Statystyka · UEP

Korelacja wieloraka

Gdy na jedną cechę wpływa kilka innych naraz: korelacja cząstkowa (dwie zmienne z wyłączeniem wpływu pozostałych) i korelacja wieloraka (jedna cecha z kompleksem innych łącznie) — wraz ze współczynnikiem determinacji wielorakiej R².

Materiały

W rzeczywistości zmienna zależna Y rzadko zależy od jednej cechy. Dwa spojrzenia: cząstkowe — izolujemy jedną parę zmiennych, „mrożąc” resztę; wieloraka — pytamy o łączną siłę związku Y ze wszystkimi zmiennymi objaśniającymi razem.

Korelacja cząstkowa

związek pary · reszta zamrożona

Siła związku między dwiema zmiennymi przy wyeliminowaniu wpływu pozostałych (ustalonych jako stałe).

r₁₂.₃ = (r₁₂ − r₁₃·r₂₃) / √[(1−r₁₃²)(1−r₂₃²)]

Indeks po kropce (.3) = zmienna wyeliminowana
r₁₂.₃ — korelacja 1 i 2 przy ustalonej zmiennej 3
Wartości z przedziału ⟨−1; 1⟩ — ma kierunek

Korelacja wieloraka

jedna cecha ↔ kompleks cech

Ścisłość związku między zmienną zależną a wszystkimi zmiennymi niezależnymi łącznie.

R₁.₂₃ = √[(r₁₂² + r₁₃² − 2·r₁₂·r₁₃·r₂₃) / (1−r₂₃²)]

Indeks przed kropką (1) = zmienna zależna
Po kropce (23) = zmienne objaśniające

Własności R wielorakiej

co trzeba zapamiętać

Przyjmuje wartości z przedziału ⟨0; 1⟩ (nieujemny)
Mierzy tylko siłę zależności
Nie wskazuje kierunku (bo łączy wiele wpływów)
Im bliżej 1 — tym silniejszy związek łączny

Determinacja wieloraka R²

jak w regresji

R² ∈ ⟨0; 1⟩ φ² = 1 − R²

R² — jaka część zmienności Y jest wyjaśniona przez zestaw zmiennych objaśniających
R wieloraka = „Wielokrotność R” w wydruku regresji
R wieloraka = korelacja między Y a wartościami teoretycznymi ŷ z modelu

Cząstkowa vs prosta vs wieloraka

nie pomyl ich

Prosta r₁₂ — dwie zmienne, nic nie eliminujemy
Cząstkowa r₁₂.₃ — dwie zmienne, wpływ trzeciej usunięty
Wieloraka R₁.₂₃ — jedna cecha kontra wszystkie pozostałe łącznie

Cząstkowa bywa wyższa niż prosta — usunięcie zakłócającej zmiennej „odsłania” czysty związek.

Przykład — wydatki na żywność

dane z wykładu

Y = wydatki, X₁ = ceny, X₂ = dochód. Korelacje proste:

r(Y,X₁) = 0,7505 · r(Y,X₂) = 0,8541 · r(X₁,X₂) = 0,4388
Wieloraka R = 0,951 → R² = 0,904
Cząstkowa dochód–wydatki (bez cen): 0,8837

Model: ŷ = 7,55 + 0,455·X₁ + 0,460·X₂; wspólnie tłumaczy 90,4% zmienności wydatków.

Po co korelacja cząstkowa

sedno interpretacji

Prosta korelacja może być zawyżona/zaniżona przez trzecią zmienną. Cząstkowa pokazuje związek „w czystej postaci”.

Przykład: cena i wydatki wyglądają na powiązane, ale częściowo przez wspólny wpływ dochodu
Po wyeliminowaniu dochodu widać związek rzeczywisty

Podsumowanie doboru miary

cała analiza zależności

Ilościowe, liniowo, 2 zmienne → Pearson
Porządkowe / mała próba → Spearman
Para z kontrolą innych → cząstkowa
Jedna cecha vs wiele → wieloraka R

Ściąga funkcji Excela

Korelacji cząstkowej nie policzysz jedną funkcją — najpierw wyznacz korelacje proste (albo całą macierz korelacji), potem podstaw do wzoru. Wieloraką R i R² odczytasz wprost z raportu regresji wielorakiej.

Co liczysz	Funkcja Excela	Uwaga
Korelacje proste (pary)	=WSP.KORELACJI(zakres1;zakres2)	Dla każdej pary zmiennych
Macierz wszystkich korelacji	Dane → Analiza danych → Korelacja	Od razu wszystkie r naraz
Korelacja wieloraka R	Raport regresji: „Wielokrotność R”	Lub =PIERWIASTEK(R.KWADRAT(...))
Determinacja wieloraka R²	Raport regresji: „R kwadrat”	Część zmienności Y wyjaśniona łącznie
Korelacja cząstkowa	brak funkcji — ze wzoru	Z korelacji prostych
Parametry modelu (a, a₁, a₂)	=REGLINP(Y;X1:X2;PRAWDA;PRAWDA)	Funkcja tablicowa (wiele zmiennych X)
Cały raport regresji wielorakiej	Dane → Analiza danych → Regresja	Zaznacz kilka kolumn X naraz

Zadania krok po kroku

Zestaw z wykładu (Y = wydatki, X₁ = ceny, X₂ = dochód): r(Y,X₁) = 0,7505 • r(Y,X₂) = 0,8541 • r(X₁,X₂) = 0,4388. Plus czyste zestawy do wprawy. Akceptuję przecinek/kropkę i drobne zaokrąglenia.

0 / 0

Quiz teoretyczny

Różnica cząstkowa/wieloraka, notacja indeksów, własności R, związek z regresją i determinacją.