Macierze — działania, wyznacznik, macierz odwrotna i rząd · Matematyka

Po co ekonomiście macierze?

Kawiarnia ma dwa lokale: przy Rynku i na kampusie. W poniedziałek przy Rynku sprzedano 40 kaw i 25 ciastek, a na kampusie — 60 kaw i 10 ciastek. Kawa kosztuje 12 zł, ciastko 8 zł. Jaki przychód miał lokal przy Rynku?

40 \cdot 12 + 25 \cdot 8 = 480 + 200 = 680 \text{ zł}

Bierzesz listę ilości (40, 25) i listę cen (12, 8), mnożysz je parami i dodajesz. Właśnie tak mnoży się macierze — tabelki liczb. Przy dwóch produktach liczysz w pamięci. Przy 30 lokalach i 50 produktach dane trzyma się w macierzach, a komputer mnoży je jednym poleceniem.

Na macierzach opiera się też rozwiązywanie układów równań (następny moduł), szukanie ekstremów funkcji wielu zmiennych i wiele modeli ekonomicznych, np. tablice przepływów między gałęziami gospodarki.

Co będzie na kolokwium

Z macierzy na kolokwium wraca sześć typów poleceń. Każde ma tu przepis, rozwiązane przykłady i ćwiczenia z natychmiastową odpowiedzią.

1
„Wykonaj działania (o ile są wykonalne): $A + B$ , $3 A$ , $A^{T}$ , $A \cdot B$ , $B \cdot A^{T}$ ”
Najpierw sprawdzasz wymiary. Dodajesz liczby z tych samych miejsc, a mnożysz wiersz pierwszej macierzy przez kolumnę drugiej.
Przepis i przykłady ↓Ćwiczenia ↓jak w Zad. 1, str. 73, d)
2
„Oblicz wyznacznik macierzy”
2×2 — iloczyn na głównej przekątnej minus iloczyn na drugiej. 3×3 — reguła Sarrusa. Większe — rozwinięcie Laplace’a, najlepiej po zerowaniu operacjami elementarnymi.
Przepis i przykłady ↓Ćwiczenia ↓jak w Zad. 1, str. 87–88, f)
3
„Dla jakich wartości parametru macierz jest osobliwa?”
Liczysz wyznacznik z literą, przyrównujesz go do zera i rozwiązujesz równanie.
Przepis i przykłady ↓Ćwiczenia ↓sprawdza definicję macierzy osobliwej ze slajdów
4
„Wyznacz macierz odwrotną (metodą wyznacznikową lub operacji elementarnych)”
Sprawdzasz, czy $det (A) \neq = 0$ . Potem albo wzór z macierzą dopełnień, albo przekształcenie $[A ∣ I]$ w $[I ∣ A^{- 1}]$ .
Przepis i przykłady ↓Ćwiczenia ↓jak w Zad. 1, str. 92–93, e) i w przykładzie z zajęć
5
„Rozwiąż równanie macierzowe $A \cdot X = B$ ”
Mnożysz obie strony przez $A^{- 1}$ z tej strony, po której stoi $A$ : $X = A^{- 1} \cdot B$ .
Przepis i przykłady ↓Ćwiczenia ↓dodatkowo — tego nie ma na slajdach
6
„Wyznacz rząd macierzy”
Operacjami elementarnymi robisz jak najwięcej kolumn macierzy jednostkowej. Rząd to stopień tej macierzy jednostkowej.
Przepis i przykłady ↓Ćwiczenia ↓jak w Zad. 1, str. 83, e)

Polecenia mogą brzmieć trochę inaczej („oblicz”, „wyznacz”, „sprawdź, czy istnieje”). Liczy się to, o co pyta zadanie: o działanie, o wyznacznik, o macierz odwrotną czy o rząd.

Macierz — pojęcia od podstaw

Oto macierz $A$ . Ma 2 wiersze i 3 kolumny, więc ma wymiar $2 \times 3$ (czytamy: „dwa na trzy”).

A =

k1k2k3

w1w2

2

- 1

0

4

3

5

2 \times 3

Jak czytać ten rysunek:

po lewej numery wierszy (w1, w2), na górze numery kolumn (k1, k2, k3). Zakreślona liczba 5 stoi w wierszu 2 i kolumnie 3, więc to $a_{23}$ . Stuknij inną liczbę, a zobaczysz jej „adres”.

Każda liczba w macierzy to element. Jego adres podajesz jak w grze w statki: najpierw wiersz, potem kolumna. Element z wiersza 2 i kolumny 3 zapisujesz $a_{23}$ i czytasz „a dwa trzy”. W tej macierzy $a_{23} = 5$ , $a_{12} = -1$ , a $a_{21} = 4$ .

m \times n

Wymiar macierzy

czytamy: „m na n”

$m$ — liczba wierszy, $n$ — liczba kolumn. Macierz $2 \times 3$ ma 2 wiersze i 3 kolumny.

Jak zapamiętać: najpierw wiersze, potem kolumny — jak w adresie elementu.

a_{ij}

Element macierzy

czytamy: „a i j”

Liczba z wiersza $i$ i kolumny $j$ macierzy $A$ . Mała litera — elementy, wielka — cała macierz.

Jak zapamiętać: $i$ jak „idę w dół” do wiersza, $j$ — w bok do kolumny.

Macierz kwadratowa, diagonalna i jednostkowa

Macierz, która ma tyle samo wierszy co kolumn ( $m = n$ ), to macierz kwadratowa stopnia $n$ . W macierzy kwadratowej wyróżniamy główną przekątną: elementy $a_{11}, a_{22}, a_{33}, \dots$ — od lewego górnego do prawego dolnego rogu.

A =

2

7

1

0

3

5

4

1

6

3 \times 3

Macierz kwadratowa stopnia 3. Fioletowe tło to główna przekątna: $a_{11} = 2$ , $a_{22} = 3$ , $a_{33} = 6$ .

Dwa szczególne rodzaje macierzy kwadratowych:

Macierz diagonalna — poza główną przekątną same zera.
Macierz jednostkowa $I$ — macierz diagonalna, która na głównej przekątnej ma same jedynki.

diagonalna:

5

0

0

0

4

0

0

0

2

I =

1

0

0

0

1

0

0

0

1

I

Macierz jednostkowa

czytamy: „macierz jednostkowa, I”

Jedynki na głównej przekątnej, poza nią zera. Gdy poznasz mnożenie macierzy, zobaczysz, że $I$ działa w nim jak liczba 1: $A \cdot I = A$ .

Jak zapamiętać: I jak „identyczność” — nic nie zmienia.

Macierz z jednym wierszem (wymiar $1 \times n$ ) to wektor wierszowy, a z jedną kolumną ( $n \times 1$ ) — wektor kolumnowy. Spotkasz je w zadaniu z zajęć o mnożeniu.

Sprawdź się

Macierz ma 4 wiersze i 2 kolumny. Jaki ma wymiar?

Działania na macierzach

Dodawanie i odejmowanie

Dodajesz liczby, które stoją w tym samym miejscu: element z wiersza 1 i kolumny 2 jednej macierzy z elementem z wiersza 1 i kolumny 2 drugiej. Tak samo z każdym innym miejscem.

A + B =

1

2

3

4

5

0

- 1

2

6

2

2

6

Zakreślone kratki to wiersz 1, kolumna 2: $2 + 0 = 2$ . W wierszu 2, kolumnie 1: $3 + (-1) = 2$ . Odejmowanie działa tak samo — odejmujesz liczby z tych samych miejsc:

A - B =

1 - 5

2 - 0

3 - (- 1)

4 - 2

- 4

2

4

2

Mnożenie przez liczbę

Każdy element macierzy mnożysz przez tę liczbę. Działa dla macierzy o dowolnym wymiarze.

3 \cdot

1

- 2

0

4

3 \cdot 1

3 \cdot (- 2)

3 \cdot 0

3 \cdot 4

3

- 6

0

12

W poleceniach działania często się łączą, np. $2A - B$ (macierze $A$ i $B$ z przykładu o dodawaniu). Kolejność jak w liceum: najpierw mnożenie przez liczbę, potem odejmowanie.

2 A - B =

2

4

6

8

−

5

0

- 1

2

- 3

4

7

6

Transpozycja

Transpozycja zamienia wiersze na kolumny, z zachowaniem kolejności. Pierwszy wiersz staje się pierwszą kolumną, drugi wiersz — drugą kolumną.

A =

1

2

3

4

5

6

2 \times 3

A^{T} =

1

4

2

5

3

6

3 \times 2

Jak czytać ten rysunek:

każdy wiersz macierzy $A$ ma swój kolor. Kolumna $A^T$ w tym samym kolorze ma te same liczby, w tej samej kolejności, tylko ustawione pionowo. Wymiar $2 \times 3$ zmienia się na $3 \times 2$ . Stuknij liczbę w $A$ , żeby zobaczyć, dokąd trafia.

A^{T}

Macierz transponowana

czytamy: „A transponowana”

Wiersze $A$ zapisane jako kolumny. Element $a_{ij}$ trafia na miejsce $(j, i)$ , a wymiar $m \times n$ zmienia się na $n \times m$ .

Jak zapamiętać: T jak „transpozycja”, a nie potęga.

Mnożenie macierzy

Wróćmy do kawiarni. Ilości to macierz $A$ : wiersz to lokal, kolumna to produkt. Macierz $B$ ma w kolumnach cenę i koszt przygotowania każdego produktu. Kawa: cena 12 zł, koszt 4 zł. Ciastko: cena 8 zł, koszt 3 zł.

A

2 × 2·

B

2 × 2→wynik2 × 2

Środkowe liczby: 2 i 2 — równe, więc da się pomnożyć. Wynik ma wymiar z liczb zewnętrznych: 2 × 2.

A =

kawaciastko

RynekKampus

40

25

60

10

B =

cenakoszt

kawaciastko

12

4

8

3

C = A \cdot B =

przychódkoszt

RynekKampus

680

235

800

270

Kratka $c_{11}$ (wiersz 1, kolumna 1): bierzesz wiersz 1 macierzy $A$ i kolumnę 1 macierzy $B$ . Mnożysz liczby parami — pierwszą z pierwszą, drugą z drugą… — i dodajesz iloczyny.
1. 2.
wiersz 1 z $A$ $40$ $25$
kolumna 1 z $B$ $12$ $8$
iloczyn $480$ $200$
$c_{11} = 40 \cdot 12 + 25 \cdot 8 = 480 + 200 = 680$
Przychód lokalu przy Rynku: 40 kaw po 12 zł i 25 ciastek po 8 zł — razem 680 zł.
Kratka $c_{12}$ (wiersz 1, kolumna 2): bierzesz wiersz 1 macierzy $A$ i kolumnę 2 macierzy $B$ . Mnożysz liczby parami — pierwszą z pierwszą, drugą z drugą… — i dodajesz iloczyny.
1. 2.
wiersz 1 z $A$ $40$ $25$
kolumna 2 z $B$ $4$ $3$
iloczyn $160$ $75$
$c_{12} = 40 \cdot 4 + 25 \cdot 3 = 160 + 75 = 235$
Koszt lokalu przy Rynku: 40 kaw po 4 zł i 25 ciastek po 3 zł — razem 235 zł.
Kratka $c_{21}$ (wiersz 2, kolumna 1): bierzesz wiersz 2 macierzy $A$ i kolumnę 1 macierzy $B$ . Mnożysz liczby parami — pierwszą z pierwszą, drugą z drugą… — i dodajesz iloczyny.
1. 2.
wiersz 2 z $A$ $60$ $10$
kolumna 1 z $B$ $12$ $8$
iloczyn $720$ $80$
$c_{21} = 60 \cdot 12 + 10 \cdot 8 = 720 + 80 = 800$
Przychód lokalu na kampusie: 60 kaw po 12 zł i 10 ciastek po 8 zł — razem 800 zł.
Kratka $c_{22}$ (wiersz 2, kolumna 2): bierzesz wiersz 2 macierzy $A$ i kolumnę 2 macierzy $B$ . Mnożysz liczby parami — pierwszą z pierwszą, drugą z drugą… — i dodajesz iloczyny.
1. 2.
wiersz 2 z $A$ $60$ $10$
kolumna 2 z $B$ $4$ $3$
iloczyn $240$ $30$
$c_{22} = 60 \cdot 4 + 10 \cdot 3 = 240 + 30 = 270$
Koszt lokalu na kampusie: 60 kaw po 4 zł i 10 ciastek po 3 zł — razem 270 zł.

	1.	2.
wiersz 1 z $A$	$40$	$25$
kolumna 1 z $B$	$12$	$8$
iloczyn	$480$	$200$

	1.	2.
wiersz 1 z $A$	$40$	$25$
kolumna 2 z $B$	$4$	$3$
iloczyn	$160$	$75$

	1.	2.
wiersz 2 z $A$	$60$	$10$
kolumna 1 z $B$	$12$	$8$
iloczyn	$720$	$80$

	1.	2.
wiersz 2 z $A$	$60$	$10$
kolumna 2 z $B$	$4$	$3$
iloczyn	$240$	$30$

Jak czytać ten rysunek:

wiersz macierzy $A$ (turkusowy) to jeden lokal. Kolumna macierzy $B$ (złota) to cena albo koszt. Każda kratka wyniku to ilości razy ceny albo ilości razy koszty: przychód albo koszt jednego lokalu. Zwróć uwagę na podpisy: kolumny $A$ (kawa, ciastko) to te same rzeczy co wiersze $B$ — dlatego da się je połączyć w pary.

Dlaczego wymiary muszą pasować?

Liczby łączysz w pary: pierwszą z wiersza z pierwszą z kolumny, drugą z drugą i tak dalej. Wiersz $A$ ma tyle liczb, ile $A$ ma kolumn. Kolumna $B$ ma tyle liczb, ile $B$ ma wierszy. Te długości muszą być równe, inaczej któraś liczba zostanie bez pary. W kawiarni: każda ilość (kawy, ciastek) potrzebuje swojej ceny.

Stąd zasada: liczba kolumn pierwszej macierzy = liczba wierszy drugiej. Wynik ma tyle wierszy co pierwsza macierz i tyle kolumn co druga. Najprościej sprawdzić to, pisząc wymiary obok siebie:

A

2 × 3·

B

3 × 2→wynik2 × 2

Środkowe liczby: 3 i 3 — równe, więc da się pomnożyć. Wynik ma wymiar z liczb zewnętrznych: 2 × 2.

A

1 × 4·

B

1 × 4

Środkowe liczby: 4 i 1 — różne, więc tego iloczynu nie da się policzyć.

Ten sam przepis na macierzach bez historii: $A$ ma wymiar $2 \times 3$ , $B$ ma wymiar $3 \times 2$ , więc wynik ma wymiar $2 \times 2$ .

A

2 × 3·

B

3 × 2→wynik2 × 2

Środkowe liczby: 3 i 3 — równe, więc da się pomnożyć. Wynik ma wymiar z liczb zewnętrznych: 2 × 2.

A =

1

2

0

- 1

3

2

B =

2

1

0

- 1

4

3

C = A \cdot B =

2

- 1

6

2

Kratka $c_{11}$ (wiersz 1, kolumna 1): bierzesz wiersz 1 macierzy $A$ i kolumnę 1 macierzy $B$ . Mnożysz liczby parami — pierwszą z pierwszą, drugą z drugą… — i dodajesz iloczyny.
1. 2. 3.
wiersz 1 z $A$ $1$ $2$ $0$
kolumna 1 z $B$ $2$ $0$ $4$
iloczyn $2$ $0$ $0$
$c_{11} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 0 \cdot 4 = 2 + 0 + 0 = 2$
Kratka $c_{12}$ (wiersz 1, kolumna 2): bierzesz wiersz 1 macierzy $A$ i kolumnę 2 macierzy $B$ . Mnożysz liczby parami — pierwszą z pierwszą, drugą z drugą… — i dodajesz iloczyny.
1. 2. 3.
wiersz 1 z $A$ $1$ $2$ $0$
kolumna 2 z $B$ $1$ $- 1$ $3$
iloczyn $1$ $- 2$ $0$
$c_{12} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot (- 1) + 0 \cdot 3 = 1 - 2 + 0 = - 1$
Kratka $c_{21}$ (wiersz 2, kolumna 1): bierzesz wiersz 2 macierzy $A$ i kolumnę 1 macierzy $B$ . Mnożysz liczby parami — pierwszą z pierwszą, drugą z drugą… — i dodajesz iloczyny.
1. 2. 3.
wiersz 2 z $A$ $- 1$ $3$ $2$
kolumna 1 z $B$ $2$ $0$ $4$
iloczyn $- 2$ $0$ $8$
$c_{21} = (- 1) \cdot 2 + 3 \cdot 0 + 2 \cdot 4 = - 2 + 0 + 8 = 6$
Kratka $c_{22}$ (wiersz 2, kolumna 2): bierzesz wiersz 2 macierzy $A$ i kolumnę 2 macierzy $B$ . Mnożysz liczby parami — pierwszą z pierwszą, drugą z drugą… — i dodajesz iloczyny.
1. 2. 3.
wiersz 2 z $A$ $- 1$ $3$ $2$
kolumna 2 z $B$ $1$ $- 1$ $3$
iloczyn $- 1$ $- 3$ $6$
$c_{22} = (- 1) \cdot 1 + 3 \cdot (- 1) + 2 \cdot 3 = - 1 - 3 + 6 = 2$

	1.	2.	3.
wiersz 1 z $A$	$1$	$2$	$0$
kolumna 1 z $B$	$2$	$0$	$4$
iloczyn	$2$	$0$	$0$

	1.	2.	3.
wiersz 1 z $A$	$1$	$2$	$0$
kolumna 2 z $B$	$1$	$- 1$	$3$
iloczyn	$1$	$- 2$	$0$

	1.	2.	3.
wiersz 2 z $A$	$- 1$	$3$	$2$
kolumna 1 z $B$	$2$	$0$	$4$
iloczyn	$- 2$	$0$	$8$

	1.	2.	3.
wiersz 2 z $A$	$- 1$	$3$	$2$
kolumna 2 z $B$	$1$	$- 1$	$3$
iloczyn	$- 1$	$- 3$	$6$

Jak czytać ten rysunek:

żeby policzyć kratkę ze znakiem zapytania, weź jej wiersz w $A$ (turkusowy) i jej kolumnę w $B$ (złotą). W panelu pod rysunkiem zobaczysz liczby ustawione w słupkach: wiersz nad kolumną, a pod spodem ich iloczyny. Wynik kratki to suma iloczynów.

Zadanie · krok po kroku

Pomnóż macierz B przez A transponowaną

Zad. 1, str. 73, d)

Dane są macierze:

A =

1

7

3

- 2

B =

3

- 2

1

- 1

Oblicz $B \cdot A^T$ .

Plan — co zrobimy i po co

Transponujemy $A$ , bo w działaniu stoi $A^T$ , a nie $A$ .
Sprawdzamy wymiary $B$ i $A^T$ , bo mnożenie ma sens tylko przy zgodnych wymiarach. Przy okazji poznamy wymiar wyniku.
Mnożymy wiersz $B$ przez kolumnę $A^T$ .

Tak się to po prostu robi: transpozycję wykonujesz przed mnożeniem, bo $A^T$ to osobna macierz, którą trzeba najpierw zapisać.

Transponuj A
$A$ ma jeden wiersz: $(1, 7, 3, -2)$ . Po transpozycji te same liczby stoją w jednej kolumnie, z góry na dół.
$A =$
$1$ $7$ $3$ $- 2$
$1 \times 4$
→
$A^{T} =$
$1$ $7$ $3$ $- 2$
$4 \times 1$
Dlaczego?
Transpozycja zamienia wiersze na kolumny. Wiersz 1 macierzy $A$ staje się kolumną 1 macierzy $A^T$ , a wymiar $1 \times 4$ zmienia się na $4 \times 1$ .
Sprawdź wymiary
$B$ 1 × 4· $A^{T}$ 4 × 1→wynik1 × 1
Środkowe liczby: 4 i 4 — równe, więc da się pomnożyć. Wynik ma wymiar z liczb zewnętrznych: 1 × 1.
Dlaczego?
Liczba kolumn $B$ (4) to długość wiersza, a liczba wierszy $A^T$ (4) to długość kolumny. Są równe, więc każda z czterech liczb wiersza ma swoją parę w kolumnie. Wynik ma 1 wiersz (jak $B$ ) i 1 kolumnę (jak $A^T$ ) — to jedna kratka.
Inny sposób
Na zajęciach wymiary podpisuje się pod macierzami (np. $1 \times 4$ i $4 \times 1$ ) i zaznacza kolorem liczby środkowe. To ten sam test, tylko zapisany w zeszycie.
Pomnóż wiersz przez kolumnę
Ustaw liczby w słupkach: wiersz $B$ nad kolumną $A^T$ . Pomnóż każdą parę, potem dodaj iloczyny.
1. 2. 3. 4.
$wiersz B$ $3$ $- 2$ $1$ $- 1$
$kolumna A^{T}$ $1$ $7$ $3$ $- 2$
$iloczyn$ $3$ $- 14$ $3$ $2$
$\begin{aligned} B \cdot A^T &= 3 \cdot 1 + (-2) \cdot 7 \\ &\quad + 1 \cdot 3 + (-1) \cdot (-2) \\ &= 3 - 14 + 3 + 2 = -6 \end{aligned}$
Wynik to macierz $1 \times 1$ : $B \cdot A^T = \begin{bmatrix} -6 \end{bmatrix}$ .
Dlaczego?
Iloczyn $(-1) \cdot (-2)$ daje $+2$ — minus razy minus to plus. To najczęstsze miejsce pomyłki w tym zadaniu.

	1.	2.	3.	4.
$wiersz B$	$3$	$- 2$	$1$	$- 1$
$kolumna A^{T}$	$1$	$7$	$3$	$- 2$
$iloczyn$	$3$	$- 14$	$3$	$2$

Operacje elementarne

Operacje elementarne to trzy „dozwolone ruchy” na wierszach macierzy. Upraszczają macierz — robią w niej zera i jedynki. Rzędu nie zmieniają, a wyznacznik zmieniają w przewidywalny sposób. Bez nich nie wyznaczysz rzędu, nie odwrócisz macierzy metodą operacji elementarnych i nie policzysz szybko dużego wyznacznika.

w_{2}^{'}

Nowy wiersz (prim)

czytamy: „w dwa prim”

$w_{1}, w_{2}, \dots$ to wiersze macierzy. Prim (’) oznacza wiersz po zmianie: $w_{2}^{'} = w_{2} - 3 w_{1}$ czytamy „nowy wiersz 2 to wiersz 2 minus trzy razy wiersz 1”.

Jak zapamiętać: prim = „nowy”. Zmienia się tylko wiersz z primem.

\leftrightarrow

Zamiana wierszy

czytamy: „zamieniamy z”

$w_{1} \leftrightarrow w_{3}$ : wiersze 1 i 3 zamieniają się miejscami. Liczby w nich się nie zmieniają.

Jak zapamiętać: strzałka w obie strony = zamiana.

1. Zamiana dwóch wierszy. Po co: żeby w lewym górnym rogu stała liczba różna od zera, najlepiej 1.

0

1

2

1

3

1

w_{1} \leftrightarrow w_{2}

1

3

1

0

1

2

wiersze, które zamieniasz miejscami

2. Pomnożenie wiersza przez liczbę różną od zera. Po co: żeby zrobić jedynkę. Tu wiersz 1 zaczyna się od 2, więc mnożysz go przez $\frac{1}{2}$ (czyli dzielisz przez 2).

2

4

6

1

3

1

w_{1}^{'} = w_{1} \cdot \frac{1}{2}

1

2

3

1

3

1

wiersz, który zmieniasz

Rachunek na kartce

w_{1}^{'} = w_{1} \cdot \frac{1}{2}

	$w_{1}$	$2$	$4$	$6$
$\cdot \frac{1}{2}$	$w_{1}^{'}$	$1$ $2 \cdot \frac{1}{2}$	$2$ $4 \cdot \frac{1}{2}$	$3$ $6 \cdot \frac{1}{2}$

Jak czytać kartkę: na górze wiersz, który zmieniasz, pod złotą linią ten sam wiersz po pomnożeniu — każdą liczbę mnożysz osobno.

3. Dodanie do wiersza wielokrotności innego wiersza. Po co: żeby zrobić zero.

1

2

3

2

5

4

w_{2}^{'} = w_{2} - 2 w_{1}

1

2

3

0

1

- 2

wiersz, który zmieniasz · wiersz, którego używasz (przepisujesz go bez zmian)

Rachunek na kartce

w_{2}^{'} = w_{2} - 2 w_{1}

	$w_{2}$	$2$	$5$	$4$
$-$	$2 \cdot w_{1}$	$2$ $1 \cdot 2$	$4$ $2 \cdot 2$	$6$ $3 \cdot 2$
	$w_{2}^{'}$	$0$ $2 - 2$	$1$ $5 - 4$	$- 2$ $4 - 6$

Jak czytać kartkę: na górze wiersz, który zmieniasz (złoty), pod nim wiersz pomocniczy już pomnożony (turkusowy), z lewej znak operacji. Pod złotą linią liczysz kolumnami: liczba z góry minus (albo plus) liczba spod spodu. Ostatni wiersz to nowy wiersz macierzy.

Jak dobrać liczbę $-2$ ? Chcesz zera w wierszu 2, kolumnie 1 — stoi tam 2. W tej samej kolumnie w wierszu 1 stoi 1. Odejmujesz więc dwa razy wiersz 1: $2 - 2 \cdot 1 = 0$ . Reszta wiersza zmienia się „przy okazji”: $5 - 2 \cdot 2 = 1$ i $4 - 2 \cdot 3 = -2$ .

Wyznacznik

Wyznacznik to jedna liczba, którą liczy się z macierzy kwadratowej. Zapisujemy go $\det(A)$ . Najważniejsze, co mówi: czy macierz da się odwrócić. Macierz odwrotna to odpowiednik odwrotności liczby, np. $\frac{1}{5}$ dla 5 — dokładnie poznasz ją niżej. Gdy $\det(A) = 0$ , macierz odwrotna nie istnieje. Taką macierz nazywamy osobliwą.

det (A)

Wyznacznik macierzy A

czytamy: „wyznacznik A (det od angielskiego determinant)”

Liczba przypisana macierzy kwadratowej. Może być dowolna: dodatnia, ujemna albo 0.

Jak zapamiętać: det = „decyduje”, czy da się odwrócić.

Macierz 1×1 i 2×2

Macierz $1 \times 1$ to jedna liczba i jej wyznacznik to ta sama liczba: $\det\begin{bmatrix} -5 \end{bmatrix} = -5$ .

Dla macierzy $2 \times 2$ liczysz dwa iloczyny po przekątnych i odejmujesz:

det

a_{11}

a_{12}

a_{21}

a_{22}

= a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}

Czytamy: iloczyn na głównej przekątnej minus iloczyn na drugiej przekątnej

$a_{11} a_{22}$: liczby z głównej przekątnej (zielone: lewy górny i prawy dolny róg) — ten iloczyn dodajesz
$a_{12} a_{21}$: liczby z drugiej przekątnej (różowe: prawy górny i lewy dolny róg) — ten iloczyn odejmujesz

A =

3

2

1

4

det (A) = 12 - 2 = 10

Jak czytać ten rysunek:

zielona przekątna daje iloczyn, który dodajesz: $3 \cdot 4 = 12$ . Różowa daje iloczyn, który odejmujesz: $2 \cdot 1 = 2$ . Kliknij składnik, żeby podświetlić jego liczby. Wynik: $\det(A) = 12 - 2 = 10$ .

Macierz 3×3 — reguła Sarrusa

Dla macierzy $3 \times 3$ dopisz z prawej strony jej dwie pierwsze kolumny. Potem:

trzy przekątne w dół (od lewej góry w prawo w dół) — iloczyny dodajesz;
trzy przekątne w górę (od lewego dołu w prawo w górę) — iloczyny odejmujesz.

A =

2

1

0

2

1

- 1

3

2

- 1

3

0

1

1

0

1

Dwie wyblakłe kolumny z prawej to dopisane kolumny 1 i 2 — dzięki nim każda przekątna ma trzy liczby.

det (A) = 6 + 0 + 0 - 0 - 4 - (- 1) = 3

Jak czytać ten rysunek:

pięć kolumn: trzy kolumny macierzy i dwie dopisane (wyblakłe). Zielone składniki to przekątne w dół, różowe — w górę. Kliknij składnik, a w macierzy podświetlą się jego trzy liczby. Na dole suma wszystkich sześciu składników z ich znakami. Tę samą macierz odwrócisz niżej, w przykładzie z zajęć o macierzy odwrotnej.

Ten sam rachunek zapisany wzorem (tak jak na slajdzie). Nie musisz go pamiętać — wystarczy obrazek z przekątnymi:

\begin{aligned} \det(A) = {} & a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} \\ & - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} \end{aligned}

Większe macierze — rozwinięcie Laplace’a

Rozwinięcie Laplace’a sprowadza duży wyznacznik do kilku mniejszych. Potrzebne są dwa pojęcia.

Minor $M_{ij}$ to wyznacznik macierzy, która zostaje po skreśleniu wiersza $i$ i kolumny $j$ . Przykład ze slajdu — skreślasz wiersz 1 i kolumnę 1:

A =

1

2

3

4

5

6

7

8

9

→

M_{11} = det

5

6

8

9

= 5 \cdot 9 - 6 \cdot 8

= 45 - 48 = - 3

Dopełnienie algebraiczne $D_{ij}$ to minor z odpowiednim znakiem:

D_{ij} = (- 1)^{i + j} \cdot M_{ij}

Czytamy: de i jot równa się minus jeden do potęgi i plus jot, razy minor

$(- 1)^{i + j}$: znak: $+ 1$ , gdy suma numeru wiersza i kolumny jest parzysta, $- 1$ , gdy nieparzysta
$M_{ij}$: minor — wyznacznik po skreśleniu wiersza $i$ i kolumny $j$

W przykładzie: $D_{11} = (-1)^{1+1} \cdot M_{11} = (+1) \cdot (-3) = -3$ .

Znaki układają się w szachownicę. Zaczyna się od plusa w lewym górnym rogu, a dalej plus i minus na zmianę:

+

-

+

-

+

-

+

-

+

Wybór wiersza nie zmienia wyniku, ale zmienia ilość pracy. Każde zero w wybranym wierszu kasuje cały składnik — nie liczysz jego minora. Dlatego wybieraj wiersz albo kolumnę z największą liczbą zer.

A =

2

1

0

- 1

3

2

0

1

1

Rozwinięcie według: wiersz 1

det (A) = a_{11} D_{11} + a_{12} D_{12} + a_{13} D_{13}

$a_{11} \cdot (- 1)^{1 + 1} \cdot M_{11} = 2 \cdot (+ 1) \cdot 1 = 2$
$M_{11} = det$
$3$ $2$ $1$ $1$
$= 3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 = 1$
$a_{12} \cdot (- 1)^{1 + 2} \cdot M_{12} = 1 \cdot (- 1) \cdot (- 1) = 1$
$M_{12} = det$
$- 1$ $2$ $0$ $1$
$= (- 1) \cdot 1 - 2 \cdot 0 = - 1$
$a_{13} = 0$ , więc cały składnik to $0$ — minora nie liczysz.

det (A) = 2 + 1 + 0 = 3

Jak czytać ten rysunek:

złote kratki to wybrany wiersz (albo kolumna). Pod macierzą każdy składnik: element, znak z szachownicy i minor. Kliknij składnik, a w macierzy zobaczysz skreślony wiersz i kolumnę — zielone kratki to minor. Zmień wiersz przyciskami: wynik zawsze ten sam, ale przy wierszu z zerem liczysz mniej. To ta sama macierz co przy regule Sarrusa i wynik też jest ten sam: 3.

Dla macierzy $4 \times 4$ Laplace to jedyna droga z tych slajdów. Każdy minor to wtedy wyznacznik $3 \times 3$ — liczysz go regułą Sarrusa.

A =

1

2

0

1

3

1

2

0

0

2

0

1

2

0

1

3

Rozwinięcie według: wiersz 3

det (A) = a_{31} D_{31} + a_{32} D_{32} + a_{33} D_{33} + a_{34} D_{34}

$a_{31} = 0$ , więc cały składnik to $0$ — minora nie liczysz.
$a_{32} \cdot (- 1)^{3 + 2} \cdot M_{32} = 2 \cdot (- 1) \cdot 5 = - 10$
$M_{32} = det$
$1$ $0$ $1$ $3$ $2$ $0$ $2$ $1$ $3$
$= 6 + 0 + 3 - 4 - 0 - 0 = 5$
minor 3×3 liczymy regułą Sarrusa
$a_{33} = 0$ , więc cały składnik to $0$ — minora nie liczysz.
$a_{34} \cdot (- 1)^{3 + 4} \cdot M_{34} = 1 \cdot (- 1) \cdot 3 = - 3$
$M_{34} = det$
$1$ $2$ $0$ $3$ $1$ $2$ $2$ $0$ $1$
$= 1 + 8 + 0 - 0 - 0 - 6 = 3$
minor 3×3 liczymy regułą Sarrusa

det (A) = 0 - 10 + 0 - 3 = - 13

Jak czytać ten rysunek:

wiersz 3 ma dwa zera, więc z czterech minorów $3 \times 3$ liczysz tylko dwa. Spróbuj kolumny 3 — też ma dwa zera. Przy wierszu z jednym zerem liczysz trzy minory, a przy wierszu bez zer byłyby cztery.

Własności wyznacznika

Pięć własności ze slajdów — każda pokazana na tej samej macierzy $2 \times 2$ , przed i po zmianie:

1 Dodanie wielokrotności innego wiersza — wyznacznik bez zmian

A =

2

1

3

4

det = 5

w_{2}^{'} = w_{2} + w_{1}

2

1

5

5

det = 5

Do wiersza 2 dodaliśmy wiersz 1: $(3, 4) + (2, 1) = (5, 5)$ . Wyznacznik dalej wynosi $5$ . To najważniejsza własność — dzięki niej wolno „zerować” liczby przed liczeniem wyznacznika.

2 Wiersz (kolumna) z samych zer — wyznacznik równy 0

A =

2

1

3

4

det = 5

zamiast wiersza 2 — zera

2

1

0

0

det = 0

Każdy składnik wyznacznika zawiera jedną liczbę z każdego wiersza. Gdy cały wiersz to zera, każdy składnik jest zerem.

3 Zamiana dwóch wierszy — zmiana znaku

A =

2

1

3

4

det = 5

w_{1} \leftrightarrow w_{2}

3

4

2

1

det = - 5

Te same liczby, inna kolejność wierszy: $5$ zmienia się w $- 5$ . Każda kolejna zamiana znowu odwraca znak.

4 Pomnożenie wiersza przez c — wyznacznik razy c

A =

2

1

3

4

det = 5

w_{1}^{'} = w_{1} \cdot 3

6

3

3

4

det = 15

Wiersz 1 razy $3$ , więc wyznacznik też razy $3$ : $5 \cdot 3 = 15$ . Działa w obie strony: z wiersza można „wyciągnąć” wspólny czynnik przed wyznacznik.

5 Transpozycja nie zmienia wyznacznika

A =

2

1

3

4

det = 5

A^{T}

2

3

1

4

det = 5

Wiersze zamienione na kolumny, a wyznacznik ten sam. Dlatego każda własność dla wierszy działa też dla kolumn.

Najczęściej przydaje się własność 1. Operacjami „dodaj wielokrotność innego wiersza” robisz zera w jednej kolumnie, a wyznacznik się nie zmienia. Potem rozwijasz Laplace’em według tej kolumny i zostaje jeden minor.

1

2

0

1

2

5

1

3

- 1

0

3

1

3

6

1

5

w_{2}^{'} = w_{2} - 2 w_{1}

w_{3}^{'} = w_{3} + w_{1}

w_{4}^{'} = w_{4} - 3 w_{1}

1

2

0

1

0

1

1

1

0

2

3

2

0

0

1

2

wiersz, który zmieniasz · wiersz, którego używasz (przepisujesz go bez zmian)

Rachunek na kartce

w_{2}^{'} = w_{2} - 2 w_{1}

	$w_{2}$	$2$	$5$	$1$	$3$
$-$	$2 \cdot w_{1}$	$2$ $1 \cdot 2$	$4$ $2 \cdot 2$	$0$ $0 \cdot 2$	$2$ $1 \cdot 2$
	$w_{2}^{'}$	$0$ $2 - 2$	$1$ $5 - 4$	$1$ $1 - 0$	$1$ $3 - 2$

w_{3}^{'} = w_{3} + w_{1}

	$w_{3}$	$- 1$	$0$	$3$	$1$
$+$	$w_{1}$	$1$	$2$	$0$	$1$
	$w_{3}^{'}$	$0$ $- 1 + 1$	$2$ $0 + 2$	$3$ $3 + 0$	$2$ $1 + 1$

w_{4}^{'} = w_{4} - 3 w_{1}

	$w_{4}$	$3$	$6$	$1$	$5$
$-$	$3 \cdot w_{1}$	$3$ $1 \cdot 3$	$6$ $2 \cdot 3$	$0$ $0 \cdot 3$	$3$ $1 \cdot 3$
	$w_{4}^{'}$	$0$ $3 - 3$	$0$ $6 - 6$	$1$ $1 - 0$	$2$ $5 - 3$

Po lewej macierz przed krokiem. W tym kroku są 3 operacje — liczysz je po kolei, zawsze na wierszach z macierzy po lewej. 1) Zmieniasz wiersz 2 (złoty) za pomocą wiersza 1 (turkusowy — on się nie zmienia). Cel: zero w kolumnie 1 wiersza 2 — teraz stoi tam $2$ . 2) Zmieniasz wiersz 3 (złoty) za pomocą wiersza 1 (turkusowy — on się nie zmienia). Cel: zero w kolumnie 1 wiersza 3 — teraz stoi tam $- 1$ . 3) Zmieniasz wiersz 4 (złoty) za pomocą wiersza 1 (turkusowy — on się nie zmienia). Cel: zero w kolumnie 1 wiersza 4 — teraz stoi tam $3$ .
Zapisz na kartce wiersz 2 — ten, który zmieniasz.
Pod spodem zapisz wiersz 1 pomnożony przez $2$ — każdą liczbę osobno: $1 \cdot 2 = 2$ , $2 \cdot 2 = 4$ , $0 \cdot 2 = 0$ , $1 \cdot 2 = 2$ . Zero razy dowolna liczba to zero. Minus z lewej przypomina, że ten wiersz odejmujesz.
Kolumna 1: $2 - 2 = 0$ . To zero było celem tej operacji.
Kolumna 2: $5 - 4 = 1$ .
Kolumna 3: $1 - 0 = 1$ .
Kolumna 4: $3 - 2 = 1$ .
Wynik spod linii to nowy wiersz 2: $(0, 1, 1, 1)$ . Wstawiasz go do macierzy po prawej w miejsce starego.
Zapisz na kartce wiersz 3 — ten, który zmieniasz.
Pod spodem przepisz wiersz 1. Mnożysz go przez $1$ , więc liczby się nie zmieniają. Plus z lewej przypomina, że ten wiersz dodajesz.
Kolumna 1: $- 1 + 1 = 0$ . Stoisz na $- 1$ i idziesz o $1$ w górę: $- 1 \to 0$ . To zero było celem tej operacji.
Kolumna 2: $0 + 2 = 2$ .
Kolumna 3: $3 + 0 = 3$ .
Kolumna 4: $1 + 1 = 2$ .
Wynik spod linii to nowy wiersz 3: $(0, 2, 3, 2)$ . Wstawiasz go do macierzy po prawej w miejsce starego.
Zapisz na kartce wiersz 4 — ten, który zmieniasz.
Pod spodem zapisz wiersz 1 pomnożony przez $3$ — każdą liczbę osobno: $1 \cdot 3 = 3$ , $2 \cdot 3 = 6$ , $0 \cdot 3 = 0$ , $1 \cdot 3 = 3$ . Zero razy dowolna liczba to zero. Minus z lewej przypomina, że ten wiersz odejmujesz.
Kolumna 1: $3 - 3 = 0$ . To zero było celem tej operacji.
Kolumna 2: $6 - 6 = 0$ .
Kolumna 3: $1 - 0 = 1$ .
Kolumna 4: $5 - 3 = 2$ .
Wynik spod linii to nowy wiersz 4: $(0, 0, 1, 2)$ . Wstawiasz go do macierzy po prawej w miejsce starego.
Gotowe — tak powstała macierz po prawej. Wiersz 1 przepisujesz bez zmian.

A^{'} =

1

2

0

1

0

1

1

1

0

2

3

2

0

0

1

2

Rozwinięcie według: kolumna 1

det (A^{'}) = a_{11} D_{11} + a_{21} D_{21} + a_{31} D_{31} + a_{41} D_{41}

$a_{11} \cdot (- 1)^{1 + 1} \cdot M_{11} = 1 \cdot (+ 1) \cdot 2 = 2$
$M_{11} = det$
$1$ $1$ $1$ $2$ $3$ $2$ $0$ $1$ $2$
$= 6 + 0 + 2 - 0 - 2 - 4 = 2$
minor 3×3 liczymy regułą Sarrusa
$a_{21} = 0$ , więc cały składnik to $0$ — minora nie liczysz.
$a_{31} = 0$ , więc cały składnik to $0$ — minora nie liczysz.
$a_{41} = 0$ , więc cały składnik to $0$ — minora nie liczysz.

det (A^{'}) = 2 + 0 + 0 + 0 = 2

Jak czytać ten rysunek:

po operacjach w kolumnie 1 zostały same zera poza jedynką na górze. Rozwinięcie według kolumny 1 ma więc tylko jeden składnik do liczenia. Wyznacznik nowej macierzy $A'$ jest taki sam jak macierzy wyjściowej, bo używaliśmy tylko własności 1.

Zadanie · krok po kroku

Oblicz wyznacznik macierzy

Zad. 1, str. 87–88, f)

A =

3

3

3

2

2

2

1

1

1

Plan — co zrobimy i po co

Przyglądamy się wierszom — sprawdzamy, czy któryś nie jest wielokrotnością innego. Zawsze warto spojrzeć, zanim zaczniemy liczyć.
Zerujemy wiersze 1 i 2 operacją z własności 1 — wyznacznik się przy tym nie zmienia.
Odczytujemy wyznacznik z własności 2 (wiersz zer).

Inna droga: reguła Sarrusa (macierz jest $3 \times 3$ ). Też daje 0, ale wymaga sześciu iloczynów.

Zauważ wielokrotności
$3$ $3$ $3$ $2$ $2$ $2$ $1$ $1$ $1$
Wiersz 1 to $(3, 3, 3) = 3 \cdot (1, 1, 1)$ , a wiersz 2 to $(2, 2, 2) = 2 \cdot (1, 1, 1)$ . Oba są wielokrotnościami wiersza 3.
Dlaczego?
Gdy jeden wiersz jest wielokrotnością drugiego, można go wyzerować jedną operacją. To skraca całe zadanie do jednej linijki.
Wyzeruj wiersze 1 i 2
Od wiersza 1 odejmujesz 3 razy wiersz 3, a od wiersza 2 — 2 razy wiersz 3.
$3$ $3$ $3$ $2$ $2$ $2$ $1$ $1$ $1$
$w_{1}^{'} = w_{1} - 3 w_{3}$ $w_{2}^{'} = w_{2} - 2 w_{3}$
$0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $1$ $1$ $1$
wiersz, który zmieniasz · wiersz, którego używasz (przepisujesz go bez zmian)
Rachunek na kartce
liczby same przejdą z macierzy na kartkę i z powrotem
$w_{1}^{'} = w_{1} - 3 w_{3}$
$w_{1}$ $3$ $3$ $3$
$-$ $3 \cdot w_{3}$ $3$ $1 \cdot 3$ $3$ $1 \cdot 3$ $3$ $1 \cdot 3$
$w_{1}^{'}$ $0$ $3 - 3$ $0$ $3 - 3$ $0$ $3 - 3$
$w_{2}^{'} = w_{2} - 2 w_{3}$
$w_{2}$ $2$ $2$ $2$
$-$ $2 \cdot w_{3}$ $2$ $1 \cdot 2$ $2$ $1 \cdot 2$ $2$ $1 \cdot 2$
$w_{2}^{'}$ $0$ $2 - 2$ $0$ $2 - 2$ $0$ $2 - 2$
Jak czytać kartkę: na górze wiersz, który zmieniasz (złoty), pod nim wiersz pomocniczy już pomnożony (turkusowy), z lewej znak operacji. Pod złotą linią liczysz kolumnami: liczba z góry minus (albo plus) liczba spod spodu. Ostatni wiersz to nowy wiersz macierzy.
1. Po lewej macierz przed krokiem. W tym kroku są 2 operacje — liczysz je po kolei, zawsze na wierszach z macierzy po lewej. 1) Zmieniasz wiersz 1 (złoty) za pomocą wiersza 3 (turkusowy — on się nie zmienia). Cel: zero w kolumnie 1 wiersza 1 — teraz stoi tam $3$ . 2) Zmieniasz wiersz 2 (złoty) za pomocą wiersza 3 (turkusowy — on się nie zmienia). Cel: zero w kolumnie 1 wiersza 2 — teraz stoi tam $2$ .
2. Zapisz na kartce wiersz 1 — ten, który zmieniasz.
3. Pod spodem zapisz wiersz 3 pomnożony przez $3$ — każdą liczbę osobno: $1 \cdot 3 = 3$ , $1 \cdot 3 = 3$ , $1 \cdot 3 = 3$ . Minus z lewej przypomina, że ten wiersz odejmujesz.
4. Kolumna 1: $3 - 3 = 0$ . To zero było celem tej operacji.
5. Kolumna 2: $3 - 3 = 0$ .
6. Kolumna 3: $3 - 3 = 0$ .
7. Wynik spod linii to nowy wiersz 1: $(0, 0, 0)$ . Wstawiasz go do macierzy po prawej w miejsce starego.
8. Zapisz na kartce wiersz 2 — ten, który zmieniasz.
9. Pod spodem zapisz wiersz 3 pomnożony przez $2$ — każdą liczbę osobno: $1 \cdot 2 = 2$ , $1 \cdot 2 = 2$ , $1 \cdot 2 = 2$ . Minus z lewej przypomina, że ten wiersz odejmujesz.
10. Kolumna 1: $2 - 2 = 0$ . To zero było celem tej operacji.
11. Kolumna 2: $2 - 2 = 0$ .
12. Kolumna 3: $2 - 2 = 0$ .
13. Wynik spod linii to nowy wiersz 2: $(0, 0, 0)$ . Wstawiasz go do macierzy po prawej w miejsce starego.
14. Gotowe — tak powstała macierz po prawej. Wiersz 3 przepisujesz bez zmian.
Dlaczego?
To operacja „dodaj wielokrotność innego wiersza” (z liczbą ujemną). Według własności 1 nie zmienia wyznacznika, więc wyznacznik nowej macierzy jest równy wyznacznikowi $A$ .
Odczytaj wyznacznik
W nowej macierzy wiersze 1 i 2 to same zera. Według własności 2 wyznacznik takiej macierzy to 0. Zatem $\det(A) = 0$ — macierz jest osobliwa.
Inny sposób
Reguła Sarrusa: każdy z sześciu składników to $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ (jedna liczba z każdego wiersza).
$\det(A) = 6 + 6 + 6 - 6 - 6 - 6 = 0$

	$w_{1}$	$3$	$3$	$3$
$-$	$3 \cdot w_{3}$	$3$ $1 \cdot 3$	$3$ $1 \cdot 3$	$3$ $1 \cdot 3$
	$w_{1}^{'}$	$0$ $3 - 3$	$0$ $3 - 3$	$0$ $3 - 3$

	$w_{2}$	$2$	$2$	$2$
$-$	$2 \cdot w_{3}$	$2$ $1 \cdot 2$	$2$ $1 \cdot 2$	$2$ $1 \cdot 2$
	$w_{2}^{'}$	$0$ $2 - 2$	$0$ $2 - 2$	$0$ $2 - 2$

Wyznacznik z parametrem

Przypomnienie ze slajdów: macierz, której wyznacznik jest równy 0, to macierz osobliwa. Polecenie z parametrem sprawdza właśnie tę definicję. Różnica jest jedna: w macierzy stoi litera, więc wyznacznik wychodzi wyrażeniem z literą, a nie liczbą.

Zadanie · krok po kroku

Kiedy macierz jest osobliwa?

wariant polecenia — przykład własny

A =

a

2

3

a + 1

Plan — co zrobimy i po co

Liczymy wyznacznik z literą $a$ , bo „osobliwa” znaczy „wyznacznik równy 0”.
Rozwiązujemy równanie $\det(A) = 0$ .
Zapisujemy odpowiedź dla obu pytań: kiedy osobliwa, a kiedy ma odwrotną.

Inna droga to rząd: macierz $2 \times 2$ jest osobliwa, gdy jej rząd jest mniejszy niż 2. Z literą $a$ to jednak więcej pracy, dlatego liczymy wyznacznik.

Policz wyznacznik z parametrem
Wzór $2 \times 2$ : główna przekątna minus druga przekątna.
$\begin{aligned} \det(A) &= a \cdot (a + 1) - 2 \cdot 3 \\ &= a^2 + a - 6 \end{aligned}$
Dlaczego?
Litera $a$ zachowuje się jak zwykła liczba. Mnożysz $a$ przez nawias $(a + 1)$ — każdy wyraz osobno: $a \cdot a + a \cdot 1 = a^2 + a$ .
Przyrównaj do zera i rozwiąż
$\begin{gathered} a^2 + a - 6 = 0 \\ \Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25, \quad \sqrt{\Delta} = 5 \\ a_1 = \frac{-1 - 5}{2} = -3 \\ a_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2 \end{gathered}$
Przypomnienie z liceum
Równanie $ax^2 + bx + c = 0$ : $\Delta = b^2 - 4ac$ , a pierwiastki to $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ i $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ . Tu niewiadomą jest parametr $a$ . Współczynniki: przy $a^2$ stoi 1, przy $a$ stoi 1, a wyraz wolny to $-6$ .
Zapisz odpowiedź
Macierz jest osobliwa dla $a = -3$ lub $a = 2$ . Dla pozostałych $a$ wyznacznik jest różny od zera, więc macierz ma odwrotną: $a \in \mathbb{R} \setminus \{-3, 2\}$ , czyli dla każdej liczby rzeczywistej oprócz $-3$ i $2$ .
Dlaczego?
Sprawdzenie dla $a = 2$ :
$det$
$2$ $2$ $3$ $3$
$= 2 \cdot 3 - 2 \cdot 3 = 0$
Kolumny są równe — zgadza się z regułą o proporcjonalnych kolumnach.

Macierz odwrotna

Odwrotnością liczby 5 jest $\frac{1}{5}$ , bo $5 \cdot \frac{1}{5} = 1$ . Macierz odwrotna działa tak samo, tylko zamiast liczby 1 wychodzi macierz jednostkowa $I$ .

A^{- 1}

Macierz odwrotna

czytamy: „A do minus pierwszej”

Macierz, która pomnożona przez $A$ daje $I$ . To nie jest $\frac{1}{A}$ — macierzy się nie dzieli.

Jak zapamiętać: $A \cdot A^{- 1} = I$ , jak $5 \cdot \frac{1}{5} = 1$ .

D

Macierz dopełnień algebraicznych

czytamy: „macierz de”

Na miejscu $(i, j)$ stoi dopełnienie algebraiczne $D_{ij}$ elementu $a_{ij}$ . Potrzebna w metodzie wyznacznikowej.

Jak zapamiętać: D jak „dopełnienia”.

Dlaczego wyznacznik nie może być zerem?

We wzorach na macierz odwrotną dzielisz przez $\det(A)$ . Przez zero dzielić nie wolno, więc dla $\det(A) = 0$ macierz odwrotna nie istnieje.

Macierz 2×2 — szybki wzór

A^{- 1} = \frac{1}{det ( A )} \cdot

a_{22}

- a_{12}

- a_{21}

a_{11}

Czytamy: A do minus pierwszej to jeden przez wyznacznik A razy macierz…

$a_{11} \leftrightarrow a_{22}$: liczby z głównej przekątnej zamieniają się miejscami (złote)
$- a_{12}, - a_{21}$: dwie pozostałe liczby zostają na miejscu, ale zmieniają znak (różowe)
$\frac{1}{d e t ( A )}$: na końcu każdą liczbę dzielisz przez wyznacznik

A =

2

1

5

3

→

A^{- 1} = \frac{1}{1} \cdot

3

- 1

- 5

2

Tu $\det(A) = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 5 = 1$ , więc dzielenie niczego nie zmienia. Złote liczby (2 i 3) zamieniły się miejscami, różowe (1 i 5) zmieniły znak. Sprawdź, że wychodzi macierz jednostkowa — kliknij kratki wyniku:

A

2 × 2·

A^{- 1}

2 × 2→wynik2 × 2

Środkowe liczby: 2 i 2 — równe, więc da się pomnożyć. Wynik ma wymiar z liczb zewnętrznych: 2 × 2.

A =

2

1

5

3

A^{- 1} =

3

- 1

- 5

2

C = A \cdot A^{- 1} =

1

0

0

1

Kratka $c_{11}$ (wiersz 1, kolumna 1): bierzesz wiersz 1 macierzy $A$ i kolumnę 1 macierzy $A^{- 1}$ . Mnożysz liczby parami — pierwszą z pierwszą, drugą z drugą… — i dodajesz iloczyny.
1. 2.
wiersz 1 z $A$ $2$ $1$
kolumna 1 z $A^{- 1}$ $3$ $- 5$
iloczyn $6$ $- 5$
$c_{11} = 2 \cdot 3 + 1 \cdot (- 5) = 6 - 5 = 1$
Kratka $c_{12}$ (wiersz 1, kolumna 2): bierzesz wiersz 1 macierzy $A$ i kolumnę 2 macierzy $A^{- 1}$ . Mnożysz liczby parami — pierwszą z pierwszą, drugą z drugą… — i dodajesz iloczyny.
1. 2.
wiersz 1 z $A$ $2$ $1$
kolumna 2 z $A^{- 1}$ $- 1$ $2$
iloczyn $- 2$ $2$
$c_{12} = 2 \cdot (- 1) + 1 \cdot 2 = - 2 + 2 = 0$
Kratka $c_{21}$ (wiersz 2, kolumna 1): bierzesz wiersz 2 macierzy $A$ i kolumnę 1 macierzy $A^{- 1}$ . Mnożysz liczby parami — pierwszą z pierwszą, drugą z drugą… — i dodajesz iloczyny.
1. 2.
wiersz 2 z $A$ $5$ $3$
kolumna 1 z $A^{- 1}$ $3$ $- 5$
iloczyn $15$ $- 15$
$c_{21} = 5 \cdot 3 + 3 \cdot (- 5) = 15 - 15 = 0$
Kratka $c_{22}$ (wiersz 2, kolumna 2): bierzesz wiersz 2 macierzy $A$ i kolumnę 2 macierzy $A^{- 1}$ . Mnożysz liczby parami — pierwszą z pierwszą, drugą z drugą… — i dodajesz iloczyny.
1. 2.
wiersz 2 z $A$ $5$ $3$
kolumna 2 z $A^{- 1}$ $- 1$ $2$
iloczyn $- 5$ $6$
$c_{22} = 5 \cdot (- 1) + 3 \cdot 2 = - 5 + 6 = 1$

	1.	2.
wiersz 1 z $A$	$2$	$1$
kolumna 1 z $A^{- 1}$	$3$	$- 5$
iloczyn	$6$	$- 5$

	1.	2.
wiersz 1 z $A$	$2$	$1$
kolumna 2 z $A^{- 1}$	$- 1$	$2$
iloczyn	$- 2$	$2$

	1.	2.
wiersz 2 z $A$	$5$	$3$
kolumna 1 z $A^{- 1}$	$3$	$- 5$
iloczyn	$15$	$- 15$

	1.	2.
wiersz 2 z $A$	$5$	$3$
kolumna 2 z $A^{- 1}$	$- 1$	$2$
iloczyn	$- 5$	$6$

Jak czytać ten rysunek:

to sprawdzenie $A \cdot A^{-1}$ . Każda kratka liczy się jak zwykle: wiersz razy kolumna. Na przekątnej wychodzą jedynki, poza nią zera — czyli $I$ .

Gdy wyznacznik nie jest jedynką, pojawiają się ułamki. Tu $\det = 3 \cdot 4 - 2 \cdot 1 = 10$ :

A =

3

2

1

4

→

A^{- 1} = \frac{1}{10} \cdot

4

- 2

- 1

3

\frac{4}{10}

- \frac{2}{10}

- \frac{1}{10}

\frac{3}{10}

\frac{2}{5}

- \frac{1}{5}

- \frac{1}{10}

\frac{3}{10}

Ułamki skracasz na końcu.

Metoda wyznacznikowa

Dla macierzy $3 \times 3$ (i większych) używasz wzoru ze slajdu:

A^{- 1} = \frac{1}{det ( A )} \cdot D^{T}

Czytamy: A do minus pierwszej to jeden przez wyznacznik A razy de transponowana

$det (A)$: wyznacznik $A$ — musi być różny od 0
$D$: macierz dopełnień algebraicznych: na miejscu $(i, j)$ stoi $D_{ij} = (- 1)^{i + j} M_{ij}$
$D^{T}$: ta sama macierz po transpozycji — wiersze zamienione na kolumny

Zadanie · krok po kroku

Odwróć macierz metodą wyznacznikową

przykład z zajęć

A =

2

1

0

- 1

3

2

0

1

1

Plan — co zrobimy i po co

Liczymy wyznacznik. Jeśli wyjdzie 0, macierzy nie da się odwrócić i dalej nie liczymy. Poza tym wyznacznik jest potrzebny we wzorze.
Liczymy macierz dopełnień $D$ — dziewięć małych wyznaczników $2 \times 2$ .
Transponujemy $D$ , bo tak każe wzór.
Dzielimy wszystko przez wyznacznik.
Sprawdzamy $A \cdot A^{-1} = I$ , bo przy dziewięciu rachunkach łatwo o pomyłkę.

Inna droga: metoda operacji elementarnych (niżej). Na zajęciach tę samą macierz odwróciliśmy obiema metodami i wyszło to samo.

Policz wyznacznik (Sarrus)
To ta sama macierz co w przykładzie z regułą Sarrusa:
$\begin{aligned} \det(A) &= 2 \cdot 3 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \cdot 0 \\ &\quad + 0 \cdot (-1) \cdot 1 - 0 \cdot 3 \cdot 0 \\ &\quad - 2 \cdot 2 \cdot 1 - 1 \cdot (-1) \cdot 1 \\ &= 6 - 4 + 1 = 3 \end{aligned}$
Dlaczego?
$\det(A) = 3 \neq 0$ , więc macierz odwrotna istnieje i możemy liczyć dalej.
Policz macierz dopełnień D
Dla każdej liczby w $A$ : skreśl jej wiersz i kolumnę, policz wyznacznik czterech liczb, które zostały (minor), i pomnóż go przez znak z szachownicy ( $+1$ albo $-1$ ).
$A =$
$2$ $1$ $0$ $- 1$ $3$ $2$ $0$ $1$ $1$
znaki
+−+−+−+−+
$D =$
$1$ $1$ $- 1$ $- 1$ $2$ $- 2$ $2$ $- 4$ $7$
- Skreślasz wiersz 1 i kolumnę 1. Zostają cztery liczby — to macierz 2×2, a jej wyznacznik to minor $M_{11}$ . Znak bierzesz z szachownicy: $(- 1)^{1 + 1} = (- 1)^{2} = + 1$ (suma numerów parzysta).
  $D_{11} = (- 1)^{1 + 1} \cdot M_{11}$
  $M_{11} = det$
  $3$ $2$ $1$ $1$
  $= 3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 = 1$
  $D_{11} = (+ 1) \cdot 1 = 1$
- Skreślasz wiersz 1 i kolumnę 2. Zostają cztery liczby — to macierz 2×2, a jej wyznacznik to minor $M_{12}$ . Znak bierzesz z szachownicy: $(- 1)^{1 + 2} = (- 1)^{3} = - 1$ (suma numerów nieparzysta).
  $D_{12} = (- 1)^{1 + 2} \cdot M_{12}$
  $M_{12} = det$
  $- 1$ $2$ $0$ $1$
  $= (- 1) \cdot 1 - 2 \cdot 0 = - 1$
  $D_{12} = (- 1) \cdot (- 1) = 1$
- Skreślasz wiersz 1 i kolumnę 3. Zostają cztery liczby — to macierz 2×2, a jej wyznacznik to minor $M_{13}$ . Znak bierzesz z szachownicy: $(- 1)^{1 + 3} = (- 1)^{4} = + 1$ (suma numerów parzysta).
  $D_{13} = (- 1)^{1 + 3} \cdot M_{13}$
  $M_{13} = det$
  $- 1$ $3$ $0$ $1$
  $= (- 1) \cdot 1 - 3 \cdot 0 = - 1$
  $D_{13} = (+ 1) \cdot (- 1) = - 1$
- Skreślasz wiersz 2 i kolumnę 1. Zostają cztery liczby — to macierz 2×2, a jej wyznacznik to minor $M_{21}$ . Znak bierzesz z szachownicy: $(- 1)^{2 + 1} = (- 1)^{3} = - 1$ (suma numerów nieparzysta).
  $D_{21} = (- 1)^{2 + 1} \cdot M_{21}$
  $M_{21} = det$
  $1$ $0$ $1$ $1$
  $= 1 \cdot 1 - 0 \cdot 1 = 1$
  $D_{21} = (- 1) \cdot 1 = - 1$
- Skreślasz wiersz 2 i kolumnę 2. Zostają cztery liczby — to macierz 2×2, a jej wyznacznik to minor $M_{22}$ . Znak bierzesz z szachownicy: $(- 1)^{2 + 2} = (- 1)^{4} = + 1$ (suma numerów parzysta).
  $D_{22} = (- 1)^{2 + 2} \cdot M_{22}$
  $M_{22} = det$
  $2$ $0$ $0$ $1$
  $= 2 \cdot 1 - 0 \cdot 0 = 2$
  $D_{22} = (+ 1) \cdot 2 = 2$
- Skreślasz wiersz 2 i kolumnę 3. Zostają cztery liczby — to macierz 2×2, a jej wyznacznik to minor $M_{23}$ . Znak bierzesz z szachownicy: $(- 1)^{2 + 3} = (- 1)^{5} = - 1$ (suma numerów nieparzysta).
  $D_{23} = (- 1)^{2 + 3} \cdot M_{23}$
  $M_{23} = det$
  $2$ $1$ $0$ $1$
  $= 2 \cdot 1 - 1 \cdot 0 = 2$
  $D_{23} = (- 1) \cdot 2 = - 2$
- Skreślasz wiersz 3 i kolumnę 1. Zostają cztery liczby — to macierz 2×2, a jej wyznacznik to minor $M_{31}$ . Znak bierzesz z szachownicy: $(- 1)^{3 + 1} = (- 1)^{4} = + 1$ (suma numerów parzysta).
  $D_{31} = (- 1)^{3 + 1} \cdot M_{31}$
  $M_{31} = det$
  $1$ $0$ $3$ $2$
  $= 1 \cdot 2 - 0 \cdot 3 = 2$
  $D_{31} = (+ 1) \cdot 2 = 2$
- Skreślasz wiersz 3 i kolumnę 2. Zostają cztery liczby — to macierz 2×2, a jej wyznacznik to minor $M_{32}$ . Znak bierzesz z szachownicy: $(- 1)^{3 + 2} = (- 1)^{5} = - 1$ (suma numerów nieparzysta).
  $D_{32} = (- 1)^{3 + 2} \cdot M_{32}$
  $M_{32} = det$
  $2$ $0$ $- 1$ $2$
  $= 2 \cdot 2 - 0 \cdot (- 1) = 4$
  $D_{32} = (- 1) \cdot 4 = - 4$
- Skreślasz wiersz 3 i kolumnę 3. Zostają cztery liczby — to macierz 2×2, a jej wyznacznik to minor $M_{33}$ . Znak bierzesz z szachownicy: $(- 1)^{3 + 3} = (- 1)^{6} = + 1$ (suma numerów parzysta).
  $D_{33} = (- 1)^{3 + 3} \cdot M_{33}$
  $M_{33} = det$
  $2$ $1$ $- 1$ $3$
  $= 2 \cdot 3 - 1 \cdot (- 1) = 7$
  $D_{33} = (+ 1) \cdot 7 = 7$
Jak czytać ten rysunek:
kliknij liczbę w $A$ (albo „Policz”). Jej wiersz i kolumna się przekreślą, a cztery zielone kratki to minor. Złoty znak w szachownicy to $(-1)^{i+j}$ . Gotowe dopełnienie pojawi się w macierzy $D$ na tym samym miejscu, na którym w $A$ stoi kliknięta liczba.
Wszystkie 9 dopełnień naraz
$D_{11} = (- 1)^{1 + 1} \cdot M_{11}$
$M_{11} = det$
$3$ $2$ $1$ $1$
$= 3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 = 1$
$D_{11} = (+ 1) \cdot 1 = 1$
$D_{12} = (- 1)^{1 + 2} \cdot M_{12}$
$M_{12} = det$
$- 1$ $2$ $0$ $1$
$= (- 1) \cdot 1 - 2 \cdot 0 = - 1$
$D_{12} = (- 1) \cdot (- 1) = 1$
$D_{13} = (- 1)^{1 + 3} \cdot M_{13}$
$M_{13} = det$
$- 1$ $3$ $0$ $1$
$= (- 1) \cdot 1 - 3 \cdot 0 = - 1$
$D_{13} = (+ 1) \cdot (- 1) = - 1$
$D_{21} = (- 1)^{2 + 1} \cdot M_{21}$
$M_{21} = det$
$1$ $0$ $1$ $1$
$= 1 \cdot 1 - 0 \cdot 1 = 1$
$D_{21} = (- 1) \cdot 1 = - 1$
$D_{22} = (- 1)^{2 + 2} \cdot M_{22}$
$M_{22} = det$
$2$ $0$ $0$ $1$
$= 2 \cdot 1 - 0 \cdot 0 = 2$
$D_{22} = (+ 1) \cdot 2 = 2$
$D_{23} = (- 1)^{2 + 3} \cdot M_{23}$
$M_{23} = det$
$2$ $1$ $0$ $1$
$= 2 \cdot 1 - 1 \cdot 0 = 2$
$D_{23} = (- 1) \cdot 2 = - 2$
$D_{31} = (- 1)^{3 + 1} \cdot M_{31}$
$M_{31} = det$
$1$ $0$ $3$ $2$
$= 1 \cdot 2 - 0 \cdot 3 = 2$
$D_{31} = (+ 1) \cdot 2 = 2$
$D_{32} = (- 1)^{3 + 2} \cdot M_{32}$
$M_{32} = det$
$2$ $0$ $- 1$ $2$
$= 2 \cdot 2 - 0 \cdot (- 1) = 4$
$D_{32} = (- 1) \cdot 4 = - 4$
$D_{33} = (- 1)^{3 + 3} \cdot M_{33}$
$M_{33} = det$
$2$ $1$ $- 1$ $3$
$= 2 \cdot 3 - 1 \cdot (- 1) = 7$
$D_{33} = (+ 1) \cdot 7 = 7$
Dlaczego?
Wzór potrzebuje dopełnienia każdego elementu. Na miejscu $(i, j)$ w $D$ stoi dopełnienie elementu $a_{ij}$ — stąd kolejność.
Bo tak — umowa
Znak $(-1)^{i+j}$ to część definicji dopełnienia algebraicznego. Nie trzeba go liczyć — wystarczy szachownica z plusem w lewym górnym rogu.
Transponuj D
$D =$
$1$ $1$ $- 1$ $- 1$ $2$ $- 2$ $2$ $- 4$ $7$
$3 \times 3$
$D^{T} =$
$1$ $- 1$ $2$ $1$ $2$ $- 4$ $- 1$ $- 2$ $7$
$3 \times 3$
- Wiersz 1 macierzy $D$ to $(1, 1, - 1)$ . Te same liczby, w tej samej kolejności, wpisujesz w kolumnę 1 macierzy $D^{T}$ — z góry na dół.
- Wiersz 2 macierzy $D$ to $(- 1, 2, - 2)$ . Te same liczby, w tej samej kolejności, wpisujesz w kolumnę 2 macierzy $D^{T}$ — z góry na dół.
- Wiersz 3 macierzy $D$ to $(2, - 4, 7)$ . Te same liczby, w tej samej kolejności, wpisujesz w kolumnę 3 macierzy $D^{T}$ — z góry na dół.
- Liczba $1$ stoi w $D$ w wierszu 1 i kolumnie 1 (to $a_{11}$ ). W $D^{T}$ stoi w wierszu 1 i kolumnie 1 — numery wiersza i kolumny zamieniają się miejscami.
- Liczba $1$ stoi w $D$ w wierszu 1 i kolumnie 2 (to $a_{12}$ ). W $D^{T}$ stoi w wierszu 2 i kolumnie 1 — numery wiersza i kolumny zamieniają się miejscami.
- Liczba $- 1$ stoi w $D$ w wierszu 1 i kolumnie 3 (to $a_{13}$ ). W $D^{T}$ stoi w wierszu 3 i kolumnie 1 — numery wiersza i kolumny zamieniają się miejscami.
- Liczba $- 1$ stoi w $D$ w wierszu 2 i kolumnie 1 (to $a_{21}$ ). W $D^{T}$ stoi w wierszu 1 i kolumnie 2 — numery wiersza i kolumny zamieniają się miejscami.
- Liczba $2$ stoi w $D$ w wierszu 2 i kolumnie 2 (to $a_{22}$ ). W $D^{T}$ stoi w wierszu 2 i kolumnie 2 — numery wiersza i kolumny zamieniają się miejscami.
- Liczba $- 2$ stoi w $D$ w wierszu 2 i kolumnie 3 (to $a_{23}$ ). W $D^{T}$ stoi w wierszu 3 i kolumnie 2 — numery wiersza i kolumny zamieniają się miejscami.
- Liczba $2$ stoi w $D$ w wierszu 3 i kolumnie 1 (to $a_{31}$ ). W $D^{T}$ stoi w wierszu 1 i kolumnie 3 — numery wiersza i kolumny zamieniają się miejscami.
- Liczba $- 4$ stoi w $D$ w wierszu 3 i kolumnie 2 (to $a_{32}$ ). W $D^{T}$ stoi w wierszu 2 i kolumnie 3 — numery wiersza i kolumny zamieniają się miejscami.
- Liczba $7$ stoi w $D$ w wierszu 3 i kolumnie 3 (to $a_{33}$ ). W $D^{T}$ stoi w wierszu 3 i kolumnie 3 — numery wiersza i kolumny zamieniają się miejscami.
Jak czytać ten rysunek:
wiersze $D$ stają się kolumnami $D^T$ — ten sam kolor, te same liczby, ta sama kolejność.
Bo tak — umowa
Wzór ma $D^T$ , a nie $D$ — tak wynika z rachunku, który stoi za wzorem. Zapamiętaj kolejność: najpierw liczysz $D$ , potem transponujesz.
Podziel przez wyznacznik
$\frac{1}{\det(A)} = \frac{1}{3}$ . Każdą liczbę $D^T$ mnożysz przez $\frac{1}{3}$ (czyli dzielisz przez 3).
$A^{- 1} = \frac{1}{3} \cdot$
$1$ $- 1$ $2$ $1$ $2$ $- 4$ $- 1$ $- 2$ $7$
=
$\frac{1}{3}$ $- \frac{1}{3}$ $\frac{2}{3}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{2}{3}$ $- \frac{4}{3}$ $- \frac{1}{3}$ $- \frac{2}{3}$ $\frac{7}{3}$
Inny sposób
Możesz zostawić ułamek przed macierzą:
$A^{- 1} = \frac{1}{3} \cdot$
$1$ $- 1$ $2$ $1$ $2$ $- 4$ $- 1$ $- 2$ $7$
Obie postacie oznaczają to samo.
Sprawdź: A · A⁻¹ = I
$A$ 3 × 3· $A^{- 1}$ 3 × 3→wynik3 × 3
Środkowe liczby: 3 i 3 — równe, więc da się pomnożyć. Wynik ma wymiar z liczb zewnętrznych: 3 × 3.
$A =$
$2$ $1$ $0$ $- 1$ $3$ $2$ $0$ $1$ $1$
$A^{- 1} =$
$\frac{1}{3}$ $- \frac{1}{3}$ $\frac{2}{3}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{2}{3}$ $- \frac{4}{3}$ $- \frac{1}{3}$ $- \frac{2}{3}$ $\frac{7}{3}$
$C = A \cdot A^{- 1} =$
$1$ $0$ $0$ $0$ $1$ $0$ $0$ $0$ $1$
- Kratka $c_{11}$ (wiersz 1, kolumna 1): bierzesz wiersz 1 macierzy $A$ i kolumnę 1 macierzy $A^{- 1}$ . Mnożysz liczby parami — pierwszą z pierwszą, drugą z drugą… — i dodajesz iloczyny.
  1. 2. 3.
  wiersz 1 z $A$ $2$ $1$ $0$
  kolumna 1 z $A^{- 1}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$ $- \frac{1}{3}$
  iloczyn $\frac{2}{3}$ $\frac{1}{3}$ $0$
  $c_{11} = 2 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{1}{3} + 0 \cdot (- \frac{1}{3}) = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} + 0 = 1$
- Kratka $c_{12}$ (wiersz 1, kolumna 2): bierzesz wiersz 1 macierzy $A$ i kolumnę 2 macierzy $A^{- 1}$ . Mnożysz liczby parami — pierwszą z pierwszą, drugą z drugą… — i dodajesz iloczyny.
  1. 2. 3.
  wiersz 1 z $A$ $2$ $1$ $0$
  kolumna 2 z $A^{- 1}$ $- \frac{1}{3}$ $\frac{2}{3}$ $- \frac{2}{3}$
  iloczyn $- \frac{2}{3}$ $\frac{2}{3}$ $0$
  $c_{12} = 2 \cdot (- \frac{1}{3}) + 1 \cdot \frac{2}{3} + 0 \cdot (- \frac{2}{3}) = - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} + 0 = 0$
- Kratka $c_{13}$ (wiersz 1, kolumna 3): bierzesz wiersz 1 macierzy $A$ i kolumnę 3 macierzy $A^{- 1}$ . Mnożysz liczby parami — pierwszą z pierwszą, drugą z drugą… — i dodajesz iloczyny.
  1. 2. 3.
  wiersz 1 z $A$ $2$ $1$ $0$
  kolumna 3 z $A^{- 1}$ $\frac{2}{3}$ $- \frac{4}{3}$ $\frac{7}{3}$
  iloczyn $\frac{4}{3}$ $- \frac{4}{3}$ $0$
  $c_{13} = 2 \cdot \frac{2}{3} + 1 \cdot (- \frac{4}{3}) + 0 \cdot \frac{7}{3} = \frac{4}{3} - \frac{4}{3} + 0 = 0$
- Kratka $c_{21}$ (wiersz 2, kolumna 1): bierzesz wiersz 2 macierzy $A$ i kolumnę 1 macierzy $A^{- 1}$ . Mnożysz liczby parami — pierwszą z pierwszą, drugą z drugą… — i dodajesz iloczyny.
  1. 2. 3.
  wiersz 2 z $A$ $- 1$ $3$ $2$
  kolumna 1 z $A^{- 1}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$ $- \frac{1}{3}$
  iloczyn $- \frac{1}{3}$ $1$ $- \frac{2}{3}$
  $c_{21} = (- 1) \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{3} + 1 - \frac{2}{3} = 0$
- Kratka $c_{22}$ (wiersz 2, kolumna 2): bierzesz wiersz 2 macierzy $A$ i kolumnę 2 macierzy $A^{- 1}$ . Mnożysz liczby parami — pierwszą z pierwszą, drugą z drugą… — i dodajesz iloczyny.
  1. 2. 3.
  wiersz 2 z $A$ $- 1$ $3$ $2$
  kolumna 2 z $A^{- 1}$ $- \frac{1}{3}$ $\frac{2}{3}$ $- \frac{2}{3}$
  iloczyn $\frac{1}{3}$ $2$ $- \frac{4}{3}$
  $c_{22} = (- 1) \cdot (- \frac{1}{3}) + 3 \cdot \frac{2}{3} + 2 \cdot (- \frac{2}{3}) = \frac{1}{3} + 2 - \frac{4}{3} = 1$
- Kratka $c_{23}$ (wiersz 2, kolumna 3): bierzesz wiersz 2 macierzy $A$ i kolumnę 3 macierzy $A^{- 1}$ . Mnożysz liczby parami — pierwszą z pierwszą, drugą z drugą… — i dodajesz iloczyny.
  1. 2. 3.
  wiersz 2 z $A$ $- 1$ $3$ $2$
  kolumna 3 z $A^{- 1}$ $\frac{2}{3}$ $- \frac{4}{3}$ $\frac{7}{3}$
  iloczyn $- \frac{2}{3}$ $- 4$ $\frac{14}{3}$
  $c_{23} = (- 1) \cdot \frac{2}{3} + 3 \cdot (- \frac{4}{3}) + 2 \cdot \frac{7}{3} = - \frac{2}{3} - 4 + \frac{14}{3} = 0$
- Kratka $c_{31}$ (wiersz 3, kolumna 1): bierzesz wiersz 3 macierzy $A$ i kolumnę 1 macierzy $A^{- 1}$ . Mnożysz liczby parami — pierwszą z pierwszą, drugą z drugą… — i dodajesz iloczyny.
  1. 2. 3.
  wiersz 3 z $A$ $0$ $1$ $1$
  kolumna 1 z $A^{- 1}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$ $- \frac{1}{3}$
  iloczyn $0$ $\frac{1}{3}$ $- \frac{1}{3}$
  $c_{31} = 0 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot (- \frac{1}{3}) = 0 + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} = 0$
- Kratka $c_{32}$ (wiersz 3, kolumna 2): bierzesz wiersz 3 macierzy $A$ i kolumnę 2 macierzy $A^{- 1}$ . Mnożysz liczby parami — pierwszą z pierwszą, drugą z drugą… — i dodajesz iloczyny.
  1. 2. 3.
  wiersz 3 z $A$ $0$ $1$ $1$
  kolumna 2 z $A^{- 1}$ $- \frac{1}{3}$ $\frac{2}{3}$ $- \frac{2}{3}$
  iloczyn $0$ $\frac{2}{3}$ $- \frac{2}{3}$
  $c_{32} = 0 \cdot (- \frac{1}{3}) + 1 \cdot \frac{2}{3} + 1 \cdot (- \frac{2}{3}) = 0 + \frac{2}{3} - \frac{2}{3} = 0$
- Kratka $c_{33}$ (wiersz 3, kolumna 3): bierzesz wiersz 3 macierzy $A$ i kolumnę 3 macierzy $A^{- 1}$ . Mnożysz liczby parami — pierwszą z pierwszą, drugą z drugą… — i dodajesz iloczyny.
  1. 2. 3.
  wiersz 3 z $A$ $0$ $1$ $1$
  kolumna 3 z $A^{- 1}$ $\frac{2}{3}$ $- \frac{4}{3}$ $\frac{7}{3}$
  iloczyn $0$ $- \frac{4}{3}$ $\frac{7}{3}$
  $c_{33} = 0 \cdot \frac{2}{3} + 1 \cdot (- \frac{4}{3}) + 1 \cdot \frac{7}{3} = 0 - \frac{4}{3} + \frac{7}{3} = 1$
Jak czytać ten rysunek:
kliknij kilka kratek. Na przekątnej mają wyjść jedynki, poza nią zera. Jeśli gdzieś wyjdzie co innego, szukaj błędu w dopełnieniu z tego wiersza albo kolumny.
Dlaczego?
Z definicji $A \cdot A^{-1} = I$ . To najszybszy test, czy nigdzie nie ma pomyłki w znaku.

	1.	2.	3.
wiersz 1 z $A$	$2$	$1$	$0$
kolumna 1 z $A^{- 1}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$- \frac{1}{3}$
iloczyn	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{3}$	$0$

	1.	2.	3.
wiersz 1 z $A$	$2$	$1$	$0$
kolumna 2 z $A^{- 1}$	$- \frac{1}{3}$	$\frac{2}{3}$	$- \frac{2}{3}$
iloczyn	$- \frac{2}{3}$	$\frac{2}{3}$	$0$

	1.	2.	3.
wiersz 1 z $A$	$2$	$1$	$0$
kolumna 3 z $A^{- 1}$	$\frac{2}{3}$	$- \frac{4}{3}$	$\frac{7}{3}$
iloczyn	$\frac{4}{3}$	$- \frac{4}{3}$	$0$

	1.	2.	3.
wiersz 2 z $A$	$- 1$	$3$	$2$
kolumna 1 z $A^{- 1}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$- \frac{1}{3}$
iloczyn	$- \frac{1}{3}$	$1$	$- \frac{2}{3}$

	1.	2.	3.
wiersz 2 z $A$	$- 1$	$3$	$2$
kolumna 2 z $A^{- 1}$	$- \frac{1}{3}$	$\frac{2}{3}$	$- \frac{2}{3}$
iloczyn	$\frac{1}{3}$	$2$	$- \frac{4}{3}$

	1.	2.	3.
wiersz 2 z $A$	$- 1$	$3$	$2$
kolumna 3 z $A^{- 1}$	$\frac{2}{3}$	$- \frac{4}{3}$	$\frac{7}{3}$
iloczyn	$- \frac{2}{3}$	$- 4$	$\frac{14}{3}$

	1.	2.	3.
wiersz 3 z $A$	$0$	$1$	$1$
kolumna 1 z $A^{- 1}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$- \frac{1}{3}$
iloczyn	$0$	$\frac{1}{3}$	$- \frac{1}{3}$

	1.	2.	3.
wiersz 3 z $A$	$0$	$1$	$1$
kolumna 2 z $A^{- 1}$	$- \frac{1}{3}$	$\frac{2}{3}$	$- \frac{2}{3}$
iloczyn	$0$	$\frac{2}{3}$	$- \frac{2}{3}$

	1.	2.	3.
wiersz 3 z $A$	$0$	$1$	$1$
kolumna 3 z $A^{- 1}$	$\frac{2}{3}$	$- \frac{4}{3}$	$\frac{7}{3}$
iloczyn	$0$	$- \frac{4}{3}$	$\frac{7}{3}$

Metoda operacji elementarnych

Obok macierzy $A$ ustawiasz macierz jednostkową tego samego wymiaru i oddzielasz je kreską: $[A \mid I]$ . Potem operacjami na wierszach zamieniasz lewą połówkę w $I$ . Gdy się uda, po prawej stronie stoi $A^{-1}$ :

[A \mid I] \xrightarrow{\text{operacje elementarne na wierszach}} [I \mid A^{-1}]

Bo tak — tylko wiersze

W tej metodzie wolno używać wyłącznie operacji na wierszach — tak jest na slajdzie. Operacja na kolumnie zmienia tylko lewą połówkę. Prawa połówka jej nie „zapamięta”, więc na końcu nie stanie tam $A^{-1}$ .

Zadanie · krok po kroku

Odwróć macierz metodą operacji elementarnych

Zad. 1, str. 92–93, e)

A =

2

5

7

- 2

1

- 3

1

1

3

Plan — co zrobimy i po co

Dopisujemy macierz jednostkową — po prawej stronie będzie powstawać $A^{-1}$ .
Zamieniamy wiersze 1 i 3, żeby w lewym górnym rogu stała jedynka. Unikamy w ten sposób ułamków na starcie.
Zerujemy resztę kolumny 1.
W kolumnie 2 robimy jedynkę na przekątnej i zera nad nią i pod nią.
To samo w kolumnie 3.
Odczytujemy $A^{-1}$ z prawej strony i sprawdzamy jedną kratkę.

Inna droga: metoda wyznacznikowa (wyżej). Da ten sam wynik.

Ustaw [A | I]
$2$ $5$ $7$ $1$ $0$ $0$ $- 2$ $1$ $- 3$ $0$ $1$ $0$ $1$ $1$ $3$ $0$ $0$ $1$
Dlaczego?
Każda operacja działa na obu połówkach naraz. Kiedy lewa połówka zamieni się w $I$ , prawa „zapamięta” wszystkie wykonane operacje — i to jest właśnie $A^{-1}$ .
Zamień wiersze 1 i 3
$2$ $5$ $7$ $1$ $0$ $0$ $- 2$ $1$ $- 3$ $0$ $1$ $0$ $1$ $1$ $3$ $0$ $0$ $1$
$w_{1} \leftrightarrow w_{3}$
$1$ $1$ $3$ $0$ $0$ $1$ $- 2$ $1$ $- 3$ $0$ $1$ $0$ $2$ $5$ $7$ $1$ $0$ $0$
wiersze, które zamieniasz miejscami
Rachunek na kartce
liczby same przejdą z macierzy na kartkę i z powrotem
Zamiana wierszy: liczby zostają te same, zmienia się tylko kolejność wierszy.
1. Po lewej macierz przed krokiem. Zamieniasz miejscami wiersze 1 i 3.
2. Wiersze 1 i 3 zamieniają się miejscami. Liczby w nich zostają te same — zmienia się tylko kolejność wierszy.
3. Gotowe — tak powstała macierz po prawej. Wiersz 2 przepisujesz bez zmian.
Dlaczego?
W wierszu 3 na początku stoi 1. Gdy przeniesiesz go na górę, zera w kolumnie 1 zrobisz, dodając całkowite wielokrotności wiersza 1. Gdyby na górze zostało 2, trzeba by od razu dzielić przez 2 i pojawiłyby się ułamki.
Inny sposób
Można zacząć od $w_1' = w_1 \cdot \frac{1}{2}$ . Wynik będzie ten sam, tylko rachunki od początku idą na ułamkach.
Wyzeruj kolumnę 1 pod jedynką
W wierszu 2 stoi $-2$ . Żeby dostać 0, dodajesz 2 razy wiersz 1: $-2 + 2 \cdot 1 = 0$ . W wierszu 3 stoi 2, więc odejmujesz 2 razy wiersz 1: $2 - 2 \cdot 1 = 0$ .
$1$ $1$ $3$ $0$ $0$ $1$ $- 2$ $1$ $- 3$ $0$ $1$ $0$ $2$ $5$ $7$ $1$ $0$ $0$
$w_{2}^{'} = w_{2} + 2 w_{1}$ $w_{3}^{'} = w_{3} - 2 w_{1}$
$1$ $1$ $3$ $0$ $0$ $1$ $0$ $3$ $3$ $0$ $1$ $2$ $0$ $3$ $1$ $1$ $0$ $- 2$
wiersz, który zmieniasz · wiersz, którego używasz (przepisujesz go bez zmian)
Rachunek na kartce
liczby same przejdą z macierzy na kartkę i z powrotem
$w_{2}^{'} = w_{2} + 2 w_{1}$
$w_{2}$ $- 2$ $1$ $- 3$ $0$ $1$ $0$
$+$ $2 \cdot w_{1}$ $2$ $1 \cdot 2$ $2$ $1 \cdot 2$ $6$ $3 \cdot 2$ $0$ $0 \cdot 2$ $0$ $0 \cdot 2$ $2$ $1 \cdot 2$
$w_{2}^{'}$ $0$ $- 2 + 2$ $3$ $1 + 2$ $3$ $- 3 + 6$ $0$ $0 + 0$ $1$ $1 + 0$ $2$ $0 + 2$
$w_{3}^{'} = w_{3} - 2 w_{1}$
$w_{3}$ $2$ $5$ $7$ $1$ $0$ $0$
$-$ $2 \cdot w_{1}$ $2$ $1 \cdot 2$ $2$ $1 \cdot 2$ $6$ $3 \cdot 2$ $0$ $0 \cdot 2$ $0$ $0 \cdot 2$ $2$ $1 \cdot 2$
$w_{3}^{'}$ $0$ $2 - 2$ $3$ $5 - 2$ $1$ $7 - 6$ $1$ $1 - 0$ $0$ $0 - 0$ $- 2$ $0 - 2$
Jak czytać kartkę: na górze wiersz, który zmieniasz (złoty), pod nim wiersz pomocniczy już pomnożony (turkusowy), z lewej znak operacji. Pod złotą linią liczysz kolumnami: liczba z góry minus (albo plus) liczba spod spodu. Ostatni wiersz to nowy wiersz macierzy.
1. Po lewej macierz przed krokiem. W tym kroku są 2 operacje — liczysz je po kolei, zawsze na wierszach z macierzy po lewej. 1) Zmieniasz wiersz 2 (złoty) za pomocą wiersza 1 (turkusowy — on się nie zmienia). Cel: zero w kolumnie 1 wiersza 2 — teraz stoi tam $- 2$ . 2) Zmieniasz wiersz 3 (złoty) za pomocą wiersza 1 (turkusowy — on się nie zmienia). Cel: zero w kolumnie 1 wiersza 3 — teraz stoi tam $2$ .
2. Zapisz na kartce wiersz 2 — ten, który zmieniasz.
3. Pod spodem zapisz wiersz 1 pomnożony przez $2$ — każdą liczbę osobno: $1 \cdot 2 = 2$ , $1 \cdot 2 = 2$ , $3 \cdot 2 = 6$ , $0 \cdot 2 = 0$ , $0 \cdot 2 = 0$ , $1 \cdot 2 = 2$ . Zero razy dowolna liczba to zero. Plus z lewej przypomina, że ten wiersz dodajesz.
4. Kolumna 1: $- 2 + 2 = 0$ . Stoisz na $- 2$ i idziesz o $2$ w górę: $- 2 \to - 1 \to 0$ . To zero było celem tej operacji.
5. Kolumna 2: $1 + 2 = 3$ .
6. Kolumna 3: $- 3 + 6 = 3$ . Stoisz na $- 3$ i idziesz o $6$ w górę. Do zera potrzebujesz $3$ , zostaje jeszcze $3$ — wynik: $3$ .
7. Kolumna 4 (za kreską): $0 + 0 = 0$ .
8. Kolumna 5 (za kreską): $1 + 0 = 1$ .
9. Kolumna 6 (za kreską): $0 + 2 = 2$ .
10. Wynik spod linii to nowy wiersz 2: $(0, 3, 3 ∣ 0, 1, 2)$ . Wstawiasz go do macierzy po prawej w miejsce starego.
11. Zapisz na kartce wiersz 3 — ten, który zmieniasz.
12. Pod spodem zapisz wiersz 1 pomnożony przez $2$ — każdą liczbę osobno: $1 \cdot 2 = 2$ , $1 \cdot 2 = 2$ , $3 \cdot 2 = 6$ , $0 \cdot 2 = 0$ , $0 \cdot 2 = 0$ , $1 \cdot 2 = 2$ . Zero razy dowolna liczba to zero. Minus z lewej przypomina, że ten wiersz odejmujesz.
13. Kolumna 1: $2 - 2 = 0$ . To zero było celem tej operacji.
14. Kolumna 2: $5 - 2 = 3$ .
15. Kolumna 3: $7 - 6 = 1$ .
16. Kolumna 4 (za kreską): $1 - 0 = 1$ .
17. Kolumna 5 (za kreską): $0 - 0 = 0$ .
18. Kolumna 6 (za kreską): $0 - 2 = - 2$ . Odejmujesz więcej, niż masz: stoisz na $0$ i schodzisz o $2$ w dół: $0 \to - 1 \to - 2$ .
19. Wynik spod linii to nowy wiersz 3: $(0, 3, 1 ∣ 1, 0, - 2)$ . Wstawiasz go do macierzy po prawej w miejsce starego.
20. Gotowe — tak powstała macierz po prawej. Wiersz 1 przepisujesz bez zmian.
Dlaczego?
Mnożnik to zerowana liczba z przeciwnym znakiem, bo w wierszu 1 w tej kolumnie stoi 1. Wiersz 1 tylko pomaga — przepisujesz go bez zmian.
Kolumna 2: jedynka i zera
Na przekątnej w kolumnie 2 (wiersz 2) stoi 3. Mnożysz wiersz 2 przez $\frac{1}{3}$ — powstanie 1. W wierszu 1 nad nią stoi 1, więc odejmujesz $\frac{1}{3}$ wiersza 2: $1 - \frac{1}{3} \cdot 3 = 0$ . W wierszu 3 stoi 3, więc odejmujesz cały wiersz 2: $3 - 3 = 0$ .
$1$ $1$ $3$ $0$ $0$ $1$ $0$ $3$ $3$ $0$ $1$ $2$ $0$ $3$ $1$ $1$ $0$ $- 2$
$w_{1}^{'} = w_{1} - \frac{1}{3} w_{2}$ $w_{2}^{'} = w_{2} \cdot \frac{1}{3}$ $w_{3}^{'} = w_{3} - w_{2}$
$1$ $0$ $2$ $0$ $- \frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$ $0$ $1$ $1$ $0$ $\frac{1}{3}$ $\frac{2}{3}$ $0$ $0$ $- 2$ $1$ $- 1$ $- 4$
wiersz, który zmieniasz
Rachunek na kartce
liczby same przejdą z macierzy na kartkę i z powrotem
$w_{1}^{'} = w_{1} - \frac{1}{3} w_{2}$
$w_{1}$ $1$ $1$ $3$ $0$ $0$ $1$
$-$ $\frac{1}{3} \cdot w_{2}$ $0$ $0 \cdot \frac{1}{3}$ $1$ $3 \cdot \frac{1}{3}$ $1$ $3 \cdot \frac{1}{3}$ $0$ $0 \cdot \frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$ $1 \cdot \frac{1}{3}$ $\frac{2}{3}$ $2 \cdot \frac{1}{3}$
$w_{1}^{'}$ $1$ $1 - 0$ $0$ $1 - 1$ $2$ $3 - 1$ $0$ $0 - 0$ $- \frac{1}{3}$ $0 - \frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$ $1 - \frac{2}{3}$
$w_{2}^{'} = w_{2} \cdot \frac{1}{3}$
$w_{2}$ $0$ $3$ $3$ $0$ $1$ $2$
$\cdot \frac{1}{3}$ $w_{2}^{'}$ $0$ $0 \cdot \frac{1}{3}$ $1$ $3 \cdot \frac{1}{3}$ $1$ $3 \cdot \frac{1}{3}$ $0$ $0 \cdot \frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$ $1 \cdot \frac{1}{3}$ $\frac{2}{3}$ $2 \cdot \frac{1}{3}$
$w_{3}^{'} = w_{3} - w_{2}$
$w_{3}$ $0$ $3$ $1$ $1$ $0$ $- 2$
$-$ $w_{2}$ $0$ $3$ $3$ $0$ $1$ $2$
$w_{3}^{'}$ $0$ $0 - 0$ $0$ $3 - 3$ $- 2$ $1 - 3$ $1$ $1 - 0$ $- 1$ $0 - 1$ $- 4$ $- 2 - 2$
Jak czytać kartkę: na górze wiersz, który zmieniasz (złoty), pod nim wiersz pomocniczy już pomnożony (turkusowy), z lewej znak operacji. Pod złotą linią liczysz kolumnami: liczba z góry minus (albo plus) liczba spod spodu. Ostatni wiersz to nowy wiersz macierzy.
1. Po lewej macierz przed krokiem. W tym kroku są 3 operacje — liczysz je po kolei, zawsze na wierszach z macierzy po lewej. 1) Zmieniasz wiersz 1 (złoty) za pomocą wiersza 2 (w tej operacji tylko pomaga — bierzesz jego liczby z macierzy po lewej). Cel: zero w kolumnie 2 wiersza 1 — teraz stoi tam $1$ . 2) Mnożysz wiersz 2 przez $\frac{1}{3}$ — cel: jedynka w kolumnie 2 (teraz stoi tam $3$ ). 3) Zmieniasz wiersz 3 (złoty) za pomocą wiersza 2 (w tej operacji tylko pomaga — bierzesz jego liczby z macierzy po lewej). Cel: zero w kolumnie 2 wiersza 3 — teraz stoi tam $3$ .
2. Zapisz na kartce wiersz 1 — ten, który zmieniasz.
3. Pod spodem zapisz wiersz 2 pomnożony przez $\frac{1}{3}$ — każdą liczbę osobno: $0 \cdot \frac{1}{3} = 0$ , $3 \cdot \frac{1}{3} = 1$ , $3 \cdot \frac{1}{3} = 1$ , $0 \cdot \frac{1}{3} = 0$ , $1 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ , $2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ . Zero razy dowolna liczba to zero. Mnożenie przez ułamek z jedynką w liczniku to dzielenie przez jego mianownik. Minus z lewej przypomina, że ten wiersz odejmujesz.
4. Kolumna 1: $1 - 0 = 1$ .
5. Kolumna 2: $1 - 1 = 0$ . To zero było celem tej operacji.
6. Kolumna 3: $3 - 1 = 2$ .
7. Kolumna 4 (za kreską): $0 - 0 = 0$ .
8. Kolumna 5 (za kreską): $0 - \frac{1}{3} = - \frac{1}{3}$ . Sprowadzasz ułamki do wspólnego mianownika $3$ : $\frac{0}{3} - \frac{1}{3} = \frac{0 - 1}{3} = - \frac{1}{3}$ .
9. Kolumna 6 (za kreską): $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ . Sprowadzasz ułamki do wspólnego mianownika $3$ : $\frac{3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{3 - 2}{3} = \frac{1}{3}$ .
10. Wynik spod linii to nowy wiersz 1: $(1, 0, 2 ∣ 0, - \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ . Wstawiasz go do macierzy po prawej w miejsce starego.
11. Zapisz na kartce wiersz 2 — ten, który zmieniasz.
12. Kolumna 1: $0 \cdot \frac{1}{3} = 0$ . Zero razy dowolna liczba to zero.
13. Kolumna 2: $3 \cdot \frac{1}{3} = 1$ . Mnożenie przez $\frac{1}{3}$ to dzielenie przez $3$ : $3 : 3 = 1$ . To jest jedynka, o którą chodziło.
14. Kolumna 3: $3 \cdot \frac{1}{3} = 1$ . Mnożenie przez $\frac{1}{3}$ to dzielenie przez $3$ : $3 : 3 = 1$ .
15. Kolumna 4 (za kreską): $0 \cdot \frac{1}{3} = 0$ . Zero razy dowolna liczba to zero.
16. Kolumna 5 (za kreską): $1 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ . Mnożenie przez $\frac{1}{3}$ to dzielenie przez $3$ : $1 : 3 = \frac{1}{3}$ .
17. Kolumna 6 (za kreską): $2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ . Mnożenie przez $\frac{1}{3}$ to dzielenie przez $3$ : $2 : 3 = \frac{2}{3}$ .
18. Wynik spod linii to nowy wiersz 2: $(0, 1, 1 ∣ 0, \frac{1}{3}, \frac{2}{3})$ . Wstawiasz go do macierzy po prawej w miejsce starego.
19. Zapisz na kartce wiersz 3 — ten, który zmieniasz.
20. Pod spodem przepisz wiersz 2. Mnożysz go przez $1$ , więc liczby się nie zmieniają. Minus z lewej przypomina, że ten wiersz odejmujesz.
21. Kolumna 1: $0 - 0 = 0$ .
22. Kolumna 2: $3 - 3 = 0$ . To zero było celem tej operacji.
23. Kolumna 3: $1 - 3 = - 2$ . Odejmujesz więcej, niż masz: stoisz na $1$ i schodzisz o $3$ w dół: $1 \to 0 \to - 1 \to - 2$ .
24. Kolumna 4 (za kreską): $1 - 0 = 1$ .
25. Kolumna 5 (za kreską): $0 - 1 = - 1$ . Odejmujesz więcej, niż masz: stoisz na $0$ i schodzisz o $1$ w dół: $0 \to - 1$ .
26. Kolumna 6 (za kreską): $- 2 - 2 = - 4$ . Jesteś już poniżej zera i schodzisz jeszcze niżej: $- 2 \to - 3 \to - 4$ .
27. Wynik spod linii to nowy wiersz 3: $(0, 0, - 2 ∣ 1, - 1, - 4)$ . Wstawiasz go do macierzy po prawej w miejsce starego.
28. Gotowe — tak powstała macierz po prawej.
Bo tak — umowa
Tak zapisano to na zajęciach: trzy operacje w jednym kroku, każda liczona na wierszach sprzed kroku. Dlatego od wiersza 1 odejmujemy $\frac{1}{3}$ „starego” wiersza 2 — tego, w którym stoi 3. Możesz też robić je po kolei: najpierw $w_2' = w_2 \cdot \frac{1}{3}$ , a potem zerować nową jedynką. Wynik będzie ten sam.

	$w_{2}$	$- 2$	$1$	$- 3$	$0$	$1$	$0$
$+$	$2 \cdot w_{1}$	$2$ $1 \cdot 2$	$2$ $1 \cdot 2$	$6$ $3 \cdot 2$	$0$ $0 \cdot 2$	$0$ $0 \cdot 2$	$2$ $1 \cdot 2$
	$w_{2}^{'}$	$0$ $- 2 + 2$	$3$ $1 + 2$	$3$ $- 3 + 6$	$0$ $0 + 0$	$1$ $1 + 0$	$2$ $0 + 2$

	$w_{3}$	$2$	$5$	$7$	$1$	$0$	$0$
$-$	$2 \cdot w_{1}$	$2$ $1 \cdot 2$	$2$ $1 \cdot 2$	$6$ $3 \cdot 2$	$0$ $0 \cdot 2$	$0$ $0 \cdot 2$	$2$ $1 \cdot 2$
	$w_{3}^{'}$	$0$ $2 - 2$	$3$ $5 - 2$	$1$ $7 - 6$	$1$ $1 - 0$	$0$ $0 - 0$	$- 2$ $0 - 2$

	$w_{1}$	$1$	$1$	$3$	$0$	$0$	$1$
$-$	$\frac{1}{3} \cdot w_{2}$	$0$ $0 \cdot \frac{1}{3}$	$1$ $3 \cdot \frac{1}{3}$	$1$ $3 \cdot \frac{1}{3}$	$0$ $0 \cdot \frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$ $1 \cdot \frac{1}{3}$	$\frac{2}{3}$ $2 \cdot \frac{1}{3}$
	$w_{1}^{'}$	$1$ $1 - 0$	$0$ $1 - 1$	$2$ $3 - 1$	$0$ $0 - 0$	$- \frac{1}{3}$ $0 - \frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$ $1 - \frac{2}{3}$

	$w_{2}$	$0$	$3$	$3$	$0$	$1$	$2$
$\cdot \frac{1}{3}$	$w_{2}^{'}$	$0$ $0 \cdot \frac{1}{3}$	$1$ $3 \cdot \frac{1}{3}$	$1$ $3 \cdot \frac{1}{3}$	$0$ $0 \cdot \frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$ $1 \cdot \frac{1}{3}$	$\frac{2}{3}$ $2 \cdot \frac{1}{3}$

	$w_{3}$	$0$	$3$	$1$	$1$	$0$	$- 2$
$-$	$w_{2}$	$0$	$3$	$3$	$0$	$1$	$2$
	$w_{3}^{'}$	$0$ $0 - 0$	$0$ $3 - 3$	$- 2$ $1 - 3$	$1$ $1 - 0$	$- 1$ $0 - 1$	$- 4$ $- 2 - 2$

Kolumna 3: jedynka i zera

Na przekątnej w kolumnie 3 stoi $-2$ . Mnożysz wiersz 3 przez $-\frac{1}{2}$ — powstanie 1. W wierszu 1 nad nią stoi 2, więc dodajesz cały wiersz 3: $2 + (-2) = 0$ . W wierszu 2 stoi 1, więc dodajesz $\frac{1}{2}$ wiersza 3: $1 + \frac{1}{2} \cdot (-2) = 0$ .

1

0

2

0

- \frac{1}{3}

\frac{1}{3}

0

1

1

0

\frac{1}{3}

\frac{2}{3}

0

0

- 2

1

- 1

- 4

w_{1}^{'} = w_{1} + w_{3}

w_{2}^{'} = w_{2} + \frac{1}{2} w_{3}

w_{3}^{'} = w_{3} \cdot (- \frac{1}{2})

1

0

0

1

- \frac{4}{3}

- \frac{11}{3}

0

1

0

\frac{1}{2}

- \frac{1}{6}

- \frac{4}{3}

0

0

1

- \frac{1}{2}

\frac{1}{2}

2

wiersz, który zmieniasz

Rachunek na kartce

w_{1}^{'} = w_{1} + w_{3}

	$w_{1}$	$1$	$0$	$2$	$0$	$- \frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$
$+$	$w_{3}$	$0$	$0$	$- 2$	$1$	$- 1$	$- 4$
	$w_{1}^{'}$	$1$ $1 + 0$	$0$ $0 + 0$	$0$ $2 + (- 2)$	$1$ $0 + 1$	$- \frac{4}{3}$ $- \frac{1}{3} + (- 1)$	$- \frac{11}{3}$ $\frac{1}{3} + (- 4)$

w_{2}^{'} = w_{2} + \frac{1}{2} w_{3}

	$w_{2}$	$0$	$1$	$1$	$0$	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{3}$
$+$	$\frac{1}{2} \cdot w_{3}$	$0$ $0 \cdot \frac{1}{2}$	$0$ $0 \cdot \frac{1}{2}$	$- 1$ $(- 2) \cdot \frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$ $1 \cdot \frac{1}{2}$	$- \frac{1}{2}$ $(- 1) \cdot \frac{1}{2}$	$- 2$ $(- 4) \cdot \frac{1}{2}$
	$w_{2}^{'}$	$0$ $0 + 0$	$1$ $1 + 0$	$0$ $1 + (- 1)$	$\frac{1}{2}$ $0 + \frac{1}{2}$	$- \frac{1}{6}$ $\frac{1}{3} + (- \frac{1}{2})$	$- \frac{4}{3}$ $\frac{2}{3} + (- 2)$

w_{3}^{'} = w_{3} \cdot (- \frac{1}{2})

	$w_{3}$	$0$	$0$	$- 2$	$1$	$- 1$	$- 4$
$\cdot (- \frac{1}{2})$	$w_{3}^{'}$	$0$ $0 \cdot (- \frac{1}{2})$	$0$ $0 \cdot (- \frac{1}{2})$	$1$ $(- 2) \cdot (- \frac{1}{2})$	$- \frac{1}{2}$ $1 \cdot (- \frac{1}{2})$	$\frac{1}{2}$ $(- 1) \cdot (- \frac{1}{2})$	$2$ $(- 4) \cdot (- \frac{1}{2})$

Po lewej macierz przed krokiem. W tym kroku są 3 operacje — liczysz je po kolei, zawsze na wierszach z macierzy po lewej. 1) Zmieniasz wiersz 1 (złoty) za pomocą wiersza 3 (w tej operacji tylko pomaga — bierzesz jego liczby z macierzy po lewej). Cel: zero w kolumnie 3 wiersza 1 — teraz stoi tam $2$ . 2) Zmieniasz wiersz 2 (złoty) za pomocą wiersza 3 (w tej operacji tylko pomaga — bierzesz jego liczby z macierzy po lewej). Cel: zero w kolumnie 3 wiersza 2 — teraz stoi tam $1$ . 3) Mnożysz wiersz 3 przez $- \frac{1}{2}$ — cel: jedynka w kolumnie 3 (teraz stoi tam $- 2$ ).
Zapisz na kartce wiersz 1 — ten, który zmieniasz.
Pod spodem przepisz wiersz 3. Mnożysz go przez $1$ , więc liczby się nie zmieniają. Plus z lewej przypomina, że ten wiersz dodajesz.
Kolumna 1: $1 + 0 = 1$ .
Kolumna 2: $0 + 0 = 0$ .
Kolumna 3: $2 + (- 2) = 0$ . Dodać liczbę ujemną to tak samo, jak ją odjąć: $2 + (- 2) = 2 - 2$ . To zero było celem tej operacji.
Kolumna 4 (za kreską): $0 + 1 = 1$ .
Kolumna 5 (za kreską): $- \frac{1}{3} + (- 1) = - \frac{4}{3}$ . Sprowadzasz ułamki do wspólnego mianownika $3$ : $- \frac{1}{3} + (- \frac{3}{3}) = \frac{- 1 + ( - 3 )}{3} = - \frac{4}{3}$ .
Kolumna 6 (za kreską): $\frac{1}{3} + (- 4) = - \frac{11}{3}$ . Sprowadzasz ułamki do wspólnego mianownika $3$ : $\frac{1}{3} + (- \frac{12}{3}) = \frac{1 + ( - 12 )}{3} = - \frac{11}{3}$ .
Wynik spod linii to nowy wiersz 1: $(1, 0, 0 ∣ 1, - \frac{4}{3}, - \frac{11}{3})$ . Wstawiasz go do macierzy po prawej w miejsce starego.
Zapisz na kartce wiersz 2 — ten, który zmieniasz.
Pod spodem zapisz wiersz 3 pomnożony przez $\frac{1}{2}$ — każdą liczbę osobno: $0 \cdot \frac{1}{2} = 0$ , $0 \cdot \frac{1}{2} = 0$ , $(- 2) \cdot \frac{1}{2} = - 1$ , $1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ , $(- 1) \cdot \frac{1}{2} = - \frac{1}{2}$ , $(- 4) \cdot \frac{1}{2} = - 2$ . Zero razy dowolna liczba to zero. Mnożenie przez ułamek z jedynką w liczniku to dzielenie przez jego mianownik. Plus z lewej przypomina, że ten wiersz dodajesz.
Kolumna 1: $0 + 0 = 0$ .
Kolumna 2: $1 + 0 = 1$ .
Kolumna 3: $1 + (- 1) = 0$ . Dodać liczbę ujemną to tak samo, jak ją odjąć: $1 + (- 1) = 1 - 1$ . To zero było celem tej operacji.
Kolumna 4 (za kreską): $0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ . Sprowadzasz ułamki do wspólnego mianownika $2$ : $\frac{0}{2} + \frac{1}{2} = \frac{0 + 1}{2} = \frac{1}{2}$ .
Kolumna 5 (za kreską): $\frac{1}{3} + (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{6}$ . Sprowadzasz ułamki do wspólnego mianownika $6$ : $\frac{2}{6} + (- \frac{3}{6}) = \frac{2 + ( - 3 )}{6} = - \frac{1}{6}$ .
Kolumna 6 (za kreską): $\frac{2}{3} + (- 2) = - \frac{4}{3}$ . Sprowadzasz ułamki do wspólnego mianownika $3$ : $\frac{2}{3} + (- \frac{6}{3}) = \frac{2 + ( - 6 )}{3} = - \frac{4}{3}$ .
Wynik spod linii to nowy wiersz 2: $(0, 1, 0 ∣ \frac{1}{2}, - \frac{1}{6}, - \frac{4}{3})$ . Wstawiasz go do macierzy po prawej w miejsce starego.
Zapisz na kartce wiersz 3 — ten, który zmieniasz.
Kolumna 1: $0 \cdot (- \frac{1}{2}) = 0$ . Zero razy dowolna liczba to zero.
Kolumna 2: $0 \cdot (- \frac{1}{2}) = 0$ . Zero razy dowolna liczba to zero.
Kolumna 3: $(- 2) \cdot (- \frac{1}{2}) = 1$ . Mnożenie przez $- \frac{1}{2}$ to dzielenie przez $2$ i zmiana znaku: $(- 2) : 2 = - 1$ , a po zmianie znaku $1$ . To jest jedynka, o którą chodziło.
Kolumna 4 (za kreską): $1 \cdot (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2}$ . Mnożenie przez $- \frac{1}{2}$ to dzielenie przez $2$ i zmiana znaku: $1 : 2 = \frac{1}{2}$ , a po zmianie znaku $- \frac{1}{2}$ .
Kolumna 5 (za kreską): $(- 1) \cdot (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$ . Mnożenie przez $- \frac{1}{2}$ to dzielenie przez $2$ i zmiana znaku: $(- 1) : 2 = - \frac{1}{2}$ , a po zmianie znaku $\frac{1}{2}$ .
Kolumna 6 (za kreską): $(- 4) \cdot (- \frac{1}{2}) = 2$ . Mnożenie przez $- \frac{1}{2}$ to dzielenie przez $2$ i zmiana znaku: $(- 4) : 2 = - 2$ , a po zmianie znaku $2$ .
Wynik spod linii to nowy wiersz 3: $(0, 0, 1 ∣ - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 2)$ . Wstawiasz go do macierzy po prawej w miejsce starego.
Gotowe — tak powstała macierz po prawej.

Dlaczego?

Lewa połówka to już $I$ . Każda kolumna ma jedynkę na przekątnej i zera poza nią, więc kończymy.

Odczytaj A⁻¹ i sprawdź
$A^{- 1} =$
$1$ $- \frac{4}{3}$ $- \frac{11}{3}$ $\frac{1}{2}$ $- \frac{1}{6}$ $- \frac{4}{3}$ $- \frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ $2$
Sprawdzenie pierwszej kratki $A \cdot A^{-1}$ (ma wyjść 1):
Kratka $c_{11}$ (wiersz 1, kolumna 1): bierzesz wiersz 1 macierzy $A$ i kolumnę 1 macierzy $A^{- 1}$ . Mnożysz liczby parami — pierwszą z pierwszą, drugą z drugą… — i dodajesz iloczyny.
1. 2. 3.
wiersz 1 z $A$ $2$ $5$ $7$
kolumna 1 z $A^{- 1}$ $1$ $\frac{1}{2}$ $- \frac{1}{2}$
iloczyn $2$ $\frac{5}{2}$ $- \frac{7}{2}$
$c_{11} = 2 \cdot 1 + 5 \cdot \frac{1}{2} + 7 \cdot (- \frac{1}{2}) = 2 + \frac{5}{2} - \frac{7}{2} = 1$
Dlaczego?
Jedna kratka sprawdza tylko pierwszą kolumnę $A^{-1}$ . Jeśli masz czas, sprawdź też $c_{12}$ i $c_{13}$ — mają wyjść zera.

	1.	2.	3.
wiersz 1 z $A$	$2$	$5$	$7$
kolumna 1 z $A^{- 1}$	$1$	$\frac{1}{2}$	$- \frac{1}{2}$
iloczyn	$2$	$\frac{5}{2}$	$- \frac{7}{2}$

Równanie macierzowe (dodatkowo)

Tego na slajdach nie ma — to dodatek. Polecenie „wyznacz macierz $X$ z równania $A \cdot X = B$ ” często pojawia się w zbiorach zadań. Jeśli prowadzący go nie robi, a czasu przed kolokwium jest mało, tę część możesz pominąć.

Macierzy nie dzielimy. Zamiast tego mnożymy przez $A^{-1}$ .

Zadanie · krok po kroku

Rozwiąż równanie A · X = B

wariant spoza slajdów — przykład własny

A =

2

1

5

3

B =

1

0

2

1

Plan — co zrobimy i po co

Przekształcamy równanie tak, żeby $X$ zostało samo: mnożymy obie strony przez $A^{-1}$ z lewej strony, bo tam stoi $A$ .
Liczymy $A^{-1}$ (wzór $2 \times 2$ ).
Mnożymy $A^{-1} \cdot B$ .

Tak się to po prostu robi: dzielenie macierzy nie istnieje, a mnożenie przez $A^{-1}$ działa jak dzielenie.

Wyznacz X ze wzoru
Mnożysz obie strony równania przez $A^{-1}$ z lewej strony:
$\begin{gathered} A^{-1} \cdot A \cdot X = A^{-1} \cdot B \\ \Downarrow \\ I \cdot X = A^{-1} \cdot B \\ \Downarrow \\ X = A^{-1} \cdot B \end{gathered}$
Dlaczego?
$A^{-1} \cdot A = I$ , a $I \cdot X = X$ — jak mnożenie liczby przez 1.
Dlaczego z lewej?
Mnożenie macierzy nie jest przemienne, więc strona ma znaczenie. $A^{-1}$ dopisujesz z tej strony, po której stoi $A$ — tylko wtedy staną obok siebie i dadzą $I$ . W $A \cdot X = B$ macierz $A$ stoi z lewej, więc $X = A^{-1} \cdot B$ . W równaniu $X \cdot A = B$ byłoby odwrotnie: $X = B \cdot A^{-1}$ .
Policz A⁻¹
$\det(A) = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 5 = 1$ . Zamieniasz 2 i 3 miejscami, a 1 i 5 dostają minus:
$A^{- 1} =$
$3$ $- 1$ $- 5$ $2$
Pomnóż A⁻¹ · B
$A^{- 1}$ 2 × 2· $B$ 2 × 2→wynik2 × 2
Środkowe liczby: 2 i 2 — równe, więc da się pomnożyć. Wynik ma wymiar z liczb zewnętrznych: 2 × 2.
$A^{- 1} =$
$3$ $- 1$ $- 5$ $2$
$B =$
$1$ $0$ $2$ $1$
$X = A^{- 1} \cdot B =$
$1$ $- 1$ $- 1$ $2$
- Kratka $x_{11}$ (wiersz 1, kolumna 1): bierzesz wiersz 1 macierzy $A^{- 1}$ i kolumnę 1 macierzy $B$ . Mnożysz liczby parami — pierwszą z pierwszą, drugą z drugą… — i dodajesz iloczyny.
  1. 2.
  wiersz 1 z $A^{- 1}$ $3$ $- 1$
  kolumna 1 z $B$ $1$ $2$
  iloczyn $3$ $- 2$
  $x_{11} = 3 \cdot 1 + (- 1) \cdot 2 = 3 - 2 = 1$
- Kratka $x_{12}$ (wiersz 1, kolumna 2): bierzesz wiersz 1 macierzy $A^{- 1}$ i kolumnę 2 macierzy $B$ . Mnożysz liczby parami — pierwszą z pierwszą, drugą z drugą… — i dodajesz iloczyny.
  1. 2.
  wiersz 1 z $A^{- 1}$ $3$ $- 1$
  kolumna 2 z $B$ $0$ $1$
  iloczyn $0$ $- 1$
  $x_{12} = 3 \cdot 0 + (- 1) \cdot 1 = 0 - 1 = - 1$
- Kratka $x_{21}$ (wiersz 2, kolumna 1): bierzesz wiersz 2 macierzy $A^{- 1}$ i kolumnę 1 macierzy $B$ . Mnożysz liczby parami — pierwszą z pierwszą, drugą z drugą… — i dodajesz iloczyny.
  1. 2.
  wiersz 2 z $A^{- 1}$ $- 5$ $2$
  kolumna 1 z $B$ $1$ $2$
  iloczyn $- 5$ $4$
  $x_{21} = (- 5) \cdot 1 + 2 \cdot 2 = - 5 + 4 = - 1$
- Kratka $x_{22}$ (wiersz 2, kolumna 2): bierzesz wiersz 2 macierzy $A^{- 1}$ i kolumnę 2 macierzy $B$ . Mnożysz liczby parami — pierwszą z pierwszą, drugą z drugą… — i dodajesz iloczyny.
  1. 2.
  wiersz 2 z $A^{- 1}$ $- 5$ $2$
  kolumna 2 z $B$ $0$ $1$
  iloczyn $0$ $2$
  $x_{22} = (- 5) \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 0 + 2 = 2$
Jak czytać ten rysunek:
każda kratka $X$ to wiersz $A^{-1}$ razy kolumna $B$ .
Wynik:
$X =$
$1$ $- 1$ $- 1$ $2$
Dlaczego?
Sprawdzenie: $A \cdot X$ ma dać $B$ . Na przykład pierwsza kratka: $2 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 1$ — zgadza się z $b_{11} = 1$ .

	1.	2.
wiersz 1 z $A^{- 1}$	$3$	$- 1$
kolumna 1 z $B$	$1$	$2$
iloczyn	$3$	$- 2$

	1.	2.
wiersz 1 z $A^{- 1}$	$3$	$- 1$
kolumna 2 z $B$	$0$	$1$
iloczyn	$0$	$- 1$

	1.	2.
wiersz 2 z $A^{- 1}$	$- 5$	$2$
kolumna 1 z $B$	$1$	$2$
iloczyn	$- 5$	$4$

	1.	2.
wiersz 2 z $A^{- 1}$	$- 5$	$2$
kolumna 2 z $B$	$0$	$1$
iloczyn	$0$	$2$

Rząd macierzy

Liniowa niezależność

Każdy wiersz macierzy — i każdą kolumnę — możesz traktować jak wektor, czyli listę liczb. Wektory są liniowo zależne, gdy któryś da się złożyć z pozostałych: pomnożyć je przez jakieś liczby i dodać. Przykład ze slajdu: $\vec{v}_1 = (1, 0, 1)$ , $\vec{v}_2 = (0, 1, 1)$ , $\vec{v}_3 = (1, 1, 2)$ .

$v_{1}$	$1$	$0$	$1$
$v_{2}$	$0$	$1$	$1$
$v_{1} + v_{2}$	$1$	$1$	$2$

Suma $\vec{v}_1 + \vec{v}_2$ to dokładnie $\vec{v}_3$ . Trzeci wektor nie wnosi nic nowego, więc te trzy wektory są liniowo zależne.

r (A)

Rząd macierzy

czytamy: „rząd A”

Największa liczba liniowo niezależnych wierszy (kolumn). Nigdy nie przekracza liczby wierszy ani liczby kolumn.

Jak zapamiętać: r jak „rząd” — ile wierszy naprawdę się liczy.

Jak wyznaczyć rząd — postać bazowa

Rząd liczysz operacjami elementarnymi. Sprowadzasz macierz do postaci bazowej: robisz w niej jak najwięcej kolumn macierzy jednostkowej — kolumn z jedną jedynką i samymi zerami. Rząd to stopień macierzy jednostkowej, która powstała. Liczysz takie kolumny, ale każda musi mieć jedynkę w innym wierszu.

Zadanie · krok po kroku

Wyznacz rząd macierzy

Zad. 1, str. 83, e)

A =

1

2

2

1

1

1

3

3

6

12

14

16

Plan — co zrobimy i po co

Kolumna 1: w lewym górnym rogu już stoi 1, więc tylko zerujemy liczby pod nią.
Kolumna 2: robimy jedynkę w wierszu 2 i zero nad nią.
Kolumna 3: jedynka w wierszu 3 i zera nad nią.
Liczymy kolumny jednostkowe — to rząd.

Tak się to po prostu robi: rząd z postaci bazowej to metoda z zajęć. Kolejność operacji może być inna — rząd zawsze wyjdzie ten sam.

Kolumna 1: zera pod jedynką
W wierszu 2 stoi 1 — odejmujesz wiersz 1: $1 - 1 = 0$ . W wierszu 3 stoi 6 — odejmujesz 6 razy wiersz 1: $6 - 6 \cdot 1 = 0$ .
$1$ $2$ $2$ $1$ $1$ $1$ $3$ $3$ $6$ $12$ $14$ $16$
$w_{2}^{'} = w_{2} - w_{1}$ $w_{3}^{'} = w_{3} - 6 w_{1}$
$1$ $2$ $2$ $1$ $0$ $- 1$ $1$ $2$ $0$ $0$ $2$ $10$
wiersz, który zmieniasz · wiersz, którego używasz (przepisujesz go bez zmian)
Rachunek na kartce
liczby same przejdą z macierzy na kartkę i z powrotem
$w_{2}^{'} = w_{2} - w_{1}$
$w_{2}$ $1$ $1$ $3$ $3$
$-$ $w_{1}$ $1$ $2$ $2$ $1$
$w_{2}^{'}$ $0$ $1 - 1$ $- 1$ $1 - 2$ $1$ $3 - 2$ $2$ $3 - 1$
$w_{3}^{'} = w_{3} - 6 w_{1}$
$w_{3}$ $6$ $12$ $14$ $16$
$-$ $6 \cdot w_{1}$ $6$ $1 \cdot 6$ $12$ $2 \cdot 6$ $12$ $2 \cdot 6$ $6$ $1 \cdot 6$
$w_{3}^{'}$ $0$ $6 - 6$ $0$ $12 - 12$ $2$ $14 - 12$ $10$ $16 - 6$
Jak czytać kartkę: na górze wiersz, który zmieniasz (złoty), pod nim wiersz pomocniczy już pomnożony (turkusowy), z lewej znak operacji. Pod złotą linią liczysz kolumnami: liczba z góry minus (albo plus) liczba spod spodu. Ostatni wiersz to nowy wiersz macierzy.
1. Po lewej macierz przed krokiem. W tym kroku są 2 operacje — liczysz je po kolei, zawsze na wierszach z macierzy po lewej. 1) Zmieniasz wiersz 2 (złoty) za pomocą wiersza 1 (turkusowy — on się nie zmienia). Cel: zero w kolumnie 1 wiersza 2 — teraz stoi tam $1$ . 2) Zmieniasz wiersz 3 (złoty) za pomocą wiersza 1 (turkusowy — on się nie zmienia). Cel: zero w kolumnie 1 wiersza 3 — teraz stoi tam $6$ .
2. Zapisz na kartce wiersz 2 — ten, który zmieniasz.
3. Pod spodem przepisz wiersz 1. Mnożysz go przez $1$ , więc liczby się nie zmieniają. Minus z lewej przypomina, że ten wiersz odejmujesz.
4. Kolumna 1: $1 - 1 = 0$ . To zero było celem tej operacji.
5. Kolumna 2: $1 - 2 = - 1$ . Odejmujesz więcej, niż masz: stoisz na $1$ i schodzisz o $2$ w dół: $1 \to 0 \to - 1$ .
6. Kolumna 3: $3 - 2 = 1$ .
7. Kolumna 4: $3 - 1 = 2$ .
8. Wynik spod linii to nowy wiersz 2: $(0, - 1, 1, 2)$ . Wstawiasz go do macierzy po prawej w miejsce starego.
9. Zapisz na kartce wiersz 3 — ten, który zmieniasz.
10. Pod spodem zapisz wiersz 1 pomnożony przez $6$ — każdą liczbę osobno: $1 \cdot 6 = 6$ , $2 \cdot 6 = 12$ , $2 \cdot 6 = 12$ , $1 \cdot 6 = 6$ . Minus z lewej przypomina, że ten wiersz odejmujesz.
11. Kolumna 1: $6 - 6 = 0$ . To zero było celem tej operacji.
12. Kolumna 2: $12 - 12 = 0$ .
13. Kolumna 3: $14 - 12 = 2$ .
14. Kolumna 4: $16 - 6 = 10$ .
15. Wynik spod linii to nowy wiersz 3: $(0, 0, 2, 10)$ . Wstawiasz go do macierzy po prawej w miejsce starego.
16. Gotowe — tak powstała macierz po prawej. Wiersz 1 przepisujesz bez zmian.
Dlaczego?
Jedynka na górze i zera pod nią to pierwsza kolumna macierzy jednostkowej: $(1, 0, 0)$ .
Kolumna 2: jedynka i zero nad nią
W wierszu 2, kolumnie 2 stoi $-1$ . Mnożysz wiersz 2 przez $-1$ — powstaje jedynka. W wierszu 1 nad nią stoi 2, więc dodajesz 2 razy wiersz 2: $2 + 2 \cdot (-1) = 0$ . W wierszu 3 już jest 0.
$1$ $2$ $2$ $1$ $0$ $- 1$ $1$ $2$ $0$ $0$ $2$ $10$
$w_{1}^{'} = w_{1} + 2 w_{2}$ $w_{2}^{'} = w_{2} \cdot (- 1)$
$1$ $0$ $4$ $5$ $0$ $1$ $- 1$ $- 2$ $0$ $0$ $2$ $10$
wiersz, który zmieniasz
Rachunek na kartce
liczby same przejdą z macierzy na kartkę i z powrotem
$w_{1}^{'} = w_{1} + 2 w_{2}$
$w_{1}$ $1$ $2$ $2$ $1$
$+$ $2 \cdot w_{2}$ $0$ $0 \cdot 2$ $- 2$ $(- 1) \cdot 2$ $2$ $1 \cdot 2$ $4$ $2 \cdot 2$
$w_{1}^{'}$ $1$ $1 + 0$ $0$ $2 + (- 2)$ $4$ $2 + 2$ $5$ $1 + 4$
$w_{2}^{'} = w_{2} \cdot (- 1)$
$w_{2}$ $0$ $- 1$ $1$ $2$
$\cdot (- 1)$ $w_{2}^{'}$ $0$ $0 \cdot (- 1)$ $1$ $(- 1) \cdot (- 1)$ $- 1$ $1 \cdot (- 1)$ $- 2$ $2 \cdot (- 1)$
Jak czytać kartkę: na górze wiersz, który zmieniasz (złoty), pod nim wiersz pomocniczy już pomnożony (turkusowy), z lewej znak operacji. Pod złotą linią liczysz kolumnami: liczba z góry minus (albo plus) liczba spod spodu. Ostatni wiersz to nowy wiersz macierzy.
1. Po lewej macierz przed krokiem. W tym kroku są 2 operacje — liczysz je po kolei, zawsze na wierszach z macierzy po lewej. 1) Zmieniasz wiersz 1 (złoty) za pomocą wiersza 2 (w tej operacji tylko pomaga — bierzesz jego liczby z macierzy po lewej). Cel: zero w kolumnie 2 wiersza 1 — teraz stoi tam $2$ . 2) Mnożysz wiersz 2 przez $- 1$ — cel: jedynka w kolumnie 2 (teraz stoi tam $- 1$ ).
2. Zapisz na kartce wiersz 1 — ten, który zmieniasz.
3. Pod spodem zapisz wiersz 2 pomnożony przez $2$ — każdą liczbę osobno: $0 \cdot 2 = 0$ , $(- 1) \cdot 2 = - 2$ , $1 \cdot 2 = 2$ , $2 \cdot 2 = 4$ . Zero razy dowolna liczba to zero. Minus razy plus daje minus. Plus z lewej przypomina, że ten wiersz dodajesz.
4. Kolumna 1: $1 + 0 = 1$ .
5. Kolumna 2: $2 + (- 2) = 0$ . Dodać liczbę ujemną to tak samo, jak ją odjąć: $2 + (- 2) = 2 - 2$ . To zero było celem tej operacji.
6. Kolumna 3: $2 + 2 = 4$ .
7. Kolumna 4: $1 + 4 = 5$ .
8. Wynik spod linii to nowy wiersz 1: $(1, 0, 4, 5)$ . Wstawiasz go do macierzy po prawej w miejsce starego.
9. Zapisz na kartce wiersz 2 — ten, który zmieniasz.
10. Kolumna 1: $0 \cdot (- 1) = 0$ . Zero razy dowolna liczba to zero.
11. Kolumna 2: $(- 1) \cdot (- 1) = 1$ . Mnożenie przez $- 1$ zmienia tylko znak. To jest jedynka, o którą chodziło.
12. Kolumna 3: $1 \cdot (- 1) = - 1$ . Mnożenie przez $- 1$ zmienia tylko znak.
13. Kolumna 4: $2 \cdot (- 1) = - 2$ . Mnożenie przez $- 1$ zmienia tylko znak.
14. Wynik spod linii to nowy wiersz 2: $(0, 1, - 1, - 2)$ . Wstawiasz go do macierzy po prawej w miejsce starego.
15. Gotowe — tak powstała macierz po prawej. Wiersz 3 przepisujesz bez zmian.
Bo tak — umowa
Obie operacje liczysz na wierszach sprzed kroku. Dlatego do wiersza 1 dodajesz 2 razy „stary” wiersz 2 — ten z $-1$ w kolumnie 2.
Kolumna 3: jedynka i zera nad nią
W wierszu 3, kolumnie 3 stoi 2 — mnożysz wiersz 3 przez $\frac{1}{2}$ . W wierszu 1 stoi 4 — odejmujesz 2 razy (stary) wiersz 3: $4 - 2 \cdot 2 = 0$ . W wierszu 2 stoi $-1$ — dodajesz $\frac{1}{2}$ starego wiersza 3: $-1 + \frac{1}{2} \cdot 2 = 0$ .
$1$ $0$ $4$ $5$ $0$ $1$ $- 1$ $- 2$ $0$ $0$ $2$ $10$
$w_{1}^{'} = w_{1} - 2 w_{3}$ $w_{2}^{'} = w_{2} + \frac{1}{2} w_{3}$ $w_{3}^{'} = w_{3} \cdot \frac{1}{2}$
$1$ $0$ $0$ $- 15$ $0$ $1$ $0$ $3$ $0$ $0$ $1$ $5$
wiersz, który zmieniasz
Rachunek na kartce
liczby same przejdą z macierzy na kartkę i z powrotem
$w_{1}^{'} = w_{1} - 2 w_{3}$
$w_{1}$ $1$ $0$ $4$ $5$
$-$ $2 \cdot w_{3}$ $0$ $0 \cdot 2$ $0$ $0 \cdot 2$ $4$ $2 \cdot 2$ $20$ $10 \cdot 2$
$w_{1}^{'}$ $1$ $1 - 0$ $0$ $0 - 0$ $0$ $4 - 4$ $- 15$ $5 - 20$
$w_{2}^{'} = w_{2} + \frac{1}{2} w_{3}$
$w_{2}$ $0$ $1$ $- 1$ $- 2$
$+$ $\frac{1}{2} \cdot w_{3}$ $0$ $0 \cdot \frac{1}{2}$ $0$ $0 \cdot \frac{1}{2}$ $1$ $2 \cdot \frac{1}{2}$ $5$ $10 \cdot \frac{1}{2}$
$w_{2}^{'}$ $0$ $0 + 0$ $1$ $1 + 0$ $0$ $- 1 + 1$ $3$ $- 2 + 5$
$w_{3}^{'} = w_{3} \cdot \frac{1}{2}$
$w_{3}$ $0$ $0$ $2$ $10$
$\cdot \frac{1}{2}$ $w_{3}^{'}$ $0$ $0 \cdot \frac{1}{2}$ $0$ $0 \cdot \frac{1}{2}$ $1$ $2 \cdot \frac{1}{2}$ $5$ $10 \cdot \frac{1}{2}$
Jak czytać kartkę: na górze wiersz, który zmieniasz (złoty), pod nim wiersz pomocniczy już pomnożony (turkusowy), z lewej znak operacji. Pod złotą linią liczysz kolumnami: liczba z góry minus (albo plus) liczba spod spodu. Ostatni wiersz to nowy wiersz macierzy.
1. Po lewej macierz przed krokiem. W tym kroku są 3 operacje — liczysz je po kolei, zawsze na wierszach z macierzy po lewej. 1) Zmieniasz wiersz 1 (złoty) za pomocą wiersza 3 (w tej operacji tylko pomaga — bierzesz jego liczby z macierzy po lewej). Cel: zero w kolumnie 3 wiersza 1 — teraz stoi tam $4$ . 2) Zmieniasz wiersz 2 (złoty) za pomocą wiersza 3 (w tej operacji tylko pomaga — bierzesz jego liczby z macierzy po lewej). Cel: zero w kolumnie 3 wiersza 2 — teraz stoi tam $- 1$ . 3) Mnożysz wiersz 3 przez $\frac{1}{2}$ — cel: jedynka w kolumnie 3 (teraz stoi tam $2$ ).
2. Zapisz na kartce wiersz 1 — ten, który zmieniasz.
3. Pod spodem zapisz wiersz 3 pomnożony przez $2$ — każdą liczbę osobno: $0 \cdot 2 = 0$ , $0 \cdot 2 = 0$ , $2 \cdot 2 = 4$ , $10 \cdot 2 = 20$ . Zero razy dowolna liczba to zero. Minus z lewej przypomina, że ten wiersz odejmujesz.
4. Kolumna 1: $1 - 0 = 1$ .
5. Kolumna 2: $0 - 0 = 0$ .
6. Kolumna 3: $4 - 4 = 0$ . To zero było celem tej operacji.
7. Kolumna 4: $5 - 20 = - 15$ . Odejmujesz więcej, niż masz. Do zera schodzisz o $5$ , a z $20$ zostaje jeszcze $15$ — o tyle schodzisz poniżej zera. Wynik: $- 15$ .
8. Wynik spod linii to nowy wiersz 1: $(1, 0, 0, - 15)$ . Wstawiasz go do macierzy po prawej w miejsce starego.
9. Zapisz na kartce wiersz 2 — ten, który zmieniasz.
10. Pod spodem zapisz wiersz 3 pomnożony przez $\frac{1}{2}$ — każdą liczbę osobno: $0 \cdot \frac{1}{2} = 0$ , $0 \cdot \frac{1}{2} = 0$ , $2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ , $10 \cdot \frac{1}{2} = 5$ . Zero razy dowolna liczba to zero. Mnożenie przez ułamek z jedynką w liczniku to dzielenie przez jego mianownik. Plus z lewej przypomina, że ten wiersz dodajesz.
11. Kolumna 1: $0 + 0 = 0$ .
12. Kolumna 2: $1 + 0 = 1$ .
13. Kolumna 3: $- 1 + 1 = 0$ . Stoisz na $- 1$ i idziesz o $1$ w górę: $- 1 \to 0$ . To zero było celem tej operacji.
14. Kolumna 4: $- 2 + 5 = 3$ . Stoisz na $- 2$ i idziesz o $5$ w górę. Do zera potrzebujesz $2$ , zostaje jeszcze $3$ — wynik: $3$ .
15. Wynik spod linii to nowy wiersz 2: $(0, 1, 0, 3)$ . Wstawiasz go do macierzy po prawej w miejsce starego.
16. Zapisz na kartce wiersz 3 — ten, który zmieniasz.
17. Kolumna 1: $0 \cdot \frac{1}{2} = 0$ . Zero razy dowolna liczba to zero.
18. Kolumna 2: $0 \cdot \frac{1}{2} = 0$ . Zero razy dowolna liczba to zero.
19. Kolumna 3: $2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ . Mnożenie przez $\frac{1}{2}$ to dzielenie przez $2$ : $2 : 2 = 1$ . To jest jedynka, o którą chodziło.
20. Kolumna 4: $10 \cdot \frac{1}{2} = 5$ . Mnożenie przez $\frac{1}{2}$ to dzielenie przez $2$ : $10 : 2 = 5$ .
21. Wynik spod linii to nowy wiersz 3: $(0, 0, 1, 5)$ . Wstawiasz go do macierzy po prawej w miejsce starego.
22. Gotowe — tak powstała macierz po prawej.
Policz kolumny jednostkowe
$1$ $0$ $0$ $- 15$ $0$ $1$ $0$ $3$ $0$ $0$ $1$ $5$
Zielone kolumny to macierz jednostkowa stopnia 3. Zatem $r(A) = 3$ .
Dlaczego?
Czwarta kolumna $(-15, 3, 5)$ nie jest jednostkowa i nie musi być. Nie da się w niej zrobić nowej jedynki, bo każdy wiersz ma już swoją jedynkę w innej kolumnie.
Sprawdzenie
Rząd nie może przekroczyć liczby wierszy ani liczby kolumn. Macierz ma 3 wiersze, więc 3 to największy możliwy rząd — i właśnie tyle wyszło.

	$w_{2}$	$1$	$1$	$3$	$3$
$-$	$w_{1}$	$1$	$2$	$2$	$1$
	$w_{2}^{'}$	$0$ $1 - 1$	$- 1$ $1 - 2$	$1$ $3 - 2$	$2$ $3 - 1$

	$w_{3}$	$6$	$12$	$14$	$16$
$-$	$6 \cdot w_{1}$	$6$ $1 \cdot 6$	$12$ $2 \cdot 6$	$12$ $2 \cdot 6$	$6$ $1 \cdot 6$
	$w_{3}^{'}$	$0$ $6 - 6$	$0$ $12 - 12$	$2$ $14 - 12$	$10$ $16 - 6$

	$w_{1}$	$1$	$2$	$2$	$1$
$+$	$2 \cdot w_{2}$	$0$ $0 \cdot 2$	$- 2$ $(- 1) \cdot 2$	$2$ $1 \cdot 2$	$4$ $2 \cdot 2$
	$w_{1}^{'}$	$1$ $1 + 0$	$0$ $2 + (- 2)$	$4$ $2 + 2$	$5$ $1 + 4$

	$w_{2}$	$0$	$- 1$	$1$	$2$
$\cdot (- 1)$	$w_{2}^{'}$	$0$ $0 \cdot (- 1)$	$1$ $(- 1) \cdot (- 1)$	$- 1$ $1 \cdot (- 1)$	$- 2$ $2 \cdot (- 1)$

	$w_{1}$	$1$	$0$	$4$	$5$
$-$	$2 \cdot w_{3}$	$0$ $0 \cdot 2$	$0$ $0 \cdot 2$	$4$ $2 \cdot 2$	$20$ $10 \cdot 2$
	$w_{1}^{'}$	$1$ $1 - 0$	$0$ $0 - 0$	$0$ $4 - 4$	$- 15$ $5 - 20$

	$w_{2}$	$0$	$1$	$- 1$	$- 2$
$+$	$\frac{1}{2} \cdot w_{3}$	$0$ $0 \cdot \frac{1}{2}$	$0$ $0 \cdot \frac{1}{2}$	$1$ $2 \cdot \frac{1}{2}$	$5$ $10 \cdot \frac{1}{2}$
	$w_{2}^{'}$	$0$ $0 + 0$	$1$ $1 + 0$	$0$ $- 1 + 1$	$3$ $- 2 + 5$

	$w_{3}$	$0$	$0$	$2$	$10$
$\cdot \frac{1}{2}$	$w_{3}^{'}$	$0$ $0 \cdot \frac{1}{2}$	$0$ $0 \cdot \frac{1}{2}$	$1$ $2 \cdot \frac{1}{2}$	$5$ $10 \cdot \frac{1}{2}$

Zadanie · krok po kroku

Rząd, gdy pojawia się wiersz zer

przykład własny

A =

1

2

1

2

4

3

3

6

4

Plan — co zrobimy i po co

Zerujemy kolumnę 1 pod jedynką — jak w każdym zadaniu na rząd.
Szukamy jedynki w kolumnie 2. Gdy w wolnych wierszach są tam zera, przechodzimy do kolumny 3.
Liczymy kolumny jednostkowe.

Tak się to po prostu robi — to ten sam przepis co w zadaniu wyżej.

Kolumna 1: zera pod jedynką
$1$ $2$ $1$ $2$ $4$ $3$ $3$ $6$ $4$
$w_{2}^{'} = w_{2} - 2 w_{1}$ $w_{3}^{'} = w_{3} - 3 w_{1}$
$1$ $2$ $1$ $0$ $0$ $1$ $0$ $0$ $1$
wiersz, który zmieniasz · wiersz, którego używasz (przepisujesz go bez zmian)
Rachunek na kartce
liczby same przejdą z macierzy na kartkę i z powrotem
$w_{2}^{'} = w_{2} - 2 w_{1}$
$w_{2}$ $2$ $4$ $3$
$-$ $2 \cdot w_{1}$ $2$ $1 \cdot 2$ $4$ $2 \cdot 2$ $2$ $1 \cdot 2$
$w_{2}^{'}$ $0$ $2 - 2$ $0$ $4 - 4$ $1$ $3 - 2$
$w_{3}^{'} = w_{3} - 3 w_{1}$
$w_{3}$ $3$ $6$ $4$
$-$ $3 \cdot w_{1}$ $3$ $1 \cdot 3$ $6$ $2 \cdot 3$ $3$ $1 \cdot 3$
$w_{3}^{'}$ $0$ $3 - 3$ $0$ $6 - 6$ $1$ $4 - 3$
Jak czytać kartkę: na górze wiersz, który zmieniasz (złoty), pod nim wiersz pomocniczy już pomnożony (turkusowy), z lewej znak operacji. Pod złotą linią liczysz kolumnami: liczba z góry minus (albo plus) liczba spod spodu. Ostatni wiersz to nowy wiersz macierzy.
1. Po lewej macierz przed krokiem. W tym kroku są 2 operacje — liczysz je po kolei, zawsze na wierszach z macierzy po lewej. 1) Zmieniasz wiersz 2 (złoty) za pomocą wiersza 1 (turkusowy — on się nie zmienia). Cel: zero w kolumnie 1 wiersza 2 — teraz stoi tam $2$ . 2) Zmieniasz wiersz 3 (złoty) za pomocą wiersza 1 (turkusowy — on się nie zmienia). Cel: zero w kolumnie 1 wiersza 3 — teraz stoi tam $3$ .
2. Zapisz na kartce wiersz 2 — ten, który zmieniasz.
3. Pod spodem zapisz wiersz 1 pomnożony przez $2$ — każdą liczbę osobno: $1 \cdot 2 = 2$ , $2 \cdot 2 = 4$ , $1 \cdot 2 = 2$ . Minus z lewej przypomina, że ten wiersz odejmujesz.
4. Kolumna 1: $2 - 2 = 0$ . To zero było celem tej operacji.
5. Kolumna 2: $4 - 4 = 0$ .
6. Kolumna 3: $3 - 2 = 1$ .
7. Wynik spod linii to nowy wiersz 2: $(0, 0, 1)$ . Wstawiasz go do macierzy po prawej w miejsce starego.
8. Zapisz na kartce wiersz 3 — ten, który zmieniasz.
9. Pod spodem zapisz wiersz 1 pomnożony przez $3$ — każdą liczbę osobno: $1 \cdot 3 = 3$ , $2 \cdot 3 = 6$ , $1 \cdot 3 = 3$ . Minus z lewej przypomina, że ten wiersz odejmujesz.
10. Kolumna 1: $3 - 3 = 0$ . To zero było celem tej operacji.
11. Kolumna 2: $6 - 6 = 0$ .
12. Kolumna 3: $4 - 3 = 1$ .
13. Wynik spod linii to nowy wiersz 3: $(0, 0, 1)$ . Wstawiasz go do macierzy po prawej w miejsce starego.
14. Gotowe — tak powstała macierz po prawej. Wiersz 1 przepisujesz bez zmian.
Dlaczego?
Wiersz 2 minus 2 razy wiersz 1 i wiersz 3 minus 3 razy wiersz 1 — mnożnik to zerowana liczba (2 i 3) z przeciwnym znakiem.
Kolumna 2 odpada — przejdź do kolumny 3
W kolumnie 2 w wierszach 2 i 3 stoją zera, więc nie zrobisz tam jedynki. Bierzesz kolumnę 3: w wierszu 2 stoi już 1. Zerujesz liczby nad nią i pod nią.
$1$ $2$ $1$ $0$ $0$ $1$ $0$ $0$ $1$
$w_{1}^{'} = w_{1} - w_{2}$ $w_{3}^{'} = w_{3} - w_{2}$
$1$ $2$ $0$ $0$ $0$ $1$ $0$ $0$ $0$
wiersz, który zmieniasz · wiersz, którego używasz (przepisujesz go bez zmian)
Rachunek na kartce
liczby same przejdą z macierzy na kartkę i z powrotem
$w_{1}^{'} = w_{1} - w_{2}$
$w_{1}$ $1$ $2$ $1$
$-$ $w_{2}$ $0$ $0$ $1$
$w_{1}^{'}$ $1$ $1 - 0$ $2$ $2 - 0$ $0$ $1 - 1$
$w_{3}^{'} = w_{3} - w_{2}$
$w_{3}$ $0$ $0$ $1$
$-$ $w_{2}$ $0$ $0$ $1$
$w_{3}^{'}$ $0$ $0 - 0$ $0$ $0 - 0$ $0$ $1 - 1$
Jak czytać kartkę: na górze wiersz, który zmieniasz (złoty), pod nim wiersz pomocniczy już pomnożony (turkusowy), z lewej znak operacji. Pod złotą linią liczysz kolumnami: liczba z góry minus (albo plus) liczba spod spodu. Ostatni wiersz to nowy wiersz macierzy.
1. Po lewej macierz przed krokiem. W tym kroku są 2 operacje — liczysz je po kolei, zawsze na wierszach z macierzy po lewej. 1) Zmieniasz wiersz 1 (złoty) za pomocą wiersza 2 (turkusowy — on się nie zmienia). Cel: zero w kolumnie 3 wiersza 1 — teraz stoi tam $1$ . 2) Zmieniasz wiersz 3 (złoty) za pomocą wiersza 2 (turkusowy — on się nie zmienia). Cel: zero w kolumnie 3 wiersza 3 — teraz stoi tam $1$ .
2. Zapisz na kartce wiersz 1 — ten, który zmieniasz.
3. Pod spodem przepisz wiersz 2. Mnożysz go przez $1$ , więc liczby się nie zmieniają. Minus z lewej przypomina, że ten wiersz odejmujesz.
4. Kolumna 1: $1 - 0 = 1$ .
5. Kolumna 2: $2 - 0 = 2$ .
6. Kolumna 3: $1 - 1 = 0$ . To zero było celem tej operacji.
7. Wynik spod linii to nowy wiersz 1: $(1, 2, 0)$ . Wstawiasz go do macierzy po prawej w miejsce starego.
8. Zapisz na kartce wiersz 3 — ten, który zmieniasz.
9. Pod spodem przepisz wiersz 2. Mnożysz go przez $1$ , więc liczby się nie zmieniają. Minus z lewej przypomina, że ten wiersz odejmujesz.
10. Kolumna 1: $0 - 0 = 0$ .
11. Kolumna 2: $0 - 0 = 0$ .
12. Kolumna 3: $1 - 1 = 0$ . To zero było celem tej operacji.
13. Wynik spod linii to nowy wiersz 3: $(0, 0, 0)$ . Wstawiasz go do macierzy po prawej w miejsce starego.
14. Gotowe — tak powstała macierz po prawej. Wiersz 2 przepisujesz bez zmian.
Dlaczego?
Wiersz 3 zamienił się w same zera, bo w wyjściowej macierzy był sumą wierszy 1 i 2: $(1, 2, 1) + (2, 4, 3) = (3, 6, 4)$ . Nie wnosił nic nowego. Jest już na dole, więc nie trzeba go przenosić.
Policz kolumny jednostkowe
$1$ $2$ $0$ $0$ $0$ $1$ $0$ $0$ $0$
Kolumny 1 i 3 tworzą macierz jednostkową stopnia 2: $r(A) = 2$ .
Dlaczego?
Kolumna 2 $(2, 0, 0)$ nie dostanie jedynki w nowym wierszu — w wierszach 2 i 3 ma zera, a wiersz 1 jest zajęty przez kolumnę 1.

Ściąga przed kolokwium

Wymiar i element

m \times n

— najpierw wiersze, potem kolumny.

a_{ij}

— wiersz

i

, kolumna

j

DodawanieTylko te same wymiary. Dodajesz liczby z tych samych miejsc.

k \cdot A

— każdy element razy

k

Mnożenie

(m \times k) \cdot (k \times n) \to m \times n

c_{ij}

= wiersz

i

A

razy kolumna

j

B

A \cdot B \neq B \cdot A

TranspozycjaWiersze → kolumny.

a_{ij}

trafia na miejsce

(j, i)

. Wymiar

m \times n \to n \times m

Operacje elementarneZamiana wierszy, wiersz razy

c \neq 0

, dodanie wielokrotności innego wiersza. Prim (’) = nowy wiersz.

Wyznacznik 2×2

a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}

. Drugi iloczyn bierz w nawias.

Sarrus (tylko 3×3)Dopisz dwie pierwsze kolumny. Przekątne w dół: plus. Przekątne w górę: minus.

Laplace

\det(A) = a_{i1}D_{i1} + \dots + a_{in}D_{in}

— po jednym wierszu (albo kolumnie).

D_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}

, znaki jak szachownica. Wybieraj wiersz albo kolumnę z największą liczbą zer.

WłasnościDodanie wielokrotności — bez zmian. Wiersz zer → 0. Zamiana → zmiana znaku. Wiersz

\cdot\, c

→ wyznacznik

\cdot\, c

\det(A^T) = \det(A)

OdwrotnaIstnieje, gdy

A

jest kwadratowa i

\det(A) \neq 0

. 2×2: zamień liczby na głównej przekątnej, zmień znak pozostałych, podziel przez

\det

Metoda wyznacznikowa

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} D^T

. Nie zapomnij transponować

D

Odwrotna — operacje elementarne

[A \mid I] \to [I \mid A^{-1}]

. Tylko wiersze. Kolumna po kolumnie: jedynka, potem zera.

Równanie (dodatkowo)

A \cdot X = B \Rightarrow X = A^{-1} \cdot B

X \cdot A = B \Rightarrow X = B \cdot A^{-1}

RządPostać bazowa: jak najwięcej kolumn jednostkowych. Rząd = liczba kolumn jednostkowych, każda z jedynką w innym wierszu. Wiersz i kolumna zer na koniec.

Ćwiczenia przed kolokwium

Krótkie zadania z natychmiastową odpowiedzią, ułożone według poleceń z kolokwium. Przy każdej odpowiedzi — dobrej i złej — zobaczysz, dlaczego tak jest.

Działania na macierzach

Wpisz macierz

Policz iloczyn A · B

A =

2

- 1

3

0

4

1

B =

1

2

3

0

- 1

1

Wymiary: $2 \times 3$ razy $3 \times 2$ , więc wynik ma wymiar $2 \times 2$ .

Wpisz liczby w pola. Kiedy skończysz, kliknij „Sprawdź”.

A \cdot B =

Wpisz macierz

Policz 2A − Bᵀ

A =

1

0

- 2

3

B =

4

1

2

- 1

Najpierw transponuj $B$ , potem pomnóż $A$ przez 2 i odejmij.

Wpisz liczby w pola. Kiedy skończysz, kliknij „Sprawdź”.

2 A - B^{T} =

Ćwiczenia · 6 zadań

$A$ ma wymiar $3 \times 2$ , a $B$ ma wymiar $2 \times 4$ . Jaki wymiar ma $A \cdot B$ ?
$A$ i $B$ mają wymiar $2 \times 3$ . Które działanie jest wykonalne?
$A$ ma wymiar $2 \times 5$ . Jaki wymiar ma $A^{T}$ ?
Kratka $c_{21}$ iloczynu $C = A \cdot B$ to:
Czy dla macierzy kwadratowych zawsze $A \cdot B = B \cdot A$ ?
Ile iloczynów dodajesz, licząc jedną kratkę wyniku $(2 \times 3) \cdot (3 \times 4)$ ?

Wyznacznik

Ćwiczenia · 9 zadań

Policz wyznacznik:
$det$
$5$ $3$ $2$ $4$
Policz wyznacznik:
$det$
$- 2$ $3$ $4$ $- 1$
Policz wyznacznik regułą Sarrusa:
$det$
$2$ $1$ $3$ $1$ $0$ $2$ $4$ $1$ $1$
Jak dopełnienie algebraiczne $D_{23}$ zależy od minora $M_{23}$ ?
$det (A) = 4$ . Zamieniasz miejscami dwa wiersze. Ile wynosi nowy wyznacznik?
$A$ to macierz $3 \times 3$ i $det (A) = 4$ . Ile wynosi $det (2 A)$ ?
W macierzy $3 \times 3$ wiersz 3 jest taki sam jak wiersz 1. Wyznacznik:
Dla jakich $a$ ta macierz jest osobliwa?
$a$ $4$ $1$ $a$
Wyznacznik macierzy $2 \times 3$ :

Macierz odwrotna i równanie macierzowe

Wpisz macierz

Odwróć macierz 2×2

A =

4

3

1

1

Najpierw policz wyznacznik.

Wpisz liczby w pola. Kiedy skończysz, kliknij „Sprawdź”.

A^{- 1} =

Wpisz macierz

Odwróć macierz 2×2 (z ułamkami)

A =

2

3

1

4

Ułamek możesz wpisać jako ułamek zwykły albo dziesiętny (np. 1/2 albo 0,5).

Wpisz liczby w pola (ułamek wpisz jako 1/3 albo −2/3). Kiedy skończysz, kliknij „Sprawdź”.

A^{- 1} =

Wpisz macierz

Policz macierz dopełnień D

A =

1

2

0

0

1

1

1

0

2

Wpisz macierz dopełnień algebraicznych $D$ — jeszcze bez transponowania. Na miejscu $(i, j)$ stoi $D_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ .

Wpisz liczby w pola. Kiedy skończysz, kliknij „Sprawdź”.

D =

Ćwiczenia · 7 zadań

$det (A) = 0$ . Co z macierzą odwrotną?
Czy macierz $2 \times 3$ ma macierz odwrotną?
W metodzie wyznacznikowej $A^{- 1} = \frac{1}{d e t ( A )} \cdot \dots$
W metodzie operacji elementarnych wolno używać:
Jak powstaje $A^{- 1}$ dla takiej macierzy $2 \times 2$ ?
$A =$
$a$ $b$ $c$ $d$
Dodatkowo (spoza slajdów): równanie $X \cdot A = B$ . Ile wynosi $X$ ?
Sprawdzasz wynik odwracania. Co ma wyjść z $A \cdot A^{- 1}$ ?

Operacje elementarne i rząd

Wpisz macierz

Wykonaj operacje elementarne

A =

1

2

- 1

2

3

0

- 1

1

4

Wykonaj w jednym kroku $w_2' = w_2 - 2w_1$ i $w_3' = w_3 + w_1$ . Wpisz całą macierz po tym kroku.

Wpisz liczby w pola. Kiedy skończysz, kliknij „Sprawdź”.

Ćwiczenia · 6 zadań

Jaki rząd ma ta macierz?
$1$ $2$ $2$ $4$
Macierz ma wymiar $3 \times 5$ . Jaki może być jej największy rząd?
Postać bazowa wygląda tak. Jaki jest rząd?
$1$ $0$ $2$ $0$ $1$ $- 1$ $0$ $0$ $0$
Macierz $3 \times 3$ ma wyznacznik różny od zera. Jej rząd:
Jaki rząd ma ta macierz?
$1$ $2$ $3$ $2$ $4$ $6$ $1$ $1$ $1$
Który ruch nie jest operacją elementarną?

Quiz z teorii

Quiz · 10 pytań

Macierze — 10 pytań

Wymiar $2 \times 3$ oznacza, że macierz ma:
Element $a_{31}$ stoi w:
Macierz jednostkowa to macierz:
Dwie macierze można dodać, gdy:
Iloczyn $A \cdot B$ istnieje, gdy:
Wyznacznik liczymy dla macierzy:
Macierz osobliwa to macierz, której:
Minor $M_{ij}$ to:
Czy dodanie do wiersza wielokrotności innego wiersza zmienia wyznacznik?
Rząd macierzy to: