{t}}{l n 5} = \frac{5 ^{t}}{2 l n 5}$

środek, czyli $t$

Zad. 2 p)

\int 7^{1 - x} d x

Plan — co zrobimy i po co

Cel: całka, czyli rodzina funkcji, których pochodna to funkcja spod całki. Jak q), ale pochodna wykładnika jest ujemna: $t = 1 - x$ , $d x = - d t$ .

Znajdź środek: wykładnik. To będzie $t$ .
$\int 7^{1 - x} d x$
Dlaczego?
Środek jest liniowy, czyli postaci $k x + b$ , a poza nim nie ma innej funkcji z $x$ . Pochodna środka to sama liczba $- 1$ , więc obok wystarczy samo $d x$ . Po zamianie na $t$ zostanie sama funkcja z tabeli.
pomocniczoZapisz ramkę: $t$ to środek, a $d t$ — pochodna środka razy $d x$ . Wyznacz z tego $d x$ .
$t d t = 1 - x = - d x \Rightarrow d x = - d t$
$t d t \Rightarrow d x = 1 - x = - d x = - d t$
Na kartce: $(1 - x)^{'} = - 1$
Przejdź w całce do zmiennej $t$ . Środek zastąp przez $t$ , a resztę razem z $d x$ — tym, co wyszło w ramce.
$\int 7^{1 - x} d x = - \int 7^{t} d t$
Wzór 4 z $a = 7$ . Znika ostatni znak całki — dopisz $+ C$ .
$= - \frac{7 ^{t}}{ln 7} + C$
Wróć do $x$ : za $t$ wstaw środek z ramki. $C$ tylko przepisz.
$= - \frac{7 ^{1 - x}}{ln 7} + C$

środek, czyli $t$

Zad. 2 e)

\int \frac{x}{( x ^{2} + 5 ) ^{5}} d x

Plan — co zrobimy i po co

Cel: całka, czyli rodzina funkcji, których pochodna to funkcja spod całki. Środek w mianowniku, w nawiasie z potęgą: $t = x^{2} + 5$ . Po zamianie potęga z minusem.

Znajdź środek: wyrażenie w nawiasie z potęgą (w mianowniku). To będzie $t$ .
$\int \frac{x}{( x ^{2} + 5 ) ^{5}} d x$
Dlaczego?
Pochodna środka to $2 x$ , a w liczniku stoi $x$ — brakuje tylko liczby $2$ . Podstawienie zadziała.
pomocniczoZapisz ramkę: $t$ to środek, a $d t$ — pochodna środka razy $d x$ . Wyznacz z tego $x d x$ .
$t d t = x^{2} + 5 = 2 x d x \Rightarrow x d x = \frac{1}{2} d t$
$t d t \Rightarrow x d x = x^{2} + 5 = 2 x d x = \frac{1}{2} d t$
Na kartce: $(x^{2} + 5)^{'} = 2 x$
Przejdź w całce do zmiennej $t$ . Środek zastąp przez $t$ , a resztę razem z $d x$ — tym, co wyszło w ramce.
$\int \frac{x}{( x ^{2} + 5 ) ^{5}} d x = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t ^{5}} d t = \frac{1}{2} \int t^{- 5} d t$
$\int \frac{x}{( x ^{2} + 5 ) ^{5}} d x = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t ^{5}} d t = \frac{1}{2} \int t^{- 5} d t$
Wzór 3. Znika ostatni znak całki — dopisz $+ C$ .
$= \frac{1}{2} \cdot \frac{t ^{- 4}}{- 4} + C = - \frac{1}{8} t^{- 4} + C$
Na kartce: $- 5 + 1 = - 4$ $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{- 4} = - \frac{1}{8}$
Wróć do $x$ : za $t$ wstaw środek z ramki. $C$ tylko przepisz.
$= - \frac{1}{8 ( x ^{2} + 5 ) ^{4}} + C$
Na kartce: $- \frac{1}{8} t^{- 4} = - \frac{1}{8 t ^{4}}$

środek, czyli $t$

Zad. 2 f)

\int \frac{x ^{2}}{x ^{3} + 3} d x

Plan — co zrobimy i po co

Cel: całka, czyli rodzina funkcji, których pochodna to funkcja spod całki. Jak d): mianownik to $t$ , a w liczniku prawie jego pochodna. Wychodzi logarytm.

Znajdź środek: mianownik. To będzie $t$ .
$\int \frac{x ^{2}}{x ^{3} + 3} d x$
Dlaczego?
Pochodna środka to $3 x^{2}$ , a w liczniku stoi $x^{2}$ — brakuje tylko liczby $3$ . Podstawienie zadziała.
pomocniczoZapisz ramkę: $t$ to środek, a $d t$ — pochodna środka razy $d x$ . Wyznacz z tego $x^{2} d x$ .
$t d t = x^{3} + 3 = 3 x^{2} d x \Rightarrow x^{2} d x = \frac{1}{3} d t$
$t d t \Rightarrow x^{2} d x = x^{3} + 3 = 3 x^{2} d x = \frac{1}{3} d t$
Na kartce: $(x^{3} + 3)^{'} = 3 x^{2}$
Przejdź w całce do zmiennej $t$ . Środek zastąp przez $t$ , a resztę razem z $d x$ — tym, co wyszło w ramce.
$\int \frac{x ^{2}}{x ^{3} + 3} d x = \frac{1}{3} \int \frac{1}{t} d t$
Wzór 6. Znika ostatni znak całki — dopisz $+ C$ .
$= \frac{1}{3} ln ∣ t ∣ + C$
Wróć do $x$ : za $t$ wstaw środek z ramki. $C$ tylko przepisz.
$= \frac{1}{3} ln ∣ x^{3} + 3∣ + C$

środek, czyli $t$

Zad. 2 o)

\int \frac{e ^{x} d x}{2 e ^{x} + 1}

Plan — co zrobimy i po co

Cel: całka, czyli rodzina funkcji, których pochodna to funkcja spod całki. Jak d), tylko z $e^{x}$ : mianownik $2 e^{x} + 1$ to $t$ , a $e^{x} d x = \frac{1}{2} d t$ .

Znajdź środek: mianownik. To będzie $t$ .
$\int \frac{e ^{x}}{2 e ^{x} + 1} d x$
Dlaczego?
Pochodna środka to $2 e^{x}$ , a w liczniku stoi $e^{x}$ — brakuje tylko liczby $2$ . Podstawienie zadziała.
pomocniczoZapisz ramkę: $t$ to środek, a $d t$ — pochodna środka razy $d x$ . Wyznacz z tego $e^{x} d x$ .
$t d t = 2 e^{x} + 1 = 2 e^{x} d x \Rightarrow e^{x} d x = \frac{1}{2} d t$
$t d t \Rightarrow e^{x} d x = 2 e^{x} + 1 = 2 e^{x} d x = \frac{1}{2} d t$
Na kartce: $(2 e^{x} + 1)^{'} = 2 e^{x}$
Przejdź w całce do zmiennej $t$ . Środek zastąp przez $t$ , a resztę razem z $d x$ — tym, co wyszło w ramce.
$\int \frac{e ^{x}}{2 e ^{x} + 1} d x = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} d t$
Wzór 6. Znika ostatni znak całki — dopisz $+ C$ .
$= \frac{1}{2} ln ∣ t ∣ + C$
Wróć do $x$ : za $t$ wstaw środek z ramki. $C$ tylko przepisz.
$= \frac{1}{2} ln (2 e^{x} + 1) + C$
Dlaczego?
$2 e^{x} + 1 > 0$ , więc wartość bezwzględną można opuścić.

środek, czyli $t$

Zad. 2 m)

\int \frac{( l n x ) ^{2}}{x} d x

Plan — co zrobimy i po co

Cel: całka, czyli rodzina funkcji, których pochodna to funkcja spod całki. Środkiem jest $ln x$ , a $\frac{1}{x}$ obok to dokładnie jego pochodna. Wynik $\frac{( l n x ) ^{3}}{3}$ zapisuje się też krócej: $\frac{l n ^{3} x}{3}$ .

Znajdź środek: $ln x$ w nawiasie z potęgą. To będzie $t$ .
$\int \frac{( ln x ) ^{2}}{x} d x$
Dlaczego?
Pochodna $ln x$ to $\frac{1}{x}$ — i właśnie $\frac{1}{x}$ stoi w całce.
pomocniczoZapisz ramkę: $t$ to środek, a $d t$ — pochodna środka razy $d x$ . Tu $d t$ to dokładnie $\frac{1}{x} d x$ z całki.
$t d t = ln x = \frac{1}{x} d x$
Na kartce: $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$
Przejdź w całce do zmiennej $t$ . Środek zastąp przez $t$ , a resztę razem z $d x$ — tym, co wyszło w ramce.
$\int \frac{( ln x ) ^{2}}{x} d x = \int t^{2} d t$
Wzór 3. Znika ostatni znak całki — dopisz $+ C$ .
$= \frac{t ^{3}}{3} + C$
Wróć do $x$ : za $t$ wstaw środek z ramki. $C$ tylko przepisz.
$= \frac{( ln x ) ^{3}}{3} + C$

środek, czyli $t$

Zad. 2 h)

\int x 2 + x^{2} d x

Plan — co zrobimy i po co

Cel: całka, czyli rodzina funkcji, których pochodna to funkcja spod całki. Środek pod pierwiastkiem: $t = 2 + x^{2}$ , obok stoi $x$ .

Znajdź środek: wyrażenie pod pierwiastkiem. To będzie $t$ .
$\int x 2 + x^{2} d x$
Dlaczego?
Pochodna środka to $2 x$ , a przed pierwiastkiem stoi $x$ — brakuje tylko liczby $2$ . Podstawienie zadziała.
pomocniczoZapisz ramkę: $t$ to środek, a $d t$ — pochodna środka razy $d x$ . Wyznacz z tego $x d x$ .
$t d t = 2 + x^{2} = 2 x d x \Rightarrow x d x = \frac{1}{2} d t$
$t d t \Rightarrow x d x = 2 + x^{2} = 2 x d x = \frac{1}{2} d t$
Na kartce: $(2 + x^{2})^{'} = 2 x$
Przejdź w całce do zmiennej $t$ . Środek zastąp przez $t$ , a resztę razem z $d x$ — tym, co wyszło w ramce.
$\int x 2 + x^{2} d x = \frac{1}{2} \int t^{\frac{1}{2}} d t$
Wzór 3. Znika ostatni znak całki — dopisz $+ C$ .
$= \frac{1}{2} \cdot \frac{t ^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3} t^{\frac{3}{2}} + C$
$= \frac{1}{2} \cdot \frac{t ^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3} t^{\frac{3}{2}} + C$
Na kartce: $\frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$ $\frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}$ $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
Wróć do $x$ : za $t$ wstaw środek z ramki. $C$ tylko przepisz.
$= \frac{1}{3} (2 + x^{2})^{3} + C$

środek, czyli $t$

Zad. 2 g)

\int \frac{x d x}{3 2 x ^{2} - 1}

Plan — co zrobimy i po co

Cel: całka, czyli rodzina funkcji, których pochodna to funkcja spod całki. Środek pod pierwiastkiem trzeciego stopnia w mianowniku: $t = 2 x^{2} - 1$ , $x d x = \frac{1}{4} d t$ .

Znajdź środek: wyrażenie pod pierwiastkiem. To będzie $t$ .
$\int \frac{x}{3 2 x ^{2} - 1} d x$
Dlaczego?
Pochodna środka to $4 x$ , a w liczniku stoi $x$ — brakuje tylko liczby $4$ . Podstawienie zadziała.
pomocniczoZapisz ramkę: $t$ to środek, a $d t$ — pochodna środka razy $d x$ . Wyznacz z tego $x d x$ .
$t d t = 2 x^{2} - 1 = 4 x d x \Rightarrow x d x = \frac{1}{4} d t$
$t d t \Rightarrow x d x = 2 x^{2} - 1 = 4 x d x = \frac{1}{4} d t$
Na kartce: $(2 x^{2} - 1)^{'} = 4 x$
Przejdź w całce do zmiennej $t$ . Środek zastąp przez $t$ , a resztę razem z $d x$ — tym, co wyszło w ramce.
$\int \frac{x}{3 2 x ^{2} - 1} d x = \frac{1}{4} \int \frac{1}{3 t} d t = \frac{1}{4} \int t^{- \frac{1}{3}} d t$
$\int \frac{x}{3 2 x ^{2} - 1} d x = \frac{1}{4} \int \frac{1}{3 t} d t = \frac{1}{4} \int t^{- \frac{1}{3}} d t$
Wzór 3. Znika ostatni znak całki — dopisz $+ C$ .
$= \frac{1}{4} \cdot \frac{t ^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} + C = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}} + C = \frac{3}{8} t^{\frac{2}{3}} + C$
$= \frac{1}{4} \cdot \frac{t ^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} + C = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}} + C = \frac{3}{8} t^{\frac{2}{3}} + C$
Na kartce: $- \frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$ $\frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}$ $\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{8}$
Wróć do $x$ : za $t$ wstaw środek z ramki. $C$ tylko przepisz.
$= \frac{3}{8} 3 (2 x^{2} - 1)^{2} + C$

środek, czyli $t$

Zad. 2 i)

\int \frac{x}{3 - 5 x ^{2}} d x

Plan — co zrobimy i po co

Cel: całka, czyli rodzina funkcji, których pochodna to funkcja spod całki. Jak g), z minusem: $t = 3 - 5 x^{2}$ , $x d x = - \frac{1}{10} d t$ .

