Zbiory — działania, przedziały, iloczyn kartezjański i zasada włączeń i wyłączeń · Matematyka

Po co ekonomiście zbiory?

Otwierasz sklep internetowy i klikasz filtry: „laptopy do 3000 zł” i „16 GB RAM”. Sklep pokazuje tylko te modele, które spełniają oba warunki naraz. Potem zaznaczasz marki: „Lenovo” lub „Dell” — i lista się wydłuża, bo wystarczy jedna z marek. Na koniec odhaczasz „bez produktów z outletu” — i część modeli znika.

Właśnie wykonałeś trzy działania na zbiorach: część wspólną, sumę i różnicę. Sklep robi to tysiące razy na sekundę.

W ekonomii zbiory są wszędzie. Dział marketingu porównuje klientów ze stycznia ( $A$ ) i z lutego ( $B$ ): ci, którzy kupili w obu miesiącach, to klienci lojalni ( $A \cap B$ ), ci tylko ze stycznia — klienci utraceni ( $A \setminus B$ ), a ci tylko z lutego — nowi ( $B \setminus A$ ). Ankieter liczy, ile osób korzysta z co najmniej jednej z trzech usług, i musi uważać, żeby nikogo nie policzyć dwa razy — to zasada włączeń i wyłączeń z końca tego modułu.

Co będzie na kolokwium

Ze zbiorów na kolokwium wraca siedem typów poleceń. Każde ma tu swój przepis, rozwiązane przykłady i ćwiczenia z natychmiastową odpowiedzią. Jeśli powtarzasz na ostatnią chwilę, zacznij od tej listy.

1
„Wypisz elementy zbioru / wyznacz moc zbioru”
Sprawdzasz liczby po kolei, aż przestaną spełniać warunek. Moc to liczba wypisanych elementów.
Przepis i przykłady ↓Ćwiczenia ↓jak w Zad. 1, str. 31
2
„Zapisz zbiór w postaci przedziału i zaznacz go na osi liczbowej”
Każdą nierówność zamieniasz na przedział. Potem $\land$ to część wspólna, a $\lor$ — suma.
Przepis i przykłady ↓Ćwiczenia ↓jak w Zad. 2, str. 31
3
„Wyznacz $A \cup B$ , $A \cap B$ , $A ∖ B$ , $B ∖ A$ , $A^{'}$ , $B^{'}$ ”
Wypisujesz elementy $U$ , $A$ i $B$ , wpisujesz je do diagramu Venna i odczytujesz każde działanie.
Przepis i przykłady ↓Ćwiczenia ↓jak w Zad. 3, str. 31–32
4
„Określ relacje zawierania się i równości zbiorów”
Dla każdej pary szukasz „wyrzutka” — elementu pierwszego zbioru, którego nie ma w drugim.
Przepis i przykłady ↓Ćwiczenia ↓jak w Zad. 4, str. 32
5
„Wyznacz $A \times B$ i $B \times A$ ”
Każdy element $A$ łączysz w parę z każdym elementem $B$ . W parze pierwszy jest zawsze element pierwszego zbioru.
Przepis i przykłady ↓Ćwiczenia ↓jak w Zad. 1, str. 36
6
„Przedstaw $A \times B$ w układzie współrzędnych”
Pierwszy zbiór na osi $x$ , drugi na osi $y$ . Brzeg ciągły, gdy koniec należy, przerywany, gdy nie należy.
Przepis i przykłady ↓Ćwiczenia ↓jak w Zad. 2, str. 36
7
„Zadanie tekstowe: ile elementów ma co najmniej jedną cechę, a ile żadnej?”
Wzór włączeń i wyłączeń: dodajesz pojedyncze zbiory, odejmujesz pary, dodajesz część wspólną wszystkich trzech.
Przepis i przykłady ↓Ćwiczenia ↓jak w Zad. 4, str. 40

Polecenia mogą brzmieć trochę inaczej („podaj”, „wyznacz”, „przedstaw”, „zbadaj”). Liczy się to, o co pyta zadanie: o elementy, o przedział, o działanie, o zawieranie, o pary czy o liczbę elementów.

Zbiór — pojęcia od podstaw

Przykład z życia: lista gości na urodziny. Kasia nie przyjdzie dwa razy tylko dlatego, że ktoś wpisał ją na listę dwa razy. A to, czy jej nazwisko jest na górze, czy na dole listy, nie zmienia tego, kto przyjdzie.

Przykład liczbowy: zbiór cyfr w numerze 2024 to $\{0, 2, 4\}$ . Dwójka występuje w numerze dwa razy, ale w zbiorze — raz.

Zbiory oznaczamy wielkimi literami ( $A$ , $B$ , $C$ ), a elementy — małymi ( $a$ , $b$ , $x$ ). Oto symbole, które pojawiają się od pierwszej minuty zajęć:

{}

Nawiasy klamrowe

czytamy: „zbiór”

W środku wypisujemy elementy zbioru albo warunek, który je opisuje: ${1, 2, 3}$ .

Jak zapamiętać: klamry „obejmują” elementy jak worek.

x \in A

Należenie

czytamy: „x należy do A”

Element $x$ jest w zbiorze $A$ . Np. $2 \in {1, 2, 3}$ .

Jak zapamiętać: $\in$ to wystylizowane „e” — element.

x \in / A

Nienależenie

czytamy: „x nie należy do A”

Elementu $x$ nie ma w zbiorze $A$ . Np. $5 \in / {1, 2, 3}$ .

Jak zapamiętać: przekreślenie znaczy „nie”, jak przy $\neq =$ .

∣ A ∣

Moc zbioru

czytamy: „moc zbioru A”

Liczba elementów zbioru. $∣ {1, 2, 3} ∣ = 3$ .

Jak zapamiętać: kreski jak przy wartości bezwzględnej — tu też wychodzi zwykła liczba.

\emptyset

Zbiór pusty

czytamy: „zbiór pusty”

Zbiór bez żadnego elementu. $∣\emptyset∣ = 0$ .

Jak zapamiętać: kółko przekreślone: w środku nic nie ma.

U

Uniwersum (przestrzeń)

czytamy: „u, uniwersum”

Wszystkie elementy, które w danym zadaniu nas interesują. Np. $U = {0, 1, \dots, 8}$ albo $U = R$ .

Jak zapamiętać: U jak „ustalony świat” zadania — poza nim nic nie istnieje.

Sprawdź się

Ile elementów ma zbiór ${5, 5, 7, 7, 7}$ ?

Trzy sposoby zapisu zbioru

Ten sam pomysł — „jakieś liczby” — można zapisać na trzy sposoby.

1. Wyliczenie elementów — wypisujemy wszystko w klamrach: $A = \{1, 2, 3, 4\}$ . Najprostsze, ale działa tylko wtedy, gdy elementów jest niewiele.

2. Warunek — podajemy, skąd bierzemy kandydatów i jaki warunek mają spełnić:

B = {x \in N : x \geq 1 \land x \leq 4}

Czytamy: zbiór takich $x$ należących do $N$ , że $x \geq 1$ i $x \leq 4$

${}$: klamry: „zbiór”
$x \in N$: kandydaci: skąd bierzemy $x$ — tu z liczb naturalnych
$:$: dwukropek czytamy „takich, że” — oddziela kandydatów od warunku
$x \geq 1 \land x \leq 4$: warunek: oba naraz, bo $\land$ to „i” (z logiki)

Kandydaci to $0, 1, 2, 3, \ldots$ , a warunek przepuszcza tylko $1, 2, 3, 4$ . Czyli $B = \{1, 2, 3, 4\}$ — to ten sam zbiór co $A$ .

3. Przedział — dla liczb rzeczywistych: $C = (1, 4)$ to wszystkie liczby między 1 a 4.

Najważniejsze w zapisie z warunkiem jest to, skąd bierzemy $x$ . Ten sam warunek daje różne zbiory:

Zapis	Kandydaci	Wynik
$\{x \in \mathbb{N} : x < 3\}$	$0, 1, 2, 3, \ldots$	$\{0, 1, 2\}$
$\{x \in \mathbb{Z} : -2 < x < 3\}$	$\ldots, -2, -1, 0, 1, \ldots$	$\{-1, 0, 1, 2\}$
$\{x \in \mathbb{R} : x < 3\}$	cała oś liczbowa	$(-\infty, 3)$ — przedział

Wypisz elementy i policz moc

Trzy przykłady, od najprostszego:

{x \in N : x < 5} = {0, 1, 2, 3, 4}

$0$: zero jest liczbą naturalną — łatwo je zgubić
$5$: odpada, bo warunek to $x < 5$ , a nie $x \leq 5$
$∣ \dots ∣ = 5$: moc: pięć elementów

{x \in Z : - 2 \leq x < 3} = {- 2, - 1, 0, 1, 2}

$- 2$: należy, bo przy $- 2$ stoi $\leq$
$3$: nie należy, bo przy 3 stoi $<$
$∣ \dots ∣ = 5$: moc: pięć elementów

{x \in N : x^{2} < 10} = {0, 1, 2, 3}

$3^{2} = 9$: $9 < 10$ , więc 3 należy
$4^{2} = 16$: $16 > 10$ — tu się zatrzymujemy; większe liczby tym bardziej odpadną
$∣ \dots ∣ = 4$: moc: cztery elementy

Zadanie · krok po kroku

Wyznacz moc zbioru D = {12, 14, 16, …, 26}

Zad. 1, str. 31, d)

Plan — co zrobimy i po co

Ustalamy, co znaczy wielokropek. Z pierwszych elementów odczytujemy krok.
Wypisujemy wszystkie elementy i liczymy je. Moc to po prostu liczba elementów.
Sprawdzamy wynik skrótem. Dwie drogi do tej samej liczby chronią przed pomyłką.

Przy długim ciągu (np. do 500) krok 2 pomijasz i od razu liczysz skrótem z kroku 3.

