Jak opisać zależność liczbą i wzorem: model Y = a + b·X, parametry z metody najmniejszych kwadratów, ocena dopasowania (R², φ²) oraz prognozowanie z modelu i ocena trafności prognoz.
01
Materiały
Korelacja mówi, jak silnie zmienne idą razem. Regresja idzie krok dalej — opisuje kształt zależności równaniem i pozwala prognozować. Zmienną Y (zależną) modelujemy w oparciu o zmienną(e) X (niezależną).
Model regresji prostej
jedna zmienna objaśniająca
Y = a + b·X
Y — zmienna objaśniana (zależna)
X — zmienna objaśniająca (niezależna)
a — wyraz wolny
b — współczynnik regresji (nachylenie)
Zależność może być liniowa lub krzywoliniowa — tu zajmujemy się liniową.
Interpretacja parametrów
to najczęściej pytają
b — o ile jednostek zmieni się średnio Y, gdy X wzrośnie o jednostkę.
a — wartość Y, gdy X = 0. Gdy X = 0 jest niemożliwe/bez sensu — a pomijamy w interpretacji.
Uwaga na jednostki! X i Y bywają w różnych jednostkach — zawsze dopisz je do interpretacji b.
Metoda najmniejszych kwadratów
skąd biorą się a i b
b = Σ(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ) / Σ(xᵢ−x̄)²a = ȳ − b·x̄
Równoważnie: b = cov(x,y) / S²ₓ
MNK minimalizuje sumę kwadratów reszt (odchyleń od prostej)
Prosta regresji zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ)
Miary dopasowania
jak dobry jest model
determinacja: R² ∈ ⟨0; 1⟩zbieżność: φ² = 1 − R²
R² — jaka część zmienności Y jest wyjaśniona modelem; im bliżej 1, tym lepiej
φ² — część niewyjaśniona; im bliżej 0, tym lepiej
Dla regresji prostej R² = r² (kwadrat korelacji)
s — standardowy błąd szacunku (przeciętny błąd modelu)
Przykład — wydatki a dochód
model z wykładu
ŷ = 8,0871 + 0,0376·x
b = 14929,59 / 397483,36 = 0,0376
R² = 0,976² = 0,952 → φ² = 0,048
Interpretacja b: wzrost dochodu o 1 zł → wydatki na odzież rosną średnio o 0,0376 zł
Regresja wieloraka
wiele zmiennych objaśniających
Y = a₀ + a₁X₁ + a₂X₂ + … + aₖXₖ
aᵢ — o ile średnio zmieni się Y przy wzroście Xᵢ o jednostkę, gdy pozostałe X są stałe (ceteris paribus)
a₀ — wyraz wolny, zwykle nieinterpretowany
Przykład: sprzedaż pralki Y = 7 605 837 − 4063,38·X₁ + 7606,77·X₂ — cena ↑ o 1 zł → sprzedaż ↓ o 4063,38 zł (przy stałym dochodzie).
Prognozowanie z modelu
po co to wszystko
Podstawiasz przyszłą wartość X do równania i liczysz Y. Warunki, żeby wolno było prognozować:
Pułapka jednostek: X podstawiaj w tych samych jednostkach co przy szacowaniu modelu (np. tys. zł), a wynik Y wychodzi w jednostce Y (np. mln zł).
Ocena trafności — błąd ex post
czy prognoza się sprawdziła
błąd = |yₜ − y*ₜ| / yₜ · 100%
0–3% — bardzo dobra
3–5% — dobra
5–10% — dopuszczalna
> 10% — niedopuszczalna
yₜ — wartość rzeczywista, y*ₜ — wartość prognozowana. Błąd ex post liczysz, gdy znasz już rzeczywisty wynik.
02
Ściąga funkcji Excela
Nachylenie i wyraz wolny to dwie osobne funkcje. Całą tabelę statystyk (parametry, R², błąd standardowy, test t) dostaniesz przez Dane → Analiza danych → Regresja albo funkcją tablicową REGLINP.
Co liczysz
Funkcja Excela
Uwaga
Współczynnik b (nachylenie)
=NACHYLENIE(Y;X)
Kolejność: najpierw Y, potem X
Wyraz wolny a
=ODCIĘTA(Y;X)
Wartość Y dla X = 0
Współczynnik determinacji R²
=R.KWADRAT(Y;X)
Lub =WSP.KORELACJI(Y;X)^2
Standardowy błąd szacunku s
=REGBŁSTD(Y;X)
Przeciętny błąd modelu
Prognoza dla nowego X
=REGLINX(nowy_x;Y;X)
Podstawia x do prostej regresji
Pełne statystyki (a,b,R²,s,t)
=REGLINP(Y;X;PRAWDA;PRAWDA)
Funkcja tablicowa (LINEST)
Cały raport regresji
Dane → Analiza danych → Regresja
Dodatek „Analysis ToolPak”
03
Zadania krok po kroku
Główny przykład (wydatki na odzież Y ~ dochód X, 10 lat): Σ(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ) = 14929,59 • Σ(xᵢ−x̄)² = 397483,36 • r = 0,976. Prognozy na modelu Y = 183,144 + 0,046·X. Akceptuję przecinek/kropkę i drobne zaokrąglenia.
0 / 0
04
Quiz teoretyczny
Model, interpretacja a i b, MNK, R² i φ², regresja wieloraka, warunki prognozowania i ocena błędów ex post.