Znajdź środek: wyrażenie pod pierwiastkiem. To będzie $t$ .
$\int \frac{x}{3 - 5 x ^{2}} d x$
Dlaczego?
Pochodna środka to $- 10 x$ , a w liczniku stoi $x$ — brakuje tylko liczby $- 10$ . Podstawienie zadziała.
pomocniczoZapisz ramkę: $t$ to środek, a $d t$ — pochodna środka razy $d x$ . Wyznacz z tego $x d x$ .
$t d t = 3 - 5 x^{2} = - 10 x d x \Rightarrow x d x = - \frac{1}{10} d t$
$t d t \Rightarrow x d x = 3 - 5 x^{2} = - 10 x d x = - \frac{1}{10} d t$
Na kartce: $(3 - 5 x^{2})^{'} = - 10 x$
Dlaczego?
Minus zostaje: dzielisz przez $- 10$ , nie przez $10$ . Stąd $x d x = - \frac{1}{10} d t$ .
Przejdź w całce do zmiennej $t$ . Środek zastąp przez $t$ , a resztę razem z $d x$ — tym, co wyszło w ramce.
$\int \frac{x}{3 - 5 x ^{2}} d x = - \frac{1}{10} \int t^{- \frac{1}{2}} d t$
Wzór 3. Znika ostatni znak całki — dopisz $+ C$ .
$= - \frac{1}{10} \cdot \frac{t ^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = - \frac{1}{10} \cdot 2 t^{\frac{1}{2}} + C = - \frac{1}{5} t + C$
$= - \frac{1}{10} \cdot \frac{t ^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = - \frac{1}{10} \cdot 2 t^{\frac{1}{2}} + C = - \frac{1}{5} t + C$
Na kartce: $- \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$ $\frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$ $- \frac{1}{10} \cdot 2 = - \frac{1}{5}$
Wróć do $x$ : za $t$ wstaw środek z ramki. $C$ tylko przepisz.
$= - \frac{1}{5} 3 - 5 x^{2} + C$

środek, czyli $t$

Zad. 2 l)

\int \frac{3 x ^{2}}{7 x ^{3} + 5} d x

Plan — co zrobimy i po co

Cel: całka, czyli rodzina funkcji, których pochodna to funkcja spod całki. Licznik to dokładnie pochodna środka: $t = x^{3} + 5$ , $d t = 3 x^{2} d x$ .

Znajdź środek: wyrażenie pod pierwiastkiem. To będzie $t$ .
$\int \frac{3 x ^{2}}{7 x ^{3} + 5} d x$
Dlaczego?
Pochodna środka to $3 x^{2}$ — i dokładnie $3 x^{2}$ stoi w liczniku. Nic nie trzeba dzielić.
pomocniczoZapisz ramkę: $t$ to środek, a $d t$ — pochodna środka razy $d x$ . Tu $d t$ to dokładnie licznik razy $d x$ .
$t d t = x^{3} + 5 = 3 x^{2} d x$
Na kartce: $(x^{3} + 5)^{'} = 3 x^{2}$
Przejdź w całce do zmiennej $t$ . Środek zastąp przez $t$ , a resztę razem z $d x$ — tym, co wyszło w ramce.
$\int \frac{3 x ^{2}}{7 x ^{3} + 5} d x = \int \frac{1}{7 t} d t = \int t^{- \frac{1}{7}} d t$
$\int \frac{3 x ^{2}}{7 x ^{3} + 5} d x = \int \frac{1}{7 t} d t = \int t^{- \frac{1}{7}} d t$
Wzór 3. Znika ostatni znak całki — dopisz $+ C$ .
$= \frac{t ^{\frac{6}{7}}}{\frac{6}{7}} + C = \frac{7}{6} t^{\frac{6}{7}} + C$
Na kartce: $- \frac{1}{7} + 1 = \frac{6}{7}$ $\frac{1}{\frac{6}{7}} = \frac{7}{6}$
Wróć do $x$ : za $t$ wstaw środek z ramki. $C$ tylko przepisz.
$= \frac{7}{6} 7 (x^{3} + 5)^{6} + C$

środek, czyli $t$

Zad. 2 j)

\int \frac{x - 2}{x + 2} d x

Plan — co zrobimy i po co

Cel: całka, czyli rodzina funkcji, których pochodna to funkcja spod całki. Jak k): $t = x + 2$ , a licznik zapisujemy przez $t$ . Z $t = x + 2$ mamy $x = t - 2$ , więc $x - 2 = t - 4$ .

Znajdź środek: wyrażenie pod pierwiastkiem. To będzie $t$ .
$\int \frac{x - 2}{x + 2} d x$
Dlaczego?
Środek jest liniowy, czyli postaci $k x + b$ , a jego pochodna to $1$ . Dlatego $d x$ wystarczy. Licznik zapisany przez $t$ to $t - 4$ . Po podzieleniu przez $t$ zostaje suma potęg $t$ — same funkcje z tabeli, więc podstawienie zadziała.
pomocniczoZapisz ramkę: $t$ , $d t$ i licznik przez $t$ . Z $t = x + 2$ masz $x = t - 2$ , więc $x - 2 = t - 4$ .
$t d t x t - 4 = x + 2 = d x = t - 2 = x - 2$
Na kartce: $(x + 2)^{'} = 1$
Zamień na $t$ i podziel każdy składnik licznika przez $t^{\frac{1}{2}}$ .
$\int \frac{x - 2}{x + 2} d x = \int \frac{t - 4}{t ^{\frac{1}{2}}} d t = \int (t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}}) d t$
$\int \frac{x - 2}{x + 2} d x = \int \frac{t - 4}{t ^{\frac{1}{2}}} d t = \int (t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}}) d t$
Na kartce: $\frac{t}{t ^{\frac{1}{2}}} = t^{1 - \frac{1}{2}} = t^{\frac{1}{2}}$
Każdy składnik wzorem 3. Znika ostatni znak całki — dopisz $+ C$ .
$= \frac{t ^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - 4 \cdot \frac{t ^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} - 8 t^{\frac{1}{2}} + C$
$= \frac{t ^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - 4 \cdot \frac{t ^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} - 8 t^{\frac{1}{2}} + C$
Na kartce: $\frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$ $- \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$ $\frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}$ $4 \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} = 4 \cdot 2 = 8$
Wróć do $x$ : za $t$ wstaw środek z ramki. $C$ tylko przepisz.
$= \frac{2}{3} (x + 2)^{3} - 8 x + 2 + C$

środek, czyli $t$

Pułapka· Typowe błędy przy podstawianiu

Zgubiona liczba z $dt$ : $\int (x^2 + 2)^3 x \, dx = \frac{(x^2 + 2)^4}{4} + C$ — źle. $x \, dx$ to $\frac12 \, dt$ , więc wynik to $\frac{(x^2 + 2)^4}{8} + C$ .
$x$ zostaje w całce po $t$ : $\int t^3 \cdot x \, dt$ — tak się nie da policzyć. Każdy $x$ (także ten przy $dx$ ) trzeba zamienić.
Brak powrotu do $x$ : wynik $\frac{t^4}{8} + C$ jest niedokończony. Zadanie było o $x$ .
Zgubiony minus: przy $t = 1 - x$ jest $dt = -dx$ , więc $dx = -dt$ .
Brak $dx$ w zapisie całki: $\int \frac{x - 3}{\sqrt[3]{x + 3}}$ bez $dx$ to niedokończony zapis. Bez $dx$ nie ma czego zamienić na $dt$ .

Całkowanie przez części

Całkowanie przez części to odpowiednik reguły iloczynu z modułu 8. Pomaga przy iloczynie dwóch różnych funkcji, np. $x \cdot 4^x$ albo $x^2 \ln x$ , i przy samym $\ln x$ . Wzór ze slajdu:

\int u (x) v^{'} (x) d x = u (x) v (x) - \int u^{'} (x) v (x) d x

Czytamy: całka z u od iks razy fau prim od iks de iks równa się u od iks razy fau od iks minus całka z u prim od iks razy fau od iks de iks

$u (x)$: $u$ — kawałek, z którego liczysz pochodną; wybierasz to, co po pochodnej się upraszcza
$v^{'} (x)$: $v^{'}$ — kawałek, który całkujesz; musisz umieć go scałkować
$u (x) v (x)$: pierwszy kawałek wyniku — gotowy, bez całki
$\int u^{'} (x) v (x) d x$: nowa całka — ma być prostsza od wyjściowej

Cztery kawałki ramki — $u$ , $u'$ , $v'$ i $v$ — zapisujesz przed rachunkiem, jak w zeszycie z zajęć:

\left| \begin{array}{ll} u(x) = \ldots & u'(x) = \ldots \\[6pt] v'(x) = \ldots & v(x) = \ldots \end{array} \right|

Jak czytać ramkę: lewą kolumnę ( $u$ i $v'$ ) wybierasz w etapie 1, prawą ( $u'$ i $v$ ) liczysz w etapie 2. W górnym wierszu $u$ i jego pochodna $u'$ . W dolnym $v'$ i jego całka $v$ .

Jak wybrać u

Wybór $u$ decyduje o wszystkim. Dobry wybór daje prostszą nową całkę, zły — trudniejszą.

całka	$u$	$v'$	dlaczego
obok środka stoi jego pochodna, w której jest $x$ (np. $xe^{x^2}$ , $\frac{\ln x}{x}$ )	—	—	to nie na części, tylko na podstawianie (chyba że polecenie każe liczyć przez części, jak w Zad. 3 m))
wielomian razy $e^{kx}$ ( $k \neq 0$ , np. $e^x$ , $e^{-3x}$ ) albo $a^x$ (np. $x4^x$ )	wielomian	$e^{kx}$ albo $a^x$	wielomian po pochodnej traci stopień; $e^x$ i $4^x$ całkujesz wzorem, $e^{-3x}$ — podstawieniem $t = -3x$ (skrót spoza slajdu niżej)
logarytm razy potęga $x^n$ , $n \neq -1$ (np. $x^2 \ln x$ , $\frac{\ln^2 x}{x^5}$ )	logarytm	potęga $x^n$	logarytm po pochodnej się upraszcza, np. $(\ln x)' = \frac1x$ ; całki z logarytmu nie ma we wzorach
sam logarytm: $\ln x$ , $\ln^2 x$ , $\ln(x^3)$	ten logarytm	$1$	to sztuczka: $\ln x = \ln x \cdot 1$ , a $\int 1 \, dx = x$
dwa wielomiany: $x^4(1 + x)^3$ (Zad. 3 i))	$(1 + x)^3$	$x^4$	nawias ma niższy stopień — po trzech pochodnych daje liczbę, a potęgi $x$ łatwo scałkować; prościej jednak wymnożyć i liczyć elementarnie

Jak czytać tabelę: w każdym wierszu jeden typ całki z listy. Kolumny $u$ i $v'$ mówią, jak podzielić funkcję na dwa kawałki. Ostatnia kolumna — dlaczego właśnie tak. Przypomnienie: $\ln^2 x$ to $(\ln x)^2$ , a nie $\ln(x^2)$ .

Polecenie na kolokwium· Całkowanie przez części

Oblicz całkę metodą przez części, np. $\int x4^x \, dx$ .

Wybierz $u$ i $v'$ : skorzystaj z zasady wyboru wyżej.
Policz $u'$ i $v$ : $u'$ to pochodna $u$ , a $v$ to całka z $v'$ — bez $+ C$ . Wpisz wszystko do ramki.
Wzór: $u \cdot v - \int u' \cdot v \, dx$ — każdy kawałek ramki na swoje miejsce. Od razu uprość $u' \cdot v$ w nowej całce: skróć, a liczbę wyłącz przed całkę.
Nowa całka: policz ją.
- Gdy nowa całka jest w tabeli, policz ją wzorem. Całkę z $e^{kx}$ policz podstawieniem $t = kx$ i pokaż je na kolokwium (wynik $\frac1k e^{kx}$ to skrót spoza slajdu — niżej).
- Gdy jej nie ma w tabeli, a nadal jest w niej logarytm albo wielomian razy $e^{kx}$ lub $a^x$ , policz ją jeszcze raz przez części. Tak samo przy dwóch wielomianach (Zad. 3 i)).
- Nową całkę liczoną z boku (pomocniczo) piszesz bez $C$ . Stała pojawia się raz, w głównym rachunku.
- W linii głównego rachunku, w której znika ostatni znak całki, dopisz $+ C$ .
Uprość: zbierz wynik, uważaj na minus przed nawiasem. $+ C$ tylko przepisujesz.

$u$ i jego pochodna $u^{'}$ $v^{'}$ i jego całka $v$

Zadanie · krok po kroku

$\int x 4^{x} d x$

Zad. 3 o)

Plan — co zrobimy i po co

Cel: całka z iloczynu wielomianu ( $x$ ) i funkcji wykładniczej ( $4^x$ ).