Zrozum, co znaczy wielokropek
Pierwsze elementy to $12, 14, 16$ — każdy kolejny jest o 2 większy. Wielokropek $\ldots$ znaczy „dalej w ten sam sposób” aż do 26.
Wypisz wszystkie elementy
$D = \{12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26\}$
Liczymy: $|D| = 8$ .
Dlaczego?
Moc to liczba elementów zbioru. Przy ośmiu elementach najpewniej po prostu je wypisać i policzyć.
Sprawdź skrótem
$\frac{26 - 12}{2} + 1 = \frac{14}{2} + 1 = 7 + 1 = 8$
Dlaczego?
Od 12 do 26 robimy $14 : 2 = 7$ „skoków” co 2. Elementów jest o jeden więcej niż skoków — jak w płocie: 7 przęseł wymaga 8 słupków. Stąd „ $+1$ ”.

Przedziały i oś liczbowa

Gdy $x$ jest z $\mathbb{R}$ , zbiór to zwykle kawałek osi liczbowej, czyli przedział. Przedział zapisujemy dwoma końcami w nawiasach — a rodzaj nawiasu mówi, czy koniec należy do zbioru.

(a, b)

Nawias okrągły

czytamy: „przedział otwarty od a do b”

Koniec nie należy do przedziału. Na osi: puste kółko.

Jak zapamiętać: okrągły nawias „odpycha” koniec.

[a, b]

Nawias kwadratowy

czytamy: „przedział domknięty od a do b”

Koniec należy do przedziału. Na osi: pełne kółko.

Jak zapamiętać: kwadratowy nawias „trzyma” koniec jak klamra.

\infty

Nieskończoność

czytamy: „nieskończoność”

Przedział biegnie bez końca w prawo ( $\infty$ ) albo w lewo ( $- \infty$ ). Zawsze z nawiasem okrągłym.

Jak zapamiętać: leżąca ósemka — pętla bez końca.

Rodzaje przedziałów (nazwy jak na zajęciach):

otwarte — oba końce odpadają: $(2, 4)$ , $(5, \infty)$ , $(-\infty, 8)$ ;
jednostronnie domknięte — jeden koniec należy: $[4, \infty)$ , $(3, 8]$ ;
obustronnie domknięte — oba końce należą: $[5, 12]$ .

Jak to wygląda na osi — każda nierówność i jej przedział:

x > 2

→

(2, \infty)

x \geq 2

→

[2, \infty)

x < 5

→

(- \infty, 5)

x \leq 5

→

(- \infty, 5]

2 < x \leq 5

→

(2, 5]

Jak czytać ten rysunek:

każdy wiersz to osobna oś. Gruba kreska to liczby należące do zbioru. Pełne kółko = koniec należy (znak $\leq$ albo $\geq$ , nawias kwadratowy), puste kółko = nie należy (znak $<$ albo $>$ , nawias okrągły). Strzałka na końcu kreski = przedział biegnie w nieskończoność.

Przykład z „i”: $\{x \in \mathbb{R} : x > -1 \land x \leq 3\}$ .

x > - 1

→

(- 1, \infty)

x \leq 3

→

(- \infty, 3]

x > - 1 \land x \leq 3

→

(- 1, 3]

Jak czytać ten rysunek:

dwie pierwsze osie to osobne nierówności. „I” zostawia tylko ten kawałek, który jest zamalowany na obu osiach naraz — to złota oś na dole.

Przykład z „lub”: $\{x \in \mathbb{R} : x < 0 \lor x \geq 2\}$ .

x < 0

→

(- \infty, 0)

x \geq 2

→

[2, \infty)

x < 0 \lor x \geq 2

→

(- \infty, 0) \cup [2, \infty)

Jak czytać ten rysunek:

„lub” bierze wszystko, co zamalowane na którejkolwiek osi. Kawałki się nie stykają, więc wynik to suma dwóch przedziałów — znak $\cup$ między nimi.

Pułapka· „Lub” w warunku, a w wyniku oba kawałki naraz?

To nie sprzeczność. „Lub” i suma działają na dwóch różnych poziomach:

$\lor$ dotyczy jednej liczby. Liczba należy do zbioru, gdy spełnia co najmniej jeden warunek. $-1$ spełnia tylko $x < 0$ — należy. $3$ spełnia tylko $x \geq 2$ — należy. $1$ nie spełnia żadnego — nie należy.
$\cup$ dotyczy całego zbioru. Zbiera wszystkie liczby, które przeszły ten test. Dlatego w wyniku są oba kawałki naraz.

Oba poziomy łączy definicja sumy: $x \in A \cup B \Leftrightarrow x \in A \lor x \in B$ .

Z życia: „zniżkę mają studenci i emeryci”. Jedna osoba musi być studentem lub emerytem. A cała grupa osób ze zniżką to studenci $\cup$ emeryci — obie grupy naraz.

Gdyby w warunku stało „i” ( $x < 0 \land x \geq 2$ ), jedna liczba musiałaby spełnić oba warunki naraz. Żadna tego nie potrafi, więc wynik byłby pusty: $\emptyset$ .

Zadanie · krok po kroku

Zapisz zbiór {x ∈ ℝ : x ≤ 1 ∨ (x ≥ 7 ∧ x < 8)} jako przedział

Zad. 2, str. 31, g)

Plan — co zrobimy i po co

Zaczynamy od nawiasu. „Lub” łączy cały nawias z $x \leq 1$ , więc najpierw trzeba wiedzieć, co jest w nawiasie.
Zamieniamy $x \leq 1$ na przedział.
Łączymy oba kawałki sumą $\cup$ , bo w warunku między nimi stoi „lub”.

Kroki 1 i 2 możesz zrobić w dowolnej kolejności. Ważne, żeby połączyć je dopiero na końcu.

Zacznij od nawiasu
W nawiasie jest $x \geq 7 \land x < 8$ : liczby co najmniej 7 i mniejsze od 8. Część wspólna to $[7, 8)$ .
$x \geq 7$ → $[7, \infty)$
$x < 8$ → $(- \infty, 8)$
$x \geq 7 \land x < 8$ → $[7, 8)$
Jak czytać ten rysunek:
7 należy (znak $\geq$ — pełne kółko), 8 nie należy (znak $<$ — puste kółko).
Dlaczego?
Nawiasy liczymy najpierw — jak w logice. Bez tego nie wiadomo, do czego odnosi się „lub”.
Zamień drugą część na przedział
$x \leq 1$ to wszystkie liczby od $-\infty$ do 1 włącznie: $(-\infty, 1]$ .
Połącz kawałki znakiem ∪
$(-\infty, 1] \cup [7, 8)$
$x \leq 1$ → $(- \infty, 1]$
$x \geq 7 \land x < 8$ → $[7, 8)$
$x \leq 1 \lor (x \geq 7 \land x < 8)$ → $(- \infty, 1] \cup [7, 8)$
Jak czytać ten rysunek:
na dole oba kawałki naraz. Między 1 a 7 jest przerwa, więc zostają dwa przedziały połączone znakiem $\cup$ .
Dlaczego?
Każda liczba musi spełnić tylko jeden z warunków — tak działa „lub”. Dlatego do zbioru trafiają liczby z obu kawałków, a cały zbiór zapisujemy jako ich sumę $\cup$ . Kawałków nie da się skleić w jeden przedział, bo liczby między 1 a 7 (np. 4) nie spełniają żadnego warunku.
Inny sposób
Wynik sprawdzisz bez rysunku — wstaw kilka liczb do warunku:
- $1$ : $1 \leq 1$ — należy;
- $4$ : ani $4 \leq 1$ , ani $4 \geq 7$ — nie należy;
- $7$ : $7 \geq 7$ i $7 < 8$ — należy;
- $8$ : $8 < 8$ to fałsz — nie należy.
Każda odpowiedź zgadza się z $(-\infty, 1] \cup [7, 8)$ .

Sprawdź się

Jak zapisać ${x \in R : x \geq - 3 \land x < 2}$ ?

Działania na zbiorach

Działania na zbiorach to te same filtry co w sklepie internetowym. Każde ma swój symbol — oto cała czwórka:

A \cup B

Suma zbiorów

czytamy: „A suma B”

Elementy, które są w A lub w B (w co najmniej jednym).

Jak zapamiętać: $\cup$ wygląda jak kubek: wrzucasz do niego wszystko z obu zbiorów.

A \cap B

Iloczyn (część wspólna, przekrój)

czytamy: „A iloczyn B, część wspólna A i B”

Elementy, które są w A i w B naraz.

Jak zapamiętać: $\cap$ to odwrócony kubek — przykrywa tylko to, co wspólne.

A ∖ B

Różnica zbiorów

czytamy: „A minus B, różnica A i B”

Elementy, które są w A i nie są w B.

Jak zapamiętać: ukośnik „odcina”: z A wycinasz wszystko, co jest w B.

A^{'}

Dopełnienie

czytamy: „dopełnienie A (A prim)”

Wszystko z uniwersum $U$ , czego nie ma w A.

Jak zapamiętać: $A^{'}$ to „reszta świata” poza $A$ .

Te działania to logika w przebraniu. Element należy do wyniku, gdy spełnia warunek z ostatniej kolumny:

Działanie	Czytamy	Spójnik z logiki	$x$ należy do wyniku, gdy…
$A \cup B$	A suma B	$\lor$ (lub)	$x \in A \lor x \in B$
$A \cap B$	A iloczyn B	$\land$ (i)	$x \in A \land x \in B$
$A \setminus B$	A minus B	$\land$ + $\neg$	$x \in A \land x \notin B$
$A'$	dopełnienie A	$\neg$ (nieprawda, że)	$x \in U$ i $x \notin A$

Najprościej zobaczyć to na diagramie Venna: każdy zbiór to koło, a prostokąt dookoła to uniwersum $U$ . Poniżej przykład z zajęć: $U = \{0, 1, \ldots, 8\}$ , $A = \{0, 1, 2, 3, 4\}$ , $B = \{3, 4, 5, 6, 7\}$ .

