Statystyka opisowa · UEP

Analiza korelacji

Siła i kierunek zależności między dwiema zmiennymi: współczynnik Pearsona dla danych ilościowych i korelacja rang Spearmana dla porządkowych. Plus interpretacja i istotność statystyczna.

Materiały

Korelacja mierzy współwystępowanie zmian dwóch cech — jej kierunek (dodatni/ujemny) i siłę. Pierwszy krok zawsze: uzasadnij, że związek ma sens logiczny. Wybór miary zależy od skali pomiaru: ilościowa → Pearson, porządkowa → Spearman.

Współczynnik Pearsona r

zależność liniowa · dane ilościowe

r = cov(x,y) / (Sₓ · Sᵧ)równoważnie:
r = Σ(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ) / √(Σ(xᵢ−x̄)²·Σ(yᵢ−ȳ)²)

Założenia: obie zmienne ilościowe, zależność w przybliżeniu liniowa
cov(x,y) — kowariancja, Sₓ/Sᵧ — odchylenia standardowe

Własności r

co trzeba wiedzieć

Przyjmuje wartości z przedziału ⟨−1; 1⟩
Symetryczny: r_xy = r_yx
Niemianowany (bez jednostek)
r = 0 → brak korelacji liniowej (niezależne)
r > 0 dodatnia, r < 0 ujemna; ±1 → zależność funkcyjna

Skala interpretacji |r|

jak nazwać siłę związku

< 0,2 — brak zależności

0,2–0,4 — słaba

0,4–0,7 — umiarkowana

0,7–0,9 — znacząca

0,9–1,0 — bardzo silna

Korelacja rang Spearmana

dane porządkowe / mała próba

r_s = 1 − 6·Σdᵢ² / [n(n²−1)]

dᵢ = r1ᵢ − r2ᵢ — różnica rang i-tego obiektu
Założenie: ≥1 zmienna porządkowa (druga porządkowa lub ilościowa)
Albo gdy zmienne ilościowe, ale mało obserwacji
Też z przedziału ⟨−1; 1⟩, symetryczny, niemianowany

Procedura Spearmana

krok po kroku

1. Uporządkuj obiekty wg każdej cechy (tak samo)
2. Nadaj rangi (1, 2, 3, …)
3. Policz dᵢ = różnica rang i dᵢ²
4. Podstaw do wzoru na r_s

Rangi wiązane: gdy wartości są równe, każda dostaje średnią z rang, które by jej przypadły (np. pozycje 2 i 3 → obie 2,5).

Istotność statystyczna

czy związek jest „prawdziwy"

t = r_s · √[(n−2)/(1−r_s²)]

H₀: cechy nieskorelowane w populacji
H₁: występuje korelacja
t_kryt z rozkładu t-Studenta, df = n−2, zwykle α = 0,05
|t| ≥ t_kryt → odrzucamy H₀ (związek istotny)

Korelacja ≠ przyczynowość

najważniejsza pułapka

Wysokie r mówi tylko, że zmienne zmieniają się razem — nie, że jedna powoduje drugą.

Może istnieć trzecia zmienna wpływająca na obie
Związek może być pozorny (przypadkowy)
Dlatego krok 1 to uzasadnienie logiczne związku

Pearson kontra Spearman

którego użyć

Pearson: ilościowe, zależność liniowa, większa próba
Spearman: porządkowe (oceny, rankingi) lub mała próba
Spearman = Pearson policzony na rangach
Spearman łapie zależność monotoniczną, niekoniecznie liniową

Ściąga funkcji Excela

Pearsona policzysz jedną funkcją. Spearmana nie ma wprost — ranguj obie zmienne (POZYCJA.ŚR daje rangi wiązane jako średnie), a potem albo wzór na r_s, albo po prostu WSP.KORELACJI na rangach (Spearman to Pearson liczony na rangach).

Co liczysz	Funkcja Excela	Uwaga
Korelacja Pearsona r	=WSP.KORELACJI(Y;X)	Lub =PEARSON(Y;X) — to samo
Kowariancja	=KOWARIANCJA.POPUL(X;Y)	Dzielnik N (populacyjna)
Odchylenie standardowe	=ODCH.STANDARD.POPUL(X)	Do wzoru r = cov/(Sₓ·Sᵧ)
Rangi (z wiązanymi)	=POZYCJA.ŚR(wartość;zakres)	Średnie rangi dla wartości równych
Spearman r_s	=WSP.KORELACJI(rangi_Y;rangi_X)	Pearson policzony na rangach
Σdᵢ²droga ze wzoru	=SUMA.KWADRATÓW(r1−r2)	Różnice rang do podniesienia do kwadratu
Współczynnik determinacji r²	=WSP.KORELACJI(Y;X)^2	Część wspólnej zmienności

Zadania krok po kroku

Przykład Pearsona: wydatki na odzież (y) a przeciętny dochód (x), 10 lat. Sumy pomocnicze: Σ(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ) = 14929,59 • Σ(xᵢ−x̄)² = 397483,36 • Σ(yᵢ−ȳ)² = 589,03 • n = 10. Spearman: ranking ocen 6 studentów. Akceptuję przecinek/kropkę i drobne zaokrąglenia.

0 / 0

Quiz teoretyczny

Wybór miary, własności r, interpretacja siły i kierunku, rangi i istotność.