Wybierz $u$ i $v'$ : $u = x$ (wielomian), $v' = 4^x$ . Po pochodnej $x$ zamienia się w $1$ , a $4^x$ umiemy scałkować.
Policz $u'$ i $v$ : $u' = 1$ , a $v$ ze wzoru 4. Wszystkie cztery kawałki zapisujemy w ramce.
Wzór: kawałki ramki wlatują do wzoru ze slajdu. Pokazuje to przycisk „▶ Zobacz krok po kroku”.
Nowa całka: $\int 4^x \, dx$ — znowu wzór 4. Całka znika, więc dopisujemy $+ C$ .
Uprość: wyłączamy wspólny czynnik przed nawias. $+ C$ tylko przepisujemy.

Za $u$ weź $x$ , za $v^{'}$ — $4^{x}$ .
$u (x) = x, v^{'} (x) = 4^{x}$
$u (x) v^{'} (x) = x = 4^{x}$
Dlaczego?
Po pochodnej $x$ zamienia się w $1$ — znika. A $4^{x}$ umiesz scałkować wzorem 4. Przy odwrotnym wyborze ( $u = 4^{x}$ , $v^{'} = x$ ) w nowej całce byłoby $x^{2}$ — trudniej niż na starcie.
pomocniczoPolicz $u^{'}$ (pochodna $u$ ) i $v$ (całka z $v^{'}$ ). Wszystkie cztery kawałki zapisz w ramce.
$u (x) = x v^{'} (x) = 4^{x} u^{'} (x) = 1 v (x) = \frac{4 ^{x}}{l n 4}$
$u (x) = x u^{'} (x) = 1 v^{'} (x) = 4^{x} v (x) = \frac{4 ^{x}}{l n 4}$
Na kartce: $u^{'} (x) = (x)^{'} = 1$ $v (x) = \int 4^{x} d x = \frac{4 ^{x}}{l n 4}$
Dlaczego?
W ramce $v$ liczysz bez $+ C$ . Stała pojawi się raz — w linii, w której zniknie ostatni znak całki.
szablon wzoruZapisz wzór ze slajdu. Każdy z czterech kawałków ramki trafi w swoje miejsce.
$\int u \cdot v^{'} d x = u \cdot v - \int u^{'} \cdot v d x$
$\int u \cdot v^{'} d x = u \cdot v - \int u^{'} \cdot v d x$
Wstaw do wzoru: $u \cdot v$ minus całka z $u^{'} \cdot v$ .
$\int x 4^{x} d x = x \cdot \frac{4 ^{x}}{ln 4} - \int 1 \cdot \frac{4 ^{x}}{ln 4} d x$
$\int x 4^{x} d x = x \cdot \frac{4 ^{x}}{ln 4} - \int 1 \cdot \frac{4 ^{x}}{ln 4} d x$
Uprość. Stałą $\frac{1}{l n 4}$ wyłącz przed nową całkę.
$= \frac{x \cdot 4 ^{x}}{ln 4} - \frac{1}{ln 4} \int 4^{x} d x$
Dlaczego?
$ln 4$ to liczba (około $1, 39$ ), a nie funkcja — więc $\frac{1}{l n 4}$ to stała.
Nową całkę policz wzorem 4 — to ta sama całka co przy liczeniu $v$ . Znika ostatni znak całki — dopisz $+ C$ .
$= \frac{x \cdot 4 ^{x}}{ln 4} - \frac{1}{ln 4} \cdot \frac{4 ^{x}}{ln 4} + C = \frac{x \cdot 4 ^{x}}{ln 4} - \frac{4 ^{x}}{ln ^{2} 4} + C$
$= \frac{x \cdot 4 ^{x}}{ln 4} - \frac{1}{ln 4} \cdot \frac{4 ^{x}}{ln 4} + C = \frac{x \cdot 4 ^{x}}{ln 4} - \frac{4 ^{x}}{ln ^{2} 4} + C$
Na kartce: $ln 4 \cdot ln 4 = ln^{2} 4$
Dlaczego?
Zapis $ln^{2} 4$ to $(ln 4)^{2}$ , czyli $ln 4 \cdot ln 4$ — a nie $ln (4^{2})$ .
Wyłącz wspólny czynnik $\frac{4 ^{x}}{l n 4}$ przed nawias.
$= \frac{4 ^{x}}{ln 4} (x - \frac{1}{ln 4}) + C$
Na kartce: $\frac{4 ^{x}}{l n ^{2} 4} = \frac{4 ^{x}}{l n 4} \cdot \frac{1}{l n 4}$

$u$ i jego pochodna $u^{'}$ $v^{'}$ i jego całka $v$

Zadanie · krok po kroku

$\int ln x d x$

Zad. 3 a)

Plan — co zrobimy i po co

Cel: całka z samego logarytmu. We wzorach jej nie ma — ale pochodną $\ln x$ znamy.

Wybierz $u$ i $v'$ : sztuczka $\ln x = \ln x \cdot 1$ . $u = \ln x$ , $v' = 1$ .
Policz $u'$ i $v$ : $u' = \frac1x$ , $v = x$ . Zapisujemy je w ramce.
Wzór: w nowej całce $\frac1x \cdot x = 1$ — logarytm zniknął.
Nowa całka: $\int 1 \, dx = x$ . Całka znika, więc dopisujemy $+ C$ .

Za $u$ weź $ln x$ , za $v^{'}$ — jedynkę: $ln x = ln x \cdot 1$ .
$u (x) = ln x, v^{'} (x) = 1$
$u (x) v^{'} (x) = ln x = 1$
Dlaczego?
Całki z $ln x$ nie ma we wzorach, ale pochodną $ln x$ znasz: $\frac{1}{x}$ . Dlatego $ln x$ idzie do $u$ .
pomocniczoPolicz $u^{'}$ (pochodna $u$ ) i $v$ (całka z $v^{'}$ ). Zapisz wszystkie cztery kawałki ramki.
$u (x) = ln x v^{'} (x) = 1 u^{'} (x) = \frac{1}{x} v (x) = x$
$u (x) = ln x u^{'} (x) = \frac{1}{x} v^{'} (x) = 1 v (x) = x$
Na kartce: $u^{'} (x) = (ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ $v (x) = \int 1 d x = x$
Wstaw do wzoru: $u \cdot v$ minus całka z $u^{'} \cdot v$ .
$\int ln x d x = x ln x - \int \frac{1}{x} \cdot x d x = x ln x - \int 1 d x$
$\int ln x d x = x ln x - \int \frac{1}{x} \cdot x d x = x ln x - \int 1 d x$
Nowa całka to $\int 1 d x = x$ . Znika ostatni znak całki — dopisz $+ C$ .
$= x ln x - x + C$

Zadanie · krok po kroku

$\int x^{2} ln x d x$

Zad. 3 d)

Plan — co zrobimy i po co

Cel: całka z potęgi razy logarytm.

Wybierz $u$ i $v'$ : w iloczynie z potęgą $x^2$ logarytm idzie do $u$ , więc $u = \ln x$ , $v' = x^2$ .
Policz $u'$ i $v$ : $u' = \frac1x$ , $v = \frac{x^3}{3}$ . Zapisujemy je w ramce.
Wzór: w nowej całce $\frac1x$ skraca się z $x^3$ .
Nowa całka: zwykła potęga, wzór 3. Całka znika, więc dopisujemy $+ C$ .

Za $u$ weź $ln x$ , za $v^{'}$ — $x^{2}$ .
$u (x) = ln x, v^{'} (x) = x^{2}$
$u (x) v^{'} (x) = ln x = x^{2}$
Dlaczego?
Gdyby odwrotnie ( $u = x^{2}$ , $v^{'} = ln x$ ), trzeba by najpierw scałkować $ln x$ , a w nowej całce wróciłaby wyjściowa całka. Zasada: $ln$ razy potęga $x^{n}$ ( $n \neq = - 1$ ) — $ln$ do $u$ .
pomocniczoPolicz $u^{'}$ (pochodna $u$ ) i $v$ (całka z $v^{'}$ ). Zapisz wszystkie cztery kawałki ramki.
$u (x) = ln x v^{'} (x) = x^{2} u^{'} (x) = \frac{1}{x} v (x) = \frac{x ^{3}}{3}$
$u (x) = ln x u^{'} (x) = \frac{1}{x} v^{'} (x) = x^{2} v (x) = \frac{x ^{3}}{3}$
Na kartce: $u^{'} (x) = (ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ $v (x) = \int x^{2} d x = \frac{x ^{3}}{3}$
Wstaw do wzoru: $u \cdot v$ minus całka z $u^{'} \cdot v$ .
$\int x^{2} ln x d x = \frac{x ^{3}}{3} ln x - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{x ^{3}}{3} d x = \frac{x ^{3}}{3} ln x - \frac{1}{3} \int x^{2} d x$
$\int x^{2} ln x d x = \frac{x ^{3}}{3} ln x - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{x ^{3}}{3} d x = \frac{x ^{3}}{3} ln x - \frac{1}{3} \int x^{2} d x$
Na kartce: $\frac{1}{x} \cdot \frac{x ^{3}}{3} = \frac{x ^{3}}{3 x} = \frac{x ^{2}}{3} = \frac{1}{3} x^{2}$
Nowa całka wzorem 3. Znika ostatni znak całki — dopisz $+ C$ .
$= \frac{x ^{3}}{3} ln x - \frac{1}{3} \cdot \frac{x ^{3}}{3} + C = \frac{x ^{3}}{3} ln x - \frac{x ^{3}}{9} + C$
$= \frac{x ^{3}}{3} ln x - \frac{1}{3} \cdot \frac{x ^{3}}{3} + C = \frac{x ^{3}}{3} ln x - \frac{x ^{3}}{9} + C$

Czasem nowej całki nie ma w tabeli i trzeba ją liczyć przez części jeszcze raz. W Zad. 3 b) wychodzi $\int \ln x \, dx$ — jej wynik jest już gotowy w a):

Zadanie · krok po kroku

$\int ln^{2} x d x$

Zad. 3 b)

Plan — co zrobimy i po co

Cel: całka z kwadratu logarytmu.

Wybierz $u$ i $v'$ : sam logarytm, jak w a): $u = \ln^2 x$ , $v' = 1$ .
Policz $u'$ i $v$ : $u'$ regułą funkcji złożonej z modułu 8, $v = x$ . Zapisujemy je w ramce.
Wzór: nowa całka to $2 \int \ln x \, dx$ — prostsza, bo logarytm jest już w pierwszej potędze.
Nowa całka: to dokładnie Zad. 3 a) — bierzemy gotowy wynik. Całka znika, więc dopisujemy $+ C$ .
Uprość: wymnażamy nawias, uważając na minus. $+ C$ tylko przepisujemy.

Za $u$ weź $ln^{2} x$ , za $v^{'}$ — jedynkę.
$u (x) = ln^{2} x, v^{'} (x) = 1$
$u (x) v^{'} (x) = ln^{2} x = 1$
Dlaczego?
Zapis $ln^{2} x$ to $(ln x)^{2}$ , a nie $ln (x^{2})$ . Jak w a): całki z $ln^{2} x$ nie ma we wzorach, a pochodną policzysz. Dlatego cały logarytm idzie do $u$ , a $v^{'} = 1$ .
pomocniczoPolicz $u^{'}$ i $v$ . $u^{'}$ regułą funkcji złożonej: $2 ln x$ razy pochodna środka $\frac{1}{x}$ .
$u (x) = ln^{2} x v^{'} (x) = 1 u^{'} (x) = 2 ln x \cdot \frac{1}{x} v (x) = x$
$u (x) = ln^{2} x u^{'} (x) = 2 ln x \cdot \frac{1}{x} v^{'} (x) = 1 v (x) = x$
Na kartce: $u^{'} (x) = (ln^{2} x)^{'} = 2 ln x \cdot \frac{1}{x}$ $v (x) = \int 1 d x = x$
Wstaw do wzoru: $u \cdot v$ minus całka z $u^{'} \cdot v$ .
$\int ln^{2} x d x = x ln^{2} x - \int 2 ln x \cdot \frac{1}{x} \cdot x d x = x ln^{2} x - 2 \int ln x d x$
$\int ln^{2} x d x = x ln^{2} x - \int 2 ln x \cdot \frac{1}{x} \cdot x d x = x ln^{2} x - 2 \int ln x d x$
Nowa całka $\int ln x d x$ to Zad. 3 a): $x ln x - x$ . Znika ostatni znak całki — dopisz $+ C$ .
$= x ln^{2} x - 2 (x ln x - x) + C$
Wymnóż nawias. Uwaga na minus przed nawiasem.
$= x ln^{2} x - 2 x ln x + 2 x + C$

Przy $e^{-3x}$ potrzebna jest całka, której nie ma w tabeli. Liczy się ją podstawieniem $t = -3x$ — a wynik warto zapamiętać:

Kiedy tego użyć· Skrót spoza slajdu: e do potęgi kx

$\int e^{kx} \, dx = \frac1k e^{kx} + C$ dla liczby $k \neq 0$ . Tego wzoru nie ma na slajdzie. Wynika z podstawienia $t = kx$ , $dx = \frac1k \, dt$ — na kolokwium pokaż to podstawienie. Na przykład dla $e^{-3x}$ ramka z boku wygląda tak:

\left| \begin{aligned} t &= -3x \\ dt &= -3 \, dx \Rightarrow dx = -\tfrac13 \, dt \end{aligned} \right|

A sam rachunek:

\begin{aligned} \int e^{-3x} \, dx &= -\tfrac13 \int e^t \, dt \\ &= -\tfrac13 e^t + C \\ &= -\tfrac13 e^{-3x} + C \end{aligned}

Sprawdzenie pochodną: $\left(-\frac13 e^{-3x}\right)' = -\frac13 \cdot e^{-3x} \cdot (-3) = e^{-3x}$ . Gdy liczysz tak $v$ w ramce przez części, piszesz wynik bez $C$ .

Zadanie · krok po kroku

$\int x e^{- 3 x} d x$

Zad. 3 k)

Plan — co zrobimy i po co

Cel: całka z $x$ razy $e^{-3x}$ .

Wybierz $u$ i $v'$ : $u = x$ (wielomian), $v' = e^{-3x}$ .
Policz $u'$ i $v$ : $u' = 1$ . $v$ to całka z $e^{-3x}$ — liczymy ją z boku podstawieniem $t = -3x$ , jak w skrócie wyżej, i bez $C$ . Wychodzi $v = -\frac13 e^{-3x}$ . Zapisujemy wszystko w ramce.
Wzór: minus razy minus da plus przed nową całką.
Nowa całka: znowu $\int e^{-3x} \, dx$ — wynik znamy z rachunku $v$ . Całka znika, więc dopisujemy $+ C$ .

Za $u$ weź $x$ , za $v^{'}$ — $e^{- 3 x}$ .
$u (x) = x, v^{'} (x) = e^{- 3 x}$
$u (x) v^{'} (x) = x = e^{- 3 x}$
Dlaczego?
Wielomian razy $e^{k x}$ ( $k \neq = 0$ ) — wielomian do $u$ . Po pochodnej $x$ zamienia się w $1$ .
pomocniczoNajpierw z boku policz $v$ , czyli całkę z $e^{- 3 x}$ . Środek to wykładnik $- 3 x$ — podstaw $t = - 3 x$ .
$t d t = - 3 x = - 3 d x \Rightarrow d x = - \frac{1}{3} d t$
$t d t \Rightarrow d x = - 3 x = - 3 d x = - \frac{1}{3} d t$
Na kartce: $(- 3 x)^{'} = - 3$
Dlaczego?
Skrót (nie ze slajdu): $\int e^{k x} d x = \frac{1}{k} e^{k x} + C$ dla $k \neq = 0$ , tu $k = - 3$ . Na kolokwium pokaż to podstawienie.
pomocniczoZ boku (bez $C$ ): przejdź do $t$ , policz wzorem 5 i wróć do $x$ .
$\int e^{- 3 x} d x = - \frac{1}{3} \int e^{t} d t = - \frac{1}{3} e^{t} = - \frac{1}{3} e^{- 3 x}$
$\int e^{- 3 x} d x = - \frac{1}{3} \int e^{t} d t = - \frac{1}{3} e^{t} = - \frac{1}{3} e^{- 3 x}$
pomocniczoPolicz $u^{'}$ (pochodna $u$ ) i $v$ (całka z $v^{'}$ ). Zapisz wszystkie cztery kawałki ramki. $v$ — z rachunku wyżej.
$u (x) = x v^{'} (x) = e^{- 3 x} u^{'} (x) = 1 v (x) = - \frac{1}{3} e^{- 3 x}$
$u (x) = x u^{'} (x) = 1 v^{'} (x) = e^{- 3 x} v (x) = - \frac{1}{3} e^{- 3 x}$
Na kartce: $u^{'} (x) = (x)^{'} = 1$ $v (x) = \int e^{- 3 x} d x = - \frac{1}{3} e^{- 3 x}$
Wstaw do wzoru: $u \cdot v$ minus całka z $u^{'} \cdot v$ .
$\int x e^{- 3 x} d x = - \frac{1}{3} x e^{- 3 x} - \int 1 \cdot (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) d x = - \frac{1}{3} x e^{- 3 x} + \frac{1}{3} \int e^{- 3 x} d x$
$\int x e^{- 3 x} d x = - \frac{1}{3} x e^{- 3 x} - \int 1 \cdot (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) d x = - \frac{1}{3} x e^{- 3 x} + \frac{1}{3} \int e^{- 3 x} d x$
Dlaczego?
Minus razy minus daje plus: $- \int 1 \cdot (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) d x = + \frac{1}{3} \int e^{- 3 x} d x$ .
Nowa całka jest taka sama jak przy liczeniu $v$ , więc wynosi $- \frac{1}{3} e^{- 3 x}$ . Znika ostatni znak całki — dopisz $+ C$ .
$= - \frac{1}{3} x e^{- 3 x} + \frac{1}{3} \cdot (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) + C = - \frac{1}{3} x e^{- 3 x} - \frac{1}{9} e^{- 3 x} + C$
$= - \frac{1}{3} x e^{- 3 x} + \frac{1}{3} \cdot (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) + C = - \frac{1}{3} x e^{- 3 x} - \frac{1}{9} e^{- 3 x} + C$

Pozostałe przykłady z Zad. 3

Ułożone od najprostszych. Kliknij przykład, żeby rozwinąć rachunek.

Zad. 3 l)

\int (x + 3) e^{x} d x

Plan — co zrobimy i po co

Cel: całka, czyli rodzina funkcji, których pochodna to funkcja spod całki. Wielomian razy $e^{x}$ : $u = x + 3$ , $v^{'} = e^{x}$ .

Za $u$ weź $x + 3$ , za $v^{'}$ — $e^{x}$ .
$u (x) = x + 3, v^{'} (x) = e^{x}$
$u (x) v^{'} (x) = x + 3 = e^{x}$
Dlaczego?
Wielomian razy $e^{x}$ — wielomian do $u$ . Po pochodnej $x + 3$ zamienia się w $1$ .
pomocniczoPolicz $u^{'}$ (pochodna $u$ ) i $v$ (całka z $v^{'}$ ). Zapisz wszystkie cztery kawałki ramki.
$u (x) = x + 3 v^{'} (x) = e^{x} u^{'} (x) = 1 v (x) = e^{x}$
$u (x) = x + 3 u^{'} (x) = 1 v^{'} (x) = e^{x} v (x) = e^{x}$
Na kartce: $u^{'} (x) = (x + 3)^{'} = 1$ $v (x) = \int e^{x} d x = e^{x}$
Wstaw do wzoru: $u \cdot v$ minus całka z $u^{'} \cdot v$ .
$\int (x + 3) e^{x} d x = (x + 3) e^{x} - \int 1 \cdot e^{x} d x = (x + 3) e^{x} - \int e^{x} d x$
$\int (x + 3) e^{x} d x = (x + 3) e^{x} - \int 1 \cdot e^{x} d x = (x + 3) e^{x} - \int e^{x} d x$
Nowa całka to $\int e^{x} d x = e^{x}$ . Znika ostatni znak całki — dopisz $+ C$ .
$= (x + 3) e^{x} - e^{x} + C$
Wyłącz $e^{x}$ przed nawias.
$= e^{x} (x + 3 - 1) + C = (x + 2) e^{x} + C$
$= e^{x} (x + 3 - 1) + C = (x + 2) e^{x} + C$

Zad. 3 h)

\int ln (x^{3}) d x

Plan — co zrobimy i po co

Cel: całka, czyli rodzina funkcji, których pochodna to funkcja spod całki. Jak a): $u = ln (x^{3})$ , $v^{'} = 1$ . Krócej: $ln (x^{3}) = 3 ln x$ i wynik z a) razy $3$ . Uwaga: $ln (x^{3})$ to nie to samo co $ln^{3} x = (ln x)^{3}$ .

Za $u$ weź $ln (x^{3})$ , za $v^{'}$ — jedynkę.
$u (x) = ln (x^{3}), v^{'} (x) = 1$
$u (x) v^{'} (x) = ln (x^{3}) = 1$
Dlaczego?
Jak w a): sam logarytm, więc cały idzie do $u$ , a $v^{'} = 1$ . Krócej: $ln (x^{3}) = 3 ln x$ , a $\int ln x d x$ to Zad. 3 a). Wynik wyjdzie ten sam.
pomocniczoPolicz $u^{'}$ (pochodna $u$ ) i $v$ (całka z $v^{'}$ ). Zapisz wszystkie cztery kawałki ramki.
$u (x) = ln (x^{3}) v^{'} (x) = 1 u^{'} (x) = \frac{3 x ^{2}}{x ^{3}} = \frac{3}{x} v (x) = x$
$u (x) = ln (x^{3}) u^{'} (x) = \frac{3 x ^{2}}{x ^{3}} = \frac{3}{x} v^{'} (x) = 1 v (x) = x$
Na kartce: $u^{'} (x) = (ln (x^{3}))^{'} = \frac{1}{x ^{3}} \cdot 3 x^{2} = \frac{3}{x}$ $v (x) = \int 1 d x = x$
Wstaw do wzoru: $u \cdot v$ minus całka z $u^{'} \cdot v$ .
$\int ln (x^{3}) d x = x ln (x^{3}) - \int \frac{3}{x} \cdot x d x = x ln (x^{3}) - 3 \int d x$
$\int ln (x^{3}) d x = x ln (x^{3}) - \int \frac{3}{x} \cdot x d x = x ln (x^{3}) - 3 \int d x$
Na kartce: $\frac{3}{x} \cdot x = 3$
Policz $3 \int d x = 3 x$ (wzór 2) i uprość: $ln (x^{3}) = 3 ln x$ . Znika ostatni znak całki — dopisz $+ C$ .
$= x ln (x^{3}) - 3 x + C = 3 x ln x - 3 x + C$
$= x ln (x^{3}) - 3 x + C = 3 x ln x - 3 x + C$

Zad. 3 c)

\int x ln x d x

Plan — co zrobimy i po co

Cel: całka, czyli rodzina funkcji, których pochodna to funkcja spod całki. Jak d): $ln$ do $u$ , a $x = x^{\frac{1}{2}}$ do $v^{'}$ .

Za $u$ weź $ln x$ , za $v^{'}$ — $x = x^{\frac{1}{2}}$ .
$u (x) = ln x, v^{'} (x) = x^{\frac{1}{2}}$
$u (x) v^{'} (x) = ln x = x^{\frac{1}{2}}$
Dlaczego?
$ln$ razy potęga $x^{n}$ ( $n \neq = - 1$ , tu $n = \frac{1}{2}$ ) — $ln$ do $u$ . Jego pochodna $\frac{1}{x}$ skróci się potem z potęgą.
pomocniczoPolicz $u^{'}$ (pochodna $u$ ) i $v$ (całka z $v^{'}$ ). Zapisz wszystkie cztery kawałki ramki. $v$ ze wzoru 3.
$u (x) = ln x v^{'} (x) = x^{\frac{1}{2}} u^{'} (x) = \frac{1}{x} v (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$
$u (x) = ln x u^{'} (x) = \frac{1}{x} v^{'} (x) = x^{\frac{1}{2}} v (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$
Na kartce: $u^{'} (x) = (ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ $v (x) = \int x^{\frac{1}{2}} d x = \frac{x ^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$
Wstaw do wzoru: $u \cdot v$ minus całka z $u^{'} \cdot v$ .
$\int x ln x d x = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} ln x - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} d x = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} ln x - \frac{2}{3} \int x^{\frac{1}{2}} d x$
$\int x ln x d x = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} ln x - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} d x = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} ln x - \frac{2}{3} \int x^{\frac{1}{2}} d x$
Na kartce: $\frac{x ^{\frac{3}{2}}}{x} = x^{\frac{3}{2} - 1} = x^{\frac{1}{2}}$
Nowa całka — znowu wzór 3. Znika ostatni znak całki — dopisz $+ C$ .
$= \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} ln x - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} ln x - \frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}} + C$
$= \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} ln x - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} ln x - \frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}} + C$
Potęgę $x^{\frac{3}{2}}$ zapisz z pierwiastkiem.
$= \frac{2}{3} x x ln x - \frac{4}{9} x x + C$
Na kartce: $x^{\frac{3}{2}} = x \cdot x^{\frac{1}{2}} = x x$

Zad. 3 j)

\int x^{2} ln 2 x d x

Plan — co zrobimy i po co

Cel: całka, czyli rodzina funkcji, których pochodna to funkcja spod całki. Jak d), tylko pod logarytmem $2 x$ : $u^{'}$ regułą funkcji złożonej wychodzi znowu $\frac{1}{x}$ .

Za $u$ weź $ln 2 x$ , za $v^{'}$ — $x^{2}$ .
$u (x) = ln 2 x, v^{'} (x) = x^{2}$
$u (x) v^{'} (x) = ln 2 x = x^{2}$
Dlaczego?
$ln$ razy potęga $x^{n}$ ( $n \neq = - 1$ ) — $ln$ do $u$ . To, że pod logarytmem stoi $2 x$ , a nie $x$ , nic nie zmienia.
pomocniczoPolicz $u^{'}$ i $v$ . $u^{'}$ regułą funkcji złożonej: $\frac{1}{2 x}$ razy pochodna środka $2$ .
$u (x) = ln 2 x v^{'} (x) = x^{2} u^{'} (x) = \frac{1}{2 x} \cdot 2 = \frac{1}{x} v (x) = \frac{x ^{3}}{3}$
$u (x) = ln 2 x u^{'} (x) = \frac{1}{2 x} \cdot 2 = \frac{1}{x} v^{'} (x) = x^{2} v (x) = \frac{x ^{3}}{3}$
Na kartce: $u^{'} (x) = (ln 2 x)^{'} = \frac{1}{2 x} \cdot 2 = \frac{1}{x}$ $v (x) = \int x^{2} d x = \frac{x ^{3}}{3}$
Wstaw do wzoru: $u \cdot v$ minus całka z $u^{'} \cdot v$ .
$\int x^{2} ln 2 x d x = \frac{x ^{3}}{3} ln 2 x - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{x ^{3}}{3} d x = \frac{x ^{3}}{3} ln 2 x - \frac{1}{3} \int x^{2} d x$
$\int x^{2} ln 2 x d x = \frac{x ^{3}}{3} ln 2 x - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{x ^{3}}{3} d x = \frac{x ^{3}}{3} ln 2 x - \frac{1}{3} \int x^{2} d x$
Na kartce: $\frac{1}{x} \cdot \frac{x ^{3}}{3} = \frac{x ^{3}}{3 x} = \frac{x ^{2}}{3} = \frac{1}{3} x^{2}$
Nowa całka wzorem 3. Znika ostatni znak całki — dopisz $+ C$ .
$= \frac{x ^{3}}{3} ln 2 x - \frac{x ^{3}}{9} + C$

Zad. 3 m)

\int \frac{l n ( l n x )}{x} d x

Plan — co zrobimy i po co

Cel: całka, czyli rodzina funkcji, których pochodna to funkcja spod całki. Polecenie każe liczyć przez części, choć obok $ln x$ stoi jego pochodna $\frac{1}{x}$ . Logarytm z logarytmu do $u$ , a $\frac{1}{x}$ do $v^{'}$ . Wtedy $v = ln x$ — bez kresek, bo $ln (ln x)$ istnieje tylko dla $x > 1$ , a tam $ln ∣ x ∣ = ln x$ . Inna droga: podstawienie $t = ln x$ daje $\int ln t d t$ , czyli całkę z Zad. 3 a).

Polecenie każe liczyć przez części, choć obok $ln x$ stoi $\frac{1}{x}$ . Za $u$ weź $ln (ln x)$ , za $v^{'}$ — $\frac{1}{x}$ .
$u (x) = ln (ln x), v^{'} (x) = \frac{1}{x}$
$u (x) v^{'} (x) = ln (ln x) = \frac{1}{x}$
Dlaczego?
Całki z $ln (ln x)$ nie ma we wzorach, a pochodną policzysz. $\frac{1}{x}$ scałkujesz wzorem 6. Pomaga też podstawienie $t = ln x$ : zostaje $\int ln t d t$ . Tej całki nie ma w tabeli — to Zad. 3 a), liczone przez części. Obie drogi dają ten sam wynik.
pomocniczoPolicz $u^{'}$ (pochodna $u$ ) i $v$ (całka z $v^{'}$ ). Zapisz wszystkie cztery kawałki ramki.
$u (x) = ln (ln x) v^{'} (x) = \frac{1}{x} u^{'} (x) = \frac{1}{l n x} \cdot \frac{1}{x} v (x) = ln x$
$u (x) = ln (ln x) u^{'} (x) = \frac{1}{l n x} \cdot \frac{1}{x} v^{'} (x) = \frac{1}{x} v (x) = ln x$
Na kartce: $u^{'} (x) = (ln (ln x))^{'} = \frac{1}{l n x} \cdot \frac{1}{x}$ $v (x) = \int \frac{1}{x} d x = ln x$
Dlaczego?
$v = ln x$ bez kresek wartości bezwzględnej, bo $ln (ln x)$ istnieje tylko dla $x > 1$ , a wtedy $ln ∣ x ∣ = ln x$ .
Wstaw do wzoru: $u \cdot v$ minus całka z $u^{'} \cdot v$ .
$\int \frac{ln ( ln x )}{x} d x = ln x \cdot ln (ln x) - \int \frac{1}{x ln x} \cdot ln x d x = ln x \cdot ln (ln x) - \int \frac{1}{x} d x$
$\int \frac{ln ( ln x )}{x} d x = ln x \cdot ln (ln x) - \int \frac{1}{x ln x} \cdot ln x d x = ln x \cdot ln (ln x) - \int \frac{1}{x} d x$
Dlaczego?
$ln x$ w liczniku i mianowniku się skraca.
Nowa całka wzorem 6. Znika ostatni znak całki — dopisz $+ C$ .
$= ln x \cdot ln (ln x) - ln x + C$

Zad. 3 e)

\int x ln^{2} x d x

Plan — co zrobimy i po co

Cel: całka, czyli rodzina funkcji, których pochodna to funkcja spod całki. Dwa razy przez części: najpierw $u = ln^{2} x$ , potem w nowej całce $u = ln x$ . Nową całkę liczymy z boku, bez $C$ .

Za $u$ weź $ln^{2} x$ , za $v^{'}$ — $x$ .
$u (x) = ln^{2} x, v^{'} (x) = x$
$u (x) v^{'} (x) = ln^{2} x = x$
Dlaczego?
$ln$ razy potęga $x^{n}$ ( $n \neq = - 1$ ) — $ln$ do $u$ . Tu logarytm jest w kwadracie, więc przez części liczysz dwa razy.
pomocniczoPolicz $u^{'}$ (pochodna $u$ ) i $v$ (całka z $v^{'}$ ). Zapisz wszystkie cztery kawałki ramki.
$u (x) = ln^{2} x v^{'} (x) = x u^{'} (x) = \frac{2 l n x}{x} v (x) = \frac{x ^{2}}{2}$
$u (x) = ln^{2} x u^{'} (x) = \frac{2 l n x}{x} v^{'} (x) = x v (x) = \frac{x ^{2}}{2}$
Na kartce: $u^{'} (x) = (ln^{2} x)^{'} = \frac{2 l n x}{x}$ $v (x) = \int x d x = \frac{x ^{2}}{2}$
Wstaw do wzoru: $u \cdot v$ minus całka z $u^{'} \cdot v$ .
$\int x ln^{2} x d x = \frac{x ^{2}}{2} ln^{2} x - \int \frac{2 ln x}{x} \cdot \frac{x ^{2}}{2} d x = \frac{x ^{2}}{2} ln^{2} x - \int x ln x d x$
$\int x ln^{2} x d x = \frac{x ^{2}}{2} ln^{2} x - \int \frac{2 ln x}{x} \cdot \frac{x ^{2}}{2} d x = \frac{x ^{2}}{2} ln^{2} x - \int x ln x d x$
Na kartce: $\frac{2 l n x}{x} \cdot \frac{x ^{2}}{2} = \frac{2}{2} \cdot \frac{x ^{2}}{x} \cdot ln x = x ln x$
pomocniczoNowa całka $\int x ln x d x$ — drugi raz przez części, teraz $u = ln x$ , $v^{'} = x$ . Zapisz nową ramkę.
$u (x) = ln x v^{'} (x) = x u^{'} (x) = \frac{1}{x} v (x) = \frac{x ^{2}}{2}$
$u (x) = ln x u^{'} (x) = \frac{1}{x} v^{'} (x) = x v (x) = \frac{x ^{2}}{2}$
Na kartce: $u^{'} (x) = (ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ $v (x) = \int x d x = \frac{x ^{2}}{2}$
Z boku (bez $C$ ): wstaw do wzoru i policz nową całkę do końca.
$\int x ln x d x = \frac{x ^{2}}{2} ln x - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{x ^{2}}{2} d x = \frac{x ^{2}}{2} ln x - \frac{1}{2} \int x d x = \frac{x ^{2}}{2} ln x - \frac{x ^{2}}{4}$
$\int x ln x d x = \frac{x ^{2}}{2} ln x - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{x ^{2}}{2} d x = \frac{x ^{2}}{2} ln x - \frac{1}{2} \int x d x = \frac{x ^{2}}{2} ln x - \frac{x ^{2}}{4}$
Na kartce: $\frac{1}{x} \cdot \frac{x ^{2}}{2} = \frac{x}{2}$ $\frac{1}{2} \int x d x = \frac{1}{2} \cdot \frac{x ^{2}}{2} = \frac{x ^{2}}{4}$
Dlaczego?
Nową całkę liczoną z boku (pomocniczo) piszesz bez $C$ — stała pojawia się raz, w głównym rachunku, gdy znika w nim ostatni znak całki.
Wstaw wynik do głównego rachunku. Znika ostatni znak całki — dopisz $+ C$ .
$\int x ln^{2} x d x = \frac{x ^{2}}{2} ln^{2} x - (\frac{x ^{2}}{2} ln x - \frac{x ^{2}}{4}) + C$
$\int x ln^{2} x d x = \frac{x ^{2}}{2} ln^{2} x - (\frac{x ^{2}}{2} ln x - \frac{x ^{2}}{4}) + C$
Opuść nawias. Uwaga na minus przed nawiasem: zmienia znaki w środku.
$= \frac{x ^{2}}{2} ln^{2} x - \frac{x ^{2}}{2} ln x + \frac{x ^{2}}{4} + C$

Zad. 3 n)

\int (x^{2} + 1) e^{- 2 x} d x

Plan — co zrobimy i po co

Cel: całka, czyli rodzina funkcji, których pochodna to funkcja spod całki. Wielomian stopnia $2$ razy $e^{- 2 x}$ — dwa razy przez części, za każdym razem wielomian traci stopień. $v$ liczymy z boku podstawieniem $t = - 2 x$ , jak w Zad. 3 k). Nową całkę też liczymy z boku, bez $C$ .

Za $u$ weź wielomian $x^{2} + 1$ , za $v^{'}$ — $e^{- 2 x}$ .
$u (x) = x^{2} + 1, v^{'} (x) = e^{- 2 x}$
$u (x) v^{'} (x) = x^{2} + 1 = e^{- 2 x}$
Dlaczego?
Wielomian razy $e^{k x}$ ( $k \neq = 0$ ) — wielomian do $u$ . Po każdej pochodnej traci stopień, więc przez części liczysz dwa razy.
pomocniczoZ boku policz $v$ , czyli całkę z $e^{- 2 x}$ — podstawieniem $t = - 2 x$ , jak w Zad. 3 k). Bez $C$ : $\int e^{- 2 x} d x = - \frac{1}{2} \int e^{t} d t = - \frac{1}{2} e^{- 2 x}$ .
$t d t = - 2 x = - 2 d x \Rightarrow d x = - \frac{1}{2} d t$
$t d t \Rightarrow d x = - 2 x = - 2 d x = - \frac{1}{2} d t$
Na kartce: $(- 2 x)^{'} = - 2$
Dlaczego?
Skrót (nie ze slajdu): $\int e^{k x} d x = \frac{1}{k} e^{k x} + C$ dla $k \neq = 0$ , tu $k = - 2$ . Na kolokwium pokaż to podstawienie.
pomocniczoPolicz $u^{'}$ (pochodna $u$ ) i $v$ (całka z $v^{'}$ ). Zapisz wszystkie cztery kawałki ramki. $v$ — z rachunku wyżej.
$u (x) = x^{2} + 1 v^{'} (x) = e^{- 2 x} u^{'} (x) = 2 x v (x) = - \frac{1}{2} e^{- 2 x}$
$u (x) = x^{2} + 1 u^{'} (x) = 2 x v^{'} (x) = e^{- 2 x} v (x) = - \frac{1}{2} e^{- 2 x}$
Na kartce: $u^{'} (x) = (x^{2} + 1)^{'} = 2 x$ $v (x) = \int e^{- 2 x} d x = - \frac{1}{2} e^{- 2 x}$
Wstaw do wzoru: $u \cdot v$ minus całka z $u^{'} \cdot v$ .
$\int (x^{2} + 1) e^{- 2 x} d x = - \frac{1}{2} (x^{2} + 1) e^{- 2 x} - \int 2 x \cdot (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) d x = - \frac{1}{2} (x^{2} + 1) e^{- 2 x} + \int x e^{- 2 x} d x$
$\int (x^{2} + 1) e^{- 2 x} d x = - \frac{1}{2} (x^{2} + 1) e^{- 2 x} - \int 2 x \cdot (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) d x = - \frac{1}{2} (x^{2} + 1) e^{- 2 x} + \int x e^{- 2 x} d x$
Dlaczego?
Minus razy minus daje plus, a $2 x \cdot \frac{1}{2} = x$ .
pomocniczoNowa całka $\int x e^{- 2 x} d x$ — drugi raz przez części, teraz $u = x$ , $v^{'} = e^{- 2 x}$ . Zapisz nową ramkę: $v$ jest takie samo jak w pierwszej.
$u (x) = x v^{'} (x) = e^{- 2 x} u^{'} (x) = 1 v (x) = - \frac{1}{2} e^{- 2 x}$
$u (x) = x u^{'} (x) = 1 v^{'} (x) = e^{- 2 x} v (x) = - \frac{1}{2} e^{- 2 x}$
Na kartce: $u^{'} (x) = (x)^{'} = 1$
Z boku (bez $C$ ): wstaw do wzoru i policz nową całkę do końca. Całka z $e^{- 2 x}$ — jak przy liczeniu $v$ .
$\int x e^{- 2 x} d x = - \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \int 1 \cdot (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) d x = - \frac{1}{2} x e^{- 2 x} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x = - \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{- 2 x}$
$\int x e^{- 2 x} d x = - \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \int 1 \cdot (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) d x = - \frac{1}{2} x e^{- 2 x} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x = - \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{- 2 x}$
Na kartce: $\frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) = - \frac{1}{4} e^{- 2 x}$
Dlaczego?
Minus razy minus daje plus. Nową całkę liczoną z boku (pomocniczo) piszesz bez $C$ — stała pojawia się raz, w głównym rachunku, gdy znika w nim ostatni znak całki.
Wstaw wynik do głównego rachunku. Znika ostatni znak całki — dopisz $+ C$ .
$\int (x^{2} + 1) e^{- 2 x} d x = - \frac{1}{2} (x^{2} + 1) e^{- 2 x} - \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$
$\int (x^{2} + 1) e^{- 2 x} d x = - \frac{1}{2} (x^{2} + 1) e^{- 2 x} - \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$
Wyłącz $- \frac{1}{4} e^{- 2 x}$ przed nawias.
$= - \frac{1}{4} e^{- 2 x} (2 x^{2} + 2 x + 3) + C$
Na kartce: $- \frac{1}{2} (x^{2} + 1) = - \frac{1}{4} (2 x^{2} + 2)$ $- \frac{1}{2} x = - \frac{1}{4} \cdot 2 x$ $- \frac{1}{4} = - \frac{1}{4} \cdot 1$ $2 x^{2} + 2 + 2 x + 1 = 2 x^{2} + 2 x + 3$

Zad. 3 f)

\int \frac{l n ^{2} x}{x ^{5}} d x

Plan — co zrobimy i po co

Cel: całka, czyli rodzina funkcji, których pochodna to funkcja spod całki. Jak e), tylko $v^{'} = \frac{1}{x ^{5}} = x^{- 5}$ . Dwa razy przez części.

Za $u$ weź $ln^{2} x$ , za $v^{'}$ — $\frac{1}{x ^{5}} = x^{- 5}$ .
$u (x) = ln^{2} x, v^{'} (x) = x^{- 5}$
$u (x) v^{'} (x) = ln^{2} x = x^{- 5}$
Dlaczego?
Jak w e): $ln$ do $u$ , potęga $x$ do $v^{'}$ . Logarytm jest w kwadracie, więc przez części liczysz dwa razy.
pomocniczoPolicz $u^{'}$ (pochodna $u$ ) i $v$ (całka z $v^{'}$ ). Zapisz wszystkie cztery kawałki ramki.
$u (x) = ln^{2} x v^{'} (x) = x^{- 5} u^{'} (x) = \frac{2 l n x}{x} v (x) = - \frac{1}{4 x ^{4}}$
$u (x) = ln^{2} x u^{'} (x) = \frac{2 l n x}{x} v^{'} (x) = x^{- 5} v (x) = - \frac{1}{4 x ^{4}}$
Na kartce: $u^{'} (x) = (ln^{2} x)^{'} = \frac{2 l n x}{x}$ $v (x) = \int x^{- 5} d x = \frac{x ^{- 4}}{- 4} = - \frac{1}{4 x ^{4}}$
Wstaw do wzoru: $u \cdot v$ minus całka z $u^{'} \cdot v$ .
$\int \frac{ln ^{2} x}{x ^{5}} d x = - \frac{ln ^{2} x}{4 x ^{4}} - \int \frac{2 ln x}{x} \cdot (- \frac{1}{4 x ^{4}}) d x = - \frac{ln ^{2} x}{4 x ^{4}} + \frac{1}{2} \int \frac{ln x}{x ^{5}} d x$
$\int \frac{ln ^{2} x}{x ^{5}} d x = - \frac{ln ^{2} x}{4 x ^{4}} - \int \frac{2 ln x}{x} \cdot (- \frac{1}{4 x ^{4}}) d x = - \frac{ln ^{2} x}{4 x ^{4}} + \frac{1}{2} \int \frac{ln x}{x ^{5}} d x$
Dlaczego?
Minus razy minus: $- \int \dots \cdot (- \frac{1}{4})$ daje $+ \frac{1}{4} \cdot 2 = + \frac{1}{2}$ .
pomocniczoNowa całka $\int \frac{l n x}{x ^{5}} d x$ — drugi raz przez części, teraz $u = ln x$ , $v^{'} = x^{- 5}$ . Zapisz nową ramkę.
$u (x) = ln x v^{'} (x) = x^{- 5} u^{'} (x) = \frac{1}{x} v (x) = - \frac{1}{4 x ^{4}}$
$u (x) = ln x u^{'} (x) = \frac{1}{x} v^{'} (x) = x^{- 5} v (x) = - \frac{1}{4 x ^{4}}$
Na kartce: $u^{'} (x) = (ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ $v (x) = \int x^{- 5} d x = - \frac{1}{4 x ^{4}}$
Z boku (bez $C$ ): wstaw do wzoru i policz nową całkę do końca.
$\int \frac{ln x}{x ^{5}} d x = - \frac{ln x}{4 x ^{4}} - \int \frac{1}{x} \cdot (- \frac{1}{4 x ^{4}}) d x = - \frac{ln x}{4 x ^{4}} + \frac{1}{4} \int x^{- 5} d x = - \frac{ln x}{4 x ^{4}} - \frac{1}{16 x ^{4}}$
$\int \frac{ln x}{x ^{5}} d x = - \frac{ln x}{4 x ^{4}} - \int \frac{1}{x} \cdot (- \frac{1}{4 x ^{4}}) d x = - \frac{ln x}{4 x ^{4}} + \frac{1}{4} \int x^{- 5} d x = - \frac{ln x}{4 x ^{4}} - \frac{1}{16 x ^{4}}$
Na kartce: $\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{4 x ^{4}} = \frac{1}{4} x^{- 5}$ $\frac{1}{4} \cdot (- \frac{1}{4 x ^{4}}) = - \frac{1}{16 x ^{4}}$
Dlaczego?
Minus razy minus daje plus: $- \int \frac{1}{x} \cdot (- \frac{1}{4 x ^{4}}) d x = + \frac{1}{4} \int x^{- 5} d x$ . Nową całkę liczoną z boku (pomocniczo) piszesz bez $C$ — stała pojawia się raz, w głównym rachunku, gdy znika w nim ostatni znak całki.
Wstaw wynik do głównego rachunku. Znika ostatni znak całki — dopisz $+ C$ .
$\int \frac{ln ^{2} x}{x ^{5}} d x = - \frac{ln ^{2} x}{4 x ^{4}} + \frac{1}{2} (- \frac{ln x}{4 x ^{4}} - \frac{1}{16 x ^{4}}) + C$
$\int \frac{ln ^{2} x}{x ^{5}} d x = - \frac{ln ^{2} x}{4 x ^{4}} + \frac{1}{2} (- \frac{ln x}{4 x ^{4}} - \frac{1}{16 x ^{4}}) + C$
Wymnóż nawias przez $\frac{1}{2}$ .
$= - \frac{ln ^{2} x}{4 x ^{4}} - \frac{ln x}{8 x ^{4}} - \frac{1}{32 x ^{4}} + C$

Zad. 3 g)

\int \frac{l n ^{2} x}{x ^{3}} d x

Plan — co zrobimy i po co

Cel: całka, czyli rodzina funkcji, których pochodna to funkcja spod całki. Jak f), z $v^{'} = x^{- \frac{3}{2}}$ . Dwa razy przez części.

Za $u$ weź $ln^{2} x$ , za $v^{'}$ — $\frac{1}{x ^{3}} = x^{- \frac{3}{2}}$ .
$u (x) = ln^{2} x, v^{'} (x) = x^{- \frac{3}{2}}$
$u (x) v^{'} (x) = ln^{2} x = x^{- \frac{3}{2}}$
Dlaczego?
Jak w e) i f): $ln$ do $u$ , potęga $x$ do $v^{'}$ . Logarytm jest w kwadracie, więc przez części liczysz dwa razy.
pomocniczoPolicz $u^{'}$ (pochodna $u$ ) i $v$ (całka z $v^{'}$ ). Zapisz wszystkie cztery kawałki ramki.
$u (x) = ln^{2} x v^{'} (x) = x^{- \frac{3}{2}} u^{'} (x) = \frac{2 l n x}{x} v (x) = - 2 x^{- \frac{1}{2}}$
$u (x) = ln^{2} x u^{'} (x) = \frac{2 l n x}{x} v^{'} (x) = x^{- \frac{3}{2}} v (x) = - 2 x^{- \frac{1}{2}}$
Na kartce: $u^{'} (x) = (ln^{2} x)^{'} = \frac{2 l n x}{x}$ $v (x) = \int x^{- \frac{3}{2}} d x = \frac{x ^{- \frac{1}{2}}}{- \frac{1}{2}} = - 2 x^{- \frac{1}{2}}$
Wstaw do wzoru: $u \cdot v$ minus całka z $u^{'} \cdot v$ .
$\int \frac{ln ^{2} x}{x ^{3}} d x = - 2 x^{- \frac{1}{2}} ln^{2} x - \int \frac{2 ln x}{x} \cdot (- 2 x^{- \frac{1}{2}}) d x = - 2 x^{- \frac{1}{2}} ln^{2} x + 4 \int x^{- \frac{3}{2}} ln x d x$
$\int \frac{ln ^{2} x}{x ^{3}} d x = - 2 x^{- \frac{1}{2}} ln^{2} x - \int \frac{2 ln x}{x} \cdot (- 2 x^{- \frac{1}{2}}) d x = - 2 x^{- \frac{1}{2}} ln^{2} x + 4 \int x^{- \frac{3}{2}} ln x d x$
Na kartce: $\frac{x ^{- \frac{1}{2}}}{x} = x^{- \frac{3}{2}}$
pomocniczoNowa całka $\int x^{- \frac{3}{2}} ln x d x$ — drugi raz przez części, teraz $u = ln x$ , $v^{'} = x^{- \frac{3}{2}}$ . Zapisz nową ramkę.
$u (x) = ln x v^{'} (x) = x^{- \frac{3}{2}} u^{'} (x) = \frac{1}{x} v (x) = - 2 x^{- \frac{1}{2}}$
$u (x) = ln x u^{'} (x) = \frac{1}{x} v^{'} (x) = x^{- \frac{3}{2}} v (x) = - 2 x^{- \frac{1}{2}}$
Na kartce: $u^{'} (x) = (ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ $v (x) = \int x^{- \frac{3}{2}} d x = - 2 x^{- \frac{1}{2}}$
Z boku (bez $C$ ): wstaw do wzoru i policz nową całkę do końca.
$\int x^{- \frac{3}{2}} ln x d x = - 2 x^{- \frac{1}{2}} ln x - \int \frac{1}{x} \cdot (- 2 x^{- \frac{1}{2}}) d x = - 2 x^{- \frac{1}{2}} ln x + 2 \int x^{- \frac{3}{2}} d x = - 2 x^{- \frac{1}{2}} ln x - 4 x^{- \frac{1}{2}}$
$\int x^{- \frac{3}{2}} ln x d x = - 2 x^{- \frac{1}{2}} ln x - \int \frac{1}{x} \cdot (- 2 x^{- \frac{1}{2}}) d x = - 2 x^{- \frac{1}{2}} ln x + 2 \int x^{- \frac{3}{2}} d x = - 2 x^{- \frac{1}{2}} ln x - 4 x^{- \frac{1}{2}}$
Na kartce: $\frac{x ^{- \frac{1}{2}}}{x} = x^{- \frac{3}{2}}$ $2 \cdot (- 2 x^{- \frac{1}{2}}) = - 4 x^{- \frac{1}{2}}$
Dlaczego?
Minus razy minus daje plus: $- \int \frac{1}{x} \cdot (- 2 x^{- \frac{1}{2}}) d x = + 2 \int x^{- \frac{3}{2}} d x$ . Nową całkę liczoną z boku (pomocniczo) piszesz bez $C$ — stała pojawia się raz, w głównym rachunku, gdy znika w nim ostatni znak całki.
Wstaw wynik do głównego rachunku. Znika ostatni znak całki — dopisz $+ C$ .
$\int \frac{ln ^{2} x}{x ^{3}} d x = - 2 x^{- \frac{1}{2}} ln^{2} x + 4 (- 2 x^{- \frac{1}{2}} ln x - 4 x^{- \frac{1}{2}}) + C$
$\int \frac{ln ^{2} x}{x ^{3}} d x = - 2 x^{- \frac{1}{2}} ln^{2} x + 4 (- 2 x^{- \frac{1}{2}} ln x - 4 x^{- \frac{1}{2}}) + C$
Wymnóż nawias przez $4$ , zapisz $x^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{x}$ i sprowadź do wspólnego mianownika.
$= - \frac{2 ln ^{2} x}{x} - \frac{8 ln x}{x} - \frac{16}{x} + C = - \frac{2 ln ^{2} x + 8 ln x + 16}{x} + C$
$= - \frac{2 ln ^{2} x}{x} - \frac{8 ln x}{x} - \frac{16}{x} + C = - \frac{2 ln ^{2} x + 8 ln x + 16}{x} + C$

Zad. 3 i)

\int x^{4} (1 + x)^{3} d x

Plan — co zrobimy i po co

Cel: całka, czyli rodzina funkcji, których pochodna to funkcja spod całki. Dwa wielomiany: $u = (1 + x)^{3}$ , $v^{'} = x^{4}$ . Po trzech pochodnych z nawiasu zostaje liczba, więc liczymy przez części trzy razy. Na końcu wynik się skraca. Bez polecenia „przez części” prościej byłoby wymnożyć.

Za $u$ weź $(1 + x)^{3}$ , za $v^{'}$ — $x^{4}$ .
$u (x) = (1 + x)^{3}, v^{'} (x) = x^{4}$
$u (x) v^{'} (x) = (1 + x)^{3} = x^{4}$
Dlaczego?
Oba czynniki to wielomiany. Do $u$ bierzesz ten, który szybciej zamieni się w liczbę: $(1 + x)^{3}$ po trzech pochodnych, $x^{4}$ dopiero po czterech. Każde przejście przez części obniża stopień $u$ o $1$ .
pomocniczoPolicz $u^{'}$ (pochodna $u$ ) i $v$ (całka z $v^{'}$ ). Zapisz wszystkie cztery kawałki ramki.
$u (x) = (1 + x)^{3} v^{'} (x) = x^{4} u^{'} (x) = 3 (1 + x)^{2} v (x) = \frac{x ^{5}}{5}$
$u (x) = (1 + x)^{3} u^{'} (x) = 3 (1 + x)^{2} v^{'} (x) = x^{4} v (x) = \frac{x ^{5}}{5}$
Na kartce: $u^{'} (x) = ((1 + x)^{3})^{'} = 3 (1 + x)^{2}$ $v (x) = \int x^{4} d x = \frac{x ^{5}}{5}$
Wstaw do wzoru: $u \cdot v$ minus całka z $u^{'} \cdot v$ .
$\int x^{4} (1 + x)^{3} d x = \frac{x ^{5}}{5} (1 + x)^{3} - \int 3 (1 + x)^{2} \cdot \frac{x ^{5}}{5} d x = \frac{x ^{5}}{5} (1 + x)^{3} - \frac{3}{5} \int x^{5} (1 + x)^{2} d x$
$\int x^{4} (1 + x)^{3} d x = \frac{x ^{5}}{5} (1 + x)^{3} - \int 3 (1 + x)^{2} \cdot \frac{x ^{5}}{5} d x = \frac{x ^{5}}{5} (1 + x)^{3} - \frac{3}{5} \int x^{5} (1 + x)^{2} d x$
Na kartce: $3 \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$
pomocniczoNowa całka $\int x^{5} (1 + x)^{2} d x$ — drugi raz przez części, teraz $u = (1 + x)^{2}$ , $v^{'} = x^{5}$ . Zapisz nową ramkę.
$u (x) = (1 + x)^{2} v^{'} (x) = x^{5} u^{'} (x) = 2 (1 + x) v (x) = \frac{x ^{6}}{6}$
$u (x) = (1 + x)^{2} u^{'} (x) = 2 (1 + x) v^{'} (x) = x^{5} v (x) = \frac{x ^{6}}{6}$
Na kartce: $u^{'} (x) = ((1 + x)^{2})^{'} = 2 (1 + x)$ $v (x) = \int x^{5} d x = \frac{x ^{6}}{6}$
Z boku (bez $C$ ): wstaw do wzoru. Zostaje jeszcze jedna nowa całka.
$\int x^{5} (1 + x)^{2} d x = \frac{x ^{6}}{6} (1 + x)^{2} - \int 2 (1 + x) \cdot \frac{x ^{6}}{6} d x = \frac{x ^{6}}{6} (1 + x)^{2} - \frac{1}{3} \int x^{6} (1 + x) d x$
$\int x^{5} (1 + x)^{2} d x = \frac{x ^{6}}{6} (1 + x)^{2} - \int 2 (1 + x) \cdot \frac{x ^{6}}{6} d x = \frac{x ^{6}}{6} (1 + x)^{2} - \frac{1}{3} \int x^{6} (1 + x) d x$
Na kartce: $2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$
Dlaczego?
Nową całkę liczoną z boku (pomocniczo) piszesz bez $C$ — stała pojawia się raz, w głównym rachunku, gdy znika w nim ostatni znak całki.
pomocniczoNowa całka $\int x^{6} (1 + x) d x$ — trzeci raz przez części, teraz $u = 1 + x$ , $v^{'} = x^{6}$ . Zapisz nową ramkę.
$u (x) = 1 + x v^{'} (x) = x^{6} u^{'} (x) = 1 v (x) = \frac{x ^{7}}{7}$
$u (x) = 1 + x u^{'} (x) = 1 v^{'} (x) = x^{6} v (x) = \frac{x ^{7}}{7}$
Na kartce: $u^{'} (x) = (1 + x)^{'} = 1$ $v (x) = \int x^{6} d x = \frac{x ^{7}}{7}$
Z boku (bez $C$ ): wstaw do wzoru i policz ostatnią całkę wzorem 3.
$\int x^{6} (1 + x) d x = \frac{x ^{7}}{7} (1 + x) - \int 1 \cdot \frac{x ^{7}}{7} d x = \frac{x ^{7}}{7} (1 + x) - \frac{x ^{8}}{56}$
$\int x^{6} (1 + x) d x = \frac{x ^{7}}{7} (1 + x) - \int 1 \cdot \frac{x ^{7}}{7} d x = \frac{x ^{7}}{7} (1 + x) - \frac{x ^{8}}{56}$
Na kartce: $\frac{1}{7} \cdot \frac{x ^{8}}{8} = \frac{x ^{8}}{56}$
Dlaczego?
Nową całkę liczoną z boku (pomocniczo) piszesz bez $C$ — stała pojawia się raz, w głównym rachunku, gdy znika w nim ostatni znak całki.
Wstaw wyniki od końca do głównego rachunku i wymnóż liczby przed nawiasami. Znika ostatni znak całki — dopisz $+ C$ .
$\int x^{4} (1 + x)^{3} d x = \frac{x ^{5} ( 1 + x ) ^{3}}{5} - \frac{x ^{6} ( 1 + x ) ^{2}}{10} + \frac{x ^{7} ( 1 + x )}{35} - \frac{x ^{8}}{280} + C$
$\int x^{4} (1 + x)^{3} d x = \frac{x ^{5} ( 1 + x ) ^{3}}{5} - \frac{x ^{6} ( 1 + x ) ^{2}}{10} + \frac{x ^{7} ( 1 + x )}{35} - \frac{x ^{8}}{280} + C$
Na kartce: $\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{10}$ $\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{35}$ $\frac{1}{35} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{280}$
Nieobowiązkowo: wymnóż nawiasy i zbierz potęgi. Wynik bardzo się skraca.
$= \frac{x ^{5}}{5} + \frac{x ^{6}}{2} + \frac{3 x ^{7}}{7} + \frac{x ^{8}}{8} + C$
Dlaczego?
Ten sam wynik daje droga bez części: $x^{4} (1 + x)^{3} = x^{4} + 3 x^{5} + 3 x^{6} + x^{7}$ , a potem wzór 3 dla każdego składnika. W Zad. 3 polecenie mówi „przez części”, więc pokazujemy tę drogę.

Uwaga — kiedy to nie działa· Iloczyn, przy którym części się nie opłacają

$\int x e^{x^2} \, dx$ to iloczyn. Ale $x$ obok to prawie pochodna wykładnika $x^2$ . Działa podstawianie $t = x^2$ .
W $\int x e^{x^2} \, dx$ przez części się nie opłaca. $v' = e^{x^2}$ nie scałkujesz wzorem. Przy $u = e^{x^2}$ , $v' = x$ nowa całka to $\int x^3 e^{x^2} \, dx$ — trudniejsza.
$\int \frac{\ln x}{x} \, dx$ to iloczyn $\ln x \cdot \frac1x$ . Przy $u = \ln x$ , $v' = \frac1x$ wychodzi $v = \ln x$ . W nowej całce $\int \frac1x \cdot \ln x \, dx$ wraca wyjściowa całka. Podstawienie $t = \ln x$ jest prostsze.
Gdy polecenie nie narzuca metody, przed częściami sprawdź, czy obok „środka” nie stoi jego pochodna.

Którą metodą?

Gdy polecenie nie mówi, jaką metodą liczyć, decydujesz po kształcie funkcji pod całką.

Polecenie na kolokwium· Wybór metody

Oblicz całkę (bez podanej metody).

Elementarne: czy po krótkim przekształceniu zostaje suma klocków z tabeli? Krótkie przekształcenie to: pierwiastki na potęgi, działania na potęgach (mnożenie i dzielenie potęg), rozbicie ułamka, wymnożenie dwóch nawiasów, kwadratu albo sześcianu. Jeśli tak — liczysz wzorami.
Podstawianie: czy po zamianie środka na $t$ zostaje funkcja z tabeli albo suma takich funkcji, a nie iloczyn? Tak jest, gdy obok środka stoi jego pochodna, w której jest $x$ (jak w $\int x(x^2 + 1)^5 \, dx$ ), albo gdy środek jest liniowy, a reszty funkcji nie ma (jak w $\int \sqrt{2x + 9} \, dx$ ) albo po zapisaniu jej przez $t$ zostaje suma potęg $t$ (Zad. 2 k)). Jeśli tak — $t$ = środek.
Przez części: czy to jeden z trzech typów: wielomian razy $e^{kx}$ albo $a^x$ ; logarytm razy potęga $x^n$ ( $n \neq -1$ ); sam logarytm? Jeśli tak — wybierasz $u$ i $v'$ .

Ćwiczenie

Którą metodą policzysz tę całkę?

$\int (x^{3} - 2 x) d x$
$\int x (x^{2} + 1)^{5} d x$
$\int x e^{2 x} d x$
$\int \frac{x ^{2} + 3}{x} d x$
$\int \frac{l n x}{x} d x$
$\int x^{2} ln x d x$
$\int 4 x + 1 d x$
$\int (x + 1) (x - 2) d x$
$\int x \cdot 3^{x} d x$

Wszystkie odpowiedzi z listy

Wyniki wszystkich przykładów z listy w jednym miejscu — do sprawdzenia własnych rachunków. Link przy każdym przykładzie prowadzi do rozwiązania krok po kroku. Twój wynik może wyglądać inaczej i nadal być dobry. Na przykład $\frac13 \sqrt{(2x + 9)^3}$ to to samo co $\frac13 (2x + 9)^{\frac32}$ , a wyniki różniące się o stałą też są dobre.

Zad. 1 — podstawowe wzory

Zad. 1 a) krok po kroku ↑
$\int (x^{4} + x^{8}) d x$
$= \frac{x ^{5}}{5} + \frac{x ^{9}}{9} + C$
Zad. 1 b) krok po kroku ↑
$\int \frac{d x}{4 x ^{5}}$
$= - \frac{4}{4 x} + C$
Zad. 1 c) krok po kroku ↑
$\int \frac{x}{3 x 3 x ^{2}} d x$
$= - \frac{2}{6 x} + C$
Zad. 1 d) krok po kroku ↑
$\int (\frac{2}{x ^{3}} + \frac{1}{x ^{2}} - \frac{1}{x}) d x$
$= - \frac{1}{x ^{2}} - \frac{1}{x} - ln ∣ x ∣ + C$
Zad. 1 e) krok po kroku ↑
$\int (x - 1)^{2} (x - 3) d x$
$= \frac{x ^{4}}{4} - \frac{5 x ^{3}}{3} + \frac{7 x ^{2}}{2} - 3 x + C$
Zad. 1 f) krok po kroku ↑
$\int (2 x - 1)^{3} d x$
$= 2 x^{4} - 4 x^{3} + 3 x^{2} - x + C$
Zad. 1 g) krok po kroku ↑
$\int \frac{x ^{3} - x x + 1}{x} d x$
$= \frac{x ^{3}}{3} - \frac{2}{3} x x + ln ∣ x ∣ + C$
Zad. 1 h) krok po kroku ↑
$\int \frac{4 x + 3 3 x ^{2} + 5 x}{3 x} d x$
$= \frac{12}{11} x^{\frac{11}{12}} + \frac{9}{4} x^{\frac{4}{3}} + \frac{30}{7} x^{\frac{7}{6}} + C$
Zad. 1 i) krok po kroku ↑
$\int (4 e^{x} + \frac{1}{x}) d x$
$= 4 e^{x} + ln ∣ x ∣ + C$
Zad. 1 j) krok po kroku ↑
$\int 5^{x} d x$
$= \frac{5 ^{x}}{ln 5} + C$

Zad. 2 — przez podstawianie

Zad. 2 a) krok po kroku ↑
$\int (x^{2} + 2)^{3} x d x$
$= \frac{( x ^{2} + 2 ) ^{4}}{8} + C$
Zad. 2 b) krok po kroku ↑
$\int (x^{2} + 3)^{8} x d x$
$= \frac{( x ^{2} + 3 ) ^{9}}{18} + C$
Zad. 2 c) krok po kroku ↑
$\int 2 x + 9 d x$
$= \frac{1}{3} (2 x + 9)^{3} + C$
Zad. 2 d) krok po kroku ↑
$\int \frac{x}{x ^{2} + 1} d x$
$= \frac{1}{2} ln (x^{2} + 1) + C$
Zad. 2 e) krok po kroku ↑
$\int \frac{x}{( x ^{2} + 5 ) ^{5}} d x$
$= - \frac{1}{8 ( x ^{2} + 5 ) ^{4}} + C$
Zad. 2 f) krok po kroku ↑
$\int \frac{x ^{2}}{x ^{3} + 3} d x$
$= \frac{1}{3} ln ∣ x^{3} + 3∣ + C$
Zad. 2 g) krok po kroku ↑
$\int \frac{x d x}{3 2 x ^{2} - 1}$
$= \frac{3}{8} 3 (2 x^{2} - 1)^{2} + C$
Zad. 2 h) krok po kroku ↑
$\int x 2 + x^{2} d x$
$= \frac{1}{3} (2 + x^{2})^{3} + C$
Zad. 2 i) krok po kroku ↑
$\int \frac{x}{3 - 5 x ^{2}} d x$
$= - \frac{1}{5} 3 - 5 x^{2} + C$
Zad. 2 j) krok po kroku ↑
$\int \frac{x - 2}{x + 2} d x$
$= \frac{2}{3} (x + 2)^{3} - 8 x + 2 + C$
Zad. 2 k) krok po kroku ↑
$\int \frac{x - 3}{3 x + 3} d x$
$= \frac{3}{5} 3 (x + 3)^{5} - 9 3 (x + 3)^{2} + C$
Zad. 2 l) krok po kroku ↑
$\int \frac{3 x ^{2}}{7 x ^{3} + 5} d x$
$= \frac{7}{6} 7 (x^{3} + 5)^{6} + C$
Zad. 2 m) krok po kroku ↑
$\int \frac{( ln x ) ^{2}}{x} d x$
$= \frac{( ln x ) ^{3}}{3} + C$
Zad. 2 n) krok po kroku ↑
$\int x e^{- x^{2}} d x$
$= - \frac{1}{2} e^{- x^{2}} + C$
Zad. 2 o) krok po kroku ↑
$\int \frac{e ^{x} d x}{2 e ^{x} + 1}$
$= \frac{1}{2} ln (2 e^{x} + 1) + C$
Zad. 2 p) krok po kroku ↑
$\int 7^{1 - x} d x$
$= - \frac{7 ^{1 - x}}{ln 7} + C$
Zad. 2 q) krok po kroku ↑
$\int 5^{2 x + 3} d x$
$= \frac{5 ^{2 x + 3}}{2 ln 5} + C$
Zad. 2 r) krok po kroku ↑
$\int (x + 5)^{999} d x$
$= \frac{( x + 5 ) ^{1000}}{1000} + C$

Zad. 3 — przez części

Zad. 3 a) krok po kroku ↑
$\int ln x d x$
$= x ln x - x + C$
Zad. 3 b) krok po kroku ↑
$\int ln^{2} x d x$
$= x ln^{2} x - 2 x ln x + 2 x + C$
Zad. 3 c) krok po kroku ↑
$\int x ln x d x$
$= \frac{2}{3} x x ln x - \frac{4}{9} x x + C$
Zad. 3 d) krok po kroku ↑
$\int x^{2} ln x d x$
$= \frac{x ^{3}}{3} ln x - \frac{x ^{3}}{9} + C$
Zad. 3 e) krok po kroku ↑
$\int x ln^{2} x d x$
$= \frac{x ^{2}}{2} ln^{2} x - \frac{x ^{2}}{2} ln x + \frac{x ^{2}}{4} + C$
Zad. 3 f) krok po kroku ↑
$\int \frac{ln ^{2} x}{x ^{5}} d x$
$= - \frac{ln ^{2} x}{4 x ^{4}} - \frac{ln x}{8 x ^{4}} - \frac{1}{32 x ^{4}} + C$
Zad. 3 g) krok po kroku ↑
$\int \frac{ln ^{2} x}{x ^{3}} d x$
$= - \frac{2 ln ^{2} x + 8 ln x + 16}{x} + C$
Zad. 3 h) krok po kroku ↑
$\int ln (x^{3}) d x$
$= 3 x ln x - 3 x + C$
Zad. 3 i) krok po kroku ↑
$\int x^{4} (1 + x)^{3} d x$
$= \frac{x ^{5}}{5} + \frac{x ^{6}}{2} + \frac{3 x ^{7}}{7} + \frac{x ^{8}}{8} + C$
Zad. 3 j) krok po kroku ↑
$\int x^{2} ln 2 x d x$
$= \frac{x ^{3}}{3} ln 2 x - \frac{x ^{3}}{9} + C$
Zad. 3 k) krok po kroku ↑
$\int x e^{- 3 x} d x$
$= - \frac{1}{3} x e^{- 3 x} - \frac{1}{9} e^{- 3 x} + C$
Zad. 3 l) krok po kroku ↑
$\int (x + 3) e^{x} d x$
$= (x + 2) e^{x} + C$
Zad. 3 m) krok po kroku ↑
$\int \frac{ln ( ln x )}{x} d x$
$= ln x \cdot ln (ln x) - ln x + C$
Zad. 3 n) krok po kroku ↑
$\int (x^{2} + 1) e^{- 2 x} d x$
$= - \frac{1}{4} e^{- 2 x} (2 x^{2} + 2 x + 3) + C$
Zad. 3 o) krok po kroku ↑
$\int x 4^{x} d x$
$= \frac{4 ^{x}}{ln 4} (x - \frac{1}{ln 4}) + C$

Ściąga przed kolokwium

Funkcja pierwotna

F'(x) = f(x)

. Całka to rodzina wszystkich funkcji pierwotnych:

\int f(x) \, dx = F(x) + C

Zawsze + CDopisujesz w linii głównego rachunku, w której znika ostatni znak całki. Dalej tylko je przepisujesz. Nowa całka liczona z boku — bez

C

. Gdy dwa wyniki różnią się o stałą, oba są dobre.

Wzór 3

\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C

: wykładnik w górę o

1

, przez nowy wykładnik dzielisz. Nie dla

n = -1

Pozostałe wzory

\int 0 \, dx = C

\int dx = x + C

\int e^x \, dx = e^x + C

\int \frac{dx}{x} = \ln \lvert x \rvert + C

dla

x \neq 0

\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C

dla

a > 0

a \neq 1

RegułyLiczba przed całkę (1), każdy składnik osobno (2), ułamek

\frac{f'}{f}

(3). Ogólnej reguły na iloczyn i iloraz nie ma.

Najpierw potęgi

\sqrt{x} = x^{\frac12}

\frac{1}{x^4} = x^{-4}

\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac12}

Podstawianie

t

= środek,

dt

= pochodna środka razy

dx

. Działa, gdy po zamianie zostaje funkcja z tabeli albo suma takich funkcji, a nie iloczyn: obok środka stoi jego pochodna, w której jest

x

, albo środek jest liniowy (

kx + b

), a reszty funkcji nie ma albo po zapisaniu jej przez

t

zostaje suma potęg

t

. Zamień wszystko na

t

, policz, wróć do

x

Reguła 3

\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln \lvert f(x) \rvert + C

, gdy

f(x) \neq 0

. Licznik to pochodna mianownika.

e do kx (nie ze slajdu)

\int e^{kx} \, dx = \frac1k e^{kx} + C

dla

k \neq 0

. Na kolokwium pokaż podstawienie

t = kx

Przez części

\int u v' \, dx = uv - \int u' v \, dx

. Ramka:

u

u'

v'

v

Wybór uNajpierw sprawdź podstawianie: gdy obok środka stoi jego pochodna, w której jest

x

(a nie sama liczba) — podstawianie, np.

xe^{x^2}

\frac{\ln x}{x}

. Logarytm razy potęga

x^n

(

n \neq -1

) — logarytm do

u

. Wielomian razy

e^{kx}

(

k \neq 0

) albo

a^x

— wielomian do

u

. Sam logarytm —

u

to logarytm,

v' = 1

. Dwa wielomiany — do

u

ten o niższym stopniu (szybciej zamieni się w liczbę) albo wymnóż i licz elementarnie.

SprawdzeniePochodna wyniku musi dać funkcję spod całki.

Ćwiczenia przed kolokwium

Krótkie zadania na każde polecenie. Po każdej odpowiedzi zobaczysz, dlaczego jest dobra albo zła — złe odpowiedzi to typowe błędy.

Całkowanie elementarne

Ćwiczenia · 6 zadań

$\int x^{7} d x =$
$\int \frac{1}{x ^{3}} d x =$
$\int x d x =$
$\int (6 x^{2} - 4 x + 3) d x =$
$\int 2^{x} d x =$
$\int \frac{5}{x} d x =$

Przez podstawianie

Ćwiczenia · 6 zadań

Co wziąć za $t$ w $\int (x^{3} + 1)^{4} \cdot 3 x^{2} d x$ ?
$t = x^{2} + 4$ w całce $\int \frac{x}{x ^{2} + 4} d x$ . Czym zastąpisz $x d x$ ?
$\int (3 x - 1)^{5} d x =$
$\int e^{5 x} d x =$
$\int \frac{2 x}{x ^{2} + 1} d x =$
Po zamianie wyszło $\int t^{3} \cdot x d t$ . Co jest nie tak?

Przez części

Ćwiczenia · 5 zadań

$\int x e^{x} d x$ : co wziąć za $u$ ?
$\int x^{3} ln x d x$ : co wziąć za $u$ ?
$\int x e^{x} d x =$
Wzór na całkowanie przez części: $\int u v^{'} d x =$
$\int ln x d x =$

Którą metodą?

Ćwiczenia · 5 zadań

$\int x^{2} e^{x^{3}} d x$ — którą metodą?
$\int \frac{x ^{2} + 1}{x} d x$ — którą metodą?
$\int x^{2} e^{x} d x$ — którą metodą?
$\int x ln x d x$ — którą metodą?
$\int ln x d x$ — którą metodą?

Sprawdzanie wyniku

Ćwiczenia · 5 zadań

Jak sprawdzić, że $\int x e^{x^{2}} d x = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$ ?
Czy $\int \frac{1}{2 x + 1} d x = ln ∣ 2 x + 1 ∣ + C$ ?
Czy $\int 3 x^{2} (x^{3} + 2)^{4} d x = \frac{( x ^{3} + 2 ) ^{5}}{5} + C$ ?
Dwie osoby policzyły $\int x d x$ : wyszło $\frac{x ^{2}}{2} + 3 + C$ i $\frac{x ^{2}}{2} + C$ . Kto ma rację?
Czy $\int x e^{x} d x = x e^{x} + C$ ?

Quiz z teorii

Quiz · 10 pytań

Funkcja pierwotna funkcji $f (x)$ to:
Skąd w wyniku całki bierze się $+ C$ ?
$\int 0 d x =$
Dla jakiego $n$ wzór 3 ( $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ ) nie działa?
Czy $\int f (x) \cdot g (x) d x = \int f (x) d x \cdot \int g (x) d x$ ?
W całkowaniu przez podstawianie za $t$ bierzesz:
$d t$ to:
W całkowaniu przez części za $u$ bierzesz:
We wzorze $\int u v^{'} d x = uv - \int u^{'} v d x$ litera $v$ to:
Jak sprawdzić wynik całki nieoznaczonej?

Po co to jest

Do czego całka przyda się dalej

Jak przejdziemy przez ten moduł

Co będzie na kolokwium

Pojęcia od podstaw

Pochodna od tyłu

Stała CCC — cała rodzina funkcji

Zapis całki

Wzory i reguły z zajęć

Reguły

Tabela wzorów

Jak sprawdzić każdy wynik

Całkowanie elementarne

Zamień na potęgę

Wzór 3 na liczbach

Pozostałe przykłady z Zad. 1

Całkowanie przez podstawianie

Jak wybrać t

Pozostałe przykłady z Zad. 2

Całkowanie przez części

Jak wybrać u

Pozostałe przykłady z Zad. 3

Którą metodą?

Którą metodą policzysz tę całkę?

Wszystkie odpowiedzi z listy

Zad. 1 — podstawowe wzory

Zad. 2 — przez podstawianie

Zad. 3 — przez części

Ściąga przed kolokwium

Ćwiczenia przed kolokwium

Całkowanie elementarne

Przez podstawianie

Przez części

Którą metodą?

Sprawdzanie wyniku

Quiz z teorii

Stała $C$ — cała rodzina funkcji