$A \cup B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$ — do sumy należy wszystko, co jest w A lub w B (wystarczy jeden ze zbiorów).
$A \cap B = {3, 4}$ — do części wspólnej należy tylko to, co jest w A i w B naraz.
$A ∖ B = {0, 1, 2}$ — do $A ∖ B$ należy to, co jest w A i nie jest w B.
$B ∖ A = {5, 6, 7}$ — do $B ∖ A$ należy to, co jest w B i nie jest w A.
$A^{'} = {5, 6, 7, 8}$ — do $A^{'}$ należy wszystko z $U$ , czego nie ma w A.
$B^{'} = {0, 1, 2, 8}$ — do $B^{'}$ należy wszystko z $U$ , czego nie ma w B.

Jak czytać ten rysunek:

niebieskie koło to $A$ , różowe to $B$ , prostokąt to $U$ . Liczby w części wspólnej kół (3 i 4) należą do obu zbiorów, liczby tylko w jednym kole — do jednego zbioru, a 8 leży poza kołami: należy tylko do $U$ . Kliknij działanie, a jego wynik podświetli się na złoto. Kliknij drugi raz, żeby zgasić.

Zadanie · krok po kroku

Wyznacz A′, B′, A ∪ B, A ∩ B, A ∖ B, B ∖ A

Zad. 3, str. 31–32, c)

$A = \{x \in \mathbb{N} : x < 5\}$ , $B = \{x \in \mathbb{N} : 2 < x < 8\}$ , $U = \{x \in \mathbb{N} : x < 9\}$ .

Plan — co zrobimy i po co

Wypisujemy elementy $A$ , $B$ i $U$ . Z samych warunków trudno cokolwiek odczytać.
Rozmieszczamy elementy w czterech miejscach diagramu Venna. Potem każde działanie to tylko wskazanie właściwych miejsc.
Odczytujemy działania: dopełnienia, sumę i część wspólną, różnice.

Kolejność działań w kroku 3 jest dowolna. Inna droga — tabela przynależności z zerami i jedynkami — jest pod zadaniem.

Wypisz elementy zbiorów
$\begin{gathered} A = \{0, 1, 2, 3, 4\} \\ B = \{3, 4, 5, 6, 7\} \\ U = \{0, 1, 2, \ldots, 8\} \end{gathered}$
Bo tak — umowa
Na zajęciach $\mathbb{N}$ zaczyna się od 0. W części książek zaczyna się od 1 — to kwestia umowy. Dlatego 0 należy do $A$ i do $U$ .
Dlaczego?
W $B$ obie nierówności są ostre ( $2 < x < 8$ ), więc ani 2, ani 8 nie należą do $B$ .
Rozmieść elementy na diagramie
- w obu zbiorach: $3, 4$ ;
- tylko w $A$ : $0, 1, 2$ ;
- tylko w $B$ : $5, 6, 7$ ;
- poza $A$ i $B$ : $8$ .
To dokładnie rysunek powyżej.
Dlaczego?
Każdy element $U$ trafia w jedno z czterech miejsc. Gdy elementy są już rozmieszczone, każde działanie to tylko wskazanie właściwych miejsc.
Odczytaj dopełnienia
$\begin{gathered} A' = \{5, 6, 7, 8\} \\ B' = \{0, 1, 2, 8\} \end{gathered}$
Dlaczego?
$A'$ to wszystko z $U$ poza kołem $A$ : część „tylko $B$ ” (5, 6, 7) i to, co poza kołami (8). Łatwo zapomnieć o ósemce — ona nie jest w żadnym kole, ale jest w $U$ .
Inny sposób
Bez diagramu: $A' = U \setminus A$ . Z listy $0, 1, \ldots, 8$ wykreślasz elementy $A$ , czyli 0, 1, 2, 3, 4. Zostaje $\{5, 6, 7, 8\}$ .
Odczytaj sumę i część wspólną
$\begin{gathered} A \cup B = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \\ A \cap B = \{3, 4\} \end{gathered}$
Dlaczego?
Suma to oba koła w całości (wszystko oprócz 8). Część wspólna to tylko środek, gdzie koła na siebie zachodzą.
Odczytaj różnice
$\begin{gathered} A \setminus B = \{0, 1, 2\} \\ B \setminus A = \{5, 6, 7\} \end{gathered}$
Dlaczego?
$A \setminus B$ : bierzemy $A$ i wycinamy z niego wszystko, co jest też w $B$ (3 i 4). Zostaje „tylko $A$ ”. Przy $B \setminus A$ jest odwrotnie — dlatego różnice wychodzą różne.

Drugi sposób na to samo — tabela przynależności. Każdy wiersz to jeden element $U$ , a 1 i 0 znaczą „należy” i „nie należy”. To dokładnie tabela zero-jedynkowa z logiki: kolumna $A \cap B$ liczy się jak $\land$ , a $A \cup B$ jak $\lor$ .

$x$	$x \in A$	$x \in B$	$x \in A \cup B$ 1	$x \in A \cap B$ 2	$x \in A ∖ B$ 3	$x \in B ∖ A$ 4	$x \in A^{'}$ 5	$x \in B^{'}$ 6
0	1	0	1	0	1	0	0	1
1	1	0	1	0	1	0	0	1
2	1	0	1	0	1	0	0	1
3	1	1	1	1	0	0	0	0
4	1	1	1	1	0	0	0	0
5	0	1	1	0	0	1	1	0
6	0	1	1	0	0	1	1	0
7	0	1	1	0	0	1	1	0
8	0	0	0	0	0	0	1	1

$A \cup B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$
$A \cap B = {3, 4}$
$A ∖ B = {0, 1, 2}$
$B ∖ A = {5, 6, 7}$
$A^{'} = {5, 6, 7, 8}$
$B^{'} = {0, 1, 2, 8}$

Jak czytać tę tabelę:

wiersz to jeden element. W kolumnie $x \in A \cap B$ jest 1 tylko tam, gdzie w obu kolumnach $x \in A$ i $x \in B$ stoi 1 (jak $\land$ ). W $x \in A \setminus B$ — tam, gdzie $x \in A$ ma 1, a $x \in B$ ma 0. Pod tabelą zbiory odczytane z jedynek.

Prawa de Morgana dla zbiorów

Prawa de Morgana z logiki działają też dla zbiorów:

\begin{gathered} (A \cup B)' = A' \cap B' \\ (A \cap B)' = A' \cup B' \end{gathered}

Czytamy: „dopełnienie sumy to część wspólna dopełnień” i „dopełnienie części wspólnej to suma dopełnień”. Po ludzku: „nie ma go ani w $A$ , ani w $B$ ” to to samo co „nie ma go w $A$ i nie ma go w $B$ ”.

$x$	$x \in A$	$x \in B$	$x \in (A \cup B)^{'}$ 1	$x \in A^{'} \cap B^{'}$ 2	$x \in (A \cap B)^{'}$ 3	$x \in A^{'} \cup B^{'}$ 4
0	1	0	0	0	1	1
1	1	0	0	0	1	1
2	1	0	0	0	1	1
3	1	1	0	0	0	0
4	1	1	0	0	0	0
5	0	1	0	0	1	1
6	0	1	0	0	1	1
7	0	1	0	0	1	1
8	0	0	1	1	1	1

$(A \cup B)^{'} = {8}$
$A^{'} \cap B^{'} = {8}$
$(A \cap B)^{'} = {0, 1, 2, 5, 6, 7, 8}$
$A^{'} \cup B^{'} = {0, 1, 2, 5, 6, 7, 8}$

Jak czytać tę tabelę:

kolumny 1 i 2 są identyczne, tak samo kolumny 3 i 4 — to właśnie sprawdzenie praw de Morgana na przykładzie z zajęć.

Sprawdź się

$U = {1, 2, 3, 4, 5}$ , $A = {1, 2}$ , $B = {2, 3}$ . Ile wynosi $(A \cup B)^{'}$ ?

Zawieranie się i równość zbiorów

A \subset B

Zawieranie się

czytamy: „A zawiera się w B, A jest podzbiorem B”

Każdy element $A$ należy też do $B$ .

Jak zapamiętać: $\subset$ wygląda jak „C” otwarte w stronę większego zbioru.

A = B

Równość zbiorów

czytamy: „A równa się B”

Oba zbiory mają dokładnie te same elementy.

Jak zapamiętać: równe = żaden nie ma niczego „ekstra”.

A \neq \subset B

Nie zawiera się

czytamy: „A nie zawiera się w B”

Jest co najmniej jeden element $A$ , którego nie ma w $B$ .

Jak zapamiętać: przekreślenie jak przy $\in /$ .

Przykład z życia: wszyscy studenci Twojej grupy ćwiczeniowej są studentami uczelni. Grupa $\subset$ uczelnia. W drugą stronę nie: uczelnia ma studentów spoza Twojej grupy.

Zadanie · krok po kroku

Określ relacje zawierania się i równości zbiorów A, B, C, D, E

Zad. 4, str. 32, c)

$A = \{-2, -1, 2, 4, 8\}$ , $B = \{x \in \mathbb{Z} : x \geq -3 \land x \leq 8\}$ , $C = (-3, 8)$ , $D = [-3, 8]$ , $E = \{x \in \mathbb{Z} : x > -3 \land x < 8\}$ .

Plan — co zrobimy i po co

Wypisujemy elementy zbiorów liczb całkowitych. Wtedy widać, które końce należą.
Rysujemy wszystkie zbiory jeden pod drugim, na tej samej skali. Pary porównujemy potem z rysunku.
Dla każdej pary szukamy wyrzutka. Jeden wyrzutek obala zawieranie.
Zapisujemy zawierania i sprawdzamy, czy któreś działa w obie strony — to byłaby równość.

Par do sprawdzenia jest 20: każdy zbiór z każdym innym, w obie strony. Dlatego przydają się szybkie wyrzutki z ramki „Kiedy tego użyć” — część par skreślasz bez liczenia.

Wypisz elementy tam, gdzie się da
$\begin{gathered} B = \{-3, -2, -1, 0, 1, \ldots, 8\} \\ E = \{-2, -1, 0, 1, \ldots, 7\} \end{gathered}$
$C$ i $D$ to przedziały — zostają przedziałami.
Dlaczego?
$B$ i $E$ mają $x \in \mathbb{Z}$ , więc to same liczby całkowite. W $B$ nierówności są nieostre ( $\geq$ , $\leq$ ), więc $-3$ i $8$ należą. W $E$ są ostre, więc odpadają.
Narysuj wszystko na jednej skali
$A$
$B$
$C = (- 3, 8)$
$D = [- 3, 8]$
$E$
Jak czytać ten rysunek:
kropki to pojedyncze liczby całkowite, kreski to przedziały. Zbiór $X$ zawiera się w $Y$ , jeśli pod każdą kropką (każdym kawałkiem kreski) $X$ -a jest coś zamalowanego w wierszu $Y$ .

Sprawdź każdą parę — szukaj wyrzutka

W wierszu jest zbiór $X$ , w kolumnie $Y$ . „✓” znaczy $X \subset Y$ , a przy „✗” podany jest wyrzutek.

$X \subset Y$ ?	$A$	$B$	$C$	$D$	$E$
$A$	—	✓	✗ ( $8$ )	✓	✗ ( $8$ )
$B$	✗ ( $0$ )	—	✗ ( $-3$ )	✓	✗ ( $-3$ )
$C$	✗ ( $0{,}5$ )	✗ ( $0{,}5$ )	—	✓	✗ ( $0{,}5$ )
$D$	✗ ( $0{,}5$ )	✗ ( $0{,}5$ )	✗ ( $-3$ )	—	✗ ( $0{,}5$ )
$E$	✗ ( $0$ )	✓	✓	✓	—

Dlaczego?

Do obalenia zawierania wystarczy jeden wyrzutek — tak jak jeden kontrprzykład obala „dla każdego” w logice. Żeby potwierdzić zawieranie, trzeba sprawdzić wszystkie elementy (tu pomaga rysunek).

Inny sposób

Zbiory da się też ułożyć w łańcuchy, jak pudełka w pudełkach: $E \subset C \subset D$ , $E \subset B \subset D$ i $A \subset B \subset D$ . Jeśli $X \subset Y$ i $Y \subset Z$ , to $X \subset Z$ . Dlatego $E \subset D$ i $A \subset D$ wynikają z łańcuchów bez osobnego sprawdzania.

Zapisz wynik
$\begin{gathered} A \subset B,\ \ A \subset D,\ \ B \subset D,\ \ C \subset D, \\ E \subset B,\ \ E \subset C,\ \ E \subset D \end{gathered}$
Równych zbiorów tu nie ma.
Dlaczego?
Równość wymaga zawierania w obie strony. Dla każdej pary z „✓” po drugiej stronie tabeli jest „✗” (np. $A \subset B$ , ale $B \not\subset A$ ), więc żadne dwa zbiory nie są równe.

Iloczyn kartezjański — zbiór par

Restauracja ma zestaw obiadowy: zupa do wyboru $Z = \{\text{pomidorowa}, \text{rosół}\}$ i drugie danie $D = \{\text{schabowy}, \text{pierogi}, \text{ryba}\}$ . Ile jest różnych zestawów? Każda zupa z każdym drugim daniem: $2 \cdot 3 = 6$ . Każdy zestaw to para: (zupa, drugie danie). Zbiór wszystkich takich par to właśnie iloczyn kartezjański $Z \times D$ .

A \times B = {(x, y) : x \in A \land y \in B}

Czytamy: A razy B to zbiór par $(x, y)$ takich, że $x$ należy do $A$ i $y$ należy do $B$

$\times$: znak iloczynu kartezjańskiego; czytamy „razy”
$(x, y)$: para uporządkowana — nawiasy okrągłe, a kolejność ma znaczenie
$x \in A$: pierwszy element pary zawsze z pierwszego zbioru
$y \in B$: drugi element pary zawsze z drugiego zbioru

(x, y)

Para uporządkowana

czytamy: „para x, y”

Dwa elementy w ustalonej kolejności. $(1, 2) \neq = (2, 1)$ .

Jak zapamiętać: jak współrzędne punktu: najpierw $x$ , potem $y$ .

A^{2}

Potęga zbioru

czytamy: „A do kwadratu”

Skrót od $A \times A$ — pary, w których oba elementy są z $A$ .

Jak zapamiętać: jak $a^{2} = a \cdot a$ , tylko zamiast mnożenia liczb — pary.

Zadanie · krok po kroku

Wyznacz A × B i B × A dla A = {3, 4, 5}, B = {−2, −1, 0}

Zad. 1, str. 36, c)

Plan — co zrobimy i po co

Budujemy tabelkę: wiersze z $A$ , kolumny z $B$ . Dzięki temu żadna para nie zginie.
Przepisujemy pary wiersz po wierszu i sprawdzamy ich liczbę: $|A| \cdot |B|$ .
Zapisujemy $B \times A$ . To te same liczby, ale z odwróconą kolejnością w parach.
Rysujemy oba zbiory w układzie współrzędnych. Rysunek pokazuje, że to dwa różne zbiory.

Krok 4 jest potrzebny, gdy polecenie mówi „przedstaw w układzie współrzędnych”.

Zbuduj tabelkę par

Wiersze to elementy $A$ , kolumny to elementy $B$ :

$A \times B$	$-2$	$-1$	$0$
$3$	$(3, -2)$	$(3, -1)$	$(3, 0)$
$4$	$(4, -2)$	$(4, -1)$	$(4, 0)$
$5$	$(5, -2)$	$(5, -1)$	$(5, 0)$

Dlaczego?

Tabelka gwarantuje, że żadna para nie zginie: każdy wiersz z każdą kolumną to dokładnie „każdy z każdym”.

Zapisz A × B
$\begin{aligned} A \times B = \{&(3, -2), (3, -1), (3, 0), \\ &(4, -2), (4, -1), (4, 0), \\ &(5, -2), (5, -1), (5, 0)\} \end{aligned}$
Sprawdzenie: $|A| \cdot |B| = 3 \cdot 3 = 9$ par. Zgadza się.
Zapisz B × A
Teraz pierwszy element pary pochodzi z $B$ :
$\begin{aligned} B \times A = \{&(-2, 3), (-2, 4), (-2, 5), \\ &(-1, 3), (-1, 4), (-1, 5), \\ &(0, 3), (0, 4), (0, 5)\} \end{aligned}$
Dlaczego?
To te same liczby, ale w odwrotnej kolejności w parze. Ponieważ $(3, -2) \neq (-2, 3)$ , zbiory $A \times B$ i $B \times A$ są różne — choć oba mają po 9 par.
Inny sposób
Nie trzeba budować drugiej tabelki. Weź każdą parę z $A \times B$ i zamień w niej liczby miejscami: $(3, -2) \to (-2, 3)$ , $(3, -1) \to (-1, 3)$ i tak dalej.
Narysuj oba zbiory w układzie współrzędnych
● $A \times B = {$ $(3, - 2),$ $(3, - 1),$ $(3, 0),$ $(4, - 2),$ $(4, - 1),$ $(4, 0),$ $(5, - 2),$ $(5, - 1),$ $(5, 0)$ $}$
○ $B \times A = {$ $(- 2, 3),$ $(- 2, 4),$ $(- 2, 5),$ $(- 1, 3),$ $(- 1, 4),$ $(- 1, 5),$ $(0, 3),$ $(0, 4),$ $(0, 5)$ $}$
Żółta przerywana linia to prosta $y = x$ . Kropki $B \times A$ są odbiciem kropek $A \times B$ w tej prostej — bo w każdej parze zamieniamy miejscami $x$ i $y$ .
Jak czytać ten rysunek:
każda kropka to jedna para: pierwszy element pary to współrzędna $x$ (w poziomie), drugi to $y$ (w pionie). Przełączaj $A \times B$ i $B \times A$ . W trybie „oba naraz” widać, że jeden zbiór kropek to odbicie drugiego.

Iloczyn kartezjański przedziałów w układzie współrzędnych

Gdy $A$ i $B$ są przedziałami, par jest nieskończenie wiele — nie wypiszesz ich, ale narysujesz. Wszystkie punkty $(x, y)$ z $x \in A$ i $y \in B$ tworzą obszar (zwykle prostokąt, czasem nieskończony).

Najpierw prosty przykład: $A = [1, 3]$ , $B = [2, 4]$ . Oba przedziały domknięte, więc wszystkie brzegi są ciągłe.

$A \times B = {(x, y) : x \in [1, 3] \land y \in [2, 4]}$

Zamalowane są punkty, dla których $1 \leq x \leq 3$ i $2 \leq y \leq 4$ .

prosta $x = 1$ — ciągła, bo $1 \in A$ (nawias kwadratowy)
prosta $x = 3$ — ciągła, bo $3 \in A$ (nawias kwadratowy)
prosta $y = 2$ — ciągła, bo $2 \in B$ (nawias kwadratowy)
prosta $y = 4$ — ciągła, bo $4 \in B$ (nawias kwadratowy)

$B \times A = {(x, y) : x \in [2, 4] \land y \in [1, 3]}$

Zamalowane są punkty, dla których $2 \leq x \leq 4$ i $1 \leq y \leq 3$ .

prosta $x = 2$ — ciągła, bo $2 \in B$ (nawias kwadratowy)
prosta $x = 4$ — ciągła, bo $4 \in B$ (nawias kwadratowy)
prosta $y = 1$ — ciągła, bo $1 \in A$ (nawias kwadratowy)
prosta $y = 3$ — ciągła, bo $3 \in A$ (nawias kwadratowy)

Jak czytać ten rysunek:

zamalowany prostokąt to $A \times B$ : każdy jego punkt ma $x$ od 1 do 3 i $y$ od 2 do 4. Przełącz na $B \times A$ — prostokąt „kładzie się” na boku, bo teraz $x$ jest z $B$ , a $y$ z $A$ .

Zadanie · krok po kroku

Przedstaw A × B i B × A dla A = (−∞, 5), B = [2, ∞)

Zad. 2, str. 36, b)

Plan — co zrobimy i po co

Tłumaczymy przedziały na nierówności: warunek dla $x$ i warunek dla $y$ . Z nierówności łatwiej rysować.
Rysujemy brzegi: ciągłe tam, gdzie koniec należy, przerywane tam, gdzie nie.
Zamalowujemy obszar, w którym oba warunki są spełnione naraz.
Rysujemy $B \times A$ tym samym przepisem, z zamienionymi rolami $x$ i $y$ .

Krok 4 da się zrobić szybciej: obszar $B \times A$ to odbicie obszaru $A \times B$ względem prostej $y = x$ .

Przetłumacz przedziały na nierówności
$A = (-\infty, 5)$ to $x < 5$ (5 nie należy). $B = [2, \infty)$ to $y \geq 2$ (2 należy).
Dlaczego?
W $A \times B$ pierwszy element pary (współrzędna $x$ ) jest z $A$ , a drugi ( $y$ ) z $B$ . Dlatego warunek z $A$ dotyczy $x$ , a z $B$ — $y$ .
Narysuj brzegi
- $x = 5$ — prosta pionowa przerywana, bo $5 \notin A$ (nawias okrągły);
- $y = 2$ — prosta pozioma ciągła, bo $2 \in B$ (nawias kwadratowy).
Zamaluj obszar
$A \times B$ to punkty na lewo od $x = 5$ i nad $y = 2$ (razem z tą prostą). Obszar ciągnie się w nieskończoność w lewo i w górę.
$A \times B = {(x, y) : x \in (- \infty, 5) \land y \in [2, \infty)}$
Zamalowane są punkty, dla których $x < 5$ i $y \geq 2$ .
prosta $x = 5$ — przerywana, bo $5 \in / A$ (nawias okrągły)
prosta $y = 2$ — ciągła, bo $2 \in B$ (nawias kwadratowy)
$B \times A = {(x, y) : x \in [2, \infty) \land y \in (- \infty, 5)}$
Zamalowane są punkty, dla których $x \geq 2$ i $y < 5$ .
prosta $x = 2$ — ciągła, bo $2 \in B$ (nawias kwadratowy)
prosta $y = 5$ — przerywana, bo $5 \in / A$ (nawias okrągły)
Jak czytać ten rysunek:
niebieski obszar to $A \times B$ , strzałki pokazują, w którą stronę biegnie bez końca. Brzeg przerywany = te punkty nie należą do zbioru, ciągły = należą. Róg $(5, 2)$ jest pustym kółkiem, bo $5 \notin A$ . Przełącz na $B \times A$ , żeby zobaczyć drugą część zadania.
Inny sposób
Rysunek sprawdzisz jednym punktem. Weź np. $(0, 3)$ : $0 < 5$ i $3 \geq 2$ , więc punkt należy do $A \times B$ — musi leżeć w zamalowanym obszarze. Punkt $(6, 3)$ nie należy, bo $6 < 5$ to fałsz — musi leżeć poza nim.
Narysuj B × A
Teraz $x \in B$ , czyli $x \geq 2$ (prosta $x = 2$ ciągła), a $y \in A$ , czyli $y < 5$ (prosta $y = 5$ przerywana). Obszar leży na prawo od $x = 2$ i pod $y = 5$ — to odbicie poprzedniego obszaru względem prostej $y = x$ .
Dlaczego?
W $B \times A$ zamieniamy role zbiorów: teraz to $B$ wyznacza $x$ , a $A$ wyznacza $y$ . Dlatego ciągła i przerywana linia zamieniają się miejscami.

Zasada włączeń i wyłączeń

W grupie jest 30 osób. 20 lubi pizzę, 15 lubi sushi, a 5 lubi jedno i drugie. Ile osób lubi cokolwiek z tych dwóch? Kusi, żeby dodać: $20 + 15 = 35$ . Ale to więcej, niż jest osób w grupie! Problem: te 5 osób, które lubią oba dania, policzyliśmy dwa razy — raz wśród „pizzowych”, raz wśród „sushi”. Trzeba je raz odjąć: $35 - 5 = 30$ .

∣ A \cup B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ - ∣ A \cap B ∣

Czytamy: moc sumy A i B równa się moc A plus moc B minus moc części wspólnej

$∣ A ∣ + ∣ B ∣$: włączamy oba zbiory — część wspólna wchodzi dwa razy
$- ∣ A \cap B ∣$: wyłączamy część wspólną raz, żeby każdy był policzony dokładnie raz

Dla trzech zbiorów (wzór ze slajdów):

∣ A \cup B \cup C ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ + ∣ C ∣ - ∣ A \cap B ∣ - ∣ A \cap C ∣ - ∣ B \cap C ∣ + ∣ A \cap B \cap C ∣

$∣ A ∣ + ∣ B ∣ + ∣ C ∣$: dodajemy trzy zbiory
$- ∣ A \cap B ∣ - ∣ A \cap C ∣ - ∣ B \cap C ∣$: odejmujemy trzy części wspólne par
$+ ∣ A \cap B \cap C ∣$: dodajemy z powrotem część wspólną wszystkich trzech

Skąd to się bierze?· Skąd ten „+” na końcu?

Sprawdźmy, ile razy wzór liczy element z każdego miejsca diagramu:

Element jest w…	dodany w $\lvert A\rvert$ , $\lvert B\rvert$ , $\lvert C\rvert$	odjęty w parach	dodany na końcu	razem
1 zbiorze	1 raz	0 razy	0 razy	1
2 zbiorach	2 razy	1 raz	0 razy	1
3 zbiorach	3 razy	3 razy	1 raz	1

Bez ostatniego składnika element z trzech zbiorów zostałby dodany 3 razy i odjęty 3 razy — czyli w ogóle by go nie było. Dlatego dodajemy go z powrotem.

Zadanie · krok po kroku

Czy przedsiębiorca może wysłać w trasę co najmniej połowę ciężarówek?

Zad. 4, str. 40

Firma ma 85 ciężarówek. Przegląd wykazał, że 20 nie spełnia norm emisji spalin, 30 ma uszkodzone amortyzatory, a 10 niesprawne hamulce. 10 ciężarówek ma problem ze spalinami i amortyzatorami, 7 — z amortyzatorami i hamulcami, 7 — ze spalinami i hamulcami, a 5 ma wszystkie trzy usterki. W trasę mogą jechać tylko ciężarówki bez usterek. Czy przedsiębiorca może wysłać w trasę co najmniej połowę z nich?

Plan — co zrobimy i po co

Nazywamy zbiory literami. Każda usterka to jeden zbiór.
Wypisujemy dane jako moce zbiorów, żeby wstawić je do wzoru bez szukania w treści.
Liczymy ciężarówki z co najmniej jedną usterką — wzorem włączeń i wyłączeń.
Liczymy sprawne ciężarówki i porównujemy je z połową floty. O to pyta zadanie.
Sprawdzamy wynik na diagramie Venna.

Inna droga: od razu wypełnić diagram od środka na zewnątrz i dodać kawałki (krok 5). Wzór jest szybszy, a diagram łatwiej sprawdzić.

Nazwij zbiory
- $A$ — ciężarówki, które nie spełniają norm emisji spalin,
- $B$ — ciężarówki z uszkodzonymi amortyzatorami,
- $C$ — ciężarówki z niesprawnymi hamulcami.
Dlaczego?
Każda usterka to jeden zbiór. Ciężarówka z dwiema usterkami należy do dwóch zbiorów naraz — dlatego koła na diagramie się przecinają.
Wypisz dane
$\begin{gathered} |U| = 85, \quad |A| = 20, \\ |B| = 30, \quad |C| = 10 \end{gathered}$ $\begin{gathered} |A \cap B| = 10, \quad |B \cap C| = 7, \\ |A \cap C| = 7, \quad |A \cap B \cap C| = 5 \end{gathered}$
Policz ciężarówki z co najmniej jedną usterką
$\begin{aligned} |A \cup B \cup C| &= 20 + 30 + 10 \\ &\quad - 10 - 7 - 7 + 5 \\ &= 41 \end{aligned}$
Dlaczego?
Suma $A \cup B \cup C$ to ciężarówki, które mają co najmniej jedną usterkę. Gdybyśmy dodali tylko $20 + 30 + 10 = 60$ , ciężarówki z kilkoma usterkami policzylibyśmy kilka razy.
Policz sprawne i odpowiedz
Sprawne to te bez żadnej usterki: $85 - 41 = 44$ . Połowa floty to $85 : 2 = 42{,}5$ .
Ponieważ $44 > 42{,}5$ , przedsiębiorca może wysłać w trasę co najmniej połowę ciężarówek.
Dlaczego?
„Bez żadnej usterki” to dopełnienie sumy: $(A \cup B \cup C)'$ . Jego moc to wszystkie ciężarówki minus te z usterką.
Sprawdź na diagramie
Wpisz liczby do diagramu od środka na zewnątrz. Jeśli wszystko się zsumuje do 85, wynik jest dobry.
A — nie spełnia norm spalinB — uszkodzone amortyzatoryC — niesprawne hamulce
1. Środek. Do wszystkich trzech zbiorów naraz należy $∣ A \cap B \cap C ∣ = 5$ . Wpisujemy 5 w sam środek.
2. Tylko dwa zbiory. $∣ A \cap B ∣ = 10$ , ale 5 z nich siedzi już w środku, więc „tylko A i B” to $10 - 5 = 5$ . Tak samo: tylko A i C: $7 - 5 = 2$ , tylko B i C: $7 - 5 = 2$ .
3. Tylko jeden zbiór. Od całego zbioru odejmujemy to, co już wpisane w jego kole. Tylko A: $20 - 5 - 2 - 5 = 8$ . Tylko B: $30 - 5 - 2 - 5 = 18$ . Tylko C: $10 - 2 - 2 - 5 = 1$ .
4. Poza zbiorami. W kołach jest razem $5 + 5 + 2 + 2 + 8 + 18 + 1 = 41$ — tyle samo, ile daje wzór. Poza kołami zostaje $85 - 41 = 44$ .
Jak czytać ten rysunek:
liczba w każdym kawałku to ciężarówki z dokładnie tym zestawem usterek. Środek — wszystkie trzy usterki, kawałki między dwoma kołami — dokładnie dwie, kawałki tylko w jednym kole — jedna. Liczba w lewym dolnym rogu to ciężarówki sprawne.

Ściąga przed kolokwium

ZbiórNic się nie powtarza, kolejność bez znaczenia:

\{1, 2, 2\} = \{2, 1\}

∈, ∉, moc

x \in A

— należy.

|A|

— liczba elementów.

|\emptyset| = 0

Zapis z warunkiem

\{x \in \mathbb{N} : \ldots\}

— dwukropek to „takich, że”. Na zajęciach

0 \in \mathbb{N}

Moc ciągu

\frac{\text{ostatni} - \text{pierwszy}}{\text{krok}} + 1

— tylko przy stałym kroku.

Przedziały

( )

— koniec nie należy, puste kółko.

[ ]

— należy, pełne kółko. Przy

\infty

zawsze

( )

∧ i ∨ na osi

\land

— część wspólna (zamalowane na obu osiach).

\lor

— suma (na którejkolwiek).

Działania

A \cup B

— w A lub w B.

A \cap B

— w A i w B.

A \setminus B

— w A i nie w B.

A'

— w U i nie w A.

Uwaga

A \setminus B \neq B \setminus A

A'

zależy od

U

. Pusty wynik to

\emptyset

De Morgan

(A \cup B)' = A' \cap B'

;

(A \cap B)' = A' \cup B'

Zawieranie

A \subset B

: każdy element A jest w B. Jeden wyrzutek obala. Równość = zawieranie w obie strony.

A × BPary

(x, y)

x \in A

y \in B

. Kolejność ważna.

|A \times B| = |A| \cdot |B|

A × B na rysunku

A

na osi

x

B

na osi

y

. Brzeg ciągły — koniec należy, przerywany — nie.

Włączenia i wyłączeniaDodaj pojedyncze, odejmij pary, dodaj trójkę. „Żadnej cechy” =

|U|

minus wynik.

Ćwiczenia przed kolokwium

Krótkie zadania z natychmiastową odpowiedzią, ułożone według poleceń z kolokwium. Przy każdej odpowiedzi — dobrej i złej — zobaczysz, dlaczego tak jest. Wszystko da się zrobić na telefonie.

Wypisz elementy i policz moc

Ćwiczenia · 7 zadań

Wypisz elementy zbioru ${x \in N : x < 4}$ .
Wypisz elementy zbioru ${x \in Z : - 2 < x \leq 2}$ .
Ile wynosi moc zbioru ${3, 6, 9, \dots, 30}$ ?
Ile wynosi moc zbioru ${x \in N : 3 \leq x < 10}$ ?
Ile wynosi moc zbioru ${1, 1, 2, 3, 3, 3}$ ?
Ile wynosi moc zbioru ${x \in N : x^{2} \leq 16}$ ?
Ile elementów ma zbiór ${x \in R : 1 < x < 3}$ ?

Zapisz jako przedział

Ćwiczenia · 8 zadań

Zapisz ${x \in R : x \geq - 2}$ .
Zapisz ${x \in R : 1 < x \leq 6}$ .
Zapisz ${x \in R : x > 0 \land x < 5}$ .
Zapisz ${x \in R : x < - 1 \lor x \geq 4}$ .
Zapisz ${x \in R : x > 3 \land x < 1}$ .
Zapisz ${x \in R : x < 5 \lor x > 2}$ .
Na osi jest pełne kółko w 2, puste kółko w 7 i gruba kreska między nimi. Jaki to przedział?
Zapisz ${x \in R : x \leq 0 \lor (x > 3 \land x \leq 5)}$ .

Działania na zbiorach

Wypisz elementy

Liczby od 1 do 10

$U = \{1, 2, \ldots, 10\}$ , $A$ — liczby parzyste z $U$ , $B = \{x \in U : x \leq 5\}$ . Zaznacz elementy każdego zbioru.

A \cup B = {

}

A \cap B = {

}

A ∖ B = {

}

B ∖ A = {

}

A^{'} = {

}

B^{'} = {

}

$1$ nie należy do $A$ , ale należy do $B$ , więc należy do $A \cup B$ . Do sumy należy wszystko, co jest w A lub w B (wystarczy jeden ze zbiorów).
$2$ należy do $A$ i należy do $B$ , więc należy do $A \cup B$ . Do sumy należy wszystko, co jest w A lub w B (wystarczy jeden ze zbiorów).
$3$ nie należy do $A$ , ale należy do $B$ , więc należy do $A \cup B$ . Do sumy należy wszystko, co jest w A lub w B (wystarczy jeden ze zbiorów).
$4$ należy do $A$ i należy do $B$ , więc należy do $A \cup B$ . Do sumy należy wszystko, co jest w A lub w B (wystarczy jeden ze zbiorów).
$5$ nie należy do $A$ , ale należy do $B$ , więc należy do $A \cup B$ . Do sumy należy wszystko, co jest w A lub w B (wystarczy jeden ze zbiorów).
$6$ należy do $A$ , ale nie należy do $B$ , więc należy do $A \cup B$ . Do sumy należy wszystko, co jest w A lub w B (wystarczy jeden ze zbiorów).
$7$ nie należy do $A$ i nie należy do $B$ , więc nie należy do $A \cup B$ . Do sumy należy wszystko, co jest w A lub w B (wystarczy jeden ze zbiorów).
$8$ należy do $A$ , ale nie należy do $B$ , więc należy do $A \cup B$ . Do sumy należy wszystko, co jest w A lub w B (wystarczy jeden ze zbiorów).
$9$ nie należy do $A$ i nie należy do $B$ , więc nie należy do $A \cup B$ . Do sumy należy wszystko, co jest w A lub w B (wystarczy jeden ze zbiorów).
$10$ należy do $A$ , ale nie należy do $B$ , więc należy do $A \cup B$ . Do sumy należy wszystko, co jest w A lub w B (wystarczy jeden ze zbiorów).
$1$ nie należy do $A$ , ale należy do $B$ , więc nie należy do $A \cap B$ . Do części wspólnej należy tylko to, co jest w A i w B naraz.
$2$ należy do $A$ i należy do $B$ , więc należy do $A \cap B$ . Do części wspólnej należy tylko to, co jest w A i w B naraz.
$3$ nie należy do $A$ , ale należy do $B$ , więc nie należy do $A \cap B$ . Do części wspólnej należy tylko to, co jest w A i w B naraz.
$4$ należy do $A$ i należy do $B$ , więc należy do $A \cap B$ . Do części wspólnej należy tylko to, co jest w A i w B naraz.
$5$ nie należy do $A$ , ale należy do $B$ , więc nie należy do $A \cap B$ . Do części wspólnej należy tylko to, co jest w A i w B naraz.
$6$ należy do $A$ , ale nie należy do $B$ , więc nie należy do $A \cap B$ . Do części wspólnej należy tylko to, co jest w A i w B naraz.
$7$ nie należy do $A$ i nie należy do $B$ , więc nie należy do $A \cap B$ . Do części wspólnej należy tylko to, co jest w A i w B naraz.
$8$ należy do $A$ , ale nie należy do $B$ , więc nie należy do $A \cap B$ . Do części wspólnej należy tylko to, co jest w A i w B naraz.
$9$ nie należy do $A$ i nie należy do $B$ , więc nie należy do $A \cap B$ . Do części wspólnej należy tylko to, co jest w A i w B naraz.
$10$ należy do $A$ , ale nie należy do $B$ , więc nie należy do $A \cap B$ . Do części wspólnej należy tylko to, co jest w A i w B naraz.
$1$ nie należy do $A$ , ale należy do $B$ , więc nie należy do $A ∖ B$ . Do $A ∖ B$ należy to, co jest w A i nie jest w B.
$2$ należy do $A$ i należy do $B$ , więc nie należy do $A ∖ B$ . Do $A ∖ B$ należy to, co jest w A i nie jest w B.
$3$ nie należy do $A$ , ale należy do $B$ , więc nie należy do $A ∖ B$ . Do $A ∖ B$ należy to, co jest w A i nie jest w B.
$4$ należy do $A$ i należy do $B$ , więc nie należy do $A ∖ B$ . Do $A ∖ B$ należy to, co jest w A i nie jest w B.
$5$ nie należy do $A$ , ale należy do $B$ , więc nie należy do $A ∖ B$ . Do $A ∖ B$ należy to, co jest w A i nie jest w B.
$6$ należy do $A$ , ale nie należy do $B$ , więc należy do $A ∖ B$ . Do $A ∖ B$ należy to, co jest w A i nie jest w B.
$7$ nie należy do $A$ i nie należy do $B$ , więc nie należy do $A ∖ B$ . Do $A ∖ B$ należy to, co jest w A i nie jest w B.
$8$ należy do $A$ , ale nie należy do $B$ , więc należy do $A ∖ B$ . Do $A ∖ B$ należy to, co jest w A i nie jest w B.
$9$ nie należy do $A$ i nie należy do $B$ , więc nie należy do $A ∖ B$ . Do $A ∖ B$ należy to, co jest w A i nie jest w B.
$10$ należy do $A$ , ale nie należy do $B$ , więc należy do $A ∖ B$ . Do $A ∖ B$ należy to, co jest w A i nie jest w B.
$1$ nie należy do $A$ , ale należy do $B$ , więc należy do $B ∖ A$ . Do $B ∖ A$ należy to, co jest w B i nie jest w A.
$2$ należy do $A$ i należy do $B$ , więc nie należy do $B ∖ A$ . Do $B ∖ A$ należy to, co jest w B i nie jest w A.
$3$ nie należy do $A$ , ale należy do $B$ , więc należy do $B ∖ A$ . Do $B ∖ A$ należy to, co jest w B i nie jest w A.
$4$ należy do $A$ i należy do $B$ , więc nie należy do $B ∖ A$ . Do $B ∖ A$ należy to, co jest w B i nie jest w A.
$5$ nie należy do $A$ , ale należy do $B$ , więc należy do $B ∖ A$ . Do $B ∖ A$ należy to, co jest w B i nie jest w A.
$6$ należy do $A$ , ale nie należy do $B$ , więc nie należy do $B ∖ A$ . Do $B ∖ A$ należy to, co jest w B i nie jest w A.
$7$ nie należy do $A$ i nie należy do $B$ , więc nie należy do $B ∖ A$ . Do $B ∖ A$ należy to, co jest w B i nie jest w A.
$8$ należy do $A$ , ale nie należy do $B$ , więc nie należy do $B ∖ A$ . Do $B ∖ A$ należy to, co jest w B i nie jest w A.
$9$ nie należy do $A$ i nie należy do $B$ , więc nie należy do $B ∖ A$ . Do $B ∖ A$ należy to, co jest w B i nie jest w A.
$10$ należy do $A$ , ale nie należy do $B$ , więc nie należy do $B ∖ A$ . Do $B ∖ A$ należy to, co jest w B i nie jest w A.
$1$ nie należy do $A$ , więc należy do $A^{'}$ . Do $A^{'}$ należy wszystko z $U$ , czego nie ma w A.
$2$ należy do $A$ , więc nie należy do $A^{'}$ . Do $A^{'}$ należy wszystko z $U$ , czego nie ma w A.
$3$ nie należy do $A$ , więc należy do $A^{'}$ . Do $A^{'}$ należy wszystko z $U$ , czego nie ma w A.
$4$ należy do $A$ , więc nie należy do $A^{'}$ . Do $A^{'}$ należy wszystko z $U$ , czego nie ma w A.
$5$ nie należy do $A$ , więc należy do $A^{'}$ . Do $A^{'}$ należy wszystko z $U$ , czego nie ma w A.
$6$ należy do $A$ , więc nie należy do $A^{'}$ . Do $A^{'}$ należy wszystko z $U$ , czego nie ma w A.
$7$ nie należy do $A$ , więc należy do $A^{'}$ . Do $A^{'}$ należy wszystko z $U$ , czego nie ma w A.
$8$ należy do $A$ , więc nie należy do $A^{'}$ . Do $A^{'}$ należy wszystko z $U$ , czego nie ma w A.
$9$ nie należy do $A$ , więc należy do $A^{'}$ . Do $A^{'}$ należy wszystko z $U$ , czego nie ma w A.
$10$ należy do $A$ , więc nie należy do $A^{'}$ . Do $A^{'}$ należy wszystko z $U$ , czego nie ma w A.
$1$ należy do $B$ , więc nie należy do $B^{'}$ . Do $B^{'}$ należy wszystko z $U$ , czego nie ma w B.
$2$ należy do $B$ , więc nie należy do $B^{'}$ . Do $B^{'}$ należy wszystko z $U$ , czego nie ma w B.
$3$ należy do $B$ , więc nie należy do $B^{'}$ . Do $B^{'}$ należy wszystko z $U$ , czego nie ma w B.
$4$ należy do $B$ , więc nie należy do $B^{'}$ . Do $B^{'}$ należy wszystko z $U$ , czego nie ma w B.
$5$ należy do $B$ , więc nie należy do $B^{'}$ . Do $B^{'}$ należy wszystko z $U$ , czego nie ma w B.
$6$ nie należy do $B$ , więc należy do $B^{'}$ . Do $B^{'}$ należy wszystko z $U$ , czego nie ma w B.
$7$ nie należy do $B$ , więc należy do $B^{'}$ . Do $B^{'}$ należy wszystko z $U$ , czego nie ma w B.
$8$ nie należy do $B$ , więc należy do $B^{'}$ . Do $B^{'}$ należy wszystko z $U$ , czego nie ma w B.
$9$ nie należy do $B$ , więc należy do $B^{'}$ . Do $B^{'}$ należy wszystko z $U$ , czego nie ma w B.
$10$ nie należy do $B$ , więc należy do $B^{'}$ . Do $B^{'}$ należy wszystko z $U$ , czego nie ma w B.

Wypisz elementy

Gdy jeden zbiór siedzi w drugim

$U = \{x \in \mathbb{N} : x \leq 6\}$ , $A = \{x \in \mathbb{N} : 0 < x < 3\}$ , $B = \{x \in \mathbb{N} : 1 \leq x \leq 4\}$ . Najpierw wypisz elementy $U$ , $A$ i $B$ na kartce, potem zaznacz elementy każdego zbioru.

A \cap B = {

}

A \cup B = {

}

A ∖ B = {

}

B ∖ A = {

}

B^{'} = {

}

(A \cup B)^{'} = {

}

$0$ nie należy do $A$ i nie należy do $B$ , więc nie należy do $A \cap B$ . Do części wspólnej należy tylko to, co jest w A i w B naraz.
$1$ należy do $A$ i należy do $B$ , więc należy do $A \cap B$ . Do części wspólnej należy tylko to, co jest w A i w B naraz.
$2$ należy do $A$ i należy do $B$ , więc należy do $A \cap B$ . Do części wspólnej należy tylko to, co jest w A i w B naraz.
$3$ nie należy do $A$ , ale należy do $B$ , więc nie należy do $A \cap B$ . Do części wspólnej należy tylko to, co jest w A i w B naraz.
$4$ nie należy do $A$ , ale należy do $B$ , więc nie należy do $A \cap B$ . Do części wspólnej należy tylko to, co jest w A i w B naraz.
$5$ nie należy do $A$ i nie należy do $B$ , więc nie należy do $A \cap B$ . Do części wspólnej należy tylko to, co jest w A i w B naraz.
$6$ nie należy do $A$ i nie należy do $B$ , więc nie należy do $A \cap B$ . Do części wspólnej należy tylko to, co jest w A i w B naraz.
$0$ nie należy do $A$ i nie należy do $B$ , więc nie należy do $A \cup B$ . Do sumy należy wszystko, co jest w A lub w B (wystarczy jeden ze zbiorów).
$1$ należy do $A$ i należy do $B$ , więc należy do $A \cup B$ . Do sumy należy wszystko, co jest w A lub w B (wystarczy jeden ze zbiorów).
$2$ należy do $A$ i należy do $B$ , więc należy do $A \cup B$ . Do sumy należy wszystko, co jest w A lub w B (wystarczy jeden ze zbiorów).
$3$ nie należy do $A$ , ale należy do $B$ , więc należy do $A \cup B$ . Do sumy należy wszystko, co jest w A lub w B (wystarczy jeden ze zbiorów).
$4$ nie należy do $A$ , ale należy do $B$ , więc należy do $A \cup B$ . Do sumy należy wszystko, co jest w A lub w B (wystarczy jeden ze zbiorów).
$5$ nie należy do $A$ i nie należy do $B$ , więc nie należy do $A \cup B$ . Do sumy należy wszystko, co jest w A lub w B (wystarczy jeden ze zbiorów).
$6$ nie należy do $A$ i nie należy do $B$ , więc nie należy do $A \cup B$ . Do sumy należy wszystko, co jest w A lub w B (wystarczy jeden ze zbiorów).
$0$ nie należy do $A$ i nie należy do $B$ , więc nie należy do $A ∖ B$ . Do $A ∖ B$ należy to, co jest w A i nie jest w B.
$1$ należy do $A$ i należy do $B$ , więc nie należy do $A ∖ B$ . Do $A ∖ B$ należy to, co jest w A i nie jest w B.
$2$ należy do $A$ i należy do $B$ , więc nie należy do $A ∖ B$ . Do $A ∖ B$ należy to, co jest w A i nie jest w B.
$3$ nie należy do $A$ , ale należy do $B$ , więc nie należy do $A ∖ B$ . Do $A ∖ B$ należy to, co jest w A i nie jest w B.
$4$ nie należy do $A$ , ale należy do $B$ , więc nie należy do $A ∖ B$ . Do $A ∖ B$ należy to, co jest w A i nie jest w B.
$5$ nie należy do $A$ i nie należy do $B$ , więc nie należy do $A ∖ B$ . Do $A ∖ B$ należy to, co jest w A i nie jest w B.
$6$ nie należy do $A$ i nie należy do $B$ , więc nie należy do $A ∖ B$ . Do $A ∖ B$ należy to, co jest w A i nie jest w B.
$0$ nie należy do $A$ i nie należy do $B$ , więc nie należy do $B ∖ A$ . Do $B ∖ A$ należy to, co jest w B i nie jest w A.
$1$ należy do $A$ i należy do $B$ , więc nie należy do $B ∖ A$ . Do $B ∖ A$ należy to, co jest w B i nie jest w A.
$2$ należy do $A$ i należy do $B$ , więc nie należy do $B ∖ A$ . Do $B ∖ A$ należy to, co jest w B i nie jest w A.
$3$ nie należy do $A$ , ale należy do $B$ , więc należy do $B ∖ A$ . Do $B ∖ A$ należy to, co jest w B i nie jest w A.
$4$ nie należy do $A$ , ale należy do $B$ , więc należy do $B ∖ A$ . Do $B ∖ A$ należy to, co jest w B i nie jest w A.
$5$ nie należy do $A$ i nie należy do $B$ , więc nie należy do $B ∖ A$ . Do $B ∖ A$ należy to, co jest w B i nie jest w A.
$6$ nie należy do $A$ i nie należy do $B$ , więc nie należy do $B ∖ A$ . Do $B ∖ A$ należy to, co jest w B i nie jest w A.
$0$ nie należy do $B$ , więc należy do $B^{'}$ . Do $B^{'}$ należy wszystko z $U$ , czego nie ma w B.
$1$ należy do $B$ , więc nie należy do $B^{'}$ . Do $B^{'}$ należy wszystko z $U$ , czego nie ma w B.
$2$ należy do $B$ , więc nie należy do $B^{'}$ . Do $B^{'}$ należy wszystko z $U$ , czego nie ma w B.
$3$ należy do $B$ , więc nie należy do $B^{'}$ . Do $B^{'}$ należy wszystko z $U$ , czego nie ma w B.
$4$ należy do $B$ , więc nie należy do $B^{'}$ . Do $B^{'}$ należy wszystko z $U$ , czego nie ma w B.
$5$ nie należy do $B$ , więc należy do $B^{'}$ . Do $B^{'}$ należy wszystko z $U$ , czego nie ma w B.
$6$ nie należy do $B$ , więc należy do $B^{'}$ . Do $B^{'}$ należy wszystko z $U$ , czego nie ma w B.
$0$ nie należy do $A$ i nie należy do $B$ , więc należy do $(A \cup B)^{'}$ . Do $(A \cup B)^{'}$ należy to, czego nie ma ani w A, ani w B.
$1$ należy do $A$ i należy do $B$ , więc nie należy do $(A \cup B)^{'}$ . Do $(A \cup B)^{'}$ należy to, czego nie ma ani w A, ani w B.
$2$ należy do $A$ i należy do $B$ , więc nie należy do $(A \cup B)^{'}$ . Do $(A \cup B)^{'}$ należy to, czego nie ma ani w A, ani w B.
$3$ nie należy do $A$ , ale należy do $B$ , więc nie należy do $(A \cup B)^{'}$ . Do $(A \cup B)^{'}$ należy to, czego nie ma ani w A, ani w B.
$4$ nie należy do $A$ , ale należy do $B$ , więc nie należy do $(A \cup B)^{'}$ . Do $(A \cup B)^{'}$ należy to, czego nie ma ani w A, ani w B.
$5$ nie należy do $A$ i nie należy do $B$ , więc należy do $(A \cup B)^{'}$ . Do $(A \cup B)^{'}$ należy to, czego nie ma ani w A, ani w B.
$6$ nie należy do $A$ i nie należy do $B$ , więc należy do $(A \cup B)^{'}$ . Do $(A \cup B)^{'}$ należy to, czego nie ma ani w A, ani w B.

Ćwiczenia · 6 zadań

$A = {1, 2, 3}$ , $B = {3, 4}$ . Ile wynosi $A \cup B$ ?
$A = {a, b, c, d}$ , $B = {c, d, e}$ . Ile wynosi $A ∖ B$ ?
$U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ , $A = {2, 4, 6}$ . Ile wynosi $A^{'}$ ?
$A = {1, 2}$ , $B = {3, 4}$ . Ile wynosi $A \cap B$ ?
Do zbioru $(A \cup B)^{'}$ należą elementy, które…
Z prawa de Morgana $(A \cap B)^{'}$ to:

Zawieranie się i równość

Ćwiczenia · 7 zadań

$A = {1, 2}$ , $B = {1, 2, 3}$ . Co jest prawdą?
$A = {x \in N : x < 3}$ , $B = {0, 1, 2}$ . Co jest prawdą?
Czy $[1, 3] \subset (0, 4)$ ?
Czy $[1, 5] \subset (1, 5]$ ?
Czy ${x \in Z : 0 < x < 4} \subset (0, 4)$ ?
Czy $(0, 4) \subset {x \in Z : 0 \leq x \leq 4}$ ?
Czy $\emptyset \subset {1, 2}$ ?

Iloczyn kartezjański

Ćwiczenia · 8 zadań

$A = {1, 2}$ , $B = {5, 6, 7}$ . Ile par ma $A \times B$ ?
$A = {1, 2}$ , $B = {3}$ . Ile wynosi $A \times B$ ?
$A = {1, 2}$ , $B = {4, 5}$ . Czy $(4, 1) \in A \times B$ ?
Dla $A = {0, 1}$ ile wynosi $A^{2}$ ?
$∣ A ∣ = 4$ , $∣ B ∣ = 3$ . Ile par ma $B \times A$ ?
$A = [0, 2]$ , $B = [1, 3]$ . Jak wygląda $A \times B$ w układzie współrzędnych?
$A = (- \infty, 1)$ , $B = [0, \infty)$ . Jaka jest prosta $x = 1$ na rysunku $A \times B$ ?
$A = (- \infty, 1)$ , $B = [0, \infty)$ . Który opis pasuje do $B \times A$ ?

Zasada włączeń i wyłączeń

Ćwiczenia · 7 zadań

$∣ A ∣ = 12$ , $∣ B ∣ = 9$ , $∣ A \cap B ∣ = 4$ . Ile wynosi $∣ A \cup B ∣$ ?
W grupie 40 osób: 25 uczy się angielskiego, 18 niemieckiego, 10 obu języków. Ile osób nie uczy się żadnego z nich?
W tej samej grupie: ile osób uczy się tylko angielskiego?
$∣ A ∣ = 10$ , $∣ B ∣ = 8$ , $∣ C ∣ = 6$ , $∣ A \cap B ∣ = 3$ , $∣ A \cap C ∣ = 2$ , $∣ B \cap C ∣ = 4$ , $∣ A \cap B \cap C ∣ = 1$ . Ile wynosi $∣ A \cup B \cup C ∣$ ?
Zadanie mówi: „4 osoby mają tylko cechy A i B (bez C), a 2 osoby mają wszystkie trzy cechy”. Ile wynosi $∣ A \cap B ∣$ ?
Dlaczego we wzorze dla trzech zbiorów na końcu dodajemy $∣ A \cap B \cap C ∣$ ?
Wśród 60 studentów 30 ma laptopa, 25 tablet, 20 smartwatch. Laptop i tablet: 10, laptop i smartwatch: 8, tablet i smartwatch: 6, wszystkie trzy: 4. Ilu studentów nie ma żadnego z tych urządzeń?

Quiz z teorii

Quiz · 10 pytań

Zbiory — 10 pytań

Który zbiór jest równy zbiorowi ${1, 2, 3}$ ?
Ile wynosi $∣\emptyset∣$ ?
Co na zajęciach nazywamy „iloczynem zbiorów” $A$ i $B$ ?
Nawias kwadratowy przy końcu przedziału oznacza, że…
Dlaczego przy $\infty$ zawsze stoi nawias okrągły?
Działaniu $\cap$ na zbiorach odpowiada w logice spójnik:
Od czego zależy dopełnienie $A^{'}$ ?
Wiemy, że $A \subset B$ i $B \subset A$ . Co z tego wynika?
Czym się różnią $(1, 2)$ jako element iloczynu kartezjańskiego i ${1, 2}$ ?
$∣ A ∣ = 5$ , $∣ B ∣ = 2$ . Ile wynosi $∣ A \times B ∣$ ?

$x$	$x \in A$	$x \in B$	$x \in A \cup B$ 1	$x \in A \cap B$ 2	$x \in A ∖ B$ 3	$x \in B ∖ A$ 4	$x \in A^{'}$ 5	$x \in B^{'}$ 6
0	1	0	1	0	1	0	0	1
1	1	0	1	0	1	0	0	1
2	1	0	1	0	1	0	0	1
3	1	1	1	1	0	0	0	0
4	1	1	1	1	0	0	0	0
5	0	1	1	0	0	1	1	0
6	0	1	1	0	0	1	1	0
7	0	1	1	0	0	1	1	0
8	0	0	0	0	0	0	1	1

$x$	$x \in A$	$x \in B$	$x \in (A \cup B)^{'}$ 1	$x \in A^{'} \cap B^{'}$ 2	$x \in (A \cap B)^{'}$ 3	$x \in A^{'} \cup B^{'}$ 4
0	1	0	0	0	1	1
1	1	0	0	0	1	1
2	1	0	0	0	1	1
3	1	1	0	0	0	0
4	1	1	0	0	0	0
5	0	1	0	0	1	1
6	0	1	0	0	1	1
7	0	1	0	0	1	1
8	0	0	1	1	1	1

$x$	$x \in A$	$x \in B$	$x \in A \cup B$ 1	$x \in A \cap B$ 2	$x \in A ∖ B$ 3	$x \in B ∖ A$ 4	$x \in A^{'}$ 5	$x \in B^{'}$ 6
0	1	0	1	0	1	0	0	1
1	1	0	1	0	1	0	0	1
2	1	0	1	0	1	0	0	1
3	1	1	1	1	0	0	0	0
4	1	1	1	1	0	0	0	0
5	0	1	1	0	0	1	1	0
6	0	1	1	0	0	1	1	0
7	0	1	1	0	0	1	1	0
8	0	0	0	0	0	0	1	1

$x$	$x \in A$	$x \in B$	$x \in (A \cup B)^{'}$ 1	$x \in A^{'} \cap B^{'}$ 2	$x \in (A \cap B)^{'}$ 3	$x \in A^{'} \cup B^{'}$ 4
0	1	0	0	0	1	1
1	1	0	0	0	1	1
2	1	0	0	0	1	1
3	1	1	0	0	0	0
4	1	1	0	0	0	0
5	0	1	0	0	1	1
6	0	1	0	0	1	1
7	0	1	0	0	1	1
8	0	0	1	1	1	1

$x$	$x \in A$	$x \in B$	$x \in A \cup B$ 1	$x \in A \cap B$ 2	$x \in A ∖ B$ 3	$x \in B ∖ A$ 4	$x \in A^{'}$ 5	$x \in B^{'}$ 6
0	1	0	1	0	1	0	0	1
1	1	0	1	0	1	0	0	1
2	1	0	1	0	1	0	0	1
3	1	1	1	1	0	0	0	0
4	1	1	1	1	0	0	0	0
5	0	1	1	0	0	1	1	0
6	0	1	1	0	0	1	1	0
7	0	1	1	0	0	1	1	0
8	0	0	0	0	0	0	1	1

$x$	$x \in A$	$x \in B$	$x \in (A \cup B)^{'}$ 1	$x \in A^{'} \cap B^{'}$ 2	$x \in (A \cap B)^{'}$ 3	$x \in A^{'} \cup B^{'}$ 4
0	1	0	0	0	1	1
1	1	0	0	0	1	1
2	1	0	0	0	1	1
3	1	1	0	0	0	0
4	1	1	0	0	0	0
5	0	1	0	0	1	1
6	0	1	0	0	1	1
7	0	1	0	0	1	1
8	0	0	1	1	